排列、组合、概率与统计基础知识与典型例题

数学根底知识与典型例融规定《■].我中m."CM.,”Wa

(第十章排列.组合、概率与统计)

R注：件列出"成排，"自足一并成组”.摘者木印而好并无序.

⑷fllff•数的两个性质：

个

①C：=C*：：从n个不同元素中取出m个元素后就剜下”加个元索,因北从”个不

XH列LNI"=1」，4*/

本问元索•卜取111“mt•元表的方怨是对应的，因此是样多的.

»ffiaicm版②C"：+C：=C,*根据址台定义与加沙照理彻；汴蜘定，，“个不PJ元素中取m个

旦兀东方法时,对于某一兀索.只存在双与不取焉和可鳍,如果取这一兀家,那么能从刎

T卜的“个元北中再取时I个元素,所以书C"：,如果不取这一元森.邠么需从我余。

个元素中取HI，”个元来.晰以共有C：种.依分类康理仃。4：+°：=。二.

।通度公式卜

争天定亘-•

，巨gm画卜,5.解撵列.红台虺的极本信略与方法

I”胤(I｝排列.(令阿勒儿大解咫方法*

1.分类计数瞬理：克戒•件事•代々奏方法.在第1典方法中有小神不问的方法,在第2类方法①面接法：朗1>除法：

③捆绑法।在特定娈求的条件下,将几个相关元素当作•个元米来考虑.仔整体排好之

中右间】料不问的方法.……・在第II奥力法中有犯，的不阿的方法，累么完皿述件事共引»

*2样不可的力伏.村行再学出它1伊同部”的排列.它主要用于解决•,元武相如问题”；

④*空法：先把一般元素料列婚后把持定元素插排花它/之间或栏端的空档中，此

外

«

与法主要解决•,元涿不相邻向咫二

2.分步计St昭理：究或一｛1认施要分域“个力舞,做动,步”小朴不口酊方法,NSft;步的川：忖

何⑤占位法，从元家的特婿性上说.对网也中的打姝元素应优先挣外,然后再扑火他•鲍

与不M的力》1•…”.MXn步，〃儿网不卿的力法.都么靠或这件“共4N-nvnr^-nt冲不H的方法.81

分元累；从位留的特姝性上济,有何题中的特殊位网应优先考电，然后恸I犬他朝余R.JI.

组即未用“先特殊后一嘴-的杆IS。那么.

分注：分类H数原理和分步理是外列31介的根底和核心.既可叼米推与排列数、tfl⑥调序;.；：”「“八元素次序一定时.可用此法.解密方;々上先珞e个元素进行仝排列fi

台散公式.也可用来0接解咫.它。峋*P1点都足把一个事件分成口设干个分事件来进A：种.M/n<”)个元素的金铸舛HA：种.由于要求e个元索次序一定,KftHfitiKi

triltt.。不过利MJ分省计。H；理时格仲方法那独立完成"件,垢篙连续"避干步

•其中的呆一汽”法，可以利用除也起到去璃汴的作用，即假出“个元率推收一列，共中

才f上完成的那么是分步,利用分类计数僚理,俄在分一类类与类之何具“独立性和井

，w个兀家次序一定,共仃土伸排列方法.

列性：理.重理分必步与步之间具钿8依性和隹蛾性.比拉熨鼎的何愿.

常先分类再分步.心

(II卅刻纲合a•见斛鹿策格।

3.“)”列的定义：从“个不科的，i*中隹*MgW">r，L«.四儆从“十①特殊应拿优先安排策不；②合理分类与准确分皮策略：

不H元会中眼由R个元去的t»H.③排列.«1介混合阿虺先迭后打的策略「笠印排”"1含综fi•惜向E-m金先&元K,后井”K

<2)持外敢的定义：从n个小Mn.*中1«山孙加^10个元*推也一列.林方儿“个小同元*中1«出w④正越那么反.等价转化策略，⑤相邻向度箭空处理策略：

⑥小相纪H幽抽空处理策珀⑦定序何鹿除法处理策路।

个元*的一个维列.从“个不耳记*中取出e个兀K的一个4”数.用存号A：衣小.M中N.EUAT.

