阅读理解（几何）-2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

阅读理解（几何）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题一、图形性质的阅读理解1．阅读材料：图形的密铺在生活、生产中被广泛应用，其中最著名的是荷兰艺术大师埃舍尔的作品(图1)，给人一种奇妙的美感．平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．而多边形的密铺就是共顶点的各多边形的内角之和等于360°(图2)．问题解决：（1）请说明图2中用两个正方形、三个等边三角形能够密铺的理由；（2）若只用一种正n边形进行密铺，且n≥3，密铺的个数为k，且k为正整数，请推导n与k满足的关系式，并直接写出所有满足条件的正多边形．2．阅读与思考：下面是小涵同学的数学错题本笔记，请仔细阅读他的解题思路并完成相应的任务．题目：如图，在△ABC中，AB=13cm，BC=14cm，AC=15cm，求△ABC的面积．方法1：如果△ABC的三边长分别为a,b,c，设p为△ABC周长的一半，那么利用海伦公式S△ABC=p方法2：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出△ABC的面积．（1）任务一：按“方法1”求△ABC的面积．（2）任务二：写出“方法2”的解答过程．3．学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线.作法：（I）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（II）分别以点M，N为圆心，大于0.5MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（III）画射线OC，则射线OC即为所求.（1）如图1，射线OC就是∠AOB的角平分线的依据是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS.（2）下面是小明同学给出的方法：如图2，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点E，F，连结CF，DE交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.你认为小明的这种作角平分线的方法（）（3）在不限于尺规作图的条件下，小颖同学用三角板按下面方法画角平分线：如图3，在已知∠AOB的边OA，OB上分别取OC=OD，再分别过点C，D作OA，OB的垂线，两垂线相交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB.4．阅读下列材料：平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为|P1P2|=（1）圆的标准方程x−12+y（2）圆心为C（-3，4），半径为2的圆的标准方程为：；（3）若已知⊙C的标准方程为：x−25．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“3倍角三角形”.例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40（1）如图①，已知∠MON=60，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，判断△AOB是不是“3倍角三角形”，为什么?（2）在(1)的条件下，以A为端点画射线AC，交线段OB于点C(点C不与点O、点B重合)，若△AOC是“3倍角三角形"，求∠ACB的度数；（3）如图②，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B，若△BCD是“3倍角三角形”，求∠B的度数.6．阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务，双关联线段【概念理解】如果两条线段所在直线形成的央角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段。例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB=CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段。【问题解决】问题1：如图1，在矩形ABCD中，AB<AD，若对角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB=°问题2：如图2，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，CA的延长线上，且AE=CD，连接AD，BE.求证：线段AD是线段BE的双关联线段。证明：延长DA交BE于点F∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°.∵∠BAC+∠BAE=180°，∠ACB+∠ACD=180°，∴∠BAE=ㄥACD（依据）.∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD.∴BE=AD，∠E=∠D.任务：（1）问题1中的∠ACB=°，问题2中的依据是.（2）补全问题2的证明过程；（3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）.7．阅读与思考倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．【探究对象】倍角三角形的性质【探究思路】从特殊到一般【性质发现】在△ABC中，若∠A=2∠B，则△ABC是倍角三角形，其中a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．如图1，当∠B=30°，b=1时，a2−b若∠B=45°，b=1时，a2−b【性质猜想】如图2，a，b，c之间的数量关系是：________．【证明猜想】如图3，延长CA到点D，使AD=AB，……任务1：请将“________”的内容补充完整；任务2：结合图3，完成“证明猜想”；【综合应用】

