教案：第7章-小学“数与代数”的教学

第7章小学“数与代数”的教学

教学目标

1.站在高等数学的高观点下，系统理解小学数学“数与代数”的内容特点、

知识结构和思想方法，理解“数与代数”的课程要求和教学建议。

2.根据儿童身心发展和国家教育方针，能够创设教学情境，建立学习内容与

生活经验之间的联系，培养有效进行小学“数与个数”的教学实践能力。

3.激发学习兴趣，落实立德树人的根本任务，引导学生积极参与学习活动，

着力培养认知能力，促进思维发展，激发创新意识，提升教育情意。

教学资源

1.认识分数（教学视频）

2.阅读《小学教学（数学版）》中的教学案例

3.阅读《小学数学教与学》课程解析与教学实践类文章

教学内容

情境导入

低年级学生在解决除法运用题时，常常用乘法进行计算。例如，面对问题“一

本书5元钱,20元钱可以买几本书？”时，二年级学生常常列出算式“5X4=20”。

如何让学生更好地理解加减乘除四则运算的具体含义？

小学阶段的“数与代数”包括“数与运算”和“数量关系”两个主题。如何

让学生更好地分析数量关系？如何让学生用数和符号表达数量关系？如何让学

生更好地理解比例与正比例？

7」第一学段“数与代数”的教学

第一学段“数与代数”包括“数与运算”和“数量关系”两个主题。“数与

运算”包括整数的认识及其四则运算。数与运算之间有密切的关联，数是对数量

的抽象化表达，运算是对数量关系的抽象化表达。

7.1.1第一学段“数与代数”的课程要求

“数与代数”是义务教育小学数学课程第一学段的重要内容。《课程标准》

分为“数与运算”和“数量关系”两个主题、从“内容要求”和“学业要求”两

个方面对“数与代数”进行了详细说明。

学段内容要求学业要求

数与运算①在实际情境中感悟并理解万以内①能用数表示物体的个数或

数的意义，理解数位的含义，知道用事物的顺序，能认、读、写万

算盘可以表示多位数。以内的数；能说出不同数位上

②了解符号V、=、＞的含义，会比较的数表示的数值；能用符号表

万以内数的大小；通过数的大小比示数的大小关系，形成初步的

较，感悟相等和不等关系。数感和符号意识。

③在具体情境中，了解四则运算的意②能描述四则运算的含义，知

义，感悟运算之间的关系。道减法是加法的逆运算、乘法

④探索加法和减法的算理与算法，会是加法的简便运算、除法是乘

整数加减法。法的逆运算；能熟练口算20

⑤探索乘法和除法的算理与算法，会以内数的加减法和表内乘除

简单的整数乘除法。法，能口算简单的百以内数的

⑥在解决生活情境问题的过程中，体加减法；能计算两位数和三位

会数和运算的意义，形成初步的符号数的加减法，形成初步的运算

意识、数感、运算能力和推理意识。能力。

①在简单的生活情境中，运用数和数①能在熟悉的生活情境中运

的运算解戾问题，能解释结果的实际用数和数的运算，合理表达简

意义，形成初步的应用意识。单的数量关系，解决简单的问

②探索用数或符号表达简单情境中题。

的变化规律。②能在解决问题的过程中，体

数量关系

会解决问题的道理，解释计算

结果的实际意义，感悟数学与

现实世界的关联，形成初步的

模型意识、几何直观和应用意

识。

第一学段“数与运算”的知识重点是百以内整数的认识、加减乘除四则运算

的意义、简单整数四则运算的计算。能力重点是体会数和运算的意义，形成初步

的符号意识、数感、运算能力和推理意识。

第一学段“数量关系”的知识重点是利用数与运算解决简单问题和利用数与

符号表达简单情境中的变化规律。能力重点是经历发现与提出、分析与解决问题

的过程，培养初步的应用意识、模型意识、几何直观。

7.1.2第一学段“数与代数”的内容理解

数量的本质应当是多与少。数（shO）是数（shO）出来的。人类会注意到一

双手、一对小鸟、两条鱼、两个石子等之间可以一一对应，且是由两个基本单位

构成的，即存在数量上的共同属性（用2表示）。以此类推，逐渐抽象事物的这

一数量属性，人们便形成了数概念。

1.自然数的含义

基数属性，表示一个集合一共有几个元素，即表示元素的总个数。比如，我

们用3表示集合(a,b,c｝有3个元素。

序数属性，表示某个元素的顺序，在第几个的位置上。比如，元素c是集合

｛a,b,c｝的第3个元素。

计数的方法很多，目前常用的是十进制计数法。“十进制计数法”包括“十进

位”和“位置值”两条原则。

所谓“十进位”，就是满十进一，即相邻两个计数单位之间的进率为十，10

个一向十位进一，10个十向百位进一，；也就是说，百位上的1相当于10

个十位上的1,十位上的1相当于10个个位上的1。

所谓“位置值”，就是同一个数字在不同数位上表示的数值不同，比如在“22”

