考研数学二模拟404

考研数学二模拟404

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.^f(x)=ln(l+x2)-x2,g(Z)22

V1+2x—1—x，则当x-*o时

£6)是86)的

A.低阶无穷小量.

B.高阶无穷小量.

C.同阶但不等价的无穷小量.

D.等价无穷小量.

正确答案：D

［解析］

f(1)=ln(l+x2)—x2=x2一与+o(d)—X2=-y+o(x4),

uu

g(7)=\/l+2x2—1—J2

119(v1o-1)7

=l+yX2/+—(2?)2+O(?)-1-X

Lu；

=一与+o(d),

则

-4

----+o(x4)

lim£产，=lim~~>=1'

x-*0g\X)LO

----T-+o(J74)

乙

所以，当Xf。时，f(x)是g(x)的等价无穷小量.

2.已知f(x)在x=a,x=b两点处可导，且f(a)=f(b),则

limf(a+z)—/(b-2%)_

AOx------•

A.f(a)-f(b).

B.f'(a)-2f'(b).

C.f'(a)+2f'(b).

D.f'(a)+f'(b).

正确答案：C

［解析］

原式=lim八，+力)一/(〃)一-2z)—/⑹］

x-*0X

=lim/(。+工)一”。)_痴f(b—2oc)—f(b)

x-*0JCx-*0JC

=r(a)-limy一于⑹,_

—2,(2)

LO-LX

=/(a)+2/(6).

3.设函数f(x)在(-8,+8)内除炉0点外二阶可导，其一阶导数的图形如图

所示，则f(x)有

A.两个极大值点，两个极小值点，一个拐点.

B.两个极大值点，两个极小值点，两个拐点.

C.三个极大值点,两个极小值点,两个拐点.

D.两个极大值点,三个极小值点,两个拐点.

正确答案：C

［解析］由图可知，当xVxi时,f(x)>0,当x£(x”X2)时,f(x)<0,则

x=x1为f(x)的极大值点；当X£(X2,0)时,f(x)>0,则x=X2为f(x)的极小值

点;当x£(0,X3)时,fJ(x)<0,则x=0为f(x)的极大值点;当X£(X3,点

时,f(x)>0,则x=X3为f(x)的极小值点;当x>x4时,f(x)<0,则x=xj为

f(x)的极大值点.

综上，f(x)有三个极大值点，两个极小值点.

又16)有两个零点，且一阶导数在两个零点两侧增减性有变化，所以

f(x)有两个拐点.

4.微分方程y〃-y'-6y=(2x+3)的特解为______

A.(ax+b)e".

B.cix2e2x.

C.(ax2+bx)e-2x.

D.x2(ax+b)e2x.

正确答案：c

［解析］丫〃［'-6尸0的特征方程有单特征根3,-2,于是y〃-y'-6y=(2x+3)e%的

特解可设为x(ax+b)ez.

5.下列反常积分

，+8x

①x2+4i+3近dz

Jo1+x2

计8

32

>厂

1

J

O

①②

A.:

①③

B.

②④

C.•

③④

D.・

确

案

正

答B

［解析］直接计算

f+oo1」尸dx

①dr=--------

Jo"+41+3----.o(1+1)(了+3)

11x+1

7nx+3o

=-ylni=》n3,收敛.

uUU

+8r+8d(1+j2)=1ln(l+?)=+8,发散.

XHT=—

②J01+

2JO1+?Lo

f+oo：21ir12-i：+ir

34J2

③jezdi=-—一尸ee-dx

Jo6Ji00

+8

*1-I2=:，收氮

0

®r^dz=ri

Inxddnj：)=yln2x

JoXL

6.

贽M=1里晔%加N=|'(sin%+cod1)d&P=2(?sinai+sin2i)dijIffi

J-fHr小J-f------

A.NVPVM.

B.\f<P<N.

C.\KN<P.

D.P<M<N.

正确答案：C

［解析］

M=普生”osbcLc=0,（因富”7cos是奇函数）

1十71十X

N=(sin3x+cos4x)ch=co^xdx=2cos,zdx,

_J£0

工

2(j：2sin3j：+sin2x)dj;

P=_X

£

2

sidzck=2sin2zdjc=22cos2xdJx.

0o

因cos'xWcos、，所以OVNVP,从而有MVNVP.