任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面的问题：如图4，在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD=BD，若AC，AB，BC的长度恰好是三个连续的正整数，请求出BC的长．8．【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．学习笔记：如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠ACB的对边分别记为a，b，c，锐角△ABC的面积记为S△ABC，过点C作CD⊥AB于点D，则sin∴CD=AC⋅sin∴S△ABC同理可得S△ABC=ac⋅即bc⋅sin由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半．又∵abc≠0，根据等式的基本性质，将bc⋅sinA2由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题．如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距18海里．（1）求△ADC的面积；（2）求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号）9．阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.方法1：在BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA到点N，使得.BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题.（1）结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明；（2）问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当∠DAC=60（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，.∠A+∠C=180∘,DA=DC,10．阅读理解半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质.（1）【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系.【初步探索】小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到线段BE、EF、FD之间的数量关系.（2）【探索延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=12（3）【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角∠EOF为70°，则此时两舰艇之间的距离为海里.11．【阅读】若P为∠ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点.如图，在△ABC中，如果三角形内部有一点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC的值最小.理由如下：将△APC绕点A逆时针旋转60°至△APC'，连结PP'，∠APC=∠AP'C'=120°∴AP=AP'，PC=P'C'，∠PAP'=60°∴△APP'是等边三角形∴AP=PP，∠APP'=∠AP'P=60°∴PA+PB+PC=PB+PP'+P'C'∴∠APB=∠APC=∠AP'C'=120°，∠APP=∠APP=60°∴点B，P，P'，C'四点在同一条直线上。此时，PA+PB+PC的值最小。（1）【应用】如图（一）所示，点P是△ABC内一点，且点P是△ABC的费马点，已知∠ABC=60°，PA=4，PC=3，求PB的长.（2）如图（二）所示，分别以锐角△ABC的边AB，AC向三角形外部作等边△ABD，等边△ACE，连结BE，CD交于点P，求证：点P为△ABC的费马点.（3）【拓展】如图（三），⊙O圆内接矩形ABCD内有一点P,PE⊥BC于点E，已知AD=2AB，且PA+PD+PE的最小值是12．材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．（1）在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点A、点B，把河岸抽象为直线L，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________．A．B．C．D．（2）如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，AC=10米，BD=20米，CD=40米，牧童从A处把牛牵到河边L饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．（3）已知a+b=8a>0,b>0，求a13．【阅读材料】问题如图，AB，CD相交于点O，O是AB的中点，AC∥BD，求证：O是CD的中点.问题分析由条件易证△AOC≌△BOD，从而得到OC=OD，即O是CD的中点.方法提取构造“平行8字形”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法.请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题.【基础应用】已知在△ABC中，.∠B=90（1）如图①，若AB=BC，AE=CF，求证：D是EF的中点；（2）如图②，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD与BE之间的数量关系；（3）【灵活应用】如图③，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，E是AB上一点，点F在BC的延长线上，AB=8，AE=2，AECF=ABBC14．阅读理解：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB=∠ACB，则A,B,C,D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D四点共圆．（1）如图1，已知∠ADB=∠ACB=60°，∠BAD=65°，则∠ACD=_____；（2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD,BE⊥AB,AD=2，求AE的长；（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE=3，求EF的长．二、图形变化的阅读理解15．【综合与实践】火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究：阅读理解激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离．发现原理被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像．建立模型如图，直线M'N'∥直线l1∥直线l2，直线MN垂直于l1和l2，垂足分别为M和N，线段MM'与线段N解决问题（1）作NH⊥MM'于点H，设MN=m，请用含m和α的式子表示HN的长度；（2）若M'N'=5，OM'=27，OM=14016．【问题提出】已知正方形ABCD和正方形AEGF共顶点A，把正方形AEGF绕点A顺时针旋转一定的度数，连接BG，探究BG的长．【问题探究】（1）如图（1），若正方形AEGF的边AF落在正方形ABCD的边AD上时，当AE=5,AB=7时，BG=_________；（2）如图（2），当AE=2，正方形AEGF的边GF的中点刚好落在点D时，求BG的长．（3）阅读材料并解决问题：在Rt△ACB中，设其中一个锐角∠A度数为α，则sinα=∴sin∵∠C=90°，根据勾股定理：在Rt△ACB中：a2∴请运用以上材料的结论，完成以下探究：一般情形，如图（3），当旋转度数为m45°<m<90°,AB=a,AE=b，请你用含有a，b，m的式子直接表示出【拓展应用】（4）如图（4），已知长方形ABCD和长方形AEFG全等，把长方形AEFG绕点A顺时针旋转，当AE所在的直线恰好过BG的中点O时，当AB=6,BC=3时，请直接写出BG的长．17．【综合与实践】【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性．素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为5−12．例如在图1中，点C为线段AB上一点，若BCAC=ACAB，则点C为线段AB的黄金分割点．从数据上可描述为：点C为线段AB上一点，若BCAC素材2：宽与长之比为5−1【特例感知】（1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数5−12≈0.618，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是154cm，下半身长92cm．试通过计算说明小军选择6cm（2）如图3，在黄金矩形ABCD中，长AD=2，则矩形ABCD的面积=__________；【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤：第一步，准备一张宽MN=2a，长MR足够的矩形纸片NMRT，利用图4的方法折出一个正方形NMAD，然后把纸片展平；第二步，如图5，把正方形NMAD折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到MA，ND的中点P，Q；第三步，折出矩形QPAD的对角线PD，并把PD折到如图6中的PB处；第四步，展平纸片，如图7，过点B折出BC⊥MR交NT于点C，得到矩形ABCD．小军得到两个结论：点A为线段MB的黄金分割点，所得矩形ABCD是黄金矩形．【问题解决】（3）请你证明小军的上述结论是否正确；（4）如图8，以AB为边折出正方形ABEF，延长EF交MN于点H，如图9，得到矩形NHFD，请证明S正方形18．阅读材料，并解决问题：【思维指引】（1）如图1等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数.解决此题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，连接P'P，借助旋转的性质可以推导出△PA【知识迁移】（2）如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，请判断EF，BE，FC的数量关系，并证明你的结论.【方法推广】（3）如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=3，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，直接写出PA+219．请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中∠CBD即为弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是弦切角定理的证明过程：①如图1．已知：A为圆上任意一点，当弦AB经过圆心O，且DB切⊙O于点B时，易证：弦切角∠CBD=∠A．②如图2．当点A是优弧BC上任意一点，DB切⊙O于点B．求证：弦切角∠CBD=∠A．证明：连接BO并延长交⊙O于点N，连接CN，如图2所示．∵DB与⊙O相切于点B，∴∠NBD=，∴∠CBD+∠CBN=90∵BN是直径，∴（直径所对的圆周角是直角），∴∠N+∠CBN=90∴∠CBD=∠N，又∵（同弧所对的圆周角相等），∴∠CBD=∠A．完成下列任务：（1）将上述证明过程补充完整；（2）运用材料中的弦切角定理解决下列问题：①如图3，△ABC的顶点C在⊙O上，AC和⊙O相交于点D，且AB是⊙O的切线，切点为B，连接BD．若AD=2,CD=6，求AB的长；②如图4，△ABC,AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D．试猜想∠CBD与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．20．阅读理解：（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=56°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数．解：由题意，若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆⊙A（可在图1中画出辅助圆⊙A），则点C、D必在⊙A上，∠BAC是BC所对的圆心角，而∠BDC是BC所对的圆周角，从而可容易得到∠BDC=________°．②类型二，“定角+定弦”：如图2，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段PC长的最小值．请将以下解题过程补充完整．解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠ABP+∠PAB=90°，∴∠APB=_______°，（定角）∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上，如图2，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小．请完成后面的解题过程．（2）【方法应用】如图3，在矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为________（直接写结果）．（3）【能力拓展】如图4，在正方形ABCD中，AD=10，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE=CF．连接AE和DF，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长．21．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．（1）在图2中，∠GAF的度数是（直接写答案）．参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD>BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，DE=4，求BE的长度．（3）如图4，△ABC中，AC=4，BC=6，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB=时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．三、图形坐标的阅读理解22．【阅读理解】点P在平面直角坐标系中，记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，给出以下定义：若d1≤d2，则称d1为点P的“微距值”；若d1>d2，则称d2为点P的“微距值”；特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“微距值”为0．例如，点P−3,5到【知识应用】（1）点A2,−3的“微距值”为（2）若点Ba,3（3）若点C在直线y=−3x+6上，且点C的“微距值”为2，求点C的坐标．23．阅读下列材料：平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为|P1P2|=(x1−x2)2（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：_；（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系.24．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x1，y1观察应用：（1）如图，若点P1(0，−1)、P2(2，3)的对称中心是点A，则点（2）在（1）的基础上另取两点B(−1，2)、C(−1，0)．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5

