2023-2024学年天津市和平区高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x∈Z|﹣2＜x≤1}，集合B＝{1，2}，则（∁UA）∪B＝（）A．{2} B．{1，2} C．{﹣1，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（3分）函数的图象大致为（）A． B． C． D．3．（3分）已知a∈R，则“”是“0≤a≤1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（3分）若xlog34＝1，则4x+4﹣x的值为（）A．3 B．4 C． D．5．（3分）已知定义在R上的函数f（x）＝3x+x3，若a＝f（21.2），b＝f（0.67），，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b6．（3分）某公司研发新产品投入金额x（单位：万元）与该产品的收益y（单位：万元）的5组统计数据如下表所示．由表中数据用最小二乘法求得投入金额x与收益y满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（）x578911y1622242731A．x与y有正相关关系 B． C．当新产品投入金额为6万元时，该产品的收益大约为19万元 D．当x＝11时，残差为0.5（残差＝观测值﹣预测值）7．（3分）为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了100人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如下列联表所示（单位：人），根据数据计算得χ2≈22.161，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，小概率值α＝0.001相应的临界值为x0.001＝10.828，则下列结论不正确的是（）吸烟肺癌合计非肺癌患者肺癌患者非吸烟者251035吸烟者15m65合计4060100A．m＝50 B．若从这100人中随机抽取2人，则2人都是非肺癌患者的概率为 C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌有关联 D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌无关联8．（3分）已知函数f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝lnx+a，∃x1∈[0，3]，∀x2∈[1，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1﹣ln2] D．[﹣1﹣ln2，+∞）9．（3分）有如下5个命题：①已知随机变量，则，D（3X）＝10；②已知随机变量Y∼N（1，σ2），若P（Y＞3）＝0.2，则P（|Y﹣1|≤2）＝0.6；③已知命题p：∀x＞0，sinx＜x，则¬p：∃x＞0，sinx≥x；④函数f（x）＝lnx+2x﹣6在区间（2，3）内有且仅有1个零点；⑤函数的最小值为3．将上述5个命题重新排序，其中假命题不在首尾两个位置，则排序方法有（）A．72种 B．36种 C．18种 D．12种二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分）10．（4分）在的展开式中，x的系数为．（请用数字作答）11．（4分）已知函数f（x）满足，则＝．12．（4分）某校举办“中华颂”朗诵比赛，现有3名男生和3名女生报名，需将这6名同学分为3组，每组由1名男生和1名女生组成，则有种分组方法．（请用数字作答）13．（4分）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．（ⅰ）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为；（ⅱ）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，就从甲箱中随机抽出1个球；如果点数大于等于3，就从乙箱中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为．14．（4分）若函数f（x）＝ln（ex﹣ax﹣1）在（0，+∞）上单调递增，则实数a的最大值为．15．（4分）已知函数，g（x）＝f（x）•lnx﹣m，若g（x）在区间上有且仅有1个零点，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（9分）已知的两个极值点分别是x1＝﹣1，x2＝2．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．17．（9分）将一个边长为12的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个容积为V（x）的无盖方盒．（Ⅰ）求V（x）的解析式；（Ⅱ）求无盖方盒的容积V（x）的最大值及此时小正方形边长x的值．18．（9分）已知在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．若从这10件产品中随机抽取4件进行检测，（Ⅰ）求抽到一等品件数X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设事件A＝“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数不相等”，求事件A的概率P（A）．19．（10分）已知函数（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若f（1）＞0，且对于∀x∈[0，1]，不等式f（4x2）+f（1﹣tx）＞0成立，求实数t的取值范围．20．（12分）已知函数，其中实数a≥0．（Ⅰ）求f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＝0时，证明：f（x）＞x﹣ex﹣1．

