2026年天津高考数学试卷真题深度解读及答案详解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年天津高考数学真题完全解读试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读试题分析2026年天津高考数学试卷延续天津卷自主命题的20题结构（9道单选题+6道填空题+5道解答题），总分150分。试卷整体难度适中，梯度清晰，体现基础性、综合性、应用性相结合的命题特点。单选题前6题侧重基础概念和常规运算，第7-9题逐步提升难度；填空题第10-13题为基础运算，第14-15题融入三角函数最值和抛物线多选判断，体现综合应用；解答题覆盖三角函数、立体几何、解析几何、数列和导数五大主干模块，第20题导数压轴题涉及对数放缩和恒成立求参数，难度较大。全卷注重通性通法，强调对基本概念和公式的准确理解与灵活运用，对运算能力和逻辑推理能力要求较高。试题亮点1.多选填空创新设问，思维深度显著提升：第15题以抛物线为背景设置多选填空，要求判断5个命题的正确性，考查学生对抛物线弦与轴交点性质的深入理解。此类题型在天津卷中较为典型，融合了解析几何、代数运算和逻辑判断，对学生的综合分析能力提出较高要求。2.数列与集合交汇命题，考查创新思维：第19题将等差数列与等比数列的通项公式、集合元素计数和错位相减法求和融为一体，尤其是第(2)(ii)问需要利用分组求和与错位相减法，体现了数列模块的综合性与创新性。3.导数压轴题层次分明，对数放缩彰显区分度：第20题以函数切线、不等式证明和恒成立求参数三问层层递进，第(3)问需要构造辅助函数、取对数放缩，结合分类讨论确定参数的最大值，充分体现了导数作为顶尖区分度载体的功能。命题趋势1.基础概念考查持续深化，注重通性通法：天津卷单选前6题和填空前4题保持较低难度，但如第3题线性回归并非机械套用公式，而是需要理解相关系数的意义和预测值的含义；第5题正方体空间几何需要综合线面关系进行判断。未来命题将继续以基础题为基本盘，但会通过概念理解的深度检验学生是否真正掌握知识本质。2.解答题模块分布稳定，解析几何与数列仍是重点：天津卷解答题5题分别覆盖三角函数、立体几何、解析几何、数列和导数，模块分布较为固定。第18题椭圆与圆的综合、第19题数列与集合的交汇，体现了天津卷对解析几何和数列模块的重视。预计这一结构将稳定延续，解析几何和数列的综合应用将持续成为考查重点。3.导数压轴题探究性特征明显，放缩技巧常态化：第20题第(3)问涉及对数放缩和裂项求和，需要学生自主构造函数、利用已证结论进行放缩。近三年天津卷导数压轴题均涉及恒成立求参数或不等式证明，且放缩技巧的运用频率增加，预计这一趋势将持续。4.概率统计融入实际情境，数据分析能力要求提升：第3题以候鸟数量与温度关系的调查数据为背景，考查线性回归和相关系数的理解；第13题以有放回取球的条件概率为背景。随着新课标对数据分析素养的强调，概率统计模块的情境化和应用性将进一步增强。考点细目表题号题型分值具体考点关键能力1单选5集合与常用逻辑用语→集合运算→集合的交并补运算数学运算2单选5集合与常用逻辑用语→充分必要条件→充分必要条件的判断逻辑推理3单选5概率与统计→线性回归→相关系数与回归方程的理解数据分析4单选5函数与导数→函数图像→函数奇偶性与单调性的图像判断直观想象5单选5立体几何→空间位置关系→正方体中线面平行与垂直的判断直观想象6单选5函数与导数→函数性质→指数、对数、幂函数的大小比较数学运算7单选5函数与导数→基本不等式→利用基本不等式求最值数学运算8单选5数列→等差数列→由前n项和求通项公式数学运算9单选5解析几何→双曲线→双曲线的几何性质与离心率数学运算10填空4三角函数与解三角形→三角恒等变换→三角函数的化简求值数学运算11填空4函数与导数→二项式定理→二项展开式中指定项的系数数学运算12填空4三角函数与解三角形→解三角形→正弦定理的应用数学运算13填空4概率与统计→概率计算→独立重复试验与条件概率数据分析14填空4三角函数与解三角形→三角函数最值→三角函数的值域与最值数学运算15填空4解析几何→抛物线→抛物线弦的性质与多选判断数学运算16解答15三角函数与解三角形→三角函数综合→三角函数的周期、最值和求值数学运算17解答15立体几何→空间向量与立体几何→线面垂直的证明、二面角和体积计算直观想象18解答15解析几何→椭圆→椭圆的标准方程与直线斜率数学运算19解答16数列→数列综合→等差等比数列通项、集合计数与错位相减法逻辑推理20解答17函数与导数→导数综合→切线方程、不等式证明与恒成立求参数逻辑推理考点模块占比分析基础知识模块（约18%，27分）：重点考查集合运算、充分必要条件、函数图像识别等基础概念，对应第1、2、4题。