答案解析部分1．【答案】（1）解：∵正方形的每个内角为90°，正三角形的每个内角为60°，

∴2×90∘+3×6（2）解：∵k×180∘⋅【解析】【解答】解：（2）∵k，n为正整数，

∴n-2=1，2，4，

∴n=3，4，6，

∴正三角形、正方形、正六边形可以单独密铺．

故答案为：正三角形、正方形、正六边形.

【分析】（1）计算出正方形和等边三角形的内角，计算可得两块正方形和三块正三角形可以密铺解答即可；（2）结合正多边形内角公式可得k×180°⋅(n−2)n=360°2．【答案】（1）解：∵AB=13cm，BC=14cm，AC=15cm，

∴p=12(a+b+c)=p=12(13+14+15)=21cm，（2）解：过点A作AD⊥BC于点D，设BD=xcm，则CD=14−x∴∠ADB=∠ADC=90°，根据勾股定理得：AD即132解得：x=5，∴AD=A∴S【解析】【分析】（1）按照“方法1”的思路，先求出周长一般p的值，然后再将数据海伦公式计算出△ABC的面积即可；（2）按照“方法2”的思路，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=xcm，则CD=(14-x)cm，在Rt△ABD与Rt△ACD中，分别根据勾股定理表示出AD2的值，从而建立方程求出x的值，进而求出AD的长，再利用三角形面积公式求出△ABC的面积即可．（1）解：∵AB=13cm，BC=14cm，AC=15cm，∴p=1∴==84cm（2）解：过点A作AD⊥BC于点D，设BD=xcm，则CD=14−x∴∠ADB=∠ADC=90°，根据勾股定理得：AD即132解得：x=5，∴AD=A∴S3．【答案】（1）C（2）正确（3）证明：∵OC=OD，OP=OP，

∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)，

∴∠COP=∠DOP，

∴OP平分∠AOB。【解析】【解答】（1）解：如图所示，

连接MC，NC，由作法得MC=NC，OM=ON，OC=OC，

∴△OMC≌△ONC(SSS)，

∴∠AOC=∠BOC；

（2）由作法得OC=OD，OE=OF，因此CE=DF.

在△OCF和△ODE中，OC=OD，∠COF=∠DOE，OF=OE

∴△OCF≌△ODE(SAS)，

∴∠CEP=∠OFP，

在△CEP和△DPF中，∠CEP=∠DFP，∠CPE=∠DPF，CE=DF，

∴△CEP≌△DFP(AAS)，

∴EP=FP

在△OEP与△OFP中，OE=OF，EP=PF，OP=OP

∴△OEP≌△OFP(SSS)

∴∠EOP=∠FOP

即OP平分∠AOB.

【分析】（1）利用SSS证明出△OMC≌△ONC，即可选出答案；（2）通过三次证明三角形全等，即可选出正确选项；（3）利用HL证明出Rt△OPC≌Rt△OPD，即可得出答案。4．【答案】（1）（1，2）；5（2）x−3（3）解：由题意圆心为C(2，0)，∵A∴AC=∴点A在⊙C内部.【解析】【解答】解：（1）圆的标准方程x−12+(2)圆心为C(3，4)，半径为2的圆的标准方程为：x−3故答案为：x−32【分析】(1)根据阅读材料知识解答即可；

(2)根据圆的标准方程的定义求解即可.(3)得到圆心坐标和圆的半径，求出AC的长，可得结论.5．【答案】（1）解：△AOB是“3倍角三角形”，

理由如下：

∵AB⊥OA，

∴∠OAB=90°，

∵∠MON=60°，

∴∠OBA=30°，

∴3×30°=90°，

∴∠OAB=3∠OBA，

∴△AOB是“3倍角三角形”（2）解：当∠AOC=3∠OAC时，即3∠OAC=60°

∴∠OAC=20°

∴∠ACB=80°，

当∠AOC=3∠ACO时，即3∠ACO=60°

∴∠ACO=20°

∴∠ACB=160°(舍)

当∠ACO=3∠OAC时，4∠OAC=180°-60°

∴∠OAC=30°

∴∠ACO=90°

∴∠ACB=90°

综上所述：∠ACB的度数为80°或90°.（3）解：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠EFC+∠DFE=180°，

∴∠BDC=∠DFE，

∴BD//EF，

延长EF交BC于点G，

∵∠DEF+∠BDE=180°，∠DEF=∠B，

∴∠B+∠BDE=180°

∴DE//BC，

∴∠EDC=∠BCD，∠B=∠ADE

∵DE平分∠ADC

∴∠ADE=∠EDC

∴∠B=∠ECB，

∵△BCD是“3倍角三角形”，

当∠BDC=3∠B时，3∠B+2∠B=180°，

∴∠B=36°；

当∠B=3∠BDC时，13∠B+2∠B=180°

∴∠B=(5407)°【解析】【分析】(1)分别求出△ABC的三个内角，再由定义进行判断即可；

(2)分三种情况讨论：当∠AOC=3∠OAC时，∠ACB=80°；当∠AOC=3∠ACO时，∠ACB=160°(舍)；当∠ACO=3∠OAC时，∠ACB=90°；