2023-2024学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x∈Z|﹣2＜x≤1}，集合B＝{1，2}，则（∁UA）∪B＝（）A．{2} B．{1，2} C．{﹣1，1，2} D．{﹣1，0，1，2}【考点】集合的交并补混合运算．【答案】B【分析】根据集合的定义与运算法则，求解即可．【解答】解：因为全集U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x∈Z|﹣2＜x≤1}＝{﹣1，0，1}，集合B＝{1，2}，所以∁UA＝{2}，所以（∁UA）∪B＝{1，2}．故选：B．2．（3分）函数的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】D【分析】由函数为奇函数，可判断选项AB，由f（1）＝1，可排除选项C，进而得解．【解答】解：，则函数f（x）为奇函数，排除选项AB；，则排除选项C．故选：D．3．（3分）已知a∈R，则“”是“0≤a≤1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要不充分条件的判断．【答案】A【分析】解分式不等式先求出a的范围，然后结合充分及必要性即可判断．【解答】解：由可得0＜a≤1，故”是“0≤a≤1”的充分不必要条件．故选：A．4．（3分）若xlog34＝1，则4x+4﹣x的值为（）A．3 B．4 C． D．【考点】对数的运算性质．【答案】D【分析】根据对数的运算性质化简xlog34＝1，求出4x的值，代入4x+4﹣x计算求值．【解答】解：∵xlog34＝1，∴＝1，则4x＝3，∴4x+4﹣x＝3+＝，故选：D．5．（3分）已知定义在R上的函数f（x）＝3x+x3，若a＝f（21.2），b＝f（0.67），，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b【考点】求指数函数及指数型复合函数的单调性；由指数函数的单调性求解参数．【答案】A【分析】先判断函数f（x）＝3x+x3是定义域R上的单调增函数，再根据21.2＞0.67＞ln，判断a、b、c的大小．【解答】解：因为函数y＝3x与y＝x3都是定义域R上的单调增函数，所以f（x）＝3x+x3是定义域R上的单调增函数，又21.2＞1＞0.67＞0＞ln，所以f（21.2）＞f（0.67）＞f（ln），即a＞b＞c．故选：A．6．（3分）某公司研发新产品投入金额x（单位：万元）与该产品的收益y（单位：万元）的5组统计数据如下表所示．由表中数据用最小二乘法求得投入金额x与收益y满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（）x578911y1622242731A．x与y有正相关关系 B． C．当新产品投入金额为6万元时，该产品的收益大约为19万元 D．当x＝11时，残差为0.5（残差＝观测值﹣预测值）【考点】经验回归方程与经验回归直线；样本相关系数．【答案】D【分析】对于A，根据系数大于0即可判断；对于B，将（，）代入回归方程，即可求出，即可判断；对于C，当x＝6代入回归方程即可判断；对于D，根据残差的定义即可判断．【解答】解：对于A，由于系数2.5＞0，所以x与y正相关，故A正确；对于B，由题意可得＝＝8，＝＝24，将（，）代入方程，可得2.5×8+＝24，解得＝4，所以＝2.5x+4，故B正确；对于C，当x＝6时，＝2.5×6+4＝19，故C正确；对于D，当x＝11时，＝2.5×11+4＝31.5，所以残差为31﹣31.5＝﹣0.5，故D错误．故选：D．7．（3分）为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了100人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如下列联表所示（单位：人），根据数据计算得χ2≈22.161，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，小概率值α＝0.001相应的临界值为x0.001＝10.828，则下列结论不正确的是（）吸烟肺癌合计非肺癌患者肺癌患者非吸烟者251035吸烟者15m65合计4060100A．m＝50 B．若从这100人中随机抽取2人，则2人都是非肺癌患者的概率为 C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌有关联 D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌无关联【考点】独立性检验．【答案】D【分析】根据列联表直接求出m的值，可判断A，根据古典概型的概率公式可判断B，根据χ2≈22.161＞10.828可判断CD．【解答】解：由题意可知，m＝65﹣15＝50，故A正确；因为这100人中有40人是非肺癌患者，所以从这100人中随机抽取2人，则2人都是非肺癌患者的概率为＝，故B正确；因为χ2≈22.161＞10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为吸烟与患肺癌有关联，故C正确，D错误．故选：D．8．（3分）已知函数f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝lnx+a，∃x1∈[0，3]，∀x2∈[1，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1﹣ln2] D．