中，前一个2表示两个十，后一个2表示两个一。

2.自然数的运算

我们在小学阶段教学的整数运算，其实是指自然数的加减乘除四种运算，又

称为算术运算。

(1)加法

有限集合A的元素个数为自然数a,有限集合B的元素个数为自然数b,且

4。3=中，集合A与E的并集AUB的元素个数c,那么c叫做a与b的和，记

作：a+b=Co

例如，自然数3表示集合A二｛a,b,c｝的元素个数，自然数4表示集合B二｛d,

e,f,g｝的元素个数，AUB=｛a,b,c,d,e,f,g｝的元素个数为7,所以3+4=7。

(2)减法

减法是加法的逆运算。已知两个数c和b,求一个数a,使得a与b的和等

于c,这种运算叫做减法。

(3)乘法

通常情况下，我们把求b个相同加数a自身连加的运算，叫做a与b的积。

求两个数积的运算叫做乘法。

乘法的本质就是连加，axb就是将被乘数a连加b次，最后的结果就是axb

的积。

(4)除法

除法是乘法的逆运算，一般借助乘法来定义除法。已知两个数a和b,求一

个数q，使得bXq=a,这种运算叫做除法。

7.1.3第一学段“数与代数”的教学建议

第一学段是学生进入小学学习的开始，要充分考虑学生在幼儿园阶段形成的

活动经验和生活经验。

1.“数与运算”的教学

（1）初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数

感和符号意识

（2）通过数量多少的比较，理解数的大小关系和顺序关系，帮助学生形成

初

（3）通过实际情境，理解加、减、乘、除的意义，理解加与减、乘与除的

关系

（4）始终关注学生运算能力和推理意识的形成与发展

例如，计算23+18的教学，让学生从直观到抽象的理解算法与算理，即“相

同数位对齐，从个位加起，个位满10需要向十位进1"，其本质是一个基于计数

法的推理过程。因此，可以说“计算是直观的推理”。

3+8=11十个

20+10=3023

30+11=41+1,8

~i~~r

2.“数量关系”的教学

（1）通过简单的情境提出合适的问题，引导学生发现数量关系

（2）引导学生表达情境中的数量关系，形成初步的应用意识

7.2第二学段“数与代数”的教学

第二学段“数与代数”包括“数与运算”和“数量关系”两个主题。“数与

运算”包括整数的四贝!运算、大数的认识、小数的认识与加减法、分数的初步认

识与简单加减法。

7.2.1第二学段“数与代数”的课程要求

“数与代数”是义务教育小学数学课程第二学段的重要内容。《课程标，隹》

分为“数与运算”和“数量关系”两个主题、从“内容要求”和“学业要求”两

个方面对“数与代数”进行了详细说明。

主题内容要求学业要求

①在具体情境中，认识万以上的数，①能结合具体实例解释万以

数与运算了解十进制计数法；探索并掌握多位上数的含义，能认、读、写万

数的乘除法，感悟从未知到已知的转以上的数，会用万、亿为单位

化。表示大数，能计算两位数乘除

②结合具体情境，初步认识小数和分三位数。

数，感悟分数单位；会同分母分数的②能直观描述小数和分数，能

加减法和一位小数的加减法。比较简单的小数的大小和分

③在解决简单实际问题的过程中，理数的大小；会进行同分母分数

解四则运算的意义，能进行整数四则的加减运算和一位小数的加

混合运算。减运算，形成数感、符号意识

④探索并理解运算律（加法交换律和和运算能力。

结合律，乘法交换律和结合律、乘法③能描述减法与加法的关系、

对加法的分配律），能用字母表示运除法与乘法的关系；能进行整

算律。数四则混合运算（以两步为

⑤会运用数描述生活情境中事物的主，不超过三步），正确运用

特征，逐步形成数感、运算能力和初小括号和中括号。能说出运算

步的推理意识。律的含义，并能用字母表示；

能运用运算律进行简便运算，

解决相关的简单实际问题，形

成运算能力。

①在实际情境中，运用数和数的运算①能在简单的实际情境中，运

解决问题；在解决实际问题的过程用四则混合运算解决问题，能

中，能结合具体情境，选择合适的单选择合适的单位通过估算解

