考研数学三（线性代数）模拟试卷149

考研数学三(线性代数)模拟试卷149

一、选择题(本题共75题，每题1.0分，共万分。)

1、设A为n阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是()

A、(A+A-1)9=A?+2AA",+(A'1)7

B、(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2

C、(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2

D、(A+E)2=A2+2A+E

标准答案：B

知识点解析：由矩阵乘法的分配律可知：

(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2,因此,(A+B)2=A2+2AB+B2的充要条

件是BA=AB,也即A,B可交换.由于A与A“A与A*以及A与E都是可交换

的，故(A),(C),(D)中的等式都是成立的.故选(B).

2、设A,B均为n阶矩阵，且AB二A+B,则下列命题中：①若A可逆，则B可

逆；②若A+B可逆，则B可逆；③若B可逆，则A+B可逆；④A—E恒可

逆.正确的个数为()

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：D

知识点解析：由于(A・E汨=A,可知当A可逆时，|A—E||B|^O,故|B|和，因此B可

逆，可知①是正确的.当A+B可逆时，|AB|=|A||B|和，故|B|#0,因此B可逆,可

知②是正确的.类似地，当B可逆时，A可逆，故|AB|=|A||B|r0,因此AB可逆，

故A+B也可逆，可知③是正确的.最后，由AB=A+B可知(A—E)B—A=O,也

即(A—E)B—(A—E)=E，进一步有(A—E)(B—E)=E,故A—E恒可逆.可知④也

是正确的.综上，4个命题都是正确的，故选(D).

3、设n阶矩阵A,B等价，则下列说法中，不一定成立的是()

A、若|A|>0,则|B|>0

B、如果A可逆，则存在可逆矩阵P,使得PB=E

C、如果AmE,则|B|#)

D、存在可逆矩阵P与Q,使得PAQ二B

标准答案：A

知识点解析：两矩阵等价的充要条件是矩阵同型且秩相同.当A可逆时，有

r(A)=n,因此有r(B尸n,也即B是可逆的，故B/B=E,可见(B)中命题成立;AmE

的充要条件也是r(A)=n，此时也有r(B尸n,故|B|#0,可见(C)中命题也是成立的；

矩阵A,B等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q,使得PAQ=B,可知(D)中命题

也是成立的.故唯一可能不成立的是(A)中的命题.事实上，当|A|>0时，我们也

只能得到r(B)=n,也即|B|邦，不一定有|B|>0.故选(A).

a”0120D々21生2&23

A=«2idzz，5=ana\z

a

La»la32fl:3,03】+a“nra【2"331°I3_

D10-100-

P|=10C)R二010.

4、设-001L.101.则必有()

A、AP1P2=B

B、AP2Pl=B

C、P|P2A=B

D、P2PIA=B

标准答案：C

知识点解析：B由A第1行加到第3行(A左边乘P»再将第1,2行对换(P2A左边

乘Pl)得到，故(C)正确.

a”0t2ai30Ma”ai2

生】ana23022a?i

A—・5=

a3la32a33a3««3342a.”

01Q$2。43一小4a”aa矶

-o00r-l00O-

01000010

P)=,P2=

00100100

i0000001

5、设L其中A可逆，则B”等于

()

A、A'PIP2

B、PIA“P2

C、PRA"

D、P2A''PI

标准答案：c

知识点解析：因B=AP2P1，故B1=(AP2PI)"=PJP2"A"=PIP2A」.

-2

6、设A是n阶矩阵，则LA+A・

A、（-2）宣

B、（4|A|）n

C、（一2产|A*p

D、|4A「

标准答案：B

01|

知识点解析:AJ|=(-2)2n|A*||A|=4n|A|n=(4|A|)n.

7、已知线性方程组Ax=k|3|+p2有解，其中

A、1

B、一I

C、2

D、一2

标准答案：D

知识点解析：对Ax=k[3：+B2的增广矩阵作初等行变换，得

1-12什1■

-103什4

00-5^-10.

Ax=k0]+的有解0r(A)=r([A]kPi邢2])，得k=-2,故应选(D).

8、设ai，(X2,均为线性方程组Ax=b的解,则下列向量中ai-a2,ai—2a2+as，

(ai-a3),a]+3ct2—4(13是导出组Ax=O的解向量的个数为()

A、4

B、3

C、2

D、1

标准答案：A

知识点解析：由题意，知Acq=Aa2=Aa3=b,贝ijA(ara2尸Acq—Aoi2=b-b=O,A(aj-

r1"I11

A.g)=7(Aai——)=不(6-5)=0,

2a2+a3)=Aai-2Aa2+Aa3=b-2b+b=0,*-4」44

A(ai+3a2-4a3)=Aai+3Aa2一4Aas=b+3b_4b=0,因此这4个向量都是Ax=O的解，

故选(A).

