考研数学：必考的定理证明

考研数学：必考的定理证明整理

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考研数学的定理证明是向来考生普遍感觉不

太有把握的内容，而2022年考研数学真题释放

出一个明确信号一一考生需重视教材中重要定

理的证明。下面跨考教育为考生梳理一下教材中

那些要求会证的重要定理。

一、求导公式的证明

2022年真题考了一个证明题：证明两个函数

乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎

么用比较熟悉，而对它怎么来的较为目生。实际

上，从授课的角度，这种在2022年前从未考过

的基本公式的证明，普通只会在基础阶段讲到。

如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关

注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可

能从未认真思量过该公式的证明过程，进而在考

场上变得很被动。这里给2022考研学子提个醒：

要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重

要结论的证明，有可能考到，不要放过。

固然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)

在点X。处的导数。函数在一点的导数自然用导

数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式

子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法

则，因为份子的导数不好算(乘积的导数公式恰

好是要证的，不能用!)。利用数学上常用的拼凑

之法，加一项，减一项。这个“无中生有”的项要

和先后都有联系，便丁•提公因子。之后份子的四

项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结

果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任

意点的导数公式。

类似可考虑f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)/g(x)的

导数公式的证明。

二、微分中值定理的证明

这一部份内容比较丰富，包括费马引理、罗

尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定

理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。

费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2.f(x0)

为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0o考虑函数在一

点的导数，用什么方法？自然想到导数定义。我

们可以按照导数定义写出f'(xO)的极限形式。往

下如何推理？关键要看第二个条件怎么用。"f(xO)

为f(x)的极值”翻译成数学语言即1(x)

4（xO）vO（或者＞0）,对x0的某去心邻域成立。结

合导数定义式中函数部份表达式，不难想到考

虑函数部份的正负号。若能得出函数部份的符

号，如何得到极限值的符号呢？极限的保号

性是个桥梁。

费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之

意。那末它引出的定理就是我们下面要讨论的罗

尔定理。若在微分中值定理这部份推荐一个考频

最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和

结论想必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间

连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在

开区间存在一点（即所谓的中值），使得函数在该

点的导数为0o该定理的证明不好理解，需认真

体味：条件怎么用？如何和结论建立联系？固然，

我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已

经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。如

果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足

的创新，是要流芳白世的。

闲言少叙，言归正传。既然我们讨论费马引

理的作用是要引出罗尔定理，那末罗尔定理的证

明过程中就要用到费马引理。我们对照这两个定

理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点

的导数为Oo话说到这，可能有同学要说：罗尔

定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行

了。慷慨向对，但过程没这么简单。起码要说清

一点：费马引理的条件是否满足，为什么满足？

前面提过费马引理的条件有两个一一“可导”

和“取极值”，“可导”不难判断是成立的，那末“取

极值”呢?似乎不能由条件直接得到。那末我们看

看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔定

理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知

道闭区间上的连续函数有很好的性质，哪条性质

和极值有联系呢？不难想到最值定理。那末最值

和极值是什么关系？这个点需要想清晰，因为直

接影响下面推理的走向。结论是：若最值取在区

间内部，则最值为极值;若最值均取在区间端点，

则最值不为极值。那末接下来，分两种情况讨论

即可：若最值取在区间内部，止匕种情况下费马引

理条件彻底成立，不难得出结论;若最值均取在

区间端点，注意到已知条件第三条告诉我们端点

函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最

大值和最小值相等，这意味着函数在整个区间的

表达式恒为常数，那在开区间上任取一点都能使

结论成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出

来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效

果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，若再

考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个

的定理的证明过程中体现出来的基本思路，合用

于证其它结论。

以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定

理证，那我们对照一下两个定理的结论。罗尔定

理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸

上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理

结论的形式，移项即可。接下来，要从变形后的

式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果。这就

是构造辅助函数的过程一一看等号左侧的式子

是哪个函数求导后，把X换成中值的结果。这个

过程有点像犯罪现场调查：根据这个犯罪现场，

反推嫌疑人是谁。固然，构造辅助函数远比破案

要简单，简单的题目直接观察;复杂一些的，可

以把中值换成X,再对得到的函数求不定积分。

考研数学的定理证明是向来考生普遍感觉不

太有把握的内容，而2022年考研数学真题释放

出一个明确信号一考生需重视教材中重要定

理的证明。下面跨考教育为考生梳理一下教材中

那些要求会证的重要定理。

三、微积分基本定理的证明

该部份包括两个定理：变限积分求导定理和

牛顿・莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的条件是变上限积分函数

的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解

为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用

积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公

式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对

待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间

端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。

我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x

处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于

导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺

读者思量的权利了。单侧导数类似考虑。

“牛顿•莱布尼茨公式是联系微分学与积分学

的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证

明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志

着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门

真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿•莱布尼

茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能

熟练运用该公式计算定积分。无非，提起该公式

的证明，熟悉的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函

数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是

F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数,结论是f(x)

在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点

处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分

求导定理。若该公式的条件成立，则不难判断变

限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定

理的结论成立。注意到该公式的另一个条件提到

了原函数，那末我们把变限积分求导定理的结论

用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限

积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根

据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原

函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上

限积分函数加某个常数C.万事俱备，只差写一

下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变

形，不难得出结论。

四、积分中值定理

该定理条件是定积分的被积函数在积分区间

（闭区间）上连续，结论可以形式地记成该定积分

等于把被积函数拎到积分号外面，并把积分变量

X换成中值。如何证明？可能有同学想到用微分

中值定理，理由是微分相关定理的结论中含有中

值。可以按照此思路往下分析，无非更易理解的

思路是考虑连续相关定理（介值定理和零点存在

定理），理由更充分些：上述两个连续相关定理

的结论中非但含有中值而且不含导数，而待证的

积分中值定理的结论也是含有中值但不含导数。

若我们选择了用连续相关定理去证，那末到

底选择哪个定理呢？这里有个小的技巧一看中

值是位于闭区间还是开区间。介值定理和零点存

在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区

间，而待证的积分中值定理的结论中的中值位于

闭区间。那末何去何从，已经不言自明了。

若顺利选中了介值定理，那末往下如何推理

呢？我们可以对照一下介值定理和积分中值定理

的结论：介值定理的结论的等式一边为某点处的

函数值，而等号另一边为常数Ao我们自然想到

把积分中值定理的结论朝以上的形式变形。等式

两边同时除以区间长度，就能达到我们的要求。

固然，变形后等号一侧含有积分的式子的长相还

是挺有迷惑性的，要透过现象看本质，看清晰定

积分的值是一个数，进而定积分除以区间长度后

仍为一个数。这个数就相当于介值定理结论中的

Ao

接下来如何推理，这就考察各位对介值定理

的熟悉程度了。该定理条件有二：1.函数在闭区

间连续，2.实数A位于函数在闭区间上的最大值

和最小值之间，结论是该实数能被取到（即A为

闭区间上某点的