考研数学二（线性代数）模拟试卷55

考研数学二(线性代数)模拟试卷55

一、选择题(本题共〃题，每题1.0分，共〃分。)

1、设

fli=°】必上a】2a2+a1303，P\+仇203+d3。4，

p2=。21Q1+。22。2+。23。3，＜f^2=。21®2+^22®3+仇3费4，

仇=。31。1+a32a2+Q33a3，K=631(X2t63203-633(14,

则()

A、存在aij(i,j=l,2,3)使得。I，。2，A线性无关

B>不存在aij(i,j=l,2,3)使得J3i，的，为线性相关

C、存在bij(i,j=l,2,3)使得Bi/2，。'3线性无关

D、不存在bij(i,j=l,2,3)使得p1%，B'3线性相关

标准答案：C

知识点解析：由

初等行变换

,a?id］，a»

知向量组

ai,012,。3线性相关，Q2,(X3，04线性无关.因四，。2，0t3线性相关，故(A),(B)

不成立，因a2，a3，04线性无关，故(C)成立，(D)显然不成立.

2、向量组(I)ai，。2，…，as,其秩为口，向量组(口)“，①，...，Ps，其秩为⑵

且瓜仁1,2,…，s)均可由向量组⑴四，a2,...»%线性表出，则必有()

A、aj+pi»g+陆…，cts+Bs的秩为门+12

B、ai-pi，012—02，…，Os一Bs的秩为门一12

C、ap012，…，as»Pi»<2，…,又的秩为门+「2

D、ui,U2，…，Pl，p2»...»氏的秩为1」

标准答案：D

知识点解析：设ai，ct2，…，出的极大线性无关组为ai,ct2，…，如，则aj(j=l,

2,…，S)均可由a],(X2，…，Ctrl线性表出，又2,…，S)可由⑴表出，即

可由ai，012，…，a门线性表出，即ai，a2，…，如也是向量组ai,。2，…，如

pl，的，・,・，0$的极大线性无关组,故r(ai，。2，…，as,仇，的，…，囚)二门，其

余选项可用反例否定.

3、设A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则()

A、当m>n时，必有|AB|翔

B、当m>n时，必有|AB|二O

C、当n>m时,必有|AB|rO

D、当n>m时，必有|AB|二O

标准答案：B

知识点解析：AmxnBnxm是m阶方阵，当m>n时，r(AB)S(A)0n则AB=O,

|AB|=O,(C)错误.(D)取A=[0,1],L1」'AB=1,|AB|=I,(D)错误.

4、设A为n阶实矩阵，则对线性方程组⑴AX=O和(D)ATAX=O,必有()

A、(n)的解是⑴的解，⑴的解也是(口)的解

B、(口)的解是⑴的解，但⑴的解不是(口)的解

C、⑴的解不是(D)的解，(n)的解也不是⑴的解

D、⑴的解是(U)的解，但(口)的解不是⑴的解

标准答案：A

知识点解析：方程AX=O和ATAX=O是同解方程组.

5、设A是4x5矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列说法错误的是()

A、ATX=O只有零解

B、ATAX=O必有无穷多解

C、对任意的b,人1*4有唯一解

D、对任意的b,AX=b有无穷多解

标准答案：C

知识点解析：r(A)=4,人T是5x4矩阵，方程组人丁'=匕对任意的b,方程组若有

解，则必有唯一解，但可能无解，即可能r(AT)=r(A)=4方(EAT|b])=5,而使方程组

无解.其余(A),(B),(D)正确.

6、设n维列向量组为，口2，…，am(m<n)线性无关，则n维列向量组”,

的，…，Pm线性无关的充分必要条件为()

A、向量组ci],。2，…，am可由向量组pl，02，…，0m线性表出

向量组。2,…，Bm可由向量组ai，。2,…,am线性表出

C、向量组四，。2，…，am与向量组内，02，…，pm等价

D、矩阵A=[ai，az，…,am]与矩阵B=[",陆…，0m]等价

标准答案：D

知识点解析：A=[aj,a?,…，a,n],B=[Pi，的，…，等价0r®1，（12，…，

am）=r（pl，p2，…，0m）Qpl，p2，…，0m线性无关（已知⑺，（X2，…，Clm线性无关

时）.

