考研数学三（线性代数）模拟试卷74

考研数学三(线性代数)模拟试卷74

一、选择题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

1、设A,B均为n阶对称矩阵，则不正确的是()

A、A+B是对称矩阵

B、AB是对称矩阵

C、A*+B*是对称矩阵

D、A—2B是对称矩阵

标准答案：B

知识点解析：由题设条件，贝I」(A+B)T=AT+BT=A+B,(kB)T=kBT=kB,所以

有(A—2B)T=A1—(2BD=A—2B,从而选项A、D是正确的。首先来证明

(A*)(AT)*,即只需证明等式两边(i,j)位置元素相等。(A*)丁在位置

(i,j)的元素等于A*在(j,i)位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。而

矩阵(AT)*在(i,j)位置的元素等于AT的(j,i)位置的元素的代数余子式，

因A为对称矩阵，即叫=aij,则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。从而(A")

T

T=(A)*=A*,故A*为对称矩阵，同理，B*也为对称矩阵。结合选项A可知选项

C是正确的。(AB)T=BTAT=BA,从而选项B不正确。注意：当A、B均

为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB二BA。所以应选B。

2、

10010001O'

设A==♦Pl=010010I00,则8=(

2U1U2l-0u1-

A、PlP3A

B、P2P3A

C、AP3P2

D、AP1P3

标准答案:B

知识点解析：矩阵A作两次初等行变换可得到矩阵B,而AP3P2,APF3描述的是

矩阵A作列变换，故应排除。该变换或者把矩阵A第一行的2倍加至第三行后，

再第一、二两行互换可得到B；或者把矩阵A的第一、二两行互换后，再把第二

行的2倍加至第三行也可得到B。而P2P3A正是后者，所以应选B。

3、若四，线性无关，B是另外一个向量，则四邛0L2+B()

A、线性无关

B、线性相关

C、既线性相关又线性无关

D、不确定

标准答案：D

知识点解析：例如，令ai=(1,1),ct2=(0,2),|3=(—1,—I),则ai，U2

线性无关，而ai+p=(0,0)与ct2+p=(—1,1)线性相关。如果设［3=(0,0),

那么叫+。与。2+0却是线性无关的。故选D。

T

4、已知囚=(1,1,—1),a2=(1,2,0)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解

系，那么下列向量中Ax=0的解向量是()

A、(1,—1,3)1

B、(2,1,—3)丁

C、(2,2,—5)丁

D、(2,—2,6)丁

标准答案：B

知识点解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解。因此选项A、

D均不是Ax=0的解。由于ai，a2是Ax=0的基础解系，所以Ax=0的任何一个解

5、设A为n阶矩阵，八T是A的转置矩阵，对于线性方程组(1)Ax=0和(2)

ATAX=0,必有()

A、(1)的解是(2)的解，(2)的解也是(1)的解

B、(1)的解是(2)的解，(2)的解不是(1)的解

C、(2)的解是(1)的解，(1)的解不是(2)的解

D、(2)的解不是(I)的解，(1)的解也不是(2)的解

标准答案：A

知识点解析：如果a是(1)的解，有Aa=0,nJWATAa=AT(Aa)=AT0=0,即

a是(2)的解。故(1)的解必是(2)的解。反之，若a是(2)的解，有

ATAa=0,用0r左乘可得0=/0=(1'(ATAa)=(aTAT)(Aa)=(Aa)T

T222

(Aa),若设Aa=(bi,b2»…，bn),那么(Aa)(Aa)=bi+b2+...+b:1=0

=bi=0(i=l,2,n)即八a=0,说明a是(1)的解。因此(2)的解也必是

(1)的解。所以应选A。

■32-1-

a-22

6、已知a=(1,—2,3)丁是矩阵A二6-1的特征向量，则（）

A、a=—2，b=6

a=2,b=一6

C、a=2,b=6

D、a=—29b=—6

7、已知A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A.的特征值是1,-1,2,4,那

么不可逆矩阵是（）

A、A一E

B、2A—E

C、A+2E

D、A—4E

标准答案：C

知识点解析：因为A*的特征值是1,—1,2,4,所以|A*|二—8,又|A*|二|A|4-1,因

2

此|A|3=—8,于是|A|二—2。那么，矩阵A的特征值是：一2,2,一1,2。因

2

此，A—E的特征值是一3,1,—2,2。因为特征值非零，故矩阵A—E可

逆。同理可知，矩阵A-2E的特征值中含有0,所以矩阵A+2E不可逆。所以应选

Co

8、下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（）

-I0-1-■100-

(A)023(B)230

L-135」L-15-1」

■I0-r■123-

(C)20-2(D)013o

I。0-1」

--303

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：选项A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。选项B是下