位进行简单估算，体会估算在生活中决实际问题，形成初步的应用

的作用。意识。

②能借助计算器进行计算，解决简单②能在真实情境中，发现常见

的实际问题，探索简单的规律。数量关系，感悟利用常见数量

③在具体情境中，认识常见数量关关系解决问题；能借助计算器

数量关系系：总量二分量十分量、总价=单价X进行计算，并解释计算结果的

数量、路程二速度X时间；能利用这实际意义；形成初步的模型意

些关系解决简单的实际问题。识、几何直观和应用意识。

④能在具体情境中了解等量的等量③能在真实情境中，合理利用

相等。等量的等量相等进行推理，形

⑤能解决生活中的简单问题，并能对成初步的推理意识。

结果的实际意义做出解释，经历探索

简单规律的过程，形成初步的模型意

识和应用意识。

第二学段“数与运算”的知识重点是理解大数的意义、理解运算律，三位数

的加减法、两位数乘除三位数、理解小数的意义和认识简单分数。能力重点是体

会整数和小数的意义，能用计算器探索运算规律，发展符号意识、数感、运算能

力和推理意识。

第二学段“数量关系”的知识重点是利用数与运算解决简单实际问题和利用

数与符号表达现实情境中的变化规律。能力重点是经历发现与提出、分析与解决

数学与现实问题的过程，培养初步的应用意识、模型意识、几何直观，培养初步

的代数推理能力。

722第二学段“数与代数”的内容理解

第二学段“数与代数”的课程内容涉及到“大数的读写”“大数的运算”和“小数

的意义”三个主要内容。下面我们从数学的角度进行解读。

1.大数的读写

按照十进制计数法，我国是"四位一级''给自然数命名的，具体如下：

（1）自然数的前十个数给予单独的名称，即。、一、二、三、四、五、六、

七、八、九，对应的阿拉伯数字为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

（2）按照“满十进一”的原则规定计数单位，十个一叫做十，十个十叫做百，

十个千叫做万，十个万叫做十万，十个十万叫做百万，十个百万叫做千万，十个

千万叫做亿，十个亿叫做十亿，依次为百亿、千亿、兆，……o

（3）其它自然数的命名，由前十个数和计数单位组合而成。写数的时候，

各计数单位对应写上数字。比如，一个自然数由三个千万两个十万九个千三个百

四个一构成，写作30209301,

按照我国传统的习惯，我们这样读数。

（1）不含有0的数，从高位到低位进行四位位分级，然后从高位起，顺次

读出各级里的数和它们的级名，例如，8524读作“八千五百二十四”，9647531读

作“九百六十四万七千五百三十一

（2）含有0的数，从高位到低位进行四位分级，然后从高位起，顺次读出

各级里的数和他们的级名，每一级中间的零只读一次，每一级末尾的0不读。比

如，35（）0读作“叁仟伍佰”，5040030500读作“五十亿四千零三万零五百”。

2.大数的四则运算规则

（1）自然数加法

两个多位数相加，先将相同计数单位上的数相加。当加数和被加数的同位数

相加超过1（）时，要遵守“满十进一”的原则，结果向高一位进一，把余下的数作

为同位数相加的结果。

（2）自然数减法

两个多位数相减，先将相同计数单位上的数相减。当相同数位不够减时，要

遵守“借一当十,，的原则，高一位借一凑成大于等于十的数，就可以进行计算了。

（3）自然数乘法

在计算自然数乘法时，如果超出了九九乘法表的范闱，我们需要逐层推进阐

述计算规则。先是多位数乘一位数，再是多位数乘整十（百，千等），最后是多

位数乘多位数。

（4）自然数除法

在计算自然数除法时，计算时把被除数进行分解为多个数的和除以除数，再

根据除法分配律进行计算。如果某一位不能整除，则自动向下一位转移，除到那

位，商到那位。

3.小数的意义

在现实生活中，仅有整数，是不能满足人们进行精确的度量、表达和计算的。

目前，关于小数的定义，比较传统的观点是，小数是十进分数的一种书写形式。

定义1十进分数定义人们为了应用上的方便，把十进分数改写成不带分母

的形式，并且按照十进制的进位原则把个位右边的第1位、第2位、第3位....