[﹣1﹣ln2，+∞）【考点】函数恒成立问题．【答案】B【分析】求出函数f（x）与g（x）在给定区间上的值域，由f（x1）min≤g（x2）min求解即可．【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x，所以当x∈[0，3]时，则f（x）∈[﹣1，3]，所以f（x1）∈[﹣1，3]，由对数函数的性质可知g（x）＝lnx+a在x∈[1，2]上单调递增，所以g（x）∈[a，ln2+a]，即g（x2）∈[a，ln2+a]，由题意可得f（x1）min≤g（x2）min，a≥﹣1．故选：B．9．（3分）有如下5个命题：①已知随机变量，则，D（3X）＝10；②已知随机变量Y∼N（1，σ2），若P（Y＞3）＝0.2，则P（|Y﹣1|≤2）＝0.6；③已知命题p：∀x＞0，sinx＜x，则¬p：∃x＞0，sinx≥x；④函数f（x）＝lnx+2x﹣6在区间（2，3）内有且仅有1个零点；⑤函数的最小值为3．将上述5个命题重新排序，其中假命题不在首尾两个位置，则排序方法有（）A．72种 B．36种 C．18种 D．12种【考点】利用导数求解函数的最值；二项分布的均值（数学期望）与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；求全称量词命题的否定．【答案】A【分析】利用二项分布的概率公式及方差公式可判断①；利用正态分布的对称性判断②；利用命题的否定判断③；利用零点存在性定理判断④；取特值法判断⑤，再由排列组合知识求解即可．【解答】解：对于①，随机变量，则P（X＝2）＝（1﹣）3×（）2＝，D（X）＝5×（1﹣）×＝，则D（3X）＝9D（X）＝10，故①为真命题；对于②，随机变量Y∼N（1，σ2），若P（Y＞3）＝0.2，则P（|Y﹣1|≤2）＝P（﹣1≤Y≤3）＝1﹣2P（Y＞3）＝0.6，故②为真命题；对于③，命题p：∀x＞0，sinx＜x，则¬p：∃x＞0，sinx≥x，故③为真命题；对于④，函数f（x）＝lnx+2x﹣6在区间（2，3）上单调递增，f（2）＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3＞0，所以由零点存在性定理可知函数f（x）＝lnx+2x﹣6在区间（2，3）内有且仅有1个零点，故④为真命题；对于⑤，函数，g（0）＝﹣1＜3，所以函数的最小值不可能为3，故⑤为假命题．将上述5个命题重新排序，其中假命题不在首尾两个位置，则排序方法有＝72．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分）10．（4分）在的展开式中，x的系数为﹣280．（请用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【答案】﹣280．【分析】利用其通项公式中x的系数为1可求得答案．【解答】解：在的展开式中，通项Tr+1＝（﹣2x）r＝（﹣2）r（r＝0，1，2，…，7），令r﹣＝1，得r＝3，故x的系数为﹣8＝﹣280．故答案为：﹣280．11．（4分）已知函数f（x）满足，则＝．【考点】简单复合函数的导数．【答案】．【分析】求出函数f（x）的导函数，将即可求解．【解答】解：因为，所以，即，解得，所以f（x）＝sinx+cosx+2x，所以．故答案为：．12．（4分）某校举办“中华颂”朗诵比赛，现有3名男生和3名女生报名，需将这6名同学分为3组，每组由1名男生和1名女生组成，则有6种分组方法．（请用数字作答）【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．【答案】6．【分析】固定男生，分配女生，即可得到分组方法．【解答】解：3名男生和3名女生报名，需将这6名同学分为3组，每组由1名男生和1名女生组成，共有＝6种．故答案为：6．13．（4分）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．（ⅰ）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为；（ⅱ）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，就从甲箱中随机抽出1个球；如果点数大于等于3，就从乙箱中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为．【考点】全概率公式；求解条件概率．【答案】（i）；（ii）．【分析】（i）根据条件概率公式求解；（ii）利用全概率公式求解．【解答】解：（i）从甲箱中抽出2球，设抽到白球为事件A，2个球都是白球为事件B，则，，所以；（ii）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，记为事件C，抽到红球记为事件D，则，点数大于等于3的概率为，所以P（D）＝P（C）•P（D|C）+P（）•P（D|）＝．故答案为：（i）；（ii）．14．（4分）若函数f（x）＝ln（ex﹣ax﹣1）在（0，+∞）上单调递增，则实数a的最大值为1．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【答案】1．【分析】先分析可得a≤1，再验证a＝1时满足题意即可得出答案．【解答】解：依题意，在（0，+∞）上恒成立，即ex﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立，则a≤1，当a＝1时，，令h（x）＝ex﹣x﹣1，h′（x）＝ex﹣1＞0在（0，+∞）上恒成立，所以h（x）＞h（0）＝0，则在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上恒成立．