三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以

矩阵必可以相似对角化。选项C是秩为1的矩阵，由RE—A|=二—4/，可知矩阵

的特征值是4,0,0o对于二重根入=0,由秩r（0E—A）=r（A）=1可知齐次方程

组（0E—A）x=0的基础解系有3—1=2个线性无关的解向量，即入=0时有两个线

性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。选项D是上三角矩阵，主对角

线上的元素1,1,—1就是矩阵的特征值，对于二重特征值入=1,由秩

0-2-3-

r(E-A)=r00-3=2

-002」可知齐次线性方程组（E—A）x=0只有3-

2=1个线性无关的解,即>1时只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似

对角化，所以应当选D。

9、下列矩阵中，正定矩阵是（）

■22-2'

(C)25-4

--2-45

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：二次型正定的必要条件是：aij>Oo在选项D中，由于a33=0，易知f

（0,0,1）=0,与洋0,XTAX>0相矛盾。因为二次型正定的充分必要条件是顺

序主子式全大于零，而在选项A中，二阶主子式q二24在选项B

中，三阶主子式△3=|A|=—1。因此选项A、B、D均不是正定矩阵。故选C。

二、填空题（本题共9题，每题L0分，共9分。）

•122…2-

222•••2

223­••29

♦♦••

•・••••••

10、设n阶矩阵A=-222…n-则|A|二

标准答案：一2(n—2)!

知识点解析：把第二行所有元素乘以一1加到其他各行所对应的元素上，再将第一

行所有元素乘以2加到第-行相应的元素上，可得

-100•••0-100•••0

222•••2022•••2

001•••0—001•••0=-2(九-2)!。

•***•**•

***•*•*•*.•

000•••n-2000•••n-2

2

11、如果A=/(B+E),且B/=E，则AJ________o

标准答案：A

1

知识点解析：已知A=2(B+E).£1B2=E,则A2=

[；(8+E)『二小宙+26+E)=4-(2B+2E)—(B+E)=A,

4Z即

A2=AO

ri111.

设A=\11Il=1:23，则广0]=_________o

L23J

12、Ll，

r4A0]

标准答案：।。23’

知识点解析:|A|=1,|B|=(2—1)(3—1)(3—2)=2,所以A,B均可逆，则

[A*O

B也可逆。山A*A=AA*=|A|E可得|A"|=|A|2T=1,同理可得

工,且

0O00

I"•IB'|­

OB*OB*|tO((夕)一

=4•

O131TB

=[4A

「I23

000

0010

13、已知n阶矩阵L0001则r(A2—A)=

标准答案：I

23n

000

A=0010

L

知识点解析：因为A?—A=A(A—E),且矩阵o001」

2

可逆，所以r(A2—A)=r(A—E),而r(A—E)=1,所以r(A—A)

1，%=-2=1

14、已知向量组囚L-2J11的秩为2,则t=

标准答案：一2

知识点解析：对向量组沟成的矩阵作初等行交换

11ri1

-210-31T0-31-

L-211」L0321+1」L00t+2-已知秩为2,故得

t=—2o

123-

456

15、设A」789」A*是A的伴随矩阵，则A*x=O的通解是o

TT

标准答案：ki(1,4,7)+k2(2,5,8),ki，k2为任意常数

知识点解析：因为矩阵A的秩是2,所以|A|=0,且r(A")=l。再由A“A=|A|E=O

T

可知A的列向量为A*x=O的解,因此A*x=O的通解是ki(1,4,7)+k2(2,5,

8)T,ki，k2为任意常数。

-312-

02a

16、已知矩阵AJO03」和对角矩阵相似，则a=

标准答案：一2

知识点解析：因为％E—A|二

A-3-1-2

I人E-A|=0A-2—a=(A-2)(A-3))

00A—3(X一2)(X一

3)2,所以矩阵A的特征值分别为2,3,3o因为矩阵A和对角矩阵相似，所以

对应于特征值3有两个线性无关的特征向量，即(3E—A)x=0有两个线性无关的

解，因此矩阵3E—A的秩为1。

0-1-21ro-1-2■

3E-A=01—a—♦00一a-2«

0-ILo00

-00」可见a=—2。

00I-

x10

°」有三个线性无关的特征向量，则x=

17、已知A=1°

标准答案：0

A0-1

-xA-10

知识点解析：由A的特征方程RE—A|="104=(入一1)(X2-

1)=0,可得A的特征值是九=1(二重)，X=-k因为A有三个线性无关的特征

向量，所以九=1必有两个线性无关的特征向量，因此r(E—A)=3—2=1,根据

*10-r「1o-r

-x0o-xoo,

E—A=-10i--00°」得x=0o

18、已知正、负惯性指数均为1的二次型kxTAx通过合同变换x=Py化为

"11-a'

