考研数学二（解答题）模拟试卷222

考研数学二(解答题)模拟试卷222

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

“，21

limtan

1、求

标准答案：

IT22

tan—+tan——I+tan——

一\\=——那么尸

因r

当nf

1-tan—•tan-1-Ian-

4nn

Iny=nJIn(1+tan-)-ln(1-tan-)j♦

于是

..In(1+tan2t)-ln(1-tan2/)

limlnylim-'",*-------------------------

it

ln/jun2£+1j

4tan2t1

lim---------------------------=4.

，-oi

故]啊y=e-

知识点祢析：暂无解析

一(】+2公£

2、计算…sinx.

标准答案：

■=lirnf(1+外/一(1比叫+"_(]+红浩1纪工+3],

Hr(l+x)2f(l+2z)J

而|布/一(1+“"n(l+"一1i;12x—(1-F2z)ln(l4-2x)«地面皿阳e

而吧既干5--------彳'㈣2m-------------------------_1，故原极限=彳

知识点解析：暂无解析

lim(cosVx)*.

3、求极限一卢

标准答案：e2

知识点解析：暂无解析

4、设函数f(x)在［a,b］上连续，xi，X2，...»Xn，…是［a,b］上一个点列，求

标准答案：本题考虑夹逼准则.由f(x)在［a,b］上连续，知J(x)在⑶b］上非负连

续，且OCmWe^kM,其中M,m分别为ef(x)在⑶b］上的最大值和最小值，于是

〃故

由lim%=limVM=1,根据夹逼准则，得lim/1次…)=1.

ir-*ooiwoo7flAT

知识点解析：暂无解析

5、设f(x)在［0,+8)上连续，且满足［*］求f(t).

标准答案:f(t)=(l+4-2

知识点解析：暂无解析

6、设f(x),g(x)在［0,1］上的导数连续，且f(0)=0,f(x)>0,g'(x)N).证明：对任

何aG［0,1］,有Joag(x)f(x)dxH-fo1f(x)g,(x)dx>f(a)g(1)o

标准答案：可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过

分部积分讨论.

知识点解析：暂无解析

7、设f(x)=x3+4x2—3x—1,试讨论方程f(x)=0在(一8,0)内的实根情况.

标准答案：因为f(-5)=—11V0,f(-1)=5>0,f；0)=-1<0,所以f(x)在［-5,

一1］及［一1,0］上满足零点定理的条件，故存在白€(—5,—1)及々€(—1,0),

使得f($)=f《2)=0，所以方程f(x)=0在(一8,0)内存在两个不等的实根.又因为

f(l)=l>0,同样f(x)在［0,I］上满足零点定理的条件，在(0,I)内存在一点&3,使

得f(丛)=0,而f(x)=0为三次多项式方程，它最多只有三个实根，因此方程取尸0

在(一8,0)内只有两个不等的实根.

知识点解析：暂无解析

产二6-sinG,

(-ITWJW宣)o

Iy=1-cos。

8、设有摆线试求L绕x轴旋转一周所得

旋转面的面积。

标准答案：这是由参数方程给出的曲线，由于x，((n=l—cosO,yXO)=sinO,则按旋

转面面积计算公式，可得旋转面的面积

A=2宣，y(e)(8)+=2-TTJ(1-cos。)y/(\cos0)2+sin2^d^

32TTJ^2sin3fdt=筲

2*n|(1-cos。)/2(1-cos。)d。=16F(sin1'd。=

知识点解析：暂无解析

9、试证方程2、-x2=l有且仅有三个实根.

标准答案：用连续函数介值定理说明至少有三个实根，用罗尔定理的推论说明最多

有三个实根.

