2023-2024学年天津市部分区高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）i是虚数单位，则复数＝（）A．1﹣i B．1+i C． D．2．（4分）对于两个事件M，N，则事件M∪N表示的含义是（）A．M与N同时发生 B．M与N不能同时发生 C．M与N有且仅有一个发生 D．M与N至少有一个发生3．（4分）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，若A'O'＝，B'O'＝C'O'＝1，则△ABC的面积是（）A． B． C．1 D．24．（4分）已知，，则（）A． B． C． D．5．（4分）下列说法正确的是（）A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形6．（4分）某校要从高一某班5名班干部（其中2名男生，3名女生）中抽调2人，主持国旗下讲话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为（）A． B． C． D．7．（4分）在△ABC中，若，AC＝2，A＝60°，则B＝（）A． B． C．或 D．8．（4分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α C．若m∥α，m⊥n，则n⊥α D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β9．（4分）在四边形ABCD中，，，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，H分别是AB，DD1，BC1的中点，给出下列结论：①C1D1∥平面ABH；②AC⊥平面BDF；③直线EF与直线BC1所成的角为；④平面ABH与底面ABCD所成二面角的大小为．其中正确的结论有（）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分。11．（4分）甲、乙两人破译同一个密码，已知他们能破译出该密码的概率分别为和，若甲、乙两人是否译出该密码相互独立，则甲、乙都译出该密码的概率为．12．（4分）一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7，则这组数据的方差为．注：一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，它的方差为．13．（4分）已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数λ的值为．14．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为36π，点E为棱BC的中点，则三棱锥C1﹣AED的体积为．注：球的表面积S＝4πR2，其中R为球的半径．15．（4分）在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足＝x+（x∈R），则x的值为；若AC＝3，AB＝4，则的值为．三、解答题：本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（12分）已知i是虚数单位，复数z＝（m2+2m﹣8）+（m﹣2）i，m∈R．（Ⅰ）当m＝1时，求|z|；（Ⅱ）若z是纯虚数，求m的值；（Ⅲ）若z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围．17．（12分）抽取某车床生产的8个零件，编号为A1，A2，…，A8，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间[1.49，1.51]内的零件为一等品．（Ⅰ）求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（Ⅱ）从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的編号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinB+bcosA＝0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝，b＝，求△ABC的面积．19．（12分）高一年级进行消防知识竞赛，从所有答卷中随机抽取样本，将样本数据（成绩/分）按[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成5组，并整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值和众数；（Ⅱ）若成绩在[50，60）内有30人，现从成绩在[80，90）和[90，100]两组中，采取分层随机抽样的方法抽取12人，则这两组分别抽取多少人？（Ⅲ）年级决定表彰成绩排名前25%的学生，已知某学生的成绩是86，请以此样本数据来估计该生能否得到表彰，并说明理由．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB．平面ABCD，且AD∥BC，∠ADC＝90°，BC＝CD＝AD＝1，E为AD的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCE；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PBD；（Ⅲ）若PA＝2，PB＝，求直线PA与平面PBD所成的角的正弦值．

2023-2024学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）i是虚数单位，则复数＝（）A．1﹣i B．1+i C． D．【考点】复数的除法运算．【答案】A【分析】结合复数的除法运算，即可求解．【解答】解：．故选：A．2．（4分）对于两个事件M，N，则事件M∪N表示的含义是（）A．M与N同时发生 B．M与N不能同时发生 C．M与N有且仅有一个发生 D．M与N至少有一个发生【考点】事件的并事件（和事件）．【答案】D【分析】根据已知条件，结合和事件的定义，即可求解．【解答】解：事件M∪N表示的含义是：M与N至少有一个发生．故选：D．3．（4分）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，若A'O'＝，B'O'＝C'O'＝1，则△ABC的面积是（）A． B． C．1 D．2【考点】斜二测法画直观图．【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则求解．【解答】解：画出△ABC，如图所示：由斜二测画法的规则可知，AO＝1，BO＝CO＝1，所以△ABC的面积是S＝＝1．故选：C．4．（4分）已知，，则（）A． B． C． D．【考点】平面向量的加法；空间向量数量积的坐标表示；平面向量的模；平面向量的平行向量（共线向量）．【答案】B【分析】结合向量的坐标运算法则，以及向量数量积运算，向量模公式，即可求解．