#11rn^it.⑧分扑河SE田F处理的施小；@•'小奥团”排列“咫中先柒体后局短的策略:

⑭构造模型的及略.

⑶排列敷小式：A?-n(nI)--•(»w*l)-———(m^n.n.mcN)

<«-»»)!

6.二项式定理：

当所”时，扑刖&；为全排列.排列数为N：=〃x(〃-Dxx2x|记为人n戕定0!=l.

⑴对于”wN\(。+协・=。)“"+€'》"7>+“・+('：。"-'。'+i+€'：。"〃'.这个公

注：«n!=(n+i)!-/r!；4；=n<；

式所表东的定理叫做.项式定理.右边的多项式叫做《“+力”的四升式

1.<1)期含的定义：从"个不MB)元泰中任岚ErEn)个元成损.叫也从n个不H元素中取出

•注:我开式具，以下特点：

”个元京的一个fil令.

：共有”+1项

(2)81合敷付定义：从n个不科的元素中取由同府仁立个无崇侑所”机维数，同6W,个不向元崇中«»।

余数：依次为蛆合故cj.ci.c；.•<•：..(：:

取出“，个元素的副公默.州行《；<?；&示.

且砰一项的次数是样的•即为n次.收开式依。的HT框排列.h的开秣那列展开.

⑶组门版公式：L=&''S:eF=_21_.

⑵项HH内的处见(a+时•的展开式第r+l为T”产CH"'(OWrWn.reZ).

*A：m\/nXn-m>!

<3)一顼式茶数的件或.例工在+x产的展开式中,W的系数是()

①二项展开式中的C；(r=0.1.2,••.«)叫做Iftitfft(4)-297(W-252(0297(0}207

例氏对于小？S5的自然皎・积(55-力(56-力……《68・献(吃Q等于(

②在二项展开式中与首末两项一等距寓,1的两项的二项式系数相等：

从脸：3*(G4，的工

w(^=c：.oc'.-.c=cr.

③一项照f式的中旬当下项中舂型燃大

例"假设aiOZg+m/au'+…+«u'+gH那么a+s+…+<fc的值为.

lru<I±lw.一项原数是逐澈地大，当上>等时，二项式充数是逐渐求小的.

例10.个同心一形花坛.分为两一邮,中间小隅牌2种也军计和绿色灌木,周用的网

环分为"WN)等价.种植红、黄,花三色不同的花,要求相尊两“郃种植不同

<I)当。左牌数时.中间JRfil第;+1项.它的:项式系数C：M大：颜色的花.

打⑴如图I.Bi环分质的3号份为a.0).G，有多少不同的伸植方法？如图2.忸环分成

44(月+1I•“

(心刍"是奇效叼<悯及"两项即;8:■以和密一丁+1项K们的二项式素效：三・，三最火外的4等份为5.c.a”q.有多少不同的种植方法？

与⑵如图3.IH不分成的“等份为小.也.G.…….a,.1,少小河的种梳方法？

④泵散和：所芍二项式系数的和：C：+C：+•••+(7：=2"：奇数项二呗式系数的和=佃数据

合

项而是疾女的和：C：+C：+C：+…=C：+C：+…=2"'.

⑤c：+--J.Y以最

(4)珈何央求(a+h+c)°盛开式中含a"b«c’的系数呢？％中p.q,rwM且

p+q+r=n把(”+b+Q、=l(a+b)+c「视为二项式，先业出含有c'的卬

C[(a+另一方面在加+为中含布6的项为C.-%"'9。=C^aW.故

在(a+b+c)"中含的项为""bS.其系数为

CC»=----------<…)！=就YC*c.

*rl(n-r)!q\{n-r-q)\r\q\p\*"'LH1机驻件数具微率：

⑴必处小小：，：位的条件下0第整发"3串W.词投t

②不可能事件:K•定的条件下不可能发生的*件,叫做不可能事件.

