考研数学一（线性代数）模拟试卷10

考研数学一(线性代数)模拟试卷10

一、选择题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

1、下列命题正确的是()

A、若AB二E,则A必可逆，且A”=B

B、若A,B均为n阶可逆阵，则A+B必可逆

C、若A,B均为n阶不可逆阵，则A—B必不可逆

D、若A,B均为n阶不可逆阵，则AB必不可逆

标准答案：D

知识点解析：因A,B不可逆，则IAI=0,IB|=0,故IAB|=IAIIB|

JU1

=0,AB不可逆.A中AB二E,但未指出是方阵，若Lo0J则

AB=E,但A,B均无逆可言.B中，取B=-A,则A+B=A-A=0不可逆.C中，取

riIB=「OT

一L0」‘"L一】」均不可逆，但A—B二E是可逆阵.

2、设A是n阶方阵，且人3=0,则()

A、A不可逆，且E—A不可逆

B、A可逆，但E+A不可逆

C、A2—A+E及A2+A+E均可逆

D、A不可逆，且必有人2=0

标准答案：C

知识点解析：A3=0,WE3+A3=(E+A)(A2-A+E)=E,E3—A3=(E—

A)(A2+A+E)=E,故A2—A+E及A?+A+E均可逆，由以上两式知，E—A,E+A

也均可逆，故A,B不成立，同时D不成立，例:

D10'

.4=001有

.000.

-Q1onro1

A"=00100

ooJtoo

JD

noiiro1(T

但*=oo0001=O.

.0oOJL000.

3、设A,B是n阶方阵，AB=0B/),则必有()

A、(A+B)2=A2+B2

B、IBI押

C、IB*I=0

D、IA*I=0

标准答案：D

知识点解析：AB=0,不一定有BA=0,A(A+B)=A2+B2,不成立：B,0,IB

可以为零，也可以不为零，|B*|也可以为零，可以不为零，故B,C不成立;

B/0,AB=0,AX=0有非零解，故IAI=0,从而IA*|二IAIn',=0.

4、A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则IA*I=()

A、IAI

B、IA"I

C.IAndI

D、IAnI

标准答案：C

知识点解析：AA*=IAlE,两边取行列式，得IAIIA*I=IAIn若|AI

川，IA*I=IAIn-1=IAn-1I；若IAI=0,则IA1=0,故选C.

5、A是n阶方阵，IAI=3.则I(A*)*1=()

A、

D、3nd

标准答案：A

知识点解析：IA1=3,A可逆

(A・)(A・)・=|/T|E,

GT)・=|A・|GV)T=4・|合=|A|・“A.

|(A・)・|=||A[L2A]=|4尸2)”川=1|八2«7=3.上

6、设A是n阶可逆方阵(*2),A*是A的伴随阵，则(A*)*=()

A、IAIn-1A

R、IAIn+,A

C、IAI厂2A

D、IAIn+2A

标准答案：C

A'(A・)•=|A・|E.(A・)'=|A-KA-)4

|A・|=|川L”•尸U向,

G4・)・・|A|I•市N⑶1人

知识点解析：AA*=IAlE,得

7、设Anxn是正交矩阵,则()

A、A*(A*)T=IAIE

B、(A*)TA*=IA*IE

C、A*(A*)T=E

D、(A*)TA*=­E

标准答案：c

知识点解析：因为A是正交阵，所以有

8、设A为n阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是()

A、(A+A-1)2=A2+2AA-'+(A'1)2

B、(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2

C、(A+A*)2=A2+2AA+(A*)2

D、(A+E)2=A2+2AE+E2

标准答案：B

知识点解析：由矩阵乘法的分配律可知：

(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2,因此，(A+B)2=A2+2AB+B2的充要条件

是BA二AB,也即A,B的乘积可交换.由于A与A/，A与A”以及A与E都是可

交换的，故ACD中的等式都是成立的.故选B.