天津卷基础题注重概念理解的准确性，如第3题对回归方程的理解需要区分预测值与确定值。函数与导数模块（约30%，45分）：重点考查函数性质、基本不等式、二项式定理、三角函数化简与最值、导数应用等，对应第4、6、7、10、11、14、16、20题。第20题导数压轴题涉及对数放缩和恒成立求参数，是天津卷的最高区分度题目。平面解析几何与立体几何模块（约23%，34分）：重点考查双曲线离心率、抛物线性质、椭圆标准方程与直线斜率、正方体空间位置关系、长方体中的二面角和体积，对应第5、9、15、17、18题。第15题多选填空是天津卷的特色题型。数列与三角函数模块（约19%，29分）：重点考查等差数列通项、三角函数周期与最值、解三角形、数列与集合的综合，对应第8、10、12、14、16、19题。第19题将等差等比数列与集合计数、错位相减法融为一体，体现综合创新能力。概率与统计模块（约10%，15分）：重点考查线性回归与相关系数、独立重复试验概率、条件概率，对应第3、13题。概率统计模块融入实际情境，考查数据分析和数学建模能力。核心复习策略1.夯实基础概念，重视通性通法（1）系统梳理集合、函数、三角函数、数列、概率等核心概念，确保基础题零失误。天津卷基础题占比大，前13题约73分，是稳定得分的关键。（2）加强基本运算能力训练，尤其是三角函数化简、数列求和、解三角形等常规运算，提高运算速度和准确率。2.突破解析几何与立体几何综合题型（1）掌握圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程和几何性质，熟练运用弦长公式、韦达定理等核心工具。特别关注天津卷特色的多选填空题型。（2）加强空间想象能力培养，通过建立空间直角坐标系和几何法两种途径解决立体几何问题，掌握线面关系、二面角和体积的计算方法。3.提升压轴题突破能力（1）导数压轴题注重构造函数、分类讨论和放缩技巧的训练。熟练掌握常见放缩不等式（如lnx≤x-1，e^x≥x+1等），积累对数放缩和裂项求和的经验。（2）数列综合题注重等差等比数列的基本量计算、错位相减法和分组求和法的训练，提升从特殊到一般的归纳思维能力。避坑提醒（考试最易踩的雷）×基础概念理解模糊：如第3题混淆预测值与确定值，第5题空间位置关系判断不严谨，导致基础题失分。×忽视多选填空的答题策略：第15题多选填空要求选全对才得分，容易因漏选或错选而失分，需逐项验证。×运算失误：天津卷填空题和解答题运算量较大，三角函数化简、数列求和、导数计算等环节容易出错，需提高运算准确性。×导数放缩方向错误：第20题对数放缩时容易放缩方向错误或忽略等号成立条件，导致证明失败或参数范围求错。一、单选题1．已知全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1,3}，集合B={−2,0,1}，则(A．{−2} B．{−2,2} C．{0,1,2} D．{−2,0,1,2}命题透视►核心考点：集合的交并补运算►命题分析：（1）情境创设：直接考查集合运算的基本概念，无复杂情境，属于纯数学概念题。（2）问题设计：以选择题形式直接考查全集、补集和交集的运算，要求学生准确理解集合运算的定义。（3）考查目标：考查学生对集合概念的理解和基本运算能力，属于基础记忆层次。答案与解析【答案】D【详解】由题可得(∁UA则(∁知识总结①核心概念：全集、子集、交集、并集、补集的定义。②解题要点：借助数轴或韦恩图辅助理解集合关系，注意端点值的取舍。③拓展关联：集合运算常与不等式、函数定义域结合考查。2．设x∈R，则“x>0”是“xA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件命题透视►核心考点：充分必要条件的判断►命题分析：（1）情境创设：以不等式解集关系为背景，考查充分必要条件的判断。