1a-1,

f=yTBy,其中B=L-a-11」贝"a=。

标准答案：一2

知识点解析：合同矩阵对应的二次型具有相同的规范形，所以由二次型f3JAx的

正、负惯性指数均为1可知，矩阵B的秩r(B)=2,从而有|B|二一(a—I)2

(a+2)=0o若a=l,WJr(B)=1,不合题意，舍去。若a=—2,则由

A—1-1-2

|AE=-1A+21=A(A-3)(A4-3)

-214-1得B的特征值为

0,3,—3,此时正、负惯性指数均为1。

三、解答题(本题共〃题，每题1.0分，共〃分。)

•2a1-

a2a

•.工1°

19、设n阶矩阵A=La2Q」证明：行列式|A|=(n+1)a'

标准答案：消元法。

=(n+l)a"o

0

知识点解析：暂无解析

20、设A为n阶可逆矩阵，a为n维列向量，b为常数，记分块矩阵

rE0-i=rAOf-l

P=[T•1।][T]»

-a4|Aab其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶

单位矩阵。(I)计算并化简PQ；(n)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是

aTA%邦。

标准答案：(I)由AA*=A*A=|A|E及A*=|A|A-1有

*1r.E0irAai

=1A仙J"

-aA*A+|A'ar

a)1°

0a(n)由下三角形行列式

及分块矩阵行列式的运算，有

E0

\P\=IA|,

\A\

Aa

及\p\lei=IPQI=|

0IA|(b-aTA-la)

=|A|2(b—aTA-,a)<,因为矩阵A可逆,行列式|A|RO,故|Q|二|A|(b—aTA-

'a)n由此可*知,Q可逆的充分必要条件是h—r』A—fl却.BPaTA-

知识点解析：暂无解析

21、设a,0为三维列向量，矩阵A=aaT+郎丁，其中户，林分别为⑥口的转置。

证明：r(A)<2o

标准答案：r(A)=r(aaT+ppT)<r(aaT)+r(ppT)<r(a)+r(0)<2o

知识点解析：暂无解析

22、己知m个向量为，…，线性相关，但其中任意m—1个向量都线性无关,

证明：(I)如果等式kiai+...+kmam=O成立,则系数ki,…，km或者全为零,

或者全不为零；(II)如果等式kiai+...+kmam=O和等式hai+…+跖防=0都成

立，则乙4「其中1泛0。

标准答案：(I)假设存在某个ki=O,则由k「ai+...+kmam=O可得kicq+

Iaj—i+kj+1ai+1..+kmam=Oo(1)因为任意m—1个向量都线性无关，所以必有

k]=...=ki-1=ki+1=...=km=0,即系数k],…,km全为零。所以系数ki，…,%或

者全为零,或者全不为零。(口)由(I)可知，当h#)时，系数h，…，如全

不为零，所以

将其代入（1）式得

户4)+h%+…+芋％=°，

I+k2)a2+•••+(-/]+kn)am=0o

又因为任意m—1个向昌都线性无关，所以匕”+%=0,

%M

知识点解析：暂无解析

23、设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,中，…，ni+l，是它的n—

计1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为X=kr||r）l+…+kn—r+l+nn—r—1，其中