【解答】解：，，则，，故A错误，B正确；1×1≠2×（﹣2），故不成立，故C错误；，故D错误故选：B．5．（4分）下列说法正确的是（）A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【考点】圆柱的结构特征；圆锥的结构特征；棱柱的结构特征；棱锥的结构特征．【答案】D【分析】根据题意，由圆柱的结构特征分析A，由直棱柱的定义分析B，由旋转体的定义分析C，由正棱锥的结构特征分析D，综合可得答案．【解答】解：对于A，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线与轴线平行是该圆柱的母线，故A错误；对于B，直四棱柱的上下底面不一定是矩形，故不一定是长方体，故B错误；对于C，将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个简单组合体，由两个圆锥和一个圆柱组成，故C错误；对于D，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确．故选：D．6．（4分）某校要从高一某班5名班干部（其中2名男生，3名女生）中抽调2人，主持国旗下讲话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】B【分析】利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：2名男生记为A，B，3名女生记为a，b，c，从5人中抽取2人，样本空间为Ω＝{AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc}，共10个样本点，设事件A表示“抽调的班干部都是女生”，则A＝{ab，ac，bc}，共3个样本点，所以P（A）＝．故选：B．7．（4分）在△ABC中，若，AC＝2，A＝60°，则B＝（）A． B． C．或 D．【考点】正弦定理．【答案】A【分析】结合正弦定理，即可求解．【解答】解：AC＜BC，A＝60°，则B＜60°，，AC＝2，A＝60°，则sinB＝＝＝，B为三角形ABC的内角，则B＝．故选：A．8．（4分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α C．若m∥α，m⊥n，则n⊥α D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β【考点】空间中直线与直线平行；直线与平面垂直．【答案】D【分析】利用正方体逐项判断直线与平面的位置关系．【解答】解：A项，如图：平面ABCD为平面α，则m，n可能平行，异面或相交，A项错误；B项，平面ABCD为平面α，直线n可能在平面α内，B项错误；C项，平面ABCD为平面α，直线A1D为直线m，A1B1为直线n，则n∥α，C项错误；D项，若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，D正确．故选：D．9．（4分）在四边形ABCD中，，，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】C【分析】由已知可得ABCD为矩形，即可得与的夹角．【解答】解：因为，所以AB＝DC且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形，又，两边平方得：4，所以，即AB⊥AD，所以平行四边形ABCD为矩形，∠CAB为与的夹角，所以与的夹角为π﹣∠CAB，又，所以在Rt△ABC中，，所以，所以与的夹角为．故选：C．10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，H分别是AB，DD1，BC1的中点，给出下列结论：①C1D1∥平面ABH；②AC⊥平面BDF；③直线EF与直线BC1所成的角为；④平面ABH与底面ABCD所成二面角的大小为．其中正确的结论有（）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面平行；直线与平面所成的角．【答案】B【分析】对于①，由题意可得C1，D1，A，B共面，从而进行判断，对于②，根据正方体的性质结合线面垂直的判定定理判断，对于③，取AD的中点G，连接GF，GE，AD1，可得∠GFE为直线EF与直线BC1所成的角，然后求解判断，对于④．由正方体的性质可得∠HBC为平面ABH与底面ABCD所成二面角，然后求解判断．【解答】解：对于①，因为C1D1∥AB，所以C1，D1，A，B共面，因为AH⊂平面ABC1D1，所以C1D1⊂平面ABH，所以①错误；对于②，因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC，即DF⊥AC，因为AC⊥BD，BD∩DF＝D，BD，DF⊂平面BDF，所以AC⊥平面BDF，所以②正确，对于③，取AD的中点G，连接GF，GE，AD1，因为F为DD1的中点，所以GF∥AD，，因为AD1∥BC1，所以GF∥BC1，所以∠GFE为直线EF与直线BC1所成的角，设正方体的棱长为2，则，，所以，因为∠GFE∈（0，π），所以，所以③错误，对于④，因为AB⊥平面BCC1B1，BC，BH⊂平面BCC1B1，所以AB⊥BC，AB⊥BH，所以∠HBC为平面ABH与底面ABCD所成二面角，因为，所以平面ABH与底面ABCD所成二面角的大小为，所以④正确．故选：B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分。11．（4分）甲、乙两人破译同一个密码，已知他们能破译出该密码的概率分别为和，若甲、乙两人是否译出该密码相互独立，则甲、乙都译出该密码的概率为．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【答案】．【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：因为甲、乙两人是否译出该密码相互独立，所以甲、乙都译出该密码的概率为＝．故答案为：．12．（4分）一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7，则这组数据的方差为．注：一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，它的方差为．【考点】方差．【答案】．【分析】根据方差的计算公式求解．【解答】解：由题意可知，这组数据的平均数为＝＝7，所以这组数据的方差为s2＝[（9﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2]＝．故答案为：．13．（4分）已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数λ的值为﹣10．【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．【答案】﹣10．【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：向量与共线，则存在实数k，使得，，是两个不共线的向量，则，解得λ＝﹣10．