（2）问题设计：通过解不等式确定两个集合的包含关系，进而判断条件类型。（3）考查目标：考查逻辑推理能力和不等式求解能力，属于基础应用层次。答案与解析【答案】A【详解】由x2+3x>0，解得：即x>0时，x所以“x>0”是“x知识总结①核心概念：充分条件、必要条件、充要条件的定义。②解题要点：先分别求解两个命题对应的集合，再判断集合间的包含关系。③拓展关联：充分必要条件与集合的包含关系一一对应，A⊆B则A是B的充分条件。3．调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数r=−0.91，根据最小二乘法算得：y=−1.17xA．y与x负相关 B．当x=10时，yC．当x=10时，y一定小于1359 命题透视►核心考点：线性回归与相关系数►命题分析：（1）情境创设：以候鸟数量与温度关系的调查数据为背景，考查线性回归方程和相关系数的理解。（2）问题设计：通过散点图和回归方程，判断变量相关性、预测值的含义等。（3）考查目标：考查数据分析能力和统计概念的理解，属于综合应用层次。答案与解析【答案】A【详解】因为相关系数r=−0.91所以y与x负相关，所以A正确，D错误；当x=10时，y=−11.7+1370.7=1359，所以y约为所以B，C错误.知识总结①核心概念：相关系数r（|r|越接近1相关性越强，r>0正相关，r<0负相关）、回归方程的预测值是估计值而非确定值。②解题要点：理解回归方程的预测性质，区分"约为"与"一定"的表述。③拓展关联：线性回归分析常与独立性检验、频率分布直方图等结合考查。4．函数f(x)的部分图象如图所示，则fA．x+sinπx B．x−sinπx命题透视►核心考点：函数图像的识别►命题分析：（1）情境创设：通过函数的部分图像，判断函数的解析式。（2）问题设计：结合函数奇偶性、单调性和特殊点，利用排除法确定正确选项。（3）考查目标：考查函数性质的综合运用和图像分析能力，属于综合应用层次。答案与解析【答案】C【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.【详解】由题意，由题意及图得，函数y=fx为奇函数，且当x对A选项，当x=1时，1+对B选项，当x=1时，1−对D选项，当x=1时，1×对C选项，在g(g−g(1)=−1+知识总结①核心概念：函数的奇偶性、单调性、特殊点（如x=0,x=1等）的函数值。②解题要点：先判断函数奇偶性缩小范围，再利用特殊点排除错误选项。③拓展关联：函数图像识别常与导数、三角函数、指数对数函数结合考查。5．正方体ABCD−A1A．AC//A1C1 B．CC1⊥面ABC C．命题透视►核心考点：正方体中的空间位置关系►命题分析：（1）情境创设：以正方体为载体，考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判断。（2）问题设计：通过几何证明和反证法，判断四个选项中错误的一个。（3）考查目标：考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于综合应用层次。答案与解析【答案】D【分析】A项，通过证明四边形ACC1A1是平行四边形，即可证明结论；B项，通过CC1⊥BC，CC1⊥CD，即可证明CC1⊥【详解】由题意，在正方体ABCD−A项，AA1//C∴四边形ACC∴AC//B项，由几何知识得，CC1⊥BC∩CD=C，BC⊂平面ABC∴CC1⊥C项，∵AC//A1C1，A1C∴AC//平面A由几何知识得，BC//A1∴四边形A1∴CD∵A1B⊂平面A1C∴CD1//∵AC∩CD∴平面ACD1//D项，假设平面ADD1⊥平面AC此时有A1∴A1D⊥∵AC⊂平面AC∴A1连接A1C1由几何知识得，AC//A1C在△A1C∴三角形为等边三角形，∠C故D错误.知识总结①核心概念：线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理。②解题要点：利用平行四边形证明线线平行，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直。