7、要使都是线性方程组AX=O的解,只要系数矩阵A为（）

「20-1-

(B)

Lo11-

01-1

—-10

(C)(D)4-2-2

L01

011

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析:因[一2,1,1优产0,［一2,1,1］及:0.

AT|+12=0,

<X|+73=0，

Xi+x+久4=0

8、齐次线性方程组2的系数矩阵为A,若存在3阶矩阵

BQ使得AB=O,则()

A、入=一2且|B|二0

B、入=一2且|B|#）

C>X=1且|B|二0

D、X=1且|B|翔

标准答案：C

知识点解析：B¥O,AB=O,故AX=0有非零解,|A|=0,

A1A201-A0l

IA|=1A1=1A1=(A—l)2=0,A=l»

11A11A又A#O,故B

不可逆,故九=1,且|B|=0.

、・

9、齐次线性,i1252-’、成阶

S1初等行变换01260

A=［，l遇，。3，A，。.,

00040

00000

梯形矩阵为则（）

A、pi不能由03,p4»05线性表出

B、例不能由伊，饱，05线性表出

C、伤不能由Pl，。2,05线性表出

D、%不能由01，的，03线性表出

标准答案：D

知识点解析：内能否由其他向量线性表出，只需将因视为非齐次方程的右端自由

项（无论它原来在什么位置），有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程

是否有解即可.由阶梯形矩阵知，04不能由价，。2,饱线性表出.

10、设A是mxn矩阵，则方程组AX二b有唯一解的充分必要条件是（）

A、m=n,且⑶却

B、AX=0有唯一零解

C>A的列向量组四，。2，…，an和（11，。2，…，an，b是等价向量组

D、r（A）=n,b可由A的列向量线性表出

标准答案：D

知识点解析：r（A）=n,b可由A的列向量组线性表出，即为r（A）=r（［A|b］）=n,故

AX=n有唯一解.（A）是充分条件，但非必要条件，（B）是必要条件，但非充分条件

（可能无解），（C）是必要条件，但非充分条件（n由a］，a2,…，加线性表出，可能

不唯一）.

11、设四，a2,。3是四元非齐次线性方程组人*4的三个解向量，且r（A）=3,

TT

ai=|l,2,3,4］,a2+a3=|0,1,2,3］,k是任意常数，则方程组AX=b的通解

(B)

(D)

是()

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：方程组有齐次解：2a1-(a2+a3)=[2,3,4,5『，故选C.

二、填空题(本题共6题，每题L0分，共6分。)

Fl1a

1a1

A=

a11

12、设L2a,la+3」B是3阶非零矩阵，且ABO,贝UAx=0的通解是

标准答案：k[-l,1,0]T,k为任意常数

知识点解析：由于A为4x3矩阵，AB=O,且B#O,我们得知r(A)<3,对A作变

11a--11a

1a10。一11-a

A=

a11002-a-a2

换2a+1Q+3..002.由r(A)V3,有a=l.当

a=l时，求得Ax=0的基础解系为[一1,1,0『，因此通解为k[一I,1,0]T,k为

任意常数.

13、设n阶矩阵A的兀素全是I,则A的n个特征值是

标准答案：0（n-l重根），n（单重）

知识点解析：因

A-l-1-11—1…—1

―12—1-11A-1…-1

lAE"A|=...=（2一〃）..・

••••••

―1TA-11―1A-1

10-0

1A-0

=°一〃）..,=（2一必1=0,

•••♦

10-A

故九=0(n・l.重特征值),入=n(单重).

14、设A是3阶矩阵，已知|A+E|=O,|A+2E|=0,|A+3E|=0,则

|A+4E|=.

标准答案：6

知识点解析：由|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0,知A有特征值九=一1,一2,一3,则

A+4E有特征值-3,2,1,故|A+4E|=6.