故答案为：﹣10．14．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为36π，点E为棱BC的中点，则三棱锥C1﹣AED的体积为．注：球的表面积S＝4πR2，其中R为球的半径．【考点】棱锥的体积．【答案】．【分析】根据球的表面积公式得出R，再利用正方体外接球直径是体对角线得出正方体的棱长，代入体积公式即可求解．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为36π，所以4πR2＝36π，解得R＝3，设正方体的棱长为a，则，即，解得a＝，所以＝＝．故答案为：．15．（4分）在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足＝x+（x∈R），则x的值为；若AC＝3，AB＝4，则的值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】，．【分析】由平面向量的线性运算与平面向量基本定理计算即可求得第一空；再由平面向量的数量积运算即可求得第二空．【解答】解：因为，P为CD上一点，所以设，则＝＝＝，因为＝x+（x∈R），所以，解得，所以；因为，AC＝3，AB＝4，所以，因为，所以＝＝＝＝＝．故答案为：，．三、解答题：本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（12分）已知i是虚数单位，复数z＝（m2+2m﹣8）+（m﹣2）i，m∈R．（Ⅰ）当m＝1时，求|z|；（Ⅱ）若z是纯虚数，求m的值；（Ⅲ）若z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围．【考点】复数对应复平面中的点；复数的模；纯虚数．【答案】（I）；（II）﹣4；（III）（﹣4，2）．【分析】（Ⅰ）结合复数模公式，即可求解；（Ⅱ）结合纯虚数的定义，即可求解；（Ⅲ）结合复数的几何意义，即可求解．【解答】（I）解：当m＝1时，z＝﹣5﹣i．所以．（II）z＝（m2+2m﹣8）+（m﹣2）i若复数z是纯虚数，则，解得，所以m＝﹣4．（III）解：复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则，即，所以实数m的取值范围是﹣4＜m＜2．17．（12分）抽取某车床生产的8个零件，编号为A1，A2，…，A8，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间[1.49，1.51]内的零件为一等品．（Ⅰ）求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（Ⅱ）从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的編号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】（I）；（II）．【分析】（Ⅰ）利用古典概型的概率公式求解；（Ⅱ）利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：（I）由所给数据可知，一等品零件共有5个，设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则；（II）一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有：Ω＝{（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A2，A1），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A3，A1），（A3，A2），（A3，A4），（A3，A5），（A4，A1），（A4，A2），（A4，A3），（A4，A5），（A5，A1），（A5，A2）（A5，A3），（A5，A4）}，共20个样本点，设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件B，所有可能结果有：B＝{（A1，A4），（A2，A3），（A2，A5），（A3，A5），（A4，A1），（A3，A2），（A5，A2），（A5，A3）}，共8个样本点，所以．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinB+bcosA＝0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝，b＝，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【答案】（I）；（II）．【分析】（Ⅰ）结合正弦定理，即可求解；（Ⅱ）结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：（I）asinB+bcosA＝0．由正弦定理得．因为B∈（0，π），所以sinB≠0，．在△ABC中，A∈（0，π），所以．（II）由，及余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA．得c2+3c﹣4＝0，解得c＝1或c＝﹣4（舍），故．19．（12分）高一年级进行消防知识竞赛，从所有答卷中随机抽取样本，将样本数据（成绩/分）按[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成5组，并整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值和众数；（Ⅱ）若成绩在[50，60）内有30人，现从成绩在[80，90）和[90，100]两组中，采取分层随机抽样的方法抽取12人，则这两组分别抽取多少人？（Ⅲ）年级决定表彰成绩排名前25%的学生，已知某学生的成绩是86，请以此样本数据来估计该生能否得到表彰，并说明理由．【考点】频率分布直方图的应用；分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．【答案】（I）a＝0.05，众数是75；（II）在[80，90）和[90，100]按照分层随机抽样分别抽取9人，3人；（III）估计该生能得到表彰．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质，即可求解；（Ⅱ）根据分层抽样的概念，即可求解；（Ⅲ）根据百分位数的概念，即可求解．【解答】（I）解：由频率分布直方图得：10×（0.2a+0.3a+0.7a+0.6a+0.2a）＝1．解得a＝0.05，众数是75．（II）解：因为，成绩在[50，60）一组人数为30人，其频率0.2×0.05×10＝0.1，所以，样本容量为．成绩在[80，90）和[90，100]的频数为90，30．设在[80，90）和[90，100]按照分层随机抽样分别抽取x人，y人，按照分层随机抽样．得x＝9，y＝3．所以，在[80，90）和[90，100]按照分层随机抽样分别