9、设A为3阶非零矩阵，且满足aij=A*,j=1,2,3),其中Aq为a.的代数余子

式，则下列结论：①A是可逆矩阵；②A是对称矩阵；③A是不可逆矩阵；©A

是正交矩阵.其中正确的个数为()

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：B

知识点解析：由ai尸Aij(i,j=l,2,3)及伴随矩阵的定义可知：A*=AT,那么I

A*I=IATI,也即IAI2=|AI,即IAI(IAI—1)=0.又由于A为非零矩

阵,不妨设a”H0,则IAI=anAii+aj2Ai2+ai3Ai3=an2+ai22+ai32>0,故IAI

=1.因此，A可逆.并且AAT=AA?IAIE=E,可知A是正交矩阵.可知①、

④正确，③错误.从题目中的条件无法判断A是否为对称矩阵，故正确的只有两

个，选B.

10、设A,B均为n阶矩阵，且AB=A+B,则下列命题中：①若A可逆，则B可

逆；②若A+B逆，则B可逆；③若B可逆，贝IJA+B可逆；④A—E恒可逆.正

确的个数为()

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：D

知识点解析：由于(A-E；B=A,可知当A可逆时，|A—ElIBI，0,故|B|

加，因此B可逆，可知①是正确的.当A+B可逆时，IABI=IAIBI和，

故IBIWO,因此B可逆，可知②是正确的.类似地，当B可逆时，A可逆，

故IABI=IAIIBI/),因此AB可逆，故A+B也可逆，可知③是正确的.最

后，由AB二A+B可知(A—E)B—A=0,也即(A—E)B—(A—E尸E,进一步有(A—

E)(B—E)=E,故A—E恒可逆.可知④也是正确的.综上，4个命题都是正确

的，故选D.

二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)

1or

020

11、设L°UnN2为正整数，则A「2AU"=.

标准答案：O

知识点解析:

211

011

"=]10

12、设A1贝I」A」=

111

1一211

311-21

标准答案:111-2

知识点解析：用初等变爽求。

13、已知A2—2A+E=0,则(A+E)"=.

V(3E-A)

标准答案：4

小-2A+E=O,(A+E)(4—3E)=-4E,

知识点解析："+E)T=T-3E)T(3E-A).

14、设A是n阶矩阵，IAI=5,则I(2A)*I=

标准答案：2八一・5i

(2AX2A)*=12A|E,(2A)•=12A|(ZA)-1

|(2AT|=||2A|(2A)T|=2"A|・」AT

=|2i・5A—”=(2i・5)-|A-,|

知识点解析:=2*'r•5"'1.

标准答案:30」

001-20O-

42

0001

323

3J030.

知识点解析:

■100Or

-2300

A=

0—450

16、设Lo0

-67」B=(E+A)/(E—A),则(E+B)"=

'1000

-1200

0-230

0

标准答案：10-34

E+8=后+(£+4)7(£—4)=(后+4厂】(£+4+6—4)=(£+4)72旧,故

000'

200

-230

知识点解析:0-34

17、已知A,B均是3阶矩阵，将A中第3行的一2倍加到第2行得矩阵Ai，将

3=：；]

B中第1列和第2列对换得到B],又L13」则AB二_________.

知识点解析：I0

-10(riri111n)iO-

012102100

.001JL213JL001.

ro1111

58100258

123LO0

0仇0•••o-

00b?0

*•*■•

B=••・••

000•••b.-i

•••

18、设A000.则B/二

一

in

00•••0

E

1•••

不000

1•••

0G00

*••*

*■*■*•*•

1

00•••f0

标准答案:■弧T«■

知识点解析:

19、设A,B为3阶相似矩阵，且I2E+AI=0,九尸1,九2二一1为B的两个特征

值，则行列式IA+2ABI=.

标准答案：18

知识点解析：由I2E+AI=IA一(-2E)I=0知入=-2为A的一个特征值.由A〜

B知A和B有相同特征值，因此大产1,九2=一1也是A的特征值.故A,B的特征

值均为11=1，X2=­1,X3=—2.则有E+2B的特征值为l+2xl=3,1+2x(—1)=-

1,1+2x(—2)=一3,从而IE+2BI=3x(一1)x(—,3)=9*IAI=Q入2入3=2.故I

A+2ABI=IA(IE+2B)I=IAI.IE+2BI=2x9=18.

