考研数学一（高等数学）模拟试卷115

考研数学一（高等数学）模拟试卷115

一、选择题（本题共72题，每题1.0分，共72分。）

1、当X-0时，l+ianar—，l+sinz与x”是同阶无穷小量,则n等于（）

A、1.

B、2.

C、3.

D、4.

标准答案：C

知识点解析：因为当XTO时，/丁/tan“一，l+sin公与x11是同阶无穷小量,

所以

+tan7-z_/”个门丁-sinn.]

三辔物&T=C（其中C为非零常数）,

故n-l=2,即n=3.

]小J（z）-2i

2、设f（x）具有二阶导数，且f（U）=（）,>0）=2,尸（0尸-4,贝卜…工（1-1）等于（）

A、不存在.

B、0.

C、-1.

D、-2.

标准答案：D

知识点解析：这是一个已知导数求极限的问

，(工)-2z=Hm/(幻一2

Xx・0

f9一f(0)

=lim=~/(0)=一2.

题.x-02(x-0)乙

limC0S~1

3、设f（x）在点x=0处可导，且呼？一1，则p⑼等于（）

A、0.

B、1.

C、2.

D、3.

标准答案：A

lim然――^=1,]im(cosJ-1)=0知

…2J—1x-0

lim(2W>-1)=2/3-l=0,

知识点解析：由条件一。从而

f(0)=0.又

—•1彳,2

।•cosx11•21।•才__1

lim二〃—一二=lirn-77~ci—n=_thm-77—r=1,

102/c—1-0/(ar)ln22o1n2oL。/(X)

/Xx)

所以lim笄=一听三,即1淅上一=一八.由导数的定义，

x-*oxZinL尸«iZinZ

/(0)=lim~/(0)=lim&&=o(否则与lim^U=一亓\矛盾).

LOi—0i-ox\x-oxZinL/

4、曲线y=(x・l)2(x-2)2的拐点为()

A、(1,0).

B、(2,0).

C、(-1,0).

D、(-2,0).

标准答案：B

知识点解析：设f(x)=(x-l)2,则广f(x)(x-2)2,x=2是y的三重零点，是y，的二重零

点，是y”的零点，不是y"'的零点，即尸(2)=0,ym(2)M.所以(2,0)是曲线

y=(x-lRx-2)3的拐点.

mi”

f(x)dx

5、设f(x)是以1为周期的连续周期函数，则J-"(其中a为任意常数，k

为自然数)的值()

A、仅与a有关.

B、仅与k有关.

C、与a,k均无关.

D、与a,k均有关.

标准答案：C

知识点解析：因为f(x)是以1为周期的连续周期函数，故可.考虑用平移变换化简积

分表达式.因为

ru*-<*-1>/prir<r+(**D/

f(x)dj-=J/(x)dT+/(N)必+(/(x)dx.

而/(j-)d.r=If(l4-u)du=—Jf(u)du=-J/(*)&/♦

Hp+<*«->>/一,、，

所以/(.r)dj-=I•，即/(z)dz的值与a/均无关.

■MJ0J“十M

6、由曲线y二IInxI,直线x=e,x=e及y=0所围成的图形的面积为()

(A)e~—.(B)e+—.(C)2(1--V(D)-+l.

ee\e/e

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：题中所给图形如图12所示，故所求面积

S=「|InxIdx=­J(Inxdx+JIn工dw

ffi12

7、二元函数z=f(x,y)在点(xo，yo)处连续是函数z二f(x,y)在该点处两个偏导数

「x(xo，yo),fy(xo，yo)都存在的()

A、必要但非充分条件.

B、充分但非必要条件.

C、充要条件.

D、既非充分又非必要条件.

标准答案：D

知识点解析：由二元函数f(x,y)在点(XO,yo)处连续、偏导数存在、偏导数连续和

可微之间的关系知，二元函数f(x,y)在点(xo,yo)连续是f(x,y)在该点处两个偏导

数，x(xo，yo),f*y(xo，yo)都存在的无关条件,故应选D.事实上，若取f(x,y)=

"+丁,贝Uf(x,y)在点(0,0)处偏导数f\(0,0),fy(0,0)不存在，但f(x,y)

在点(0,0)处连续.若取f(x,y)=U则由偏导数的定义同理fy(O,0)=0,但由

于不存在，所以f(x,y)在点(0,0)处不连续.

