【数学】2026届高考考前预测卷·全国一卷

【数学】2026届高考考前预测卷·全国一卷一、选择题1．已知集合，，则(

)A. B. C. D.答案：B解析：因为，，所以，故选B.2．已知复数z满足，则(

)A. B. C. D.答案：C解析：设，则，所以，即，即，故解得所以，所以.故选C.3．若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则(

)A. B. C.2 D.答案：A解析：由题意得，，又，所以，又，所以，则，故选A.4．已知函数的图象关于原点中心对称，则(

)A. B.1 C. D.2答案：D解析：易知，所以函数的定义域为，因为函数的图象关于原点中心对称，所以有，即，解得.故选D.5．[2025秋·高二·山东淄博·期末]若圆C经过,圆心在直线上,则圆C的面积为(

)A. B. C. D.答案：B解析：设圆的方程为：,所以,解得：,所以圆C的面积为；故选：B.6．已知，，则(

)A. B. C. D.答案：C解析：由题可得，，即，则，整理得，所以，解得.故选C.7．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O是的外心，且，则(

)A. B. C. D.答案：D解析：因为，，，所以，即，从而，令，，，，由余弦定理得.故选D.8．若曲线与有公共的切线，则的最大值为(

)A. B.2 C. D.1答案：D解析：设直线l与曲线相切于点，则直线，设直线l与曲线相切于点，则直线，因为曲线与有公共的切线，则两条切线的斜率、截距均相同，故则.令，，则在上单调递增，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，于是有，即.故选D.二、多项选择题9．[2025秋·高三·云南曲靖·期中校考]在矩形中，，，以对角线为折痕将进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，下列说法正确的是(

)A.三棱锥体积的最大值为B.三棱锥外接球的半径为1C.存在点使得D.当时，答案：ABD解析：如图所示，连接交于O，分别过A，C作，.对于A，当平面平面时，三棱锥的高最大，为三棱锥体积的最大值为A正确.对于B，，的中点为为三棱锥的外接球球心为直径→所求半径为B正确.对于C，假设存在点使得，连接，则，，平面与相矛盾（M，N不重合）假设错误C错误.对于D，，，平面，又，D正确.10．已知双曲线，的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点（A在第一象限），，P为线段的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是(

)A. B.双曲线C的离心率C.的面积为 D.直线的斜率为答案：AD解析：如图1所示，对于A选项，因为，所以，由双曲线的定义可得，所以，A正确.对于B选项，已知直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则为锐角且，可得，则，在中，由余弦定理得，即，所以，又，解得，B错误.对于C选项，因为，为钝角，则，，C错误.对于D选项，设，，则，可得，因为，则，由得，所以，则，D正确.11．[2025春·高一·湖南邵阳·期末]下列说法正确的是(