(3)延长EF交BC于点G，可分别得到BD//EF，DE//BC，则有∠B=∠BCD，再分两种情况讨论：当∠BDC=3∠B时，∠B=36°；当∠B=3∠BDC时，∠B=(5406．【答案】（1）30；等角的补角相等（2）解：∵∠AFB是△AEF的外角，∴∠AFB=∠EAF+∠E.∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB=∠CAD+∠D.∵∠EAF=∠CAD，∠E=∠D，

∴∠AFB=∠ACB=60°.即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°.∵AD=BE，线段AD是线段BE的双关联线段。（3）解：答案不唯一，例如：作法一：作法二：如图，线段CD即为所求.【解析】【解答】

解：(1)设AC，BD的交点为O，如图：

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB，∠ABC=90°；

∵对角线AC与BD互为双关联线段，

∴∠AOB=60°，

∴∆AOB是等边三角形，

∴∠OAB=60°，

∴∠ACB=90°-∠OAB=30°；

问题2中的依据是：等角的补角相等；

故答案为：30，等角的补角相等；

【分析】

(1)设AC，BD的交点为O，利用矩形的性质，结合新定义概念可证明∆AOB是等边三角形，由等边三角形的性质利用角度的和差运算即可解答；2小问利用等角的补角相等即可完成问题2的依据，解答即可；

(2)利用三角形外角的性质可得∠AFB=∠EAF+∠E，∠ACB=∠CAD+∠D，再用等边三角形的性质即可∠AFB=∠ACB=60°，解答即可；

(3)作一个等边三角形解答即可.7．【答案】解：任务1：性质探究：如图1，在△ABC中，若∠BAC=2∠ABC，则△ABC是“倍角三角形”，其中a，b，c分别表示∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边．

当∠ABC=30°，b=1时，∠BAC=2∠ABC=60°，

则∠ACB=90°，此时c=2b=2，a2=c2−b2=22−12=3，

则a2−b2=3−1=2，bc=2；

当∠ABC=45°，b=1时，∠BAC=2∠ABC=90°，

则∠ACB=45°，此时c=b=1，a2=c2+b2=12+12=2，

则a2−b2=2−1=1，bc=1．

性质猜想：a，b，c之间的数量关系为a2−b2=bc．

故答案为：2；1；a2−b2=bc；

任务2：如图2，延长CA到点D，使AD=AB=c．

∴∠D=∠ABD．

∴∠BAC=∠D+∠ABD=2∠D．

∵∠BAC=2∠ABC，

∴∠ABC=∠D．

又∵∠ACB=∠BCD，

∴△ABC∽△BDC．

∴BCDC=ACBC，

即ab+c=ba．

∴a2【解析】【分析】任务1：当∠ABC=30°，b=1时，∠BAC=2∠ABC=60°，则∠ACB=90°，根据含30∘角的直角三角形特征计算即可；当∠ABC=45°，b=1时，∠BAC=2∠ABC=90°，则∠ACB=45°性质猜想：根据前面两个结论找出a，b，c之间的数量关系求解即可．任务2：根据题意先求出∠ABC=∠D，再根据相似三角形的判定方法求出△ABC∽△BDC，最后根据相似三角形的性质求解即可.任务3：根据等腰三角形的性质求出∠DCB=∠B，再求出△ABC是“倍角三角形”，最后计算求解即可.8．【答案】（1）81（2）69．【答案】（1）证明（方法1）：∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠MBD

在△ABD与△MBD中，

BD=BD∠ABD=∠MBDBA=BM

∴△ABD≅△MBD(SAS)

∴DA=DM，∠A=∠BMD

∵∠A+∠C=180°，∠BMD+∠DMC=180°

∴∠C=∠DMC

（2）解：BD=BA+BC。理由如下：

在BD上截取BE=BA，连接AE。

易证△ABE与△ACD为等边三角形

∵∠BAC+∠EAC=60°,∠EAD+∠EAC=60°

∴∠BAC=∠EAD

在△BAC与△EAD中，

AB=AE∠BAC=∠EADAC=AD

∴△BAC≅△EAD(SAS)

∴BC=EC

∵BD=BE+EC

∴（3）解：BC-AB=2EC。理由如下：

过点D作DF⊥BA的延长线于点F。

∵∠BAD+∠DAF=180°,∠BAD+∠C=180°

∴∠DAF=∠C

在△DAF与△DCE中，

∠DAF=∠C∠DFA=∠DEC=90°DA=DC

∴△DAF≅△DCE(AAS)

∴AF=EC，DF=DE

在Rt△BDF与Rt△BDE中，

DF=DEBD=BD

∴Rt△BDF≅Rt△BDE(HL)

∴BF=BE

∴BA+AF=BC-EC

∵AF=EC

【解析】【分析】(1)利用SAS判定易证△ABD≅△MBD，等量代换可证∠C=∠DMC，故DC=DM=DA；

(2)截长补短，将BD分为BE，DE两段，其中BE=BA，然后利用SAS判定证明△BAC≅△EAD，从容得到BC=EC，故而可证明BD=BA+BC；

(3)首先等量代换得到∠DAF=∠C，利用AAS判定证明△DAF≅△DCE，可知AF=EC，DF=DE，再利用HL判定证明Rt△BDF≅Rt△BDE，得到BF=BE，最后等量代换得出BC-AB=2EC。10．【答案】（1）EF=BE+DF（2）解：仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=∠BAE+∠EAD，∠EAG=∠EAD+∠DAG，∴∠BAD=∠EAG．∵∠EAF=1∴∠EAF=1∴∠EAF=∠GAF．在△AEF和△AGF中，AE=AG∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=FG，∵GF=GD+DF=DF+BE，∴EF=BE+DF；（3）270【解析】【证明】（1）解：如图1，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG=90°∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+DF，∴EF=DF+DG=FG，在△AEF和△AGF中，AE=AGAF=AF∴△AEF≌△AGF(SSS)，∴EF=FG，∵GF=GD+DF=DF+BE，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF；