15、设A是n阶实对称矩阵，Xi，入2，…，猫是A的n个互不相同的特征值，。

是A的对应于Xi的一个单位特征向量，则矩阵B=A—人比1言「的特征值是

标准答案：0,九2,入3,…，入n

知识点解析：因A是实对称矩阵，X1，入2，…，猫互不相同，对应的特征向量

1=1.

A4,=人自，

言，42，…，&相互正交,故

故B有特征值0,人2,入3»•••，Xn•

'I1111

11

A=

1111

16、矩阵1111」的非零特征值是

标准答案：4

知识点解析：方法一因

A-1-1-1-11-1-1-1

-1A-1-1-11A-1-1-1

|AE-A|=(A-4)=AJ(A—4)=0,

-1-1A-1-11-1A-1-1

-1-1-1A-11-1-1A-1

解得A的非零特征值为4.方法二由AX=4X,即

■11

11

11

.11得入1=4.又r(A)=l,知AX=0有3个线性无关特

征向量，故九2=。是三重特征值，即A的非零特征值为4.

TT

17、与囚=[1,2,3,-1],a2=[0,I,1,2],a3=[2,1,3,都正交的单位

向量是

1J,一l,0]T

标准答案:

知识点解析：设0=[xi，X2，X3，X41T,若P与Ct],。2，013都正交，那么

a；+2工2+3工3-14=0,

-a；P=Z2+/3+2z4=0，

alp=2工]+“+3]3=0，对齐次方程组Ax=0的系数矩阵进行初等行

-123-r23-11T123-r

0112112foi12

-3-32JLO00

变换，有2130.8.故ii-

rCA）=4—3=1,则Ax=0有一个基础解向量，故Ax=0的基础解系为[一1,一1,

1，0]T,将其单位化,即为所求.

三、解答题（本题共18题，每题1.0分，共18分。）

-8-2-2"

A=-25-4,

18、设1-2-45J求实对称矩阵B,使A=B?.

入一822

2

AE-A|=2入-54=A(A-9)=0=>AI=0,A2=A3=9.

24A-5

A)=0=>(0E-A)X=0=O=[1，2,21T；

LBZ”A=A=9=>(9E-A)X=0^=[2,-2,1]T^=[2,1,-2]T.

称伟答案：2323

ro

0AQ=

单位化得为正交矩阵.故9」则

-2-

故-4

5.

知识点解析：暂无解析

19、设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,3,A的属于特征值1,2的特征向量

分别是』=[一1,一1,1/，&=[1,-2,-1]T,求A.

标准答案：入=3对应的特征向量应与自2正交，没[3=[X],X2，X3/，则应有

-Xi~xt+马=0，

j-2w0,解得色二[i,o,

UT.

i11

令P=«44]=-1o，则P7

.1-1i

A=PAP*=4

0

知识点解析：暂无解析

并求可逆矩阵P,

使得P'AP=B.

标准答案：由A知，A的全部特征值是1,2,n,互不相同，故A相似于由

其特征值组成的对角矩阵B.由于入产1时，（人|E-A）X=O,有特征向量

TT

0,0]；入2=2时，a2E・A）X=0,有特征向量&2刁0，1，…，0]；……Xn=n

时，（XnE-A）X=0,有特征向量[产[0,0,if.故得可逆矩阵

•r

p=",&-・・・•&]=]''，

L1」有P"AP二B.

知识点解析：暂无解析

TT

21、设a=[ai，a2，…，an]/0,A=aa,求可逆矩阵P使P“AP=A.

标准答案：先求A的特征值.方法一利用特征值的定义.设A的任一特征值为

九，对应于入的特征向量为。则AUacJ片优.①若/&=（）,则试=0,导0,故

X=0；若a,仔0,①式两端左边乘a,，则01a『『（『（加’?1®七）.因/仔0,故

A=ara=

方法二利用

JV

A'=AA-（aa1）（aa1）=a（aa）a]=（ga：）A

-i及特征值定义.①式两端

*<=（一片）&=（比=做=K4

11■1

「入？一（]《二丰°•得久=0或久=£非.

