考研数学二(概率论与数理统计)试卷3

考研数学二(概率论与数理统计)-试卷3

(总分：70.00,做题时间：90分钟)

一、选择题(总题数：8,分数：16.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。(分数：2.00)

解析：

2.设F।(x)和F2(x)分别为X।和X2的分布函数，为使F(x)=aF,(x)+bF2(x)是某一随机变量的分

布函数,，在下列给定的各组数中应取(

(分数::2.00)

A.4

B.

D.

解析：解析：本题考查分布函数的性质，如果X分布函数为F(x),则F(—8)=0,F(+8)=i,可以得到

a,b应满足的关系.由已知Fi(+8)=F(+8)=I,从而F(+8)=a+b=l,满足该关系的只有(A).

3.设连续型随机变量X的分布函数和概率密度函数分别为F(x)和f(x),贝h)

(分数：2.00)

A.0Wf(x)WL

B.P(X=x)WF(x).V

C.P(X=x)=F(x).

D.P(X=z)=f(z).

解析：解析：木题主要考查连续型随机变量分布的概念和性质，分布函数是事件的概率，即

F(x)=P{XWx},需要注意概率密度f(x)=F"(x),其本身并不表示事件的概率.因为f(x)20,没有

f(x)Wl的限制，故(A)错误.又F(x)=P{XWx),而事件{X=x}匚ixWx},从而P(X=x)WF(x),故(B)

是正确的，选项(C)错误.P(X=x)=OWf(x),故选项(D)错误.

4.设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的a£(0,1),数u«满足P(X>u«)=a,若使第式

P(IXI<x)=0.95成立，则x=()

(分数：2.00)

0.475

B.u0.975

C.u0.025・

D.u0.06・

解析:解析：本题考查标准正态分布上侧分位点的概念，可以利用概率密度图形分析.如图2—1所

示.由P(IXI<x)=0.95,得P(IXI>x)=l—P(IXI<x)=0.05,故x=口<1025，从而应选

C.

5.设随机变量X的概率密度为f(x),且有f(一x)=f(x),F(x)为X的分布函数，则对任意实数a,有()

(分数：2.00)

A.F(-a)=l—Jnf(x)dx.

B.F(-a)=口/o*f(x)dx.

C.F(-a)=F(a).

D.F(-a)=2F(a)-l.

解析：解析：山分布函数的定义，将其用概率密度表示，再通过枳分换元可得结果.因为f(-x)=f(x),

ua

J-e°f(x)dx=fof(x)dx=I_____I.而F(一a)=J-«f(x)dx=ff(x)dx+J0"f(x)dx,

令x=1t,则Jo0f(x)dx=-/o°f(—t)dt=­/oaf(t)dt=-Joaf(x)dx,所以F(-*a)=

J-Jo"f(x)dx,故应选B.

6.设随机变量X服从N(14।。।2),丫服从、(“2,。22)，且P{IX-u।I<1)>P{IX-u2I

<1),则()

(分数：2.00)

A.OI<O

B.oi>o

C.ul<y

D.Pi>u

解析：解析：—

7.设X服从N(“，。2),且P{XVo}>P{x>。},则()

(分数：2.00)

A.u<oV

B.u>o.

C.口=。

D.Pto的大小关系不能确定.

解札解如口

8.设随机变量Y在［0,1］上服从均匀分布，F(x)(0WF(x)Wl)是严格单调递减且连续的函数，则由关系式

Y=F00定义的随机变量X的分布函数是()

(分数：2.00)

A.F(x).

B.F(x).

C.1—F(x).J

D.1-*F"(x).

解析:解析：设X的分布函数是F*(x)=P{xWx}=P{F(X)2F(x)}=P{Y2F(x)},由于Y在［0,1］上服从均

二、填空题(总题数：8,分数：16.00)

9.设X的概率密度为f(x),分布函数为F(x),对固定的x(.,若使函数［__］为某随机变量的概率密

度，则1<=1.

(分数：2.00)

填空项1：(正确答案：正确答案：1.)