（3）解：连接EF，延长AE、BF交于点C，如图，∵∠AOB=30°+90°+(90°−70°)=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=1∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°−30°)+(70°+50°)=180°，∴四边形OACB中：OA=OB，∠OAC+∠OBC=180°且∠EOF=1∴四边形OACB符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=AE+BF=1.答：此时两舰艇之间的距离是270海里．【分析】（1）延长FD到G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，即可得到∠BAE=∠DAG，AE=AG，然后再得到△AEF≌△AGF，根据对应边相等即可得到结论；（2）仿照（1）的方法证明即可；（3）连接EF，延长AE、BF交于点C，利用已知条件得到四边形OABC中，OA=OB，∠OAC+∠OBC=180°且∠EOF=12∠AOB11．【答案】（1）解：∵点P是△ABC的费马点

∴∠APB=∠BPC=120°，

∴∠PCB+∠PBC=60°，

∵∠ABC=60°，

∴∠PBA+∠PBC=60°，

∴∠PCB=∠PBA，

∴△PBC~△PCB，

∴PCPB=PBPA，

（2）解：如图，作AM⊥CD，AN⊥BE，连接AP，

∵△ABD、△ACE是等边三角形，

∴∠DAB=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，

∴∠DAC=∠BAE，

∴△ACD≅△AEBSAS，

∴∠ADC=∠ABE，

∵∠DFA=∠BFP，

∴∠BPF=∠DAB=60°，

∴∠BPC=∠DPE=120°，

∵AM⊥CD，AN⊥BE，

∴AM=AN，

∴∠APM=∠APN=12∠DPE=60°，

∴∠APB=∠APC=120°，（3）解：如图，将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，连接NP，BD，

∴AP=AN，∠MAQ=∠NAP=60°，MN=PD，AM=AD，

∴PN=AP，

∴当点M、N、P、E在同一直线上时，PA+PD+PE有最小值，

此时PA+PD+PE=PN+MN+PE=ME，

设AB=x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，AD∥BC，

∵AD=2AB，

∴∠ABD=2∠ADB=60°，

∴AM=AD=3x，

∵PE⊥BC，

∴ME⊥AD，

∴QE=AB=x，MQ=32AM=32x，

∴ME=52x，

∵PA+PD+PE的最小值是52，【解析】【分析】(1)由费马点的定义可得∠APB=∠BPC=120°，∠PCB=∠PBA，进而证得△PBC~△PCB，再利用相似三角形的性质得到PCPB=PBPA，即可求得PB的长度.

(2)由等边三角形的性质可得∠DAB=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，进而通过SAS判定△ACD≅△AEB得到∠ADC=∠ABE，再通过三角形的内角和定理得到∠BPF=∠DAB=60°，利用全等三角形的性质可得AM=AN，由角平分线的性质可得∠APM=∠APN=60°，即可求得∠APB=∠APC=120°，故点P为△ABC的费马点.

(3)将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，易证△APN是等边三角形，故当点M、N、P、E在同一直线上时，PA+PD+PE有最小值，此时PA+PD+PE=PN+MN+PE=ME，利用圆周角定理可得∠ABD=60°，设AB=x，AD=312．【答案】（1）D（2）解：如图，延长AC至点A'，使得AC=A'C，连接过点A'作A'P∥CD，与BD则A'在Rt△A'BP中，BP=AC+BD=30∴A（3）解：如图，设线段DE=a+b=8=DM+EM，作AD⊥DE，BE⊥DE，取AD=2，BE=4，

a2+16+b2+4的值可看作AM+BM的值．

当A，M，B三点共线时，AM+BM的值最小，

即AM+BM的最小值为AB的长．

作AC⊥BE于点C，

∴【解析】【解答】（1）解：选：D，理由：如图，作点A关于直线L的对应点A'，连接A'B交直线L于点C，则点C就是所要求作点．在直线L在任取另一点D由轴对称的性质可得：AC=AAC+BC=A'C+BC=在△A'BD∴AC+BC<AD+DB，故选：D．【分析】（1）先利用轴对称的性质作点A关于直线L的对称点A`，则CA＝CA`，则CA+CB转化为CA`+CB，显然两点之间线段最短，即连接A`B，则线段A`B的长度即最短距离；（2）利用将军饮马模型作点A关于直线L的对称点A`，再连接A`B，再过点A`作直线L的平行线A`P，再过点B作直线A`P的垂线交A`P于点P，再利用勾股定理求出A`B的长度即可；（3）由于16和4分别是4和2的平方，a与br的和为定值，则可作线段DE＝8，再分别过D、E在线段两侧作DE的垂线段DA和BE，使AD＝2，BE＝4，再在DE任取一点M，则由勾股定理可得AM=a（1）解：选：D，理由：如图，作点A关于直线L的对应点A'，连接A'B交直线L于点C，则点C就是所要求作点．在直线L在任取另一点D由轴对称的性质可得：AC=AAC+BC=A'C+BC=在△A'BD∴AC+BC<AD+DB，故选：D．（2）如图，延长AC至点A'，使得AC=A'C，连接过点A'作A'P∥CD，与BD则A'在Rt△A'BP中，BP=AC+BD=30∴A（3）如图，设线段DE=a+b=8=DM+EM，作AD⊥DE，BE⊥DE，取AD=2，a2+16+当A，M，即AM+BM的最小值为AB的长．作AC⊥BE于点C，∴CE=AD,DE=AC则BC=4+2=6，∴AB=A∴a13．【答案】（1）证明：∵AB=BC，∠B=90°，∴∠A=∠ACB=45°.如图①，过点E作EG∥BF，交AC于点G，则∠DGE=∠DCF，∠AEG=∠B=90°.∴△AEG是等腰直角三角形，则AE=GE.∵AE=CF，∴GE=CF.又∵∠GDE=∠CDF，∴△DGE≌△DCF.∴DE=DF.∴D是EF的中点（2）解：如图②，过点E作EG∥BF，交AC于点G，则△AEG∽△ABC，∴∴AE=2EG.∵AE=2CF，∴EG=CF.∵EG∥BF，∴∠DGE=∠DCF，∠AEG=∠B=90°.又∵∠GDE=∠CDF，∴△DGE≌△DCF(AAS).∴CD=DG.∵EG‖BF，∴∵AE=2EG，∴AG=∴∴CD=（3）52π【解析】【解答】（3）