左边乘A,得皿一方法三

（火WM

A2—

利用«-1及特征方程PiE-A|=0.因

d=（它.）A,故小一（1<）E]=O

两边取行列式

-(*a：)E]|=|A|A-(^a;)E=0,

|A|=0或％一()E=0.

得A的特征值入=0或

A=

I=I方法四直接用A的特征方程

A-<21-…一

-A-af…一a2al.

|AE-A|=•••=(A-=O'

•••♦

-aq-aa…La：

2n得

n

A=

A的特征值为"】人=0（n-l重根）.再求A的对应于入的特征向量.方法一

方程aiX|+a2X2+...+anxn=0,得特征向量为(设a]翔).&=旧2，-ai，0,.

0],12=[@3，0,'31>...»0]>...»&n-l=[an，0,0>...»'3|].当

91时

TT

知小=[ai，a2,…，an].方法二因为人=。（3入=0时，（XE-A）X=-aaX=0,因

为满足aTX=0的X必满足aaTX=0,故入=0时，对应的特征方程是

a1x1+a2X2+...+anxn=0.对应入=0的n—1个特征向量为&二①，一a1，0,…,

0]»12=[23，0,'a],0]>...»&n-l=[an，0»...»~,

A==aa

ai]T.«-i时，对矩阵九E—A=araE一一两端右边乘a,得(ZE-

A)a=(aTaE-aaT)a=(aTa)a-a(aTa)=O,故知a=[ai,a2,,a/即是所求乐最后

。3…4”

一。10…0a2

0

p=-0a3，

••

•♦•

00

由&及，…，.，得可逆矩阵P,即…一。】日

,—I

知识点解析：暂无解析

TT

设A=E+a0T,其中a=[ai，a2，…，an]^0,P=[bi»b2,...»bn]^0,且『[3=2.

22、求A的特征值和特征向量；

标准答案：设Aq=(E+a°T纥=状.①两端左边乘比，

13r(E+珅[纥=(/+严部陛=(1+四那北=邓£若°七0,则九一1+|3%=3；若

[f30,则由①式得入=1.当a=1时，

]

(E-A)X=-apX=~牝[仇•仇.・・・.6]X=0.

即[bi，b2，

TT

bn]X=0,Saf=2,故40,算0,设b/0,则白二32,-bi，0,…，0],

。2二由3，0,1b|>...»0],...»自n-1=[bn，0,0,-bi]三即A的对应于特

征值1的特征向量为k@+k2及&-1，ki，k2，..，knJ为不全为零的常数;

当九=3时，(3E-A)X=(2E-ap1)X=0,4n=a­⑶，a>..，an]T,即A的对应于特

征值3的特征向量为跖考n，口为不为零的常数.

知识点解析：暂无解析

23、求可逆矩阵P,使得P"AP二A.

心461t即

一仇0…0

P飞《，…，&T，4]=0一仇•••0

***■

**•■

_00…一仇

标准答案：取%则

ri

1

P-：AP=

1

3

知识点解析：暂无解析

T

设向量a=[ai，a2，…，an]>P=[bi,b2，...»bn『都是非零向量，且满足条件

aTp=O»记n阶矩阵A=a0T,求：

24、A2；

标准答案：由A=a|3T和打忏。,有

A2=AA=(apT)(apT)=a(pTa)[3T=(pTa)apT=(aTp)apT=O,即A是幕零矩阵⑺2=0).

知识点解析：暂无解析

25、A的特征值和特征向量；

标准答案：方法一利用(l)A2=0.设A的任一特征值为入，对应于大的特征向量为

。则A&=M，两端左边乘A,得A?9人A9产。因人2=0,所以#30,。0,故

九=0即矩阵A的全部特征值为0.方法二直接用特征值的定义.Aya—京乂，

①由①式，若「1=0,则乂=0,印)，得入=0；若0丁仔0,①式两端左边乘炉，

得四珅北气/;那北力.罩幻=邛七得1=0,故A的全部特征值为0.方法三利

用特征方程仇E一

A|=0.