③拓展关联：空间位置关系的判断可通过几何法或空间向量法解决。6．已知函数f(x)=lnx，若a=f(20.3)，bA．a<b<c B．b<a命题透视►核心考点：指数、对数、幂函数的大小比较►命题分析：（1）情境创设：通过指数函数、对数函数和幂函数的单调性，比较三个数的大小。（2）问题设计：利用对数换底公式和指数运算性质，将三个数转化为同底或同指形式进行比较。（3）考查目标：考查函数单调性的应用和运算能力，属于综合应用层次。答案与解析【答案】A【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简f(【详解】由题意可得f(因为函数y=x0.3在(0,+∞)又因函数y=3x在R所以c=因1<20.3<30.3所以f(20.3故a<知识总结①核心概念：指数函数y=a^x（a>1时递增）、对数函数y=log_ax（a>1时递增）、幂函数y=x^a的单调性。②解题要点：利用中间值（如0,1）进行分段比较，或利用单调性直接比较。③拓展关联：大小比较常与构造函数、导数判断单调性结合。7．(x+1A．10 B．9 C．8 D．6命题透视►核心考点：基本不等式求最值►命题分析：（1）情境创设：利用基本不等式求代数式的最小值。（2）问题设计：通过代数变形，构造满足基本不等式使用条件的表达式。（3）考查目标：考查基本不等式的灵活运用和代数变形能力，属于综合应用层次。答案与解析【答案】B【详解】因为x+当且仅当x2=4x2所以x+知识总结①核心概念：基本不等式a+b≥2√ab（a,b>0，当且仅当a=b时取等）。②解题要点：注意"一正二定三相等"的使用条件，通过拆项、配凑构造定值。③拓展关联：基本不等式常与函数最值、解析几何中的最值问题结合。8．已知S2n−Sn=nA．68 B．56 C．−3 D．−4命题透视►核心考点：由前n项和求通项公式►命题分析：（1）情境创设：已知数列的前n项和S_n，求数列的某一项。（2）问题设计：利用a_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)的关系，逐步递推求解。（3）考查目标：考查数列递推关系和运算能力，属于基础应用层次。答案与解析【答案】C【分析】根据前n项和的含义，依次令n=2,3,4【详解】由S2S2−SS4−S因为a3=6，所以S6−S3=3S8−S4=4知识总结①核心概念：a_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)，a_1=S_1。②解题要点：注意n≥2时的递推关系，验证n=1时是否满足通项公式。③拓展关联：由S_n求a_n是数列问题的基础，常与等差等比数列结合考查。9．已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点为FA．4 B．83 C．85 命题透视►核心考点：双曲线的几何性质与离心率►命题分析：（1）情境创设：已知双曲线上点的几何关系，求双曲线的离心率。（2）问题设计：通过几何关系构造关于a,b,c的方程，转化为关于离心率e的方程求解。（3）考查目标：考查双曲线的几何性质和运算求解能力，属于综合应用层次。答案与解析【答案】D【分析】过点P作PH垂直x轴，垂足为H，根据几何关系用a,c表示出点【详解】如图，过点P作PH垂直于x轴，垂足为H，因为FA=FP，所以∠FPA又PF=FA=根据双曲线对称性，不妨设点P在第二象限，则P−将点P坐标代入双曲线方程得：−1整理得a+3将b2=c两边同时除以a4，整理得3e−4知识总结①核心概念：双曲线c^2=a^2+b^2，离心率e=c/a>1。②解题要点：利用几何关系（如焦点、顶点、双曲线上点的坐标关系）建立方程，消去参数得到关于e的方程。③拓展关联：双曲线的离心率问题常与渐近线、焦点三角形等结合考查。二、填空题10．化简(3+i)命题透视►核心考点：三角函数的化简求值►命题分析：（1）情境创设：直接考查三角函数的化简运算。（2）问题设计：利用诱导公式和二倍角公式进行三角函数化简。（3）考查目标：考查三角恒等变换的基本运算能力，属于基础记忆层次。答案与解析【答案】8+6【详解】3+i知识总结①核心概念：诱导公式、二倍角公式。②解题要点：准确记忆特殊角的三角函数值，灵活运用诱导公式化简。