7.已知

如时的「说他-01『ri0r10-r

-幻+你

A=伽他伽/=flu电/1=100010/3=010

-伽+伽,

向1肉2由3.阿伽.00L,001..001.其中

A可逆,那么B'_

A.PoA'Pj.

B.PAR.

C.PAR.

D.PRAL

正确答案：A

［解析］把矩阵A的1、2两行对调，再把第1列的T倍加至第3歹U，即可得到

矩阵B,即B书AP3,则

11

B=（P］AP3）7="）一】41=P2A^P1.

8.已知r(A)=n,且方程组AX二a有解，r(B)=r2,且BY=B无解，设A二(Q”

a2，・・・，a，，B=(Pi,跖，…，Bn),且r(a”a2,・・・，an,a,Bi,B

2,…，Bn,3)=r,则

A.r=ri+r2.

B.r>ri+Q.

C.r=ri+r2+l.

D.rWi'i+1、2十1.

正确答案：D

［解析］由题设

r(a1,a2,…，an,a)=rH

r(3i,P2,…，3，P)=r2+L

故r(a”a2,•••,an,a,BP2,…，Bn，B)Wr(Q”a2，…，

an，Q)+r(B1,82，…，8"，B)

=ri+r2+l.

二、填空题

lim(arctanx)1/?=

1.LOT

正确答案：

e3

［解析］

1=lim(胆照)十

x->0X

=lim［(1+arctanx—=)―aJj"：尸=QA,

x-*OJE

其中

1.arctaaz-x「1+%2

AA=lim--------7------=lim-------T

x-*OxLO3X

_i・一x2_1

一^3X2(1+X2)=-T，

所以

2.设y〃-2y'+ay=3屋的特解形式为Axe、则其通解为______.

正确答案：

3

y=Ge-+C2e^-,C2为任意常数)

［解析］因为方程有特解Axe,所以-1为特征方程产-2户@二0的一个特征根，即

(I)22X(1)।a=O=>a=3,

所以特征方程为

入"2入-3=0,得入尸一1,入2=3.

齐次方程y〃-2y'+ay=0的通解为

y=CQ'+Cz/C,C2为任意常数）.

再把Axe"代入原方程，得

所以原方程的通解为

-z3x

y=Cie+C2e—卷出七・

vx—x2dz=

3.J0

正确答案:

8

［解析］

—3也=

=fo工

令力—}■=£，

原式=工1J=/X7TX/

2

=f信个半径为十的圆的面积）.

4.设有一半椭球形水池，池口是半径为a的圆，若以每秒v单位的速度向池

内注水，则水深增加的速度力与水深h的关系是一

正确答案：

dh_zb2

dtnci2h(<2b—h)

［解析］如图，建立坐标系，设水深为h的水面圆的半径为X,则椭圆方程为

X2.(6一无)2_1

2'!1,

aLbz

从而

dQ_dQdh_2「i_(。一无)21皿

位=而瓦=w1F—」前

丝=入

由于d£故有

dh________v_______

=

dt2「i~~(bi)?]

7TQ1--------75-------

zb2

2

穴ah(2b—A)

5.设区域D={(x,y)|OWxWl,O«},f(x)为D上的正值连续函数,a,

(TaVfM+b

11

b为常数，则力//W+VfW・

正确答案：

a+6

2

［解析］D关于直线尸x对称，所以

4嚅田加

D

则

2H嚼国EJ嚅喀地

『“[vW+^TSHd/dy+『*x/K?±yW]北dy

JJ〃⑴+，f(y)47/(x)+，/(y)

=Q♦1+6•1=a+6,

所以

Ta+6

I=­

6.已知二次型

T后日的秩为

XAX=xl—5+4+2ax\x2+2TXX3+22%3

2,(2,1,2尸是A的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准形是_____.

正确答案：

3^1—6/

［解析］求二次型X'AX在正交交换下的标准形，也就是求二次型矩阵A的特征

值.

设a尸(2,二人a得

「21

Aa\=

2

即

j2+a

y2a—5+26=储，

2+6+2=2储.

解出a二b二2,入尸3.

又r（X『AX）=2,知|A|=0,于是入2二0是A的特征值.

再由Ea产E3,有1+（-5）+1二3+0+入3,于是入3二-6是A的特征值.