知识点解析•：暂无解析

10、设z=#f(xy)+y(p(x+y),且f,cp具有二阶连续偏导数，求所打

dz或包

标准答案：先求.打由于。丫)是一元函数在⑴与二元函数u=xy的复合，u是中

间变量，(p(x+y)是一元函数(p(v)与二元函数v=x+yfl勺复合，v是「日间变量.由题设

知区方便，由复合函数求导法则得

知识点解析：暂无解析

I-IT吗？+》郎

11、求D"+一,其中D={(x,y)Ix2+y2gl,x>0,y>0}.

标准答案：方法一由对称性得I

=J哼帛pdNd*=1[[加士会『+乜的

=~fT(sinff+cos0)dtffrsinr2dr---^-cosr2=-——

2JoJo2o2方法二

I—产siyz土？='cosMGrsinr2"=jrsinr2"=

田十/J。JoJ。2

知识点解析：暂无解析

12、求函数f(x,y)=x2+y2-I2x+16y在区域D={(x,y)*+y2s25}上的最大值和最

小值.

=nDn-i+an=nDn-i+an

I0・・00

02-00

••♦*

•••**

00-n-10

2

=nDn-i+(n—*1)!ano同理可得Dn-i=(n—l)Dn-2+(n

222

-2)!an-i,所以Dn=n[(n-l)Dn-2+(n-2)!an-i]+(n-1)!an=n(n—1)Dn

2+占+%?

〃",依次递推可得

4=n\D+亨Q；+…+

xn-In

=+…+%：)。

知识点解析：暂无解析

15、已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=O,且秩r(A)=2,求矩阵A

的全部特征值，并求秩r(A+E)。

标准答案：设九是矩阵A的任一特征值，a(a/))是属于特征值入的特征向量，则

Aa=Xa,于是A%=A%。用a右乘A4+2A'3+A2+2A=O,W(X4+2X3+X2+2X,)a=0o因

为特征向量/0,故犬-2必+入2+2九=融入+2)(入2+1尸0。由于实对称矩阵的特征值必

是实数，从而矩阵A的特征值是0或一2。由于实对称矩阵必可相似对角化，且秋

r(A)=r(A)=2,所以A的特征值是0,—2,—2。因A—A,则有

1

A+E~4+E=-1

LT」所以r(A+E)=r(A+E)=3。

知识点解析：暂无解析

设A为n阶可逆矩阵，a为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P二

rE01rAa1

T]=[T}

"aA，4ah其中A*是A的伴Efi矩阵，E为n阶单位矩阵。

16、计算并化简PQ；

标准答案：由AA*=A*A=IAIE及A*=IAIA」有

rAa

-aA,A+IAa-aTA*a+6|AI

A

[。1

=l0|A|(6-a”“a)r

知识点解析：暂无解析

17、证明矩阵Q可逆的充分必要条件是aTA」（#bc

标准答案：由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有

Pii

\\e=|PGI=

0\A\（b-aAa）

=lA|2（b・a"a）o因为矩阵A可逆，行列式IAI

翔，故IQI=IAI（b一『A1）。由此可知，Q可逆的充分必要条件是B—

aTA1翔，即0rA'arbo

知识点解析：暂无解析

18、已知九2,入3是A的特征值，ai，（X2,a3是相应的特征向量且线性无关，

如ai+012+013仍是A的特征向量，则入］=入2=九3.

标准答案：若ai+az+g是矩阵A属于特征值A的特征向量，即A（ai+（12+（13）=

Ma1+a2十a3）.又A（a］+a2+a3）=Aai+Aa2+Aa3=Aja［十九2a2十九3a3，于是（入一

九i）ai+（大一12）az+（入一入3）a3=0.因为ai，012,（13线性无关,故人一Aj=O,九一入2

=0,入一入3=。.即入1=入2=九3.

知识点解析：暂无解析

nnA”

I>1n“aj•

ssIA

19、设A为n阶实对称可逆矩阵，f（%,72,…，Xn)=IJ=1(1)

记X=（%1，X2，…，Xn）T»把二次型f（xi，X2，…，Xn）写成矩阵形式；（2）二次型

g（X）=x