8、设w=f(u)可导，u=(p(x,y)具有连续偏导数，则必有()

(A)gradw=/,(M)gradu,(B)grad3=券1+1^/.

(C)gradw=(资i+)/，(〃).(D)grad+

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：本题考查二元函数的梯度的计算.由梯度计算公式

Jdw..3w,

gradw=肃十可J

=，(“)券+”")即

=八"啰+却)

=/(u)gradM,故应选A.

2222

9、设有空间区域Qi={(x,y,z)Ix+y+z<R,z>0},Q2={(x,y,2)I

x2+y2+z2<R2,x>0,y>0,z>0),则下列选项中正确的是()

A、

B>

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：由于Cl关于xOz面、yOz面对称，而函数z关于y,x均是偶函数,

jjjzdv=4gzdx\

故/a应选C.

…—小。…。的…曲面积』

xyzdxdy=()

2(c>A

(A)n,915,(D)n,

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：本题考查利用直接计算法计算第二类曲面积分的方法.利用“一代二

投三定向''将其转化为二重积分进行计算.曲面Z可写成之=，1一八天，其在

xOy面上的投影区域为x2+y2gl,x>0,在0,取上侧，贝lj

jcyzdxdy=jj*jyy/1—x2-y2dxdy=Jd^|r3cos夕sin0\/1-r2dr

一♦射勺i

x>0.y^0

=J2sin6d(sin夕)jr3y/1—r2dr=r3—rdr=存

yi(JC-a)”

11、已知幕级数Wn•2"在x=2点处条件收敛，则幕级数目n(x+a)n在X=处

()

A、条件收敛.

B、绝对收敛.

C、发散.

D、敛散性不能确定.

标准答案：B

8

卜(工一♦),

知识点解析：因为事级数J〃・2・在产2点处条件收敛，故它的收敛半径为

R=2.因为如果RV2,则幕级数区在x=2点处应发散，矛盾；如果R>2,则幕

级数在x=2点处应绝对收敛，矛盾,从而事级数的收敛区间为(a.2,a+2),由已知

条件知，x=2是其收敛区间的一个端点，故a=0或a=4.当a=0时，原基级数为，

该嘉级数在x=2时为，发散，与已知条件矛盾：当a=4时，原鼎级数为，该事级数

在x=2时为，条件收敛.故a=4.基级数的收敛半径为1,收敛区间为(-4-1,-

4+1)=(-5,-3),而x=ee(-5,・3).故事级数处绝对收敛.

也+3z学+y=z

12、利用变量代换x=ex可以将微分方程x2d，dx状＞0)化为()

(A)零+2字+y=d.⑻需+3铝….

d*dr

©票+4%+丁=△⑴)条+5%+)=仁

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：本题主要考查利用变量代换将欧拉方程转化为线性常系数微分方程的

毁=虫.包="._1

cudtd才市n'

白=少・工・上+%・(_人)

方法.由*=心得1nx.于是叱dt2xxdt\将它们代入

立+2亚+y=F

到原方程，并化简得市2山)

二、填空题(本题共73题，每题1.0分，共73分。)

lim，2一一1(，■+[—，〃-1)=

13、»

标准答案：a

知识点解析：

lim-2"—1(x/〃+1—i)=limy2n-1.

y/n+1+，〃-1_

14、x-*otanx-x=

标准答案：2

£

知识点解析：这是一个小型未定式的极限，但用洛必达法则求不出来.可将分子提

取别11,或炉，然后利用等价无穷小替换进行转

-_MOf

..ee

hm----------0=

,-otani-JCtan/-nLOtanJ-x

..z-sini..1-COSX

=hm----------Iim27

LotanJC-XT-CsecJ-1

标准答案：4

知识点解析：本题是初等函数的求导问题，一般应先求导函数，再求导数值.由于

本题函数表达式的特殊性，用导数定义求「(1)更简

.⑴"im这三智=lim—

=limarcsinA/—r-r=arcsin

捷.Z

16、设点(1,3)是曲线广ax>bx?的拐点，则a=,b=.

