考研数学三（解答题）专项练习试卷17

考研数学三(解答题)专项练习试卷17

一、解答题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

•1o0-

4=110

1、己知矩阵L1

且翅阵X满足AXA+BXB=AXB

+BXA+E,求矩阵X.

•125-

012

标准答案：(A-B)X(A-B)=E=>X=(A-B)/(A-B)/=LO01.

知识点解析：暂无解析

2,设f(x)(XN—1),求曲线y=f(x)与X轴所围封闭图形的面租。

标准答案：因为1|1|为奇函数，可知其原函数f(x)=[_/叫出=[_]°则出+61|曲为

偶函数，因此由f(—1)=0,得f(1)=0,即y=f(x)与x轴有交点(一1,

0),(1,0)o又由f(x)=x|x|,可知xVO时，f(x)<0,故f(x)单调减

少，从而f(x)<f(—1)=0(―l<x<0)；当x>0时，f(x)=x|x|>0,故x>

0时f(x)单调增加，且y=f(x)与x轴有唯一交点(1,0)。因此y=f(x)与

x轴交点仅有两个。所以封闭曲线所围面积A=J_J|f(x)|d=2j_i0|f(x)|dx。当

1——―1--

xVO时，f(x)=f_jXt|t|dt=f_一t2dt=3(1+xD,故A=2j_i°3(1+x3)dx=

1

E

知识点解析：暂无解析

3、设偶函数f(x)的二阶导数F(x)在点x=0的一个邻域内连续，且f(0)=l.试证：

s[/(!)-1]

级数\n]」绝对收敛.

标准答案：因为f(x)为偶函数，所以f(x)=-f(—K),且F(0尸0.根据二阶台劳

公式展开式，有

/(x)=/(o)+/(o).x+|/(e)-X2,

即/©)一】=»(&$

由于f"(x)在

点x=0的邻域内连续，知存在正数M>0,使得在点x=0的一个邻域

内।r（x）I&M,从而当〃充分大时，有|/（十）-I|&}M・\

由于£5收敛,故级数£[/（7）—1]绝对收敛.

知识点解/：暂无解析

4、已知囚=（1,0,2,3）,a2=（l,1,3,5）,。3=（1，-1，a+2,1）,04=（1,

2,4,a4-8）,P=（l,1,b+3,5）.（l）a、b为何值时，0不能表示成cq,g,

ot3，cu的线性组合？（2）a、b为何值时，P可表示成oti，Q?,口3，04的线性组合?并

写出该表示式.

标准答案：（l）a=-1且厚0.（2）当ar—1时，p可由eq,az，。3，04唯一地线性

«―26,Q+6+].b.

P=—7-raiH--------TH--------r«3+0nai

表示为：a+1a+10上1当a=-]且b=0

时，。可由ai，aa»ct3,cu线性表示为：0=（一可i+c2）ai+（l+“-2c2）ct2+cia3

+c2a4（C1，C2为任意常数）.

知识点解析：暂无解析

XI-V4d.

5、讨论级数JJ。1+/的敛散性.

标准答案：

令〃.=["曾'^（lr,N=1,2,3,…

Jo1-f-x

则。&"*=fr+7dx&sin就法=sin-^arctan+.

1.1

sin■-iarctan—«一

因为lim-------J----------=1,而X4收敛♦所以£sin-^zarctan，收敛,

-_L父环-1Vnn

由正项级数的比较审敛法得普gdz收敛.

知识点解析：暂无解析”

14-2-

0-10

-2」，求可逆矩阵P,化A为标准形A,并写出对角矩阵A

6、已知A=L2

标准答案：先求A的特征值、特征向量.矩阵A的特征多项式

A-1-42

IAE-4|=0A+10=(A+1)(A2+A)

-1-24+2于是A的特征值是-1(二重),

0.对入=」,解齐次方程组(・E・A)x=0,由系数矩阵』得特征向量ai=(-2,1,

0)T,a2=(l,0,1)T.对入=0,解方程组AX=0,由系数矩阵，得特征向量口3=(2,

0,1)T.令P=(ct],(12,a3)=

知识点解析：智无解析

7>i+^foadxfobemax{b2X2ra2y2,dy,其中a,b>0.

原积分力+

Are*'dr+dyf*/『dr

oaJoJo

=/(/-1)+/(产—1)=》"一1〉・

标准答案:

知识点解析：暂无解析

设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A的属于特征值1,2的特征向量

T

分别为ai=[―1,—1,1],，a2=[1,—2,—1].

8、求A的属于特征值3的特征向量：

T

标准答案：设A的属于特征值3的特征向量为(X3=[X],X2,X3].因实对称矩阵的

T

不同特征值的特征向量相互正交，故wb3=0,a2a3=0,即冈，x2,X3/为下列

I-x2+x3=0,

齐次方程组的非零解：*n-2叫一叫==。・由

-1—1inrio—1'

L1-2-1」[010」得到基础解系为9[1,0,1]T.因此a的属

于特征值3的特征向量为(X3=k[l,0,l]T(k为任意非零常数).

知识点解析：暂无解析

9、求矩阵A.

-11r

p=[%a，g]=-1—209

1

标准答案：解一令矩阵1-1」则P/AP=diag(l,

-1/3-1/31/3

PT=1/6一1/3-1/6

2,3),2,3)P",易求得1/201/2

13—25

A=Pdiag(l,2,3)P"=卷一2102

故.5213解二由于四,(X2，4两两正

交，为求正交矩阵Q只需将其单位化，即

ai「一1-111T1rr

，nUJI笈于MT』除喘•

因此可取正交矩阵Q代替可逆矩阵P,即

—1/衣1/761/V2

P-Q=1q】，可2，力］=—1/W—2/痣0

1/73-1/761/V2.

则有Q-

*AQ=QTAQ=diag(l,2,3),A=Pdiag(l,2,3)P-1=Qdiag(l,2,3)Q-l=Qdiag(l,

13-25

2-2102

2,3)(/二5213解二比解一虽然多了单位化的步骤，但免去了求

逆的计算(因Q为正交矩阵，有Q"=QT).

知识点解析：暂无解析

10、游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟

和55分钟从底层起行，假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在

10,60］上服