)A.在中，，则B.在锐角三角形中，不等式恒成立C.在中，若，则必是等腰直角三角形D.在中，若，，则必是等边三角形答案：ABD解析：对于A，由，可得，利用正弦定理可得，故A正确；对于B，在锐角三角形中，A，，，，，因此不等式恒成立，故B正确；对于C，在中，由，利用正弦定理可得，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，C错误；对于D，，，由余弦定理可得，可得，解得，可得，故D正确.故选ABD.三、双空题12．曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为________________，________________.答案：；解析：当时，，求导得，设切点为，则，曲线在点处的切线方程为，又该切线经过坐标原点，所以，解得，此时切线方程为.解法一：当时，，求导得，设切点为，则，曲线在点处的切线方程为，又该切线经过坐标原点，所以，解得，此时切线方程为.解法二：因为函数为偶函数，其图象关于y轴对称，所以过坐标原点与该函数图象相切的两条切线也关于y轴对称，所以当时，曲线的切线方程为.四、填空题13．的展开式中，第二、三项的二项式系数之和为21，则项的系数为______________________.答案：160解析：第二、三项的二项式系数之和为21，所以，整理得，解得.故.令，得，所以项的系数为.14．[2023年全国甲卷高考真题]记为等比数列的前n项和.若，则的公比为_________.答案：解析：若，则由得，则，不合题意.所以.当时，因为，所以，即，即，即，解得.故答案为：五、解答题15．已知正六边形的边长为2，中心为O，现从该正六边形的所有顶点中任取两个不同的顶点M，N，记随机变量X为的值.（1）求；（2）求X的分布列与数学期望.答案：（1）（2）分布列见解析，数学期望为解析：（1）若，则，的夹角小于，故.（2）由题意知，的夹角可能为，，.当时，，当时，，当时，，故X的所有可能取值为2，，，，，，所以X的分布列为X2P所以X的数学期望.16．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.答案：（1）见解析（2）证明见解析解析：（1）由，得，当时，恒成立，在R上单调递增；当时，若，则，单调递减；若，则，单调递增.当时，若，则，单调递增；若，则，单调递减.（2）证明：当时，恒成立，等价于恒成立.令，，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，令，，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以，即，所以，所以当时，.17．已知，分别是双曲线（，）的上、下焦点，双曲线C的渐近线方程是，且到双曲线C的渐近线的距离是.（1）求双曲线C的方程；（2）若过的直线l与C交于A，B两点，其中A在第一象限，B关于原点对称的点为M，且，求直线l的方程.答案：（1）（2）解析：（1）因为双曲线（，）的渐近线方程是，所以，即.由题可知，其中，因为点到双曲线C的渐近线的距离是，所以，所以，又，所以，，故双曲线C的方程为.（2）由题可知直线AB的斜率存在，设，，，则.联立直线l与C的方程，得，消去y得，则，且，，，则，.易知，，由，得，即，即，得，故直线l的方程为.18．[2025届·湖北·二模联考]如图，已知四边形ABCD为直角梯形，，，，以AD所在直线为轴将四边形ABCD旋转到四边形AEFD，连接BE，CF，且B，C，F，E四点共面.（1）证明：多面体ABCDFE是三棱台.（2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值.（3）若，二面角的余弦值为，求平面AEFD与平面ABE夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：（1）因为，平面，平面ABE，所以平面ABE.同理可得平面ABE，因为平面，，所以平面平面ABE①.如图1，在梯形ABCD中，延长AD，BC交于点H，连接FH，因为，平面BEFC，所以平面BEFC，同理平面AEFD，又平面平面，所以，故直线EF，BC，AD相交于点H②.故由①②可知多面体ABCDFE是三棱台.（2）方法一：如图2，连接BD，ED，设，则，又，所以，由，，得，，又，平面ABCD，所以平面ABCD，过点D作交AB于点G，故DC，DG，DE两两垂直.分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，故，，.设平面AEB的法向量为，所以则，令，得，所以，设直线AD与平面AEB所成角为，则，又平面平面CDF，故直线AD与平面CDF所成角的正弦值为.方法二：如图3，连接BD，ED，设，则，又，所以，由，，得，，又，平面ABCD，所以平面ABCD.过点D作交AB于点M，连接EM，因为平面ABCD，所以，又，平面DEM，所以平面DEM，又平面ABE，所以平面平面ABE.过点D作交EM于点N，连接AN，又平面平面，平面DEM，所以平面ABE，故就是直线AD与平面ABE所成的角.因为，，，所以，又，所以， 因为平面平面CDF，所以直线AD与平面CDF所成角的正弦值为.（3）如图4，取EB的中点P，连接PA，PH，因为，所以，即为等腰三角形，故，同理可得，故就是二面角的平面角，故，解得，故，即.又，故为正三角形.取AB的中点G，连接DG，易知.以D为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴的正方向，建立如图4所示的空间直角坐标系，其中，平面ABCD，则，，，，所以，，.设平面ABE的法向量为，则令，可得，设平面AEFD的法向量为，则令，可得，设平面AEFD与平面ABE的夹角为，则，故平面AEFD与平面ABE夹角的余弦值为.19．[2025届·河南驻马店·一模联考]已知数列的首项，当时，，数列满足，，数列和的所有项合在一起，按从小到大的顺序依次排列构成新数列.（1）求，，.（2）记为数列的前n项和，求使得成立的n的最小值.（3）从数列的前100项中每次随机抽取一项，有放回地抽取20次，设这20次抽取的项互不相同的概率为P，证明：.附：不等式（，且）的推广式（，，…，均大于0，且不全相等）成立.答案：（1），，（2）7（3）证明见解析解析：（1）由题意知数列是以1为首项、2为公差的