2

标准答案：22

知识点解析：y,=3ax2+2bx,y"=6ax+2b.因为点(1,3)是曲线y=ax3+bx?的拐点,

所以3二a+b.由拐点的必要条件，得y"Ix=l=6a+2b=0,解关于a,b的方程组，

得一亍6=?

1+%,工20,

x

17、设r(e)=1，彳<0,则f(x)=.

产Inz+1+C,

标准答案：'工+c，J<1

知识点解析：这是一个函数记号的灵活表示与分段函数不定积分的综合问题，先写

出『(x)的表达式，再求f(x).令eX=t,则x=lnt,于是

1+In，，InZ0,114-In/,t21.

/(r)=

1,In/<C00</<1.

11-Finz,仑1,

即f'G)=

1,0<x<l,因

f冈A

为Jlnxdx=xlnx-x+C',所以由原函数的连续性，得(xlnx+Ci),即l+C2=Ci，令

C2=C,则C1=1+C,从而

1

[)H—di

18、JO/TF^+1=______.

22g2In

标准答案：4+e+l

知识点解析：一般地，被积函数中，如果有哪一项或哪一因子导致不易积出时，就

令其为I，用第二换元法计算.令，+』=3ex=t2-l,x=ln(t2-l),则

£不"严=[r(7TT*当)市

=2二钾出=2广卜清)出

2〕一…可广

=2(+e—>/2)—2ln(+e4-1)4-21n(>/24-1).

19、一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上，若其线密度p(x)=-x?+2x+l,则该

细棒的质心坐标或=.

11

标准答案：20

知识点解析：因为

jp(x)dx.£(—工?+21+l)dx.,+X2+H)|：=y,j卬("dr=J产(一I+2z+l)d工=

.J.-、]]

,所以，所求质心坐标为1/(”出20

=王dzdz

20、设f(u,v)是二元可微函数，"八歹dxdy=

标准答案：e，'y

知识点解析：这是一个二元复合函数的一阶偏导数计算问题.由二元复合函数偏导

数的链式法则，有

g=,=八・»八・(一k，

故噜一啮="[八,(一步)十八・同一犷I・5+4•(一5)]

=_汐—第

工y

21.设f(x,y)在有界闭区域D={(x,y)Ix2+y2wt2)(t>0)上连续，g(x)有连续的导

jj/(x».y)dxd<y

lim-------T-JT------

数，且g(0)=0,g'(0尸a,0,则…Jg")=.

广田…八三/(0,0)

标准令杀：a

知识点解析：由积分中值定理，

»(1，3)"力=U/(z,y)dzdy=/(£,")",

0/寸寸其中化，n)为积分区域

x2+y2q2上的一个点，则

||7(z,y)cLrdy?2

lim------7TT-----=1而八*；%)”=K/(0,0)lim%、

…，g(»)…，屋产)——(产)

9,.1

="(0,0)limi,~—=x/(0,0)lim，匚〃

…+g(f)・2c…rd)

==-/(0,0).

g(0)a

22、设f(x,y)在区域D={(x,y)I4+y2q}上具有二阶连续偏导数，L是椭圆‘

+y2=l的顺时针方向，则I=©L[3y+fx(x,y)]dx+fy(x,y)dy=.

标准答案：6兀

知识点解析：本题考查格林公式及混合偏导数相等的条件.由题设条件知，D是

由L围成的区域，由于L是顺时针方向，由格林公式，得I=0L[3y+f\(x,

_g_

y)]dx+fy(x,y)dy=D[R、X(X,y)-3-f\y(x,y)]dxdy.由于f(x,y)具有一阶连续偏

导数,所以Pxy(x,y)=f'yx(x,y),故I=F3dxdy=3.兀.2.兀1=6兀.

23、一

标准答案：0

y'2,！

知识点解析：用一般求数列极限的方法无法求出该极限，考虑级数仁力的敛散

性.因为回由比值审敛法知，该级数收敛，由级数收敛的必要条件有

s(x)=£