因此，正交变换下二次型的标准形为3丁：—

三、解答题

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

lim/（x）=2

1.已知函数f（X）在（0,+8）内可导，f（X）＞0,Zf+89且满足

「+成）

lim[f（X）.

A-*O

求f（x）.

正确答案：

鬲绰警『=1*1+力世/["）严;“节漕

A-OLJ（7）J20L.

=K雪…

由导数定义，有

lim及+黑］⑺=六lim-+*)7⑷=六.f⑺.

卜ohf(x)/(x)…hjc/(x)

由已知得

舟…一

即

r(x),1

f(工)一x2'

积分得

fG)=Ce"(C为任意常数).

又

lim=Clime+=C=2,

X^^4-001f+8

则

/(])=2e=.

lim/'(X)=A9

2.设f(x)在(a,+8)内可导，且工f+8求证:

lim/(z)=+8•

若A>0,则*-+8若AVO,则

lim/(x)=—oo-

X-*4-oo

正确答案：

联系f(x)与f'(x)的是拉格朗日中值定理，取X)£(a,4-oo),Vx>Xo有

，

f(X)=f(Xo)+f(I)(X-Xo)(XO<&〈X).①

因工l一im+8」//(%)=A,若A>0,由极限的不等式性质可得,

mX>a,当x>X时，/⑴〉名

f(g)A

现取定Xo>X,当X>Xo时，由于&>Xo>X,有2'于是由①

得

A

于(工)>f(工0)+—T)(X〉Zo).

乙Q

lim[y(x0)+4-(x—x0)J=+8,

又因为X-+82所以

limf(x)=+8.

+8

若AVO,考察h(x)=-f(x),则h'(x)=-f'(x),从而

lim/iz(x)=—lim/z(x)=-A>0,

x-►-boox-*4-©o

由已证结论知

limh(x)=+8,

+8

于是

lim/(x)=lim[-/i(x)]=­8.

JT-*+8X-*+8

•+8

g(z)dz

3.设g(x)在［a,+8)上连续,且J.收敛,又

limg(x)=I,

工—+8求证1=0.

正确答案：

=g(/)dz,

记Ja则f(x)在[a,+8)内可导且f，(x)=g(x),

lim/(%)=limg(x)=I.

若IWO,则l>0或IVO,由(I)中结论得

(+8，+8

lim/(x)=limg(i)di=-b°°g(Z)dz

工f+ooX**-Fcoja(或-8),与J。收

敛矛盾.因此1二0.

4.设函数z=f(x,y)在点(1,1)处可微，且

/(],])=1=1>=V；，

ox(1,1)dy(ni)6(x)=f[x,xf(x,x)],

"p"<p3(z).

求dxrx=i

正确答案：

4>(l)=f(l,1)=1,

53(力…=3<p2(l)/(l),

归结为求犷(1).

根据复合函数求导法得

d

4>'(x)=f'Jx,xf(x,x)]+f'2【x,xf(x,x)],dr[xf(x,x)]

二xf(X,X)]+f'21X,xf(X,X)]•{f(x,x)+x[f，1(X,X)+f'2(X,

X)]},

犷(l)=f1(l,l)+f’2(l，l)+f，2(l，1)]，

又

”(1,1)=算=1,fz(1,1)==39

ox(1,：I)dy(1,1)

所以

6'⑴=1+3X(1+1+3)=16,

=3X16=48.

5.设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总

相交,交点为A,已知|MA|=|OA|,且L经过点(1,1),求L的方程.

正确答案：

设点M的坐标为(x,y),则切线MA：Y-y=y，(X-x),令X=0,则Y=y-y'x,故点

A的坐标为(0,y-的x).

由|MA|二|0A|得_________________________________

Iy—yx|=-0)2+(y—y+zy')2,

H|J

2yyf——=—x或4?).—上=­x.

xaxx

这是一阶线性非齐次方程，得解

y2=—J+'z+C)=-i+C),

因为曲线经过点(1,1),所以C=2.

再由曲线在第一象限内，得曲线方程为y=V2x—x2.

6.设f(x)在[a,a]上有一阶连续导数，证明：至少存在一点g£[o,a],使

得

f(z)dz=a/(0)+($).

JoZ

止确答案：

所给问窗Wf(x)的定积分与f'(，)之间的关系，可以考虑成其原函数

F(x)=/(t)dr

Jo与F〃(&)之间的关系，从而利用二阶泰勒公式来证

明.