⑸二项式生理的应用：行决有关近似计算、第除问运用二项展开式定理并IL结合放

(3)防机事件：ft定的*能发生也可能不发生的串11叫翅国也小》.

暗法证明，指数有关的不等式，

例1.3个也分切从S个就点中逸择1处谢忱.不同的遂法朴攻足()“)防机步件的默率：H筋M.事ftA发生的嫉率%总是修城干某个常

(A)S'<B)35(C>A：(D)C：n

跤.在位附近接见我把江个笊武叫做5f1AMttf.记(VP(A).

例2.5本摹闷的课外读物分给5忖同学.传人一本.那么不同的分比方法行《)

品极车从心帛上反映'、叶的呢的人小.它的取伊豆树是乜冬件的概

(A)20种©12。种<D)I®H'J"4"Jft[0.1].M

例3.6个人排成排,甲.乙、丙必须站在一起的排列种数为().率是I.不可IU事件的同率是0.

㈤人(B)3A；©A；A；<D)A-A；

2.等可可本仰秘横率:

例，1.如果集合力=[*lC；W2I1，那么现成集合4的元素个数有().

n<1)根本领件：一次长蛉诧问其中可佐山九侑等,个绍果称为十根不检件.

S)l个(B)3个106个{D}7个⑵笥可能邪仰附概率：u坪一次以般柚n个根不依什抵瓦iffHffi亚么

列II

*#•个根本?•牛的冬而是累买个A侑铝聚石个,XivnA的低率

与例S.加力X-谭]的展开式中各项系数之和为12«.那么底开式”的乐攻足()3L.UiMH8am8

组n

令

3)7<8)-7<021(DJ-21

n

例6.设(1。)♦《1♦x严,人•♦小^*“〉/♦…那么明■()

(A)C*(«Cl(C)2C：°(D)C：(.3.《1)互斥粗件：不N值对对及竽的两个+伸叫互斤”件.

如果小件A.BSJF.那么事件MB发生(叩儿B中有个发节.)的横率.等于巾件(用胸色宅相M(Bl的性不企相同(0勘色个小同(D)劭色无红色

A,B分片发生的概率和,即RA+BHWPIB).

推广；PCA|+Ai4+A.),P(4J♦代A1)f・iP(A.).例IS.袋中明白球和黑球各3个.从中任取2球.在以下半件中：(I；恰行1个内球和

⑵对立事件：可个学q学华二个军坐用耳步中型叫矽立事田恰有2个门球।(2)至少有I个白球和全是白球।(3》至少有1个白球和至少有I个则球।

(4)至少仃I人门球和全是黑球，是对立4件的为()

①对中W件的统率和然于1:P.A^P.Al=PiA>Al=l.

(rt)(I)<B)(2>(C)⑶(D)(4>

②互为对立的四个事件一定互斥,但互三不一定是时立事件.

侪16.甲、Z两人独立地解同一只蜀.甲解决这个何U的概率处p“乙解袂这个向JB的

从集合的角或石,由事件，1的时立事件彳所含的铝果筑成的朱台，是全集1中由小被率是户”那么恰好有1人斛决这个向财的奴卒是了()

所含的结果组成的佻令的补集.

ftA<川四,：p：)-p：a-pj<C>i-ptp,(D>|-(|-;i,Xl-p:)

4.相互独立事件，事件4或B)/t否发生\部n发生削俶*及立北笔这样的两个事件国做相例17.某班有50名学生,其中15人选WtA课程,另外35人选修11港程,从班级中任