入一。1仇一a也,,,―0,6,入一由b\0一°22…0一。1〃”

一。2仇\—ab…—a2biX-abQ-ab

22l=0—。2仇222n

|AE-A|=|AE-a/r'|=*•**••

■•**••*••

-anbx—aab2•••X-anb„0—4＞】0—a力2…八一。力”

囚右端行列式中每一列的笫2子列均成比例，故将行列式拆成2n个行列式时，凡

取两列或两列以上第2子列的行列式均为零，不为零的行列式只有n+1个，它们是

A—a】仇0•••0

A一。2blA•••0

|AE-A|=+

•*•*+

■*・*•*

A-a0•••A

A一。也•••0A0•••-a也

0~~ab•••00A•••一＜hb.

22+…+

■•*■•**■*•

0-a/z•••A00•••-a力.

IT

=父一（2哂）人

i=l

2a"=0,

一故仄E-A|=X=0,故入=0是A的全部特征值.方程组Ax=0的非零

仇仇

00-0

00-0

解即为A的特征向量.不妨设aiWO,biWO,有

6

0

则A的对应于特征值0的特征向量为

为不全为零的常数.

知识点解析：暂无解析

26、A能否相似于对角矩阵，说明理由.

标准答案：A不能相似于对角矩阵，因(#0,除0,故A=aB-O,r(A户/0(其实

r(A)=I).从而对应于特征值人=0(n重)的线性无关的特征向量的个数是n-i#n,故

A不能相似对角化.

知识点解析：暂无解析

Q11

A=1a-1,

27、设实对称矩阵U一1°」求可逆矩阵P,使P」AP为对角矩阵，并

计算行列式|A—E|的值.

标准答案：由矩阵A的特征多项式

La-1-1

XE~A=~1J-Q1=。-a—1)2(入一。+2)=0,

-11

得

Q*=a+1,入3=a-2.当入|=卮=a+1时，对应两个线性无关特征向量匕尸[1,1,

0]T,々=[1,0,1]T；当心二a一2时，对应的特征向量之=[-1,1,1]二令

11-r

P=V，&4]=ioi,

.01iJ则有

z+l00'

PAP=A=0a+10•

.00a-2_

a00

\A-E\=\PAP-l-E\=\P\\A-E\\Pl\-0a0=a2(d-3).

00a—3

知识点解析：暂无解析

-2-20--1-2-2'

A=-21-2,B=-220

0

28、设_0-20,-20,问A,B是否相似,

并说明理由.

标准答案：A,B均是实对称矩阵，均可相似于对角矩阵，由于

A-220

|AE-A|=2A~12

02A对换|入E—A|的1,2列和1,2行，得

2久一201IA-122

|AE-A|=-A-l22=2A-20=|AE-B|.

20A20A故A和

B有相同的特征方程，相同的特征值，它们均相似于同一个对角矩阵，故A〜B.

知识点解析：暂无解析

设A是3阶矩阵，Xi=l,12=2,入3=3是A的特征值，对应的特征向量分别是

又回1,2,3]T,计算:

标准答案：因A1尸入后,则

知识点解析：暂无解析

30、Anp.

标准答案：利用A&=语有将0表示成号，&2,43的线性组合.设

P=X111+X2&2+X343,即

卜

1919

解得多=十*2=1，1L4，则/=《4+&+告々，故

J000

L-1J2JL2

4-2-4-22-3--1

9

=5+2-i_2・3-T.

一.+2・+】+22.3“-1

知识点解析：暂无解析

已知二次型f(xi，X2,X3)=4x22—*3x32+4xiX2―4x1x34-8x2x3.

31、写出二次型f的矩阵表达式：

-02

A=244

标准答案：二次型的矩阵L—24

则二次型f的矩阵表达式为

f=xTAx.

知识点解析：暂无解析

32、用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.

标准答案：A的特征多项式|A—证|=一（6+九）（1-入）（6—九），则A的特征值心=一

Pi=

6,入2=1，入3=6.入产一6对应的正交单位化特征向量

九2=1对应的正交单位化