9、设A是秩为n—1的n阶矩阵，R，。2是方程组Ax=O的两个不同的解向量，

则Ax=O的通解必定是()

A、

B、kai

C^k(ai+a2)

D、k(ai-a2)

标准答案：D

知识点解析：因为通解中必有任意常数，故(A)不正确.由n—r(A)=l知Ax=O的

基础解系由一个非零向量构成.但a”ai+a2与ai—a2M哪一个一定是非零向量

呢？已知条件只是说囚，a2是两个不同的解，那么a】可以是零解，因而ka】可能

不是通解.如果(1尸一。2彳0，则a”ct2是两个不同的解，但川+(12=0,即两个不同

的解不能保证ai+a2r0,因此排除(B),(C).由于3加2，必有少一a2Ho.可见(D)

正确.

10、设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组⑴A%=0和(n)An+lx=0,现有命题

①⑴的解必是(口)的解；②(II)的解必是⑴的解；③⑴的解不一定是(II)的解；

④(口)的解不一定是⑴的解.其中正确的是()

A、①④

B、①②

C、@@

D、③④

标准答案：B

知识点解析:当时,易知Amx=忒人%)=0,故⑴的解必是(口)的解，也即

①正确，③错误.当An+1x=O时，假设A'#),则有x,Ax,Ah均不为

零，可以证明这种情况下x,Ax,...»A“x是线性无关的.由于x,Ax,...»Anx

均为n维向量，而n+1个n维向量都是线性相关的，矛盾，故假设不成立，因此必

有A%=0.可知(II)的解必是⑴的解，故②正确，④错误.故选(B).

11、设有两个n维向量组(I)ai，a2，…，as,(n)pb的，…，氏，若存在两组不全

为零的数k”k2，…，ks,入i，入2，…，“，使

(ki+Q)ai+(k2+入2旭+…-(h+ls)as+(ki-Q)Bi+…+伍一&)。$二0,则()

A、ai+pi，...»as+ps»ai一伙，…，分一0s线性相关

B、四,…as及仇，…，0s均线性无关

C、ai,…,as及团,…,区均线性相关

D、ai+pi，...»as+ps»ai—pi，...»四一ps线性无关

标准答案：A

知识点解析：存在不全为零的数k],k2，…，ks，Z],入2,…,k使得

(ki+Q)ai+(k2+入2W2十…-(ks+k)as+(ki―九1)伙+住2-Q)02+…+(履一k)B$=O,整理

得ki(ai+0i)+k2(a2+02)+...+ks(Os+Bs)+入i(ai一Pi)+入2(。2-02)+…十入s(as—,)=0,从

而得cq+pi，…,Os+Ps»ai-p2，...»as一,线性1关.

12、设向量组⑴ai，a2，…，as线性无关，(U)01，的，…，仇线性无关，且

ai(i=l,2,…，s)不能由(口的，02，…，仇线性表出，你。=1，2,…，I)不能由

(I)ai,(12，…，Os线性表出，则向量组OU，(X2，…,013,01，%…，Pt()

A、必线性相关

B、必线性无关

C、可能线性相关，也可能线性无关

D、以上都不对

标准答案：C

1*

01

知识点解析：只要对两种情况举出例子即可.①取0.°」线性无关,

线性无关，且显然不能相互线性表出，但4个3维向量必定线性相

关；②取㈤固线性无关,线性无关，且显然不能相互线

性表出，且4个向量仍然线性无关.由①，②知，应选(C).

13、向量组⑴囚，a?,…，as,其秩为ri，向量组(11)d，例，…，自，其秩为⑵

且Bi(i=L2,s)均可由向量组⑴eq,(12，…，上线性表出,则必有()

A、aj+Pi,C12+B2，…，as+Bs的秩为口+12

B、ai—pi，a22，…，as—ps的秩为口一「2

C、ai，a?，♦.・，a$,Pi，(2，..♦，Ps的秩为「1+「2

D、Qj>CL2>...»c(s>01，P2»•••»氏的秩为rj

标准答案：D

知识点解析：设a],a2，...»出的极大线性无关组为ai，a2,...»%则皿仁1,

2,s)均可由ai，a2，…，线性表出，又饼(i=l,2,s)可由⑴线性表

出，即可由a1，(12，…，%线性表出，即囚，。2,…，,%也是向量组加，

ct2，…，as,Pi，能，…，0s的极大线性无关组，故r(ai，a2»...»a$,Pi，

p2»...»ps)=ri,其余选项可用反例否定.