③拓展关联：三角函数化简常与三角函数图像、解三角形结合考查。11．(x+2y)4命题透视►核心考点：二项展开式中指定项的系数►命题分析：（1）情境创设：求二项展开式中某一项的系数。（2）问题设计：写出二项展开式的通项公式，令x的指数等于目标值，求出对应的系数。（3）考查目标：考查二项式定理的应用和运算能力，属于基础应用层次。答案与解析【答案】8【分析】根据二项式定理得到x+2【详解】根据二项式定理，x+2y4当r=1时，T2=C4知识总结①核心概念：二项展开式的通项公式T_{r+1}=C_n^ra^{n-r}b^r。②解题要点：准确写出通项公式，根据题意列出方程求出r，再计算系数。③拓展关联：二项式定理常与赋值法、近似计算结合考查。12．在△ABC中，BC=4，AC=3，cosA命题透视►核心考点：正弦定理的应用►命题分析：（1）情境创设：在三角形中已知两角和一边，求另一边。（2）问题设计：利用三角形内角和求出第三个角，再用正弦定理求解。（3）考查目标：考查解三角形的基本运算能力，属于基础应用层次。答案与解析【答案】31516【详解】在△ABC中，cosA=−由正弦定理可得sinB知识总结①核心概念：正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。②解题要点：注意三角形内角和为π，利用正弦定理建立边角关系。③拓展关联：正弦定理常与余弦定理、三角形面积公式结合考查。13．箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________．命题透视►核心考点：独立重复试验与条件概率►命题分析：（1）情境创设：以有放回取球为背景，考查独立重复试验的概率和条件概率。（2）问题设计：第一空利用独立重复试验公式计算概率；第二空利用条件概率公式P(A|B)=P(AB)/P(B)求解。（3）考查目标：考查概率计算和条件概率的理解，属于综合应用层次。答案与解析【答案】827【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论.【详解】由题意，第一空：箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。设事件A1表示没取到黄球，事件A有放回抽取，每次取到非黄球的概率为PA三次都没取到黄球的概率：PA第二空：设事件B1表示至少取到一次红球，事件BPB∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：PBPA∴PB∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是3764知识总结①核心概念：独立重复试验概率P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}，条件概率P(A|B)=P(AB)/P(B)。②解题要点：明确事件定义，区分"三次都没取到黄球"和"至少取到一次红球"的事件关系。③拓展关联：概率计算常与排列组合、统计图表结合考查。14．已知a=a⋅b=1，b>1，记c=λa+μb命题透视►核心考点：三角函数的值域与最值►命题分析：（1）情境创设：已知三角函数的表达式，求特定条件下的值和取值范围。（2）问题设计：利用三角恒等变换化简表达式，通过换元转化为二次函数求最值。（3）考查目标：考查三角恒等变换和函数最值的综合求解能力，属于综合应用层次。答案与解析【答案】21,3【分析】第一空：利用c=λa+μb和a+b−c=0得出λ和μ的值，即可得出结论；第二空：将c=λa【详解】由题意，a=a⋅b=1第一空：当a+b−∴λ=∴λ+第二空：将c=λa+μ两边平方，得：(1−λ展开：(1−λ代入|a|=1，a⋅(1−λ令x=1−λ，y=1−则原式变为：x2配方得：x2由于t2>1，(t即|s|≤1，解得λ+因此，λ+μ的取值范围为：知识总结①核心概念：两角和公式、辅助角公式、二次函数最值。②解题要点：通过换元将三角函数表达式转化为关于新变量的二次函数，注意新变量的取值范围。③拓展关联：三角函数最值常与导数、基本不等式结合考查。15．