20、设人=£+郎工其中a,。均为n维列向量，印丁=3,则IA+EI=.

标准答案:2x3n

知识点解析：由于5[3=3,可知tr(apT)=3.印丁的秩为1,故0至少为0r0的「一1

重特征值，故邓丁的特征值为0(n-1重)，3.因此，A+2E=a|f+3E的特征值为

3(n—1重)，6,故IA+2EI=3n-lx6=2x3n.

三、解答题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

21、设A是n阶矩阵，满足AA'r=E(E是n阶单位矩阵，A】,是A的转置矩阵)，I

AI<0,求IA+EI.

标准答案：IA+EI=IA+AATI=IA(E+AT)I=AI.I(A+E)TI=IAI.I

A+EI=>(l-|A|)|A4-E|=0=^*|A4-E|=0.

知识点解析：暂无解析

22、设町,a2,…，an是互不相同的实数,且

1aiafa"'1'r

1

1a2aj•••121

A=••••,x=*,b=*

•••・■**

.144…GL.1.求线性方程组AX二b的解.

标准答案：因ai,a2,……an互不相同，故由范德蒙德行列式知，IAI彳0,根据克

拉默法则，方程组AX巾有唯一解，且工=工方'=1，2,…m其中।A1|是b代

换IAI中第i列得的行列式，有IAiI=IAI,IAjI=0,i=2,3,…，n故

AX=b的唯一解为x=[l,0,0,0]T.

知识点解析：暂无解析

23、设B=2A—E,证明：B?=E的充分必要条件是A?=A.

标准答案：B=2A—E,B2=(2A—E)(2A—E)=4A2-4A+E,

4Az—4A+E=EQLV-4A=O0*=4

知识点解析：暂无解析

24、设A是n阶矩阵，证明：A=0的充要条件是AA2=O.

标准答案：设3牝…〜」…则若应有

■

ZaJ=0,i=L2,•••,/»,

R,即aij=0(i=l,2,…，n；j=l,2,…，n),即A=O.反之,

若A=O,显然AA'O

知识点解析：暂无解析

M::]

设Lo1oJ

25、证明：当吟3时，有AJAM2+A2—E；

rioonrioon

Al=110,*=201

标准答案：用归纳法.『3时，因L101JL110」验证得A3=A+A2—

E,上式成立.假设n—I时(n)3时)成立，即人向二人2+人？一E成立，贝U

An=A.An-,=A(An-3+A2一E)=An-2+A3一A=An*2+(A+A2一E)—A=An'2+A2一E故

An=An-2+A2一E对任意7n(吟3)成立.(2)

知识点解析：暂无解析

26、求A100.

标准答案：由上述递推关系可得A,00=A98+A2-E=(A96+A2-E)+A2-

"I0(T

=5010

E=A96+2(A2—E)=..=A2+49(A2—E)&)0L

知识点解析：暂无解析

[a/

27、设4=L[・(1)计算人2,并将A?用人和£表出；(2)设A是二阶方阵，当k

>2时，证明：Ak=0的充分必要条件为A?：。.

A?'a6jra61Taz~^bc6Q+d)7

标准答案：(I)4-cd」Ld」L(a+d)/4"加」令

「小+机6Q+d)-

A2=L(a+</)d2-\~bc-

得

/+仪•=ar+y,

b(a+d)=bjc,

c(a+d)=cr,

/+庆="r+其解得x=a+d,

y=bc-ad.即A2=(A+d)A+(bc-ad)E.(3)充分性人2=0一人忆0,1<>2,显然成立；必要性

Ak=O^IAI=ad-bc=0,由(1)知A2=(a+d)A,于是A，a+d广1=0—=0或

a+d=O,从而有A2=(a+d)A=O.

知识点解析：暂无解析

28、证明：方阵A与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是A是对角阵.

标准答案：充分性A是对角阵，则显然A可与任何对角阵可交换.必要性

g