14、已知r(A)=n，且方程组AX=a有解，r(B)=r2,且BY邛无解，设人=[四，

012，an],B=[|31,0|,0n]，且r(ct],CL2>...»Qn>a,0],。2，♦一，Pn，

P尸r,则()

A、r=ri+r2

B、r>ri+r2

C、r=ri+r2+l

D、+「2+1

标准答案：D

知识点解析：由题设有r（ai，a2，…，ctn，a）=rj,r（pi，例，…，%，。）=「2+1，故

r=r（a）,012，…，an,a,|3]»仅，…，0n，P）<ri+r2+l.

15、设A为n阶实矩阵，则对线性方程组⑴AX=O和（H）ATAX=O,必有（）

A、（口）的解是（1）的解，（1）的解也是（11）的解

B、（n）的解是（1）的解,但（I）的解不是（n）的解

C、（I）的解不是（II）的解，（U）的解也不是（I）的解

D、（1）的解是（口）的解，但（11）的解不是（1）的解

标准答案：A

知识点解析：方程AX=O和ATAX=O是同解方程组.

二、填空题（本题共70题，每题分，共70分。）

16、己知A2—2A+E=O,则（A+E）“=.

V（3E-A）

标准答案：

知识点解析：由A?—2A+E=O,得（A+E）（A-3E）=-4E,故

17、设A是n阶矩阵，|A|=5,则|（2A）*|=.

标准答案：“一'・51

知识点解析：由（2A）（2A）*=|2A|E,得（2A）*=|2A|（2A）/，故|（2A）*|二||2A|（2A」|二

2|A，*,24I=|2n」.5A"|=（2nJ.5）n|A」|=2/r・5一..

18、已知A,B均是3阶矩阵，将A中第3行的一2倍加到第2行得矩阵A1,将

B中第1列和第2列对换得到场,又A|B|二,贝IJAB三

11r

258

标准答案:.123.

10oiro1o']

由A尸01-2A.B1=bI00.知

1JLO01J

.00

AiB)

故有AB=

知识点解析:

-0仇0-

000

••

••

000-J

0d

19、设可逆矩阵B=1仇0•••。」，贝I」B=

标准答案:

D-ll

B=\，知B」=0」其中

知识点解析:由LD0」

故

20、设A,B为3阶相似矩阵，且|2E+A|=0,Xi=l,>2=-1为B的两个特征值，

则行列式|A+2ABi二.

标准答案：18

知识点解析：由|2E+A|=|A一(一2E)|=0知八一2为A的一个特征值.由A〜B知

A和B有相同特征值，因此大产1,12二一1也是A的特征值.故A,B的特征值均

为九尸1,九2=1，入3=2.则有E+2B的特征值为1+2x1=3,1+2x(-l)=-l,1+2x(-2)=

-3,从而|E+2B|=3x(—l)x(-3)=9,网=入伍2入3=2.故

|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A||E+2B|=2x9=l8.

21>设0(=[1,0,1],，A=aar,n是正整数，则|aE—An|=

标准答案：a2(a-*2n)

[[1.0,1]=0I001.aTa=[hO.l]|o1|=2.

知识点解析：依题意有A=aaT：0于是有

An=(aaT)n=aaTaaT...aaT=a(aTa)(aTa)...(aTa)aT=2n_1A.故

=a(a一2%1)2—(一2nd)2]=a(a2-a2n)=a2(a一

J0r

A=02o

22、设Ll01-佗2为正整数,贝ljAn--2An-,=.

标准答案：O

P°nnoi]?o牙

020020=040

知识点解析：由A2=L°iJLio11nn

1」历02J=2A,有AfA",A--2A-

'=o.

■1000

-2300

：A=

0一450

_00-6

23、设7.B=(E+A)-,(E—A),则(E+B)/=

-i00O'

-1200

0-230

标准答案:.00-34.

知识点解析：E+B-E+(E+A)-,(E-A)-(E+A)/(E+A+E-A)-2(E+A)-1E,故

rioo<n

(E+B)-,=

24、设人=£+印丁其中a,。均为n维列向量，aTp=3,M|A+2E|=.