解析：解析：考查概率密度的性质.如果X为连续型随机变量，概率密度为f(x),则主要利用J，一

f(x)dx=l求取f(x)中未知参数，本题还要注意F"(x)=f(x).由题意，要求g(x)20,f.一

g(x)dx=L即有|从而k=l.

10.设随机变量X的概率密度为f(x)n=___,表示对X独立的三次观察中事件{XW「I出现的次数,则

P(Y=2}=1.

(分数：2.00)

填空项1：(正确答案：正确答案：［*］)

解析：解析：本题的关键是判断出Y的概率分布.由于Y表示对X独立的三次观察中事件{xW^____:出

因此Y服从二项分布B(3,p),而p=P{XW;由已知.Y服从二项分布

现的次数，

B(3.p).

11.一射手进行射击，击中目标的概率为p(OVpVl),现在他领到5发子弹，进行射击直到命中目标或子

弹用完为止，以X表示他射击实际脱靶的次数，则P{x=l}=1.

(分数：2.00)

填空项1：(正确答案：正确答案：P(1-P).)

解析：解析：考查独立重复试验中的''有限几何分布"，需要具备把实际问题提炼成概率模型的能力.计

算事件{x=l}的概率，关键是理解清楚它的含义，即{X=l}相当于事件”“第1次脱靶而第2次命

中”.设A表示事件“第2次命中”则P{X=l}=P(A)=P(-p).

12.设随机变量X服从正态分布N(u,。2)(o>0),且二次方程y2+4y+X：0无实根的概率为

口,则…

(分数：2.00)

填空项1:(正确答案：正确答案：4.)

，即P{42-4X<0}=P(X>4)=匚

解析：解析：二次方程y二+4y+X=0尢实根的概率为止

态分布概率密度曲线关于x=u对称，故P{XWu}.P{XNu}=从而u=4.

13.设随机变量X在区间［a,b］(a>0)上服从均匀分布，且P{0VxV3}1__I,则P{TVXV5}=1.

(分数：2.00)

填空项1：(正确答案：正确答案：［*］)

解析:解析：_____

14.设随机变量X的概率密度为f(x)且aX+b服从N(0,l)(a>0),则常数A=1,a=2,b=3.

(分数：2.00)

填空项1：_(正确答案：正确答案:由己知，f(x)=又aX+b〜N(—a-b.

2a"),得-a+b=O,2a从而a=b=)

解析：解析：考查正态分布密度函数的形式和其线性函数的分布，将f(x)与正态分布的密度表达式做时

应分析.

15.设随机变量X服从N(2,。2),且P{2VXV4}=0.3,则P{X〈O}=1.

《分数;2.00)

填空项1：(正确答案：正确答案：0.2.)

解析：解析：匚］

16.已知随机变量X的分布函数F(x)是连续的严格单调函数，Y=1-2X,F(0.25)=0.75,

P{YWk}=0.25,则卜=1.

(分数：2.00)

填空项1：(正确答案：正确答案：0.5.)

解析：解析：因为P{YWk}=P[l—2XWk}=p{x二=0.25,F（0.25）=P{XW0.25}=0.75,从而

匚。.25,解得k=0.5.

三、解答题（总题数：19,分数：38.00）

17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）

解析:

18.设随机变量X的概率分布为P{X=k}二k=l,2,入>0,求常数C。

（分数：2.00）

正确答案：（正确答案：

解析：解析：如果X为离散型随机变量，其概率分布为P{X=x.}=p.,i=h2,…，则主要利用性质

求未知参数.注意，此分布不是k=0开始的泊松分布.

19.设连续型随机变量X的分布函数为.试求（1）常豹A・B：（2）随机变量X落在内的

概率：（3）X的概率密度函数.

（分数：2.00）

正确答案：（正确答案:□

解析：解析：考查分布函数的性质.连续型随机变量的分布函数上连续函数，直接解答即可.