分别表示十分位（计数单位是已）、百分位（计数单位是击）、干分位（计数

单位是士）......并在个位和十分位之间加一个标记这样十进分数就

1000

可以写成与整数相仿的形式。

比如3白24=3+福2+去4=3.24。像3.24这样不带分母，按照十进制的位制原

10010100

则写出来的十进分数叫做十进小数，简称小数。

定义2整数延伸定义一个十进制整数或者小数勺…凡犯〃…

-2

=%x10'+…+%x1（）2+勺x1〃x10°+叫x10~'4-m2xlO4--\-mqxlCT"

其中，％,叫（i=0,1,2,…）为0—9这十数字之一。

在实际生活中，小数的位数更多的是用来表示精确程度。比如，某人身高

1.72米，精确到的是厘米。如果说某张纸的厚度是0.000458米，那么精确到的

是微米。显然，后者的精度要高很多八

723第二学段“数与代数”的教学建议

第二学段是小学阶段的稳定期，学生需要养成良好的学习习惯和行为习惯。

这个学段的数学教学要充分考虑学生的学习经验和生活经验，为学生提供具有一

定挑战性的学习任务，帮助学生主动学习和勤于反思。

1.“数与运算”的教学

（1）为学生提供合适的情境，让学生经历数的抽象过程，感悟十进制计数

法，发展学生的数感

例如，“小数意义”的教学需要让学生明白：小数的本质是十进制数，是整

数的延伸。因此，教学的重点就是要让学生理解“小数是自然数的单位1沿着小

的方向延伸产生的数，相邻计数单位之间的进率为10”。教学是可以这样进行。

师：目前我国使用的人民币中，最常用的单位是……

生：元。

师：（出示1张一元的人民币）这是1元，如果3张这样的人民币就是……

生：3元。

师：10张这样的人民币是……

生：10元。

师：（拿出一张拾元的人民币）1张拾元的人民币就等于1（）张一元的。（拿

出10张拾元的人民币）这是……

生：100元。

师：（拿出1张百元的人民币）1张百元的相当于10张拾元的，相当于100

张一元的。拾元、百元都是比元更大的面值，有没有比元更小面值的人民币呢？

生：有，角和分。

师：角是怎么的来的？角有什么用？

生：把一元平均分成10份，每份就是1角，也就是“1元等于10角”，角

表示比元更小的单位，就是不足1元时，可以用用来支付。

师：一个空矿泉水瓶子的价值为1角，一个作业本的价格为5角，用元作单

位怎么表示？

生：分别是0.1元和0.5元。

师：6个矿泉水瓶的价值为多少元？

生：0.6元。

师：（）.5元、（）.6元里面有几个0.1元？

生：5个，6个。

师：有比角更小的货币单位吗？如果有，它是怎么来的？

生：有，分。把一角平均分成10份，1份就是1分，也就是1角=10分。

师：一张作业本纸的价值约为1分，一张A4打印纸的价值约为4分，一张

创可贴的价值约为25分。如果用元作单位，它们可以表示为多少元呢？

生：分别是0.01元、0.04元和0.25元。

师：0.04元、0.25元里面有几个0.01元?