∵AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，

∴∠ACB=90°，

过点E作EG∥BF，则△AEG∽△ABC，

∴AEEG=ABBC，

∵AECF=ABBC，

∴EG=CF，

∵EG∥BF，

∴∠AGE=∠ACB=90°，

∴∠DGE=∠DCF=90°，

又∵∠GDE=∠CDF，

∴△DGE≌△DCF（AAS），

∴CD=DG，

过点D作DM∥BF，则DGEM=CDBM，∠ADM=90°，

∴EM=BM，

∵AB=8，AE=2，

∴BE=6，则EM=BM=12BE=3，

∴AM=AE+EM=5，

∴点D在以AM为直径的半圆上运动，

∴D运动的路径长为：πd2=52π，

过点F作FH∥AC，则ABBC=AHCF，∠BFH=90°，

∵AECF=ABBC，

∴AE=AH=2，

∴14．【答案】（1）55°（2）在线段CA取一点F，使得CF=CD，如图2所示：∵∠C=90°,CF=CD,AC=CB，∴AF=DB,∠CFD=∠CDF=45°，∴∠AFD=135°，∵BE⊥AB,∠ABC=45°，∴∠ABE=90°,∠DBE=135°∴∠AFD=∠DBE∵AD⊥DE，∴∠ADE=90°，∵∠FAD+∠ADC=90∘，∴∠FAD=∠BDE，在△ADF和△DEB中，∠FAD=∠BDEAF=BD∴△ADF≌△DEB（ASA），∴AD=DE，∵∠ADE=90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=2（3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°，∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，∴∠KBE=∠EGK=60∘，∴△ABK是等边三角形，∴AB=AK=KB=4，作KM⊥AB，则M为AB的中点，∴KM=AK⋅sin60°=23∵AE=3,AM=1∴ME=3−2=1，∴EK=∴EF=EK【解析】【解答】解：（1）∵∠ADB=∠ACB=60°，∴A,B,C,D四点共圆，∴∠ACD=∠ABD=180°−∠ADB−∠BAD=180°−60°−65°=55°．故答案为：55°；【分析】

本题考查了四点共圆的判定定理，四点共圆的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形、等边三角形的判定与性质，勾股定理、三角函数的应用，以及辅助线构造的几何思想.（1）根据题目给出的等角条件，直接判定A，B，C，D四点共圆，再利用圆周角相等的性质，结合三角形内角和求出目标角；（2）通过“截长补短”构造CF=CD，创造出AF=DB的等量条件，再通过角度计算证明∠AFD=∠DBE、∠FAD=∠BDE，用ASA证明△ADF≌△DEB，进而得到AD=DE，结合等腰直角三角形的边长关系求出AE；

（3）作EK⊥FG于，利用等边三角形三线合一得到K是FG的中点，再通过四个直角判定两组四点共圆，利用圆周角性质得到60°等角，证明△ABK是等边三角形，再作KM⊥AB，用勾股定理求出EK，最后结合三角函数求出EF的长度.（1）解：∵∠ADB=∠ACB=60°，∴A,B,C,D四点共圆，∴∠ACD=∠ABD=180°−∠ADB−∠BAD=180°−60°−65°=55°．故答案为：55°（2）在线段CA取一点F，使得CF=CD，如图2所示：∵∠C=90°,CF=CD,AC=CB，∴AF=DB,∠CFD=∠CDF=45°，∴∠AFD=135°，∵BE⊥AB,∠ABC=45°，∴∠ABE=90°,∠DBE=135°∴∠AFD=∠DBE∵AD⊥DE，∴∠ADE=90°，∵∠FAD+∠ADC=90∘，∴∠FAD=∠BDE，在△ADF和△DEB中，∠FAD=∠BDEAF=BD∴△ADF≌△DEB（ASA），∴AD=DE，∵∠ADE=90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=2（3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°，∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，∴∠KBE=∠EGK=60∘，∴△ABK是等边三角形，∴AB=AK=KB=4，作KM⊥AB，则M为AB的中点，∴KM=AK⋅sin60°=23∵AE=3,AM=1∴ME=3−2=1，∴EK=∴EF=EK15．【答案】解：过点N作NH⊥MM'于点H，

∴∠NHM=90°，∠CMH=α

∴∠NMH+∠MNH=90°∵MN⊥l∴∠CMN=90°，

∴∠CMH+∠NMH=90°

∴∠MNH=∠MNH=α∴在Rt△MHN中，cos∠MNH=HNMN

（2）作N'D∥MN交MM'于点D，∵M'∴∠N'M'D=α，DN'⊥M'N'，

∴在Rt△DM'N'中，cosα∴DM'=∴OD=OM'-DM'=27-8=19，∵N'D∥MN，∴△DON'∽△MON，∴MND∴MN=7DN'=7×7=49.【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形是解题关键；（1）过点N作NH⊥MM'于点H，根据对顶角相等可知：∠CMH=α，再根据垂直的定义可知：∠NHM=90°，∠CMN=90°，再根据角的和差运算可知：∠NMH+∠MNH=90°，∠CMH+∠NMH=90°，根据同角的余角相等可知：∠MNH=∠MNH=α，再根据锐角三角函数的定义可知：在Rt△MHN中，cos∠MNH=（2）作N'D∥MN交MM'于点D，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠N'M'D=α，再根据锐角三角函数的定义可知：在Rt△DM'N'中，cosα=M'N'DM'16．【答案】（1）13；（2）解：如图，过点G作GI⊥AB于点I，交AE于点H，