互装立事件.选西W学生,他打是选修不同课程的学牛.的概率是.OS果用分数表，川

注：加文事件是对任。多个小竹东5・而互后事停杷整同一实*出避的多个！仆.fl■这多个小臂不生

片时黑牛.故这飞亭(tlfl比之PI2您影改・因此“标事件一定不此核女事件.例18.某商划开联促第抽奖活动.播出的中奖中吗是8.2.5.3.7.I.等如仙奖的每

⑴两个相互独立件同时发生的微率，弱于每个事件及”的概率的初，即

4位政客从0-，这10个号码中任点抽出六个奴成•组.假我顿客抽出的六个号码中至少

P<AB>=IM>P(B).有5个与推出的号码相同(不计顺序)即可R奖，那么中奖的微率是.(用数字作

江明：&甲试验共有Ni种件可健的不H姑哄.其中及于内发生的站眼行仙肿.乙优糖共力此种二件)

可处的不同的处・砥中发卡的纳毫行皿料・HIF•串忤4。8可”.除本M.必。此・

墨和喃殳柳响的.那么•弹、乙两试的好结果茶c'•为的搭£匕

济胤祐迅等可征代的.另外,考察M于事件人B的M眩然《!’显燃.凡属FA的任何一书试脍的华例19.某时J时&I次,击中U标的概率是09他连续好上4次,R先次射击是否由中

蹙同黑丁B的任何一林乙试验的结果的播U.跖费示▲与B何酎发生•事3TM5B・达科站累马目标相互之但俎仃影响.有以下结论：①他第3次击中目标的概率是04②他恰好击中

女布喇•血机因此尚目标3次第M*是O.99XOJ；③他•1•少」中目标I次的柢率是1。14事中正确结论的序

m.•m.tn.m.“处_________(写出所有正确结论的序U).

Pl.^Bl--J-:.PMB》-RX例B)

概N\,MMNj

例20.AtJ-JiJttfTx个红球，>,个白球,:个黄球的箱子(工、},、ss=O.flx+y+z=f>I.

率注:当两个事件同时发生的微串PIAB)等尸这两个事件发生棘本之和.这时我们也可和

B右一JI依/f3个红球.2个白咏.1个黄理的桁了.四人为自从自己的箱子中任双一球

6网个"什为独处事件.率

比颜色，境定同色时为A胜，异色时为B股.

⑵推广他果事件八“小.….儿相互独也挪么P(A「A：4)=汽4》汽…汽儿)

U)用3Y.二表示B胜的摄率：

门，独，工中”试修：TH2”次。艮试验中.(5次MWS祟的恨率《：不依修于次试验的的果•«(2)当A如可调整箱子中球时,才能使与已获胜的钱率最大?

么称达”次武0是的.仙泉在一次珠中乂JN发生的K*为P.那么在，次由立皿里i*找中这个

f件恰好发生k次的悔率tP,(k)=C；P*(1-P)'-*.(性“tX为KKlU-PHT展开犬的第k+l».)

注：①一般地.珈果Mt?A与B相?独立.那么A与瓦X与B.也都相h：111*.

②对任何询个*件都有PIA+B)-汽A)+K8)-汽A»>

例”.IOK奖券中只右3张有奖,5个人晌寅,至少在1人中奖的料本是《)盛夏

(A)y(B)l<C)i(D)n

in12212

M12.200S年6月7H.甲地下KI的横率是05乙地下的的H率是4.12,假定在这天两地

是否卜南相n之问没有影响,那么甲.乙和不卜南的慨率是()

(4)0.102(B>0.132(C}O.74S(D)0.982丽的——r^^^ft：-H1SS

例13.从1・2.……・9这九个数中.随机抽取3个不同的故.那么这3个他的和为他—!

数的极率)

M)5(B)i(OH(DiJO

952121|.新机st验:

例14袋中“红球、贽球、白球各1个.何次任取一个，有故何地岫取3次，那么以卜⑴斌!拄如果疏出下述条件।

①试验可以在相同的情形下玳复遂行；②试验的所有可能结果是明确“：知的.并且不止

W4件中祺中是1的足()

一个；③每次试皱总是恰好出现这些第果中的一个，但在一次试验之酋却不能肯定这次

率9

试!fe会出现库一个结果.它就被称为一个随机状依.

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