生：4个，25个。

师：咱们的数学书，定价为7.25元，7.25元里面有哪些数学信息？

生：7表示7元。2表示2角，也就是0.2元。5表示5分，也就是0.05元。

师：我们把7.25、（）.5、（）.2、0.04等这些含有小数点的数叫做小数。

（2）以整数运算为基础，进行小数与分数的简单计算，体会运算的一致性，

培养运算能力与代数思维

2.“数量关系”的教学

数量关系的教学要在具体情境中，利用加法或乘法表示数量之间的关系，建

立加法模型和乘法模型，知道模型中数量的意义。估算的重点是解决实际问题,

在解决问题的过程中进行和估算，发展数感和推理意识。

（1）借助四则运算的含义，理解现实问题中的加法与乘法模型，提升模型

意识和问题解决能力

（2）通过真实情境中的问题解决过程，体会估算在问题解决中的作用，了

解估算的意义，进一步培养数感

例如，在“曹冲称象”的故事中，就要理解两个代数事实。首先，第一次称

大象时，船与大象的总重=排开水的总重；第二次第一次称石头时，船与石头的

总重=排开水的总重，因此，船与大象的总重=船与石头的总重。这就是第一个

事实”等量的等量相等”。在计算石头的总重时，需要把各块石头重加起来，这

就是第二个事实“总量等于分量之和”。这两个事实是进行代数推理的基础。

7.3第三学段“数与代数”的教学

731第三学段“数与代数”的课程要求

“数与代数”是义务教育小学数学课程第三学段的重要内容。《课程标准》

分为“数与运算”和“数量关系”两个主题，从“内容要求”和“学业要求”两

个方面对“数与代数”进行了详细说明。

学段内容要求学业要求

①）知道2,3,5的倍数的①能找出2,3,5的倍数。在1~100的

特征，了解公倍数和最小公自然数中；能找出1（）以内自然数的所有

倍数，了解公因数和最大公倍数，10以内两个自然数的公倍数和最

因数，了解奇数、偶数、质小公倍数；能找出一个自然数的所有因

数（或素数）和合数。数，两个自然数的公因数和最大公因数；

②结合具体情境探索并理能判断一个自然数是否是质数或合数。

数与运算

解小数和分数的意义，感悟②能用直观的方式表示分数和小数，能

计数单位；会进行小数、分比较两个分数的大小和两个小数的大

数的转化，进一步发展数感小；会进行小数和分数的转化（不包括

和符号意识。将循环小数转化成分数）。能在实际情境

③结合具体情境理解整数中运用小数和分数解决问题，进一步发

除法与分数的关系。展符号意识和数感。

④能进行简单的小数和分③能进行简单小数和分数的四则运算和

数四则运算和混合运算，感混合运算(不超过三步)，并说明运算过

悟运算的一致性，发展运算程。能在较复杂的真实情境中，选择恰

能力和推理意识。当的运算方法解决问题，形成运算能力

和推理意识。

①根据具体情境理解等式①能在具体问题中感受等式的基本性

的基本性质。质。

②在解决实际问题的过程②能在解决实际问题中运用恰当的方法

中，会选择合适的方法进行进行估算，并能描述估算的过程。

估算。③能在具体情境中，用字母或含有字母

③在具体情境中，探索用字的式子表示数量之间的关系、性质和规

母表示事物的关系、性质和律，感悟用字母表示具有一般性。

规律的方法,感悟用字母表④能在具体情境中判断两个量的比，会

示的一般性。计算比值，理解比值相同的量，能解决

④在实际情境中理解比和按比例分配的简单问题。

数量关系

比例以及按比例分配的含⑤能在具体情境中描述成正比的量

义，能解决简单的问题。y=kx(kWO),能找出生活中成正比的

⑤通过具体情境，认识成正量的实例；能根据给出的成正比关系的

比的量;能探索规律或变化数据在方格纸上画图,了解y=kx(kWO)

趋势。的形式，能根据其中一个量的值计算另

⑥能运用常见的数量关系一个量的值。

解决实际问题，能合理解释⑥能解决较复杂的真实问题，形成几何

结果的实际意义，逐步形成直观和初步的应用意识，提高解决问题

模型意识和儿何直观，提高的能力。

解决问题的能力。

小学第三学段“数与运算”的知识重点是小数乘除法、整数性质、分数的意

义和运算、比例与正比例。能力重点是体会数和运算的意义，进行小数与分数的

四则运算，进一步培养数感和运算能力，在解决比较复杂的问题中培养问题解决

能力，进一步发展符号意识与推理意识。

小学第三学段“数量关系”的知识重点是利月整数、分数和小数的运算解决

实际问题、利用代数式表达比较复杂情境中的变化规律，识别并表达情境中的比

例与正比例关系。能力重点是经历在具体情境中发现与提出、分析与解决数学问

题的过程，培养初步的问题解决能力和应用意识，培养初步的代数推理与模式识

别能力。

732第三学段“数与代数”的内容理解

小学第三学段“数与代数”的主要内容涉及到“整数的性质”“分数的意义

和运算”和“比、比例和正比例”三个内容。

L整数的性质

①能被2（或5）整除的数的特征：末位数字能被2（或5）整除。

②能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

③能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

④能被3（或9）整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3（或9）整

除。

定理1（算术基本定理）任一大于1的整数能表成质数的乘积，如果不考虑

质因数的顺序，这种表示方法是唯一的。

定理2一个正整数。的标准质因数分解式为。x/^x..x〃片，那么

（1）这个正整数〃的约数的个数为（l+q）x（l+%）xx（l+^）；

（2）这些约数的和为

（P；+P\+,,+P?）x（〃；+P；+…+P打x・,.x（p：+p：+…+统）。

定理3两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。

即如果[r/,Z?]=c,（«,/?）=d,那么cd=ab0

2.分数的意义和运算

我们把形如工的数叫做分数（其中，m和n都是整数，且n>l）。m叫做分数

n

的分子，n叫做分数的分母，中间的短横线叫做分数线。工读作“n分之m”。

n

根据分数的意义，可得分数加减法的原理如下。

-b±—d

ac

=b-ra±d-i-c

=be-s-ac±bd4-ac

=（be±ad）4-ac

be±ad

ac

乘法的原理如下。

bd

—x—

ac

=b+axd+c

=(bxd)4-(axc)

bxd

-c

axe

除法的原理如下。

bd

ac

=(b+a)+(d+c)

=be-e-ad

be