在平面内，O为坐标原点，抛物线y2=2x上有A、B、C、D四个点，A、B、C、D的纵坐标分别为yA、yB、yC、yD，直线AB与直线CD交x轴于点P，直线AC交x轴于点M，直线BD①若P与抛物线焦点重合，则yA②yA③OMON④yA⑤S命题透视►核心考点：抛物线弦的性质与多选判断►命题分析：（1）情境创设：以抛物线为背景，探究抛物线弦与轴交点的性质，判断多个命题的正确性。（2）问题设计：先推导抛物线弦与轴交点横坐标的一般公式，再利用公式逐项验证5个命题。（3）考查目标：考查解析几何的综合分析能力和逻辑判断能力，属于创新探究层次。答案与解析【答案】②④【分析】首先探求抛物线弦与x轴交点坐标与弦端点纵坐标积的关系，再利用关系式逐项分析，①②易得，③④⑤将长度与面积都转化为纵坐标表示，化简求解可得.【详解】由题意A、B、C、D为抛物线y2=2x设抛物线y2=2x上任意两点S当s+t≠0时，直线ST则直线ST方程为y−令y=0，则直线ST与x轴的交点R横坐标特别地，当s+t=0此时直线ST垂直于x轴，x0因此，直线ST与x轴的交点R横坐标x0=−st①由题意直线AB交x轴于点P，若P与抛物线焦点重合，则其横坐标为12故由∗式可得12=−y②由题意直线AB与直线CD交x轴于点P，则由∗式可得点P横坐标x0可得yA③由题意直线AC交x轴于点M，直线BD交x轴于点N，则由∗式可得OM=则OMON故OMON④由∗式可得yA当点A或C为原点时，则点P,M也重合于原点，此时当点A与C均不为原点时，即yA≠0，且则结合②结论可知，yA则有yA⑤由yAyB=yS=y如图，当OMON≠1时，故答案为：②④知识总结①核心概念：抛物线标准方程、弦的方程、直线与轴交点。②解题要点：先推导一般结论（直线与x轴交点横坐标x0=-y1y2/2p），再代入验证各命题。③拓展关联：抛物线的焦点弦性质、弦中点问题是解析几何的重点。三、解答题16．已知f((1)求最小正周期；(2)若x∈−π(3)若α∈(0,π2)，命题透视►核心考点：三角函数的周期、最值和求值►命题分析：（1）情境创设：以正弦型函数为载体，考查周期、最值和三角函数值的计算。（2）问题设计：三问分别考查最小正周期、给定区间内的最值、已知三角函数值求其他值。（3）考查目标：考查三角函数的基本性质和运算能力，属于基础综合层次。答案与解析【答案】(1)π(2)最大值为32，最小值为(3)2【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解；（2）利用换元法，结合正弦函数性质求解；（3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解.【详解】（1）T=（2）若x∈[−π6由正弦函数性质可知，当2x+π6=−π6当2x+π6=π3所以函数f(x)的最大值为3（3）若α∈(0,π2)，则sin2α=2则f(知识总结①核心概念：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的周期T=2π/|ω|，换元法求最值。②解题要点：将ωx+φ视为整体，利用正弦函数的有界性求最值。③拓展关联：三角函数综合题常与解三角形、平面向量结合考查。17．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB(1)求证：BD⊥面CEF(2)求面AEF与面CEF的夹角的余弦值；(3)求三棱锥A−命题透视►核心考点：线面垂直的证明、二面角和体积计算►命题分析：（1）情境创设：以长方体为载体，考查空间几何中的线面关系、二面角和体积。（2）问题设计：三问分别要求证明线面垂直、求二面角的余弦值、求三棱锥体积，提供多种解法。（3）考查目标：考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，属于综合应用层次。