标准答案：2.3n

知识点解析：由于『0=3,可知”（印丁）二3.耶丁的秩为1,故0至少为邛丁的n—1

重特征值，故apT的特征值为0（n-l重），3.因此，A+2E=apT+3E的特征值为3（n-

1重），6,故|A+2E|=3n」.6=2.3n.

100'■0onri1r

A=011,0^010・D=022

」则

25、已知ABC=D,其中10°1I0oJLo03

B*=.

'00-21

0~35

标准答案：1-63-3J

64=T■■

知识点解析:因矩阵A,C,D均可逆，故"，B*=|B|B-1,且B"=(A"DC")-

00x

3

011

76

]工

1■—

i=CDJA=-2

三、解答题(本题共〃题，每题1.0分，共〃分。)

26、已知n(nN3)阶实矩阵A=®j)nxn满足条件:aij=Ajj(i,j=l,2,...»n),其中Ag

是ag的代数余子式；ai#0.求|A|.

标准答案：由已知aij=Aij,所以A*=AT,且AA*=AAT=|A|E.两边取行列式得

|AAT|—|A|2=||A|E|=|A|n,从而四四二1或|A|=0.由ai^O,可知|A、

=aiiAii+ai2Ai2+...+ainAin=aii+ai2+...ain>0,「是|A|=1.

知识点解析：暂无解析

27、|A|是n阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是1.证明：这个行列式的全部

代数余子式的和等于该行列式的值.

标准答案：不失一般性，设

1

又因

故

|A|=SA”=1A"+*A&+・♦・+之Ap=.SA«-

>-I>-i>-i«->/•>

知识点解析：暂无解析

］一彳j000

—11~xx00

Ds=0—11-J*x0■

00"-1—RX

28、计算000-11-x

-1X

1-JrX

-1LnI

标准答案：按第一行展开D5=(1-X)D4-X-11-X=（1-X）D4+XDJ得到

1-JX

1-X

递推公式D5-D4=-X（D4-D?）=X2（D3一D2）=一X3（E>2一D|）.由于D2=

俨一2=_3

4

<D4—D3=x,

=1-x+x2,Dj=l-x,于是得"一”容易推出D5=-x5+x4-x+D2=

—x5+x4-x3+x2-x+1.

知识点解析：暂无解析

ab

*—ba-dc

'-Cda-b

29、计算行列式—d-cba

abc

-ba-d

—cda

-d-cb

/+/+/+才

标准答案:

=(a2+b2+c2+d2)4.故原式=±(a2+b?+c2+d2)2(负号舍去.取b=c=d=O,原式=a4,可知

结果取

知识点解析：暂无解析

2x-lx+134+14x

2，(x4-l)?j-4-3

sinxarctanCr+1)ln(1+JF)2x4-1

taxiiarcsin工6r-1Xr+1

30、设f(x)=4试证明：存在&W(0,1),使得

r©=o・

标准答案:f(x)显然在［0,1］上连续,在(0,1)上可导.而

-1110

244

e-1113

244

/<0)=o701=OJ(1)=arctan2In23

3K[.

017e-14

f。可知f(x)在[0,1］上满足

罗尔定理的条件，故存在。&0,1),使得r(9=o.

知识点解析：暂无解析

31、设A为n(佗3)阶非零实矩阵，Aij为|A|中元素aij的代数余子式,证明下列结

论：⑴aij=Aij^ATA=E且|A|=1(2)aij=-AijG，ATA二E且|A|=-1.

标准答案：(1)当aij二Aij时，有人丁=A*,贝I」八丁人=AA*=|A|E.由于A为n阶非零实

SS吊>。.

矩阵，即aij不全为0,所以tr(AAT)='T，a...而tr(AAT尸tr(|A|E)二n|A|,这说

明|A|>0.在AAT=|A|E两边取行列式,得|Ap-2=l,|A|=1.反之,若人丁人=£且

|A|=1,贝IA*A=|A|E=E且A可逆，于是A,A=A*A,AT=A*,即ag=A“.(2)当a.=

一Aij时，有AT=-A*,则ATA=—A*A=一|A|E.由于A为n阶非零实矩阵，即ag

a»Aj,=一V]a£<0.下

不全为0,不妨假设其第j列存在非零元素，所以|A|二WW在A】A二

一|A|E两边取行列式得|A|二-1.反之，若ATA=E且⑶=一1,由于A*A二|A|E=一

E,于是ATA=-A*A.进一步，由于A可逆，得A,=-A*,即aij=-Aij.

知识点解析：暂无解析

32、设A是n阶矩阵，满足