,求求）常数a,b的值;（2）□

20.已知随机变量X的概率密度为f（x

（分数：2.00）

正确答案：（正确答案:□

解析：解析：题中概率密度表达式有两个未知参数，可以利用性历和所给事件的概率联合求出，再利用分

布计算所求事件的概率.

21.设随机变量X的概率分布为P{X=k}的概率分布.

（分数：2.00）

正确答案：（正确答案：由，故C=2.)

解析：解析：求离散型随机变量的概率分布先要确定随机变量可能所取的位，再计算取各位的概率.本题

需要先利用分布的性质确定常数C,再确定Y可能取的值，计算概率即可.当X=l,5,9,…时，Y=l,

当X=2,4,6,…时，Y=0,当X=3,7,11,…时，丫=一1,

22.设某地在任何长为t的时间间隔内发生地震的次数X服从参数为Xt的泊松分布，时间以周计，入>

0,（D设T为两次地震之间的间隔时间，求T的概率分布；（2）求相邻两周内至少发生三次地震的概率；

（3）求连续8周无地震的条件二，在未来7周内仍无地震的概率.

（分数：2.00）

正确答案：(正确答案：(1)由己知条件，X服从参数为入t的泊松分布，其概率分布为P(X=k}=I_____

k=0,1,2,….设T的分布函数为FT(t)=P{T&t},t>0.当tVO时,FT(t)=0；当t-O时,在

一次地震后的时间t内无地震的事件可表示为PjT>2}=P{X=O}=e,T的分布函数FT

(t)=P{T^t}=l—P[T>t)}=l—e",综上，匚](3)所求概率为P{T2151T>8}=P{T27}=1-Pf?V

7)=e公.注：指数分布的无记忆性：如果X服从参数为X的指数分布，则对于任意实数s,t>C,有

P{T>s+tIT>s)=P{T>t}.)

解析：解析:主要考杳指数分布及其无记忆性.可由T的分布函数的定义式P{TRi}着手.求T的分布函

数的实质是计算事件{TWt)的概率，关键是找到发生地震的次数K与T的联系.

23.设在一段时间内进入某商店的顾客人数X服从参数为X的泊松分布，每个顾客购买某件物品的概率为

P(O<p<l),并且每个顾客购买该物品是相互独立的，以Y表示购买这种物品的顾客人数，求Y的概率分

布.

(分数：2.00)

正确答案：(正确答案：由题皂P{x=n}=I_____I,n=0,1,2,….又P{Y=k}IX=n)=CJp'(1-pJ『

",k=U,1,Z,…，n..即Y服从参数为入p的泊松分力.)

解析：解析：考查离散型随机变量概率分布的计算.本题关键是能够识别购买某物品的人数Y服从的是进

入人数为x=n人的条件下的二项分布，且受进入商店人数的影响，可以使用全概率公式.

24.设连续型随机变量X的概望密度为f(x)Hl求(l)k的值；(2)X的分布函数F(x).

(分数：2.00)

正确答案：(正确答案：(1)由/o1xdx+J.2k(2-x)dx=I_____l=L得k=l.(2)因为F(x)=/

f(t)dt,所以当xVO时，F(x)=O；当OWxVl时F(x)=f«1f(t)dt=；当l《xV2时

F(x)=/oxf(t)dt=fo1tdt+fi1(2-t)dt=2x—•-1：当x22时,F(X)=1.期F(x)=

□

解析：解析：考查利用概率密度计算分布函数的方法，是基本问题.注意到f(x)是分段函数，可根据

的不同取值范围直接利用公式F(x)=J.'f(t)dt计算.

25.已知随机变量X的概率密度为fx(x)=»-oo<x<+oo,又设(1)求x的分布函

数；(2)求y的概率分布和分布函数：(3)计算p{Y>

(分数：2.00)

「IX的分布函数为Fx(x).

□正确答案：(正确答案：(1)由于f»(x)=当xVO时，分布函数

解析：解析：本题将离散型随机变量和连续型随机变量结合，考查离散型随机变量的概率分布.随机变量

X的分布函数直接利用分布函数计算公式计算，Y为离散型随机变量，取值为一1和1,而X的分布已

知,从而用求出Y取一1和1的概率.