如果认定为考查f(x)与f'(Z)之间的关系，也可以利用拉格朗日中值定

理(一阶泰勒公式)来证明.

/(x)g(x)dx=f(E)g(x)dx

也可以利用积分中值定理J。J。

来证明.

思路一：利用f(x)=f(O)+f'(")(x-O)=f(O)+f'(，)x可得

f(x)dx=/(0)dz+/'(&)7(k=a/(0)+&f’(&)&工.

«0%0%0«0

因f'(x)在[0,a]上连续，由闭区间上连续函数的最大值、最小值定理可

知,存在m和M,使mWf'(x)WM,于是在[0,a]上有mx〈xf'4)WMx,故

4ozdz《xff(^i)dxMzdZ.

0o

即

ma2Ma

</(&)"9

j0,9a一Jo

由连续函数的介值定理知，至少存在一点自£[0,a],使得

f(^)=§if'(氢)&l9

ao

即

a2

%f'(8)dN=n另，(f),

o/

于是

"a2/

/(i)d工=af(0)+—/(f).

JoZ

思路二:

f(.x)dx=/(x)d(x-a)

•0«0

=[(%-〃)/(%)1-(x—a)/z(x)dx

oJ0

=a/(0)—(x—a)/z(x)dx.

Jo

因为f'(x)连续，x-a^O(xe[O,a),故由积分中值定理知，至少存在一

点ge[0,a],使得

(x-a)/z(x)dx=，⑷(x—a)dx

oJoZ

于是

/(x)dx=a/(0)+―/(£).

Jo，

・<x

F(x)=f(E)dt,

思路三：令Jo则F(x)可用麦克劳林公式表示为

F(x)=F(0)+F'(0)/+^^/,£G(o,x),

乙

即

"fQ)山=4(0)

JoZ

今x=a,得

/(x)dx=a/(0)+乙£2才.

JoZ

有一半径为4m的半球形水池里有2m深的水，现需将水全部抽到距地面6m高的

水箱内.

7.求水池中原来水的体积；

正确答案：

如图，建立直角坐标系，以球心为坐标原点，向上作为y轴正向.取区间[y,

y+dy],在此区间上，体积微元

(0,-4)

dV=Jix2dy,

其中

x2=42-y2,

所以

dV=Ji(16-y2)dy,

水的体积

V=K(16—y2)dy=驾々n?).

J—43

8.求抽水至少需要做多少功.

正确答案：

提升体积微元的水所需的功为

dW=(6-y)Pgn(16-y2)dy,

所以，将水全部提升至地面上方6nl处，需做功

W=(6—、)用冗(16—？2)也=llGrcpg.

J-4

I=yzdxdy

9.计算电9其中D是由直线x=-2,y=2,x轴及曲线

%=-，27一/2所围成.

正确答案：

积分区域如图所示.

选择先x后y的积分次序，得

「2--V2y-/

y2dx

I=Jody

C2

y2(2—v2y—y2)dy

o

C2r2

=2y2dy一yi-(y—I)2d、,

J0o

令卜yT,得

r16ri

I=(i+1)2，F*市.

T~-1

利用对称区间上奇偶函数积分性质及定积分几何意义可得

ri

2tA/1—t2dt=0,

riri

t2=2«2vF-Fdt,

-1j0

ri

=与（半个单位圆面积），

J-i

所以

/=学-2i2—*(\t—与,

3

令t=sin0,得

1=当一2sin2^cos2JdS-—

o0乙

16itK_165穴

可一记—2=9一至・

设a”a2,01,B2为三维列向量组且aI,Q2与B”62都线性无关.

10.证明：至少存在一个非零向量可同时由5和工，82线性表示；

正确答案：

因为a”a2，仇，也线性相关，所以存在不全为零的常数k”kz,1”h,使

得

kiai+k2a2+I1B1+I2B2=0-ai+k2a2~—11Bi—1232•

令

Y=kiai+kza2二Bi—1282,

因为a”。2与8”B2都线性无关，所以k”k‘2及1”h都不全为零，所

以YW0.

丁丁-2■-1-

1,。2=0甲1=—1，02=—1,

-1」求出可由两

11.-0.工.3.

组向量同时线性表示的向量.

正确答案：

令k1a1+k2a2+LB令2B2=0,用初等变换法解此齐次方程组