答案与解析【答案】(1)方法一：如图，过点E作EG//CC1,交AD于点G，则有AG=3连接CG,则C,C1,E由GDCD=CDBC=12所以∠GCD=∠DBC，则可得∠长方体ABCD−A1B1因为BD⊂平面ABCD，所以C又CC1∩CG=C,CC方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D−则D0,0,0所以DB=所以DB⋅所以DB⊥CE,又CE∩CF=C,CE,CF⊂(2)15(3)2【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证；（2）建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角的余弦值可得；或由面面角的向量求法可得；（3）由向量法证明AE⊥EF，从而求得△AEF的面积，由向量法求得点C到平面AEF的距离，再根据棱锥的体积公式求得三棱锥A−CEF的体积；或由向量法求得点A【详解】（1）略（2）方法一：过点E作EG//CC1,交AD于点G，则有AG=3连接CG，则C,F,E,如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D−DEF=−1,2,−1，AE=所以AE⊥取EF的中点P，则P12,1,GP⋅EF=所以异面直线AE与GP所成的角等于平面AEF与平面CEF的夹角.又cosAE所以平面AEF与平面CEF的夹角的余弦值为155方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D−则D0,0,0所以AE=设平面AEF的法向量为n=则n⋅AE=−3由（1）知平面CEF的一个法向量为DB=所以cosn所以平面AEF与平面CEF的夹角的余弦值为155（3）方法一：由EF=−1,2,−1，AE=所以AE⊥所以△AEF的面积为1由（2）知，平面AEF的一个法向量为n=1,1,1点C到平面AEF的距离为AC⋅所以三棱锥C−AEF的体积所以三棱锥A−CEF的体积为方法二：点A到平面CEF的距离为AE⋅因为EG//CF，所以E,G到所以△CEF的面积等于△GCF的面积，即所以三棱锥A−CEF的体积为知识总结①核心概念：线面垂直的判定定理、二面角的平面角、等体积法。②解题要点：建立空间直角坐标系，利用向量法求法向量和夹角；或用几何法找二面角的平面角。③拓展关联：立体几何问题可通过几何法或空间向量法解决，向量法更具通性。18．已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求C的标准方程；(2)斜率为−3的直线与圆x2+y2=b2相切，且该直线交椭圆于P(x1,y1)，Q命题透视►核心考点：椭圆的标准方程与直线斜率►命题分析：（1）情境创设：已知椭圆的离心率和弦长，求标准方程；再研究与圆相切的直线与椭圆相交的斜率关系。（2）问题设计：第一问利用离心率和弦长建立方程求参数；第二问利用直线与圆相切的条件和韦达定理求斜率之积。（3）考查目标：考查解析几何的综合运算能力和方程思想，属于综合应用层次。答案与解析【答案】(1)x(2)3【分析】（1）根据椭圆的离心率可知a=2c，b2（2）根据直线与圆相切即可求出m=±2【详解】（1）由于椭圆的离心率为12，所以e=c由于a2=b将x=b代入椭圆方程，得b2a2+y由题意，所截得的线段长为3，所以2×32c=3所以椭圆的方程为x2（2）由（1）可知，b2=3，所以圆的方程为设直线l的方程为y=−3x则圆心到直线l的距离d=m−椭圆上顶点A0,①当m=23时，直线l的方程为y=−化简得5x2−16x+12=0则当x=2时，y=0，当x=65时，y则k1=0−32−0②当m=−23时，直线l的方程为y=−化简得5x2+16x+12=0当x=−2时，y=0，当x=−65时，y则k1=−43综上所述，k1k2知识总结①核心概念：椭圆标准方程、离心率、弦长公式、直线与圆相切。②解题要点：设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式建立方程；注意分类讨论直线斜率是否存在。③拓展关联：解析几何综合题常涉及设而不求、整体代换的解题策略。19．已知等差数列an与等比数列bn满足：a1=2，b1(1)求数列an，b(2)记En=x∈Rx≤n，∃k（i）求c3（ii）求m=1命题透视►核心考点：等差等比数列通项、集合计数与错位相减法►命题分析：（1）情境创设：将等差数列与等比数列的通项公式、集合元素计数和数列求和融为一体。（2）问题设计：第一问求通项公式；第二问(i)利用集合中元素个数的定义求解；(ii)利用分