在正方形ABCD中，AD⊥AB，∴GI∥AD，在正方形AEGF中，AE∥GF，∴四边形ADGH是平行四边形，∴AH=DG，GH=AD=AE=2∵点D是GF的中点，GF=AE=2，∴AH=DF=DG=1在Rt△AFD中，AF=AE=2，∴AB=AD=D∵∠E=∠AIH=90°,∠EHG=∠IHA，∴△EGH∽△IAH，∴EGAI=∴AI=25∴IH=AH2在Rt△GIB中，∠I=90°，∴GB=B（3）a2+2b2【解析】【解答】解：（1）在正方形AEGF和正方形ABCD中，AE=DG=5,AB=7,∠GEB=90°，∴BG=E故答案为：13；（3）过点G作GI⊥AB于点I，交AF于点K，则GI∥AD，

∴∠GKF=∠DAF=m在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD=a，在正方形AEGF中，AE=AF=GF=EG=b，∠F=90°，在Rt△GFK中，sin∠GDF=GF∴GK=bsinm∴AK=AF−KF=b−b在Rt△AIK中，∠AKI=m，∴cos∠AKI=∴KI=AK⋅cosAI=AK⋅∴GI=GK+KI=bIB=AB−AI=a−b在Rt△GIB中，GB=I（4）过点B作BM⊥AE于M，

∵四边形ABCD和四边形AEFG是全等的矩形，AB=6,BC=3，∴∠GAE=∠AMB=90°，AG=BC=3,AE=AB=6∵BO=BO,∠AOG=∠MOB，∴△AOG≌△MOB，∴BM=AG=3，在Rt△ABM中，sin∠MAB=∴∠MAB=30°，∴∠GAB=∠GAO+∠MAB=90°+30°=120°过点G作GN⊥AB，交BA的延长每于点N，则∠GAN=180°−∠GAB=60°，在Rt△GAN中，GN=AG⋅sin60°=3×3∴BN=AN+AB=3在Rt△GNB中，GB=【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.

（2）过点G作GI⊥AB于点I，交AE于点H，根据正方形性质可得GI∥AD，再根据平行四边形判定定理可得四边形ADGH是平行四边形，则AH=DG，GH=AD=AE=2，再根据线段中点可得AH=DF=DG=12GF=1，再根据勾股定理可得AB=AD=5，根据相似三角形判定定理可得△EGH∽△IAH，则EGAI=GHAH，代值计算可得AI，IB，再根据勾股定理可得IH，根据边之间的关系可得GI，再根据勾股定理即可求出答案.

（3）过点G作GI⊥AB于点I，交AF于点K，则GI∥AD，则∠GKF=∠DAF=m，根据正方形性质可得AB=BC=CD=AD=a，AE=AF=GF=EG=b，∠F=90°，根据正弦，余弦定义可得GK，FK，KI，AI，再根据边之间的关系可得GI，IB，再根据勾股定理即可求出答案.

（4）过点B作BM⊥AE于M，根据全等四边形可得∠GAE=∠AMB=90°，AG=BC=3,AE=AB=6，再根据全等三角形判定定理可得△AOG≌△MOB，则BM=AG=3，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得∠MAB=30°，再根据边之间的关系可得∠GAB，过点G作17．【答案】解：（1）（1）如图，

∵小军妈妈的身高是154cm，下半身长92cm．小军选择6cm高跟鞋，

∴AC=154+6=160，BC=92+6=98，

∴BCAC=98160=0.6125，ABBC=160−9898=6298≈0.633，

∵误差在0.618±0.02范围内符合题意，

∴选择范围为：0.598∼0.638，

∴小军选择6cm高跟鞋送给妈妈能够达到想要的效果；

（2）25−2；

（3）小军的结论正确，理由如下：

∵由对折可得：四边形NMAD是正方形，

∴MN=DN=AM=AD=2a，

∴AP=PM=QD=NQ=a，

∴PD=a2+2a2=5a，

由对折可得：PD=PB=5a，∠ABC=90°，

∴AB=5a−a=5−1a，BC=MN=2a，

∴ABBC=5−12，

∴矩形ABCD为黄金矩形；

（4）∵【解析】【解答】解：（2）∵在黄金矩形ABCD中，长AD=2，∴ABAD∴AB=5∴矩形ABCD的面积为AB⋅AD=25−1=25−2【分析】（1）如图，计算BCAC=98160=0.6125，AB（2）由对折可得：四边形NMAD是正方形，则MN=DN=AM=AD=2a，AP=PM=QD=NQ=a，PD=a2+2a2（3）根据折叠的性质可证MN=DN=AM=AD=2a，可得AP=PM=QD=NQ=a，根据勾股定理可得PD=a2+2a2=5a，根据折叠性质可得（4）正方形ABEF的边长AB=5−1a，则其面积为5−1a2=5−12a18．【答案】（1）等边；150；（2）EF如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE由旋转的性质得，AE'=AE，CE'=BE，∵∠EAF=45°，∴∠E∴∠EAF=∠E在△EAF和△EAE=AE∴△EAF≌△E∴E∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠E由勾股定理得，E'即EF（3）19【解析】【解答】解：（1）∵△ACP∴AP=AP'=3，C依题意得旋转角∠PAP∴△PAP∴PP'=AP=3∴PP∴△P'PC∴∠APB=∠AP故答案为：等边；150；（3）如图，在△ABC内部任取一点P，连接AP，BP，CP，将△BPC绕点B顺时针旋转90°得到△BP由旋转的性质得：PB=P∵∠PBP∴PP∴PA+2∴当A，P，P'，C'四点共线时，PA+2如图，过点A作BC'垂线交∵∠ABC=30°，∴∠BAD=30°，∴BD=12AB=1又∵BC∴C∴AC【分析】（1）根据全等三角形性质可得AP=AP'=3，CP'=BP=4，∠AP'C=∠APB，根据旋转性质可得∠PAP'=∠BAC=60°，根据等边三角形判定定理可得△PAP'为等边三角形，则PP'=AP=3，∠AP'P=60°，根据勾股定理逆定理可得△P'PC为直角三角形，且∠PP'C=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.