k|+..."J~kn—r+1=1o

标准答案：设x为Ax=b的任一解，由题设知川，以，…，小一什1线性无关且均为

Ax=b的解。取言『2-T|l»&2f3—中，…，^n—r=1n—r+1—中，根据线性方程组解

的结构，它们均为对应齐次方程Ax=0的解。下面用反证法证：设&,3，…，

2―r线性相关，则存在不全为零的数1|，12，…，卜―I•使得1向+12&2+...+ln—岛―

r=o,即11（r|2-ni）+12（T|3一ni）+…+ln-r（丽一r+l—中）=°，也即一

（11+12+…+ln—T）m+1川2+12113+…+1n—En—r+1=°。由中，:2,…，Qn—r+l线性无

关知一*（11知2+…+1口—T）=1|=12=..-=U一尸0，这与11,12，…—r不全为零矛

盾，故假设不成立。因此备，々，…，线性无关，是Ax=0的基础解系。由于

x,中均为Ax=b的解，所以X—T|i为Ax=0的解,因此z—中可由白，之,…,

』一r线性表示，设X一$二1;2副+1<3及+...+kn—r+&-r=k2（碓一“1）+k3。]3一中）

+...+kn—r+l（T]n—r+1—川），则X=T|i（1—1<2—k3—…—kn—r+1）

+k2n2+k3n3+…+kn—r+l^n—r+1»令k|=l—k2—k3—…一kn—r+1»则

k]+k2+k3+…+kn—r+l=l，从而X=k]中+k2r|2+…r+En—r+1恒成立。

知识点解析：暂无解析

A1q「加

0A—10,b=1o

24、设A」11A-IL」已知线性方程组Ax=b存在两个不同的

解。（I）求3a；（n）求方程组Ax=b的通解。

标准答案：（I）因为线性方程组Ax=b有两个不同的解，所以r（A）J（A）V

A11

2

MI=0A-I0=(A1)(A-1)=0o

n。于是11Al=2,此时线性方

程组无解。当A=—1时，"A）=2,方程组Ax=b有无穷多解。故『1,a=-

2o(H)当入=—1,a=—2时,

11：alri1-11■

I

A=0-20；1-0-201,

-1i-1'i-lLoo0a+2」所以方程组Ax=b的通

二1

2

1

T

」

解为r（A）+k（i,0,1）T,其中k是任意常数。Lo00o

undefined'22

知识点解析：暂无解析

。“孙+%2町+…+%,2M2“=°，

(])(孙+“2+…+a2,2nx2n=°，

25、已知方程组(修+°或％2+…+=0的一个基础解系为

、TT

(bi1,b)2>...»bi.2n'，(121，b22»…，b2,2n)，.，（bnl，bn2»…，bn.

「瓦d+bny2+…+儿,2.力.=0,

(2)P2,y,+%%+…+=°，

2n）To试写出线性方程组"必+0力+…+G九=°的通解，并

说明理由。

标准答案：由题意可知,线性方程组（2）的通解为y=ci（an，a⑵…,aL2n）

'+C2（S21»322»…，a?,2n）,+…+Cn（anl，Sn2>…，^n.2n）,，其中C],

C2,…，5是任意的常数。这是因为：设方程组（1）和（2）的系数矩阵分别为

A,B,则根据题意可知ABT=D,因此BAT二（ABDT=O,可见A的n个行向量

的转置为（2）的n个解向量。由于B的秩为n,所以（2）的解空间的维数为

2n-r（B）=2n-n=n,又因为A的秩等于2n与（1）的解空间的维数的差，即

n,因此A的n个行向量是线性无关的，从而它们的转置向量构成（2）的一个基

础解系。

知识点解析：暂无解析

-1-11「200-

24—2,B=020o

26、设矩阵A与B相似，且A=L-3-30b」求可逆矩阵

P,使P—AP二B。

f1+4+a=2+2+6,

标准答案：由A-B有|A|=6a-6=|B|,于是得@=5,b=6。且

由A—B,知A与B有相同的特征值，于是A的特征值是入产入2=2,入3=6。当

九=2时，解齐次线性方程组（2E—A）x=0得到基础解系为a尸（1,—I,0）T,

a2=（l,0,1）T,即属于入=2的两个线性无关的特征向量。当入=6时，解齐次线

性方程组（6E—A）x=0,得到基础解系是（1,—2,3）丁，即属于入=6的特征向

■111'

-10-2,

量。☆P二（四，（X2，。3）=L013」则有p—AP=B。

知识点解析：暂无解析

27、设三阶实对称矩阵A的秩为2,初=入2=6是A的二重特征值，若ai=（I,1,

TT

0）,a2=（2,1,1）,a3=（—1,2,—3）T都是A属于入=6的特征向量，求

矩阵A。

标准答案：由r（A）=2知，|A|=0,所以入=0是A的另一特征值。因为入i=Q=6

是实对称矩阵的二重特征值，故A属于•入=6的线性无关的特征向量有两个，因此

ai，a2，a3必线性相关，显然a],C12线性无关。设矩阵A属于入=0的特征向量a=

（XI，X2,X3）T,由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有

X

28、某试验性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将6熟练

工支援其他生产部门2其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训

及实践至年终考核有成为熟练寸第n年1月，分统计的熟练工与非熟练工所占

lyJ°

，.・•«・・■«・••■*•♦■・、••t

(I)求广］与］［的关系式并写成矩阵形式:广♦［=A「］；

/■♦Iyny

(11)验证7=匕卜=［-J］是A的两个线性无关的特征向质，并求出相应的特征值;

(山)当［；卜；时，求［；叫。