26.设连续型随机变量X的概双密度为f(x),分布函数为F(x机当x>0时满足xf"(x)=(l—x)f(x),当

x《0时，f(x)=O.问常数a为何值时，概率P{aVXVa+l}最大.

(分数：2.00)

正确答案：(正确答案：由xf"(x)=(l—x)f(x),解得f(x)=cxe*,x>0,再由/…〜f(x)dx=1,得

c=l.所以反P{aVXV-l}=J「xerdx.设<Ha)=J「xedx,6"(a)=(a+l)e…・

ae.____I)

解析：解析：本题没有直接给出概率密度表达式，因此先通过解其所满足的微分方程得到f(x)的表达

式，再根据求函数最大最小值的方法确定a.

27.设随机变量X的绝对值不大于L且P{x=-1}=匚1在事件{IXIVI}出现的条件下，X在(一1,

1)内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，求(DX的分布函数F(x)：(2)P{X2=1}.

(分数：2.00)

正确答案：(正确答案：(DX可能取值范围为[一1,1].当xV—1时，F(x)=P{X^x}=P{____}=0

当x21时，F(x)=l；当一IWxVl时，F(x)=P{x=11]+P{-IVxWxJ.□

解析：解析：本题是按照考试大纲的要求，考查运用分布函数描绘随机变量的能力.随机变量X属于非离

散型随机变量，由已知条件P[IXIV1}=1-P{X=-1}-P{X=1}=1」_____I,且X在(一1,1)内任一子区

向上取值的条件概率与该子区间长度成正比，是条件均匀分布问题，根据该条件概率求出分布函数

F(x)=P{XWx}.

28.设随机变量X的分布函数为F(x),如果F(0)=概率密度f(x)=af,(x)+bf2(x),其中f

(x)是正态分布WO,。)的密度函数f2(x)是参数为X的指数分布的密度函数，求常数a,b.

(分数：2.00)

正确答案：(正确答案：由fG)dx=l,有af.…f】(x)dx+b/……fz(x)dx=a+b=l.注意到f।

(x)是N(0,。)的密度函数f2(x)是E(N)的密度函数，从而

解析：解析：同时考查两种常见分布.f(x)作为概率密度必须满足f9"f(x)dx=L而

F(O)=P{X^O}=；°f(x)dx,联立可得到a,b的值.

29.设随机变量X的概率密度为f(x);—84xV+8,求7=arctanX的概率密度。

(分数：2.00)

正确答案：(正确答案：公式法.如果x的概率密度为f(x),y=g(x)严格单调且连续，反函数为

x=h(y),则Y=g(X)的概率密度

解析：解析：由于y=arctan;(是单调增加函数，可以利用公式，也可以利用分布函数法，即先求Y的分

布函数，再求导数得概率密度.

30.设随机变量X的概率密度为f(x)口求丫=$5X的概率密度.

(分数：2.00)

正确答案：(正确答案：Y-sinX的取值范因为(0,1).设Y的分布函数为F丫(y)-P{YWy}-P{sin

X<y}.当yVO时,FY(y)=O：当OWyVl时,如图2—2,Fr(y)=P{(O^X^arcsiny)U(n-

arcsiny〈X这丸)}□

解析：解析：在(0,n)上，尸sinx不是单调函数，利用分布函数法求解.

31.设x的概率密度为f(x)F(x)是x的分布函数,求Y=F(x)的分布函数和概率密度。

(分数：2.00)

正确答案；(正确答案；由已知条件，当xVl时，F(x)=O；当l《xV8时，F(x)=□当Q8

时，F(x)=l；综合上述讨论.可得、的取值范围为［0,1］,当yVO时，FY(y)=0：y2l时，F丫

□一lWy}=F((y+l)')=y

(y)=l；OWyVl时，FT(y)=P{YWy}=P{F(x)Wy}=P{

解析：解析：本题考查随机变量函数Y=F(X)的概率分布，由于没有直接给出函数的表达式，需要先询定

F(x)=/-x