（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE'，根据旋转性质可得AE'=AE，CE'=BE，∠CAE'=∠BAE，∠ACE'=∠B，∠EAE'=∠BAC=90°19．【答案】（1）90°；∠BCN=90°；∠N=∠A（2）解：①如图3，∵AB是⊙O的切线，切点为B，∴∠ABD=∠ACB，又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴ADAB=ABAC，

∴2AB=AB8②∠BAC=2∠CBD，理由如下：连接AE，如图4所示，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，AE⊥BC，又∵AB=AC，∴AE是∠BAC的角平分线，

∴∠BAC=2∠BAE，又∵BD是⊙O的切线，∴∠CBD=∠BAE，∴∠BAC=2∠CBD．【解析】【解答】解：（1）证明：连接BO并延长交⊙O于点N，连接CN，如图2所示：∵OB是⊙O的半径，DB与⊙O相切于点B，∴∠NBD=90°，

∴∠CBD+∠CBN=90°，

∴∠BCN=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠N+∠CBN=90°，∴∠CBD=∠N，又∵∠N=∠A（同弧所对的圆周角相等），∴∠CBD=∠A．故答案为：90°；∠BCN=90°；∠N=∠A，【分析】（1）根据切线的性质可证得∠CBD+∠CBN=90°，再由圆周角定理的推论可证得∠N+∠CBN=90（2）①由弦切角定理，可得∠ABD=∠ACB，进而可证明△ABD∽△ACB，由相似三角形的对应边成比例，即可求AB的长，②连接AE，由AB是直径，可得AE⊥BC，由等腰三角形三线合一的性质，可得AE是∠BAC的角平分线，再结合弦切角定理，即可求解.（1）解：如图2∵OB是⊙O的半径，DB与⊙O相切于点B，∴∠NBD=90°，∴∠BCN=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠N+∠CBN=90°，∴∠CBD=∠N，又∵∠N=∠A（同弧所对的圆周角相等），∴∠CBD=∠A．故答案为：90°；∠BCN=90°；∠N=∠A，（2）解：①如图3，∵AB是⊙O的切线，切点为B，∴∠ABD=∠ACB，又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴ADAB=∴2AB=②如图4，连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，AE⊥BC，又∵AB=AC，∴AE是∠BAC的角平分线，即：∠BAE=1又∵BD是⊙O的切线，∴∠BAE=∠CBD，∴∠CBD=120．【答案】解：（1）①28；②∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠ABP+∠PAB=90°，∴∠APB=90°，（定角）∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上，如图2，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小．∵⊙O的直径AB=12，∴OB=OP=1在Rt△BOC中，OC=O∴线段PC长的最小值为OC−OP=10−6=4．（2）4；（3）如图4，连接AC,BD，交于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC,OA=OD,∠ADE=∠DCF=90°，AC⊥BD，在△ADE和△DCF中，AD=DC∠ADE=∠DCF=90°∴△ADE≌△DCFSAS∴∠AED=∠DFC，∵∠DCF=90°，∴∠DFC+∠CDF=90°，∴∠AED+∠CDF=90°，∴∠APD=∠DPE=90°，∴在点P的运动过程中，始终有∠APD=90°，又∵点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，∴点P的运动路径是在以AD为直径的圆的OPD上，如图4，取AD的中点G，连接OG，∴GO=GD=12AD=∴点P的运动路径长为90π×5180【解析】【解答】解：（1）①∵AB=AC，AD=AC，∴如图1，以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∵∠BAC是BC所对的圆心角，而∠BDC是BC所对的圆周角，且∠BAC=56°，∴∠BDC=1故答案为：28．（2）如图3，连接AC,AM，∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∴AC=A∵点B与点M关于直线AP的对称，∴AM=AB=6，∴点M在以点A为圆心，AB为半径的圆上运动，∴当点M在线段AC上时，MC的值最小，最小值为AC−AM=10−6=4，故答案为：4．【分析】）（1）①以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.

②根据角之间的关系可得∠APB=90°，则点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.

（2）连接AC,AM，根据勾股定理可得AC，再根据对称性质可得AM=AB=6，则点M在以点A为圆心，AB为半径的圆上运动，当点M在线段AC上时，MC的值最小，最小值为AC−AM=10−6=4，即可求出答案.

（3）连接AC,BD，交于点O，根据正方形性质可得AD=DC,OA=OD,∠ADE=∠DCF=90°，AC⊥BD，再根据全等三角形判定定理可得△ADE≌△DCFSAS，则∠AED=∠DFC，再根据角之间的关系可得∠APD=∠DPE=90°，则在点P的运动过程中，始终有∠APD=90°，点P的运动路径是在以AD为直径的圆的OPD上，取AD的中点G，连接OG21．【答案】（1）45°；2解：如下图所示，过点A作AH⊥BC，交CB延长线于H，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△AGF，∴∠FAE=90°，AE=AF，∠AGF=∠D=90°，FG=DE=4，∵直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD>BC），∠D=90°，AD=CD=10，∴∠AHC=∠D=∠C=90°，∴四边形AHCD是正方形，AD=AH=CH，∠DAH=90°，∴点H与G重合，F、H、B三点共线，∵∠BAE=45°，∴由1可知∠FAB=∠EAB=45°，在△AFB和△AEB中，AF=AE∠FAB=∠EAB∴△AFB≌△AEB（SAS），∴BF=BE，