综上，实数a的最大值为1．故答案为：1．15．（4分）已知函数，g（x）＝f（x）•lnx﹣m，若g（x）在区间上有且仅有1个零点，则实数m的取值范围为{a|a＝0或＜a≤e}．【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解函数的单调性和单调区间．【答案】{a|a＝0或＜a≤e}．【分析】由题意可得m＝在区间上有且仅有1个根，构造函数h（x）＝，x，对其求导，结合导数与单调性关系作出h（x）的图象，结合函数图象即可求解．【解答】解：由g（x）＝f（x）•lnx﹣m＝﹣m＝0可得，m＝，令h（x）＝，x，则＝，当，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当1＜x＜e2时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x＞e2时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，因为h（）＝e，h（1）＝0，x→+∞，h（x）→0，h（x）＞0，h（e2）＝，结合函数图象可知，a＝0或＜a≤e．故答案为：{a|a＝0或＜a≤e}．三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（9分）已知的两个极值点分别是x1＝﹣1，x2＝2．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数求解函数的单调性和单调区间．【答案】（Ⅰ）a＝b＝1；（Ⅱ）函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（2，∞）；单调递减区间为（﹣1，2）．【分析】（Ⅰ）f′（x）＝ax2﹣bx﹣2，由函数f（x）的两个极值点分别是x1＝﹣1，x2＝2，可得﹣1，2是方程ax2﹣bx﹣2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系可得a，b的值．（Ⅱ）由（I）可得：f（x）＝x3﹣x2﹣2x+1，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，进而得出函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝ax3﹣bx2﹣2x+1，f′（x）＝ax2﹣bx﹣2，∵函数f（x）的两个极值点分别是x1＝﹣1，x2＝2，∴﹣1，2是方程ax2﹣bx﹣2＝0的两个实数根，∴﹣1+2＝，﹣1×2＝﹣解得a＝1＝b；（Ⅱ）由（I）可得：f（x）＝x3﹣x2﹣2x+1，f′（x）＝x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞2；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2．∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（2，∞）；单调递减区间为（﹣1，2）．17．（9分）将一个边长为12的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个容积为V（x）的无盖方盒．（Ⅰ）求V（x）的解析式；（Ⅱ）求无盖方盒的容积V（x）的最大值及此时小正方形边长x的值．【考点】棱柱的体积．【答案】（Ⅰ）V（x）＝4x3﹣48x2+144x，（0＜x＜6）；（Ⅱ）128，2．【分析】（Ⅰ）根据柱体体积公式直接列式即可；（Ⅱ）利用导数求函数最值即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，V（x）＝（12﹣2x）2x＝4x3﹣48x2+144x，（0＜x＜6）；（Ⅱ）V'（x）＝12x2﹣96x+144＝12（x﹣2）（x﹣6），令V′（x）＞0，解得0＜x＜2；令V'（x）＜0，解得2＜x＜6，所以V（x）在（0，2）单调递增，在（2，6）单调递减，所以无盖方盒的容积V（x）的最大值为V（2）＝128，此时小正方形边长x＝2．18．（9分）已知在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．若从这10件产品中随机抽取4件进行检测，（Ⅰ）求抽到一等品件数X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设事件A＝“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数不相等”，求事件A的概率P（A）．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；古典概型及其概率计算公式．【答案】（Ⅰ）分布列见解析，；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由题可得，X的可能取值为0，1，2，3，然后利用超几何分布求出每个取值对应的概率即可得解；（Ⅱ）设抽到的二等品和三等品的件数分别为M，N，由题P（A）＝1﹣P（M＝N＝1）﹣P（M＝N＝2），再利用古典概型即可得解．【解答】解：（Ⅰ）由题可得，X的可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以X的分布列为：X0123P则；（Ⅱ）设抽到的二等品和三等品的件数分别为M，N，则．19．（10分）已知函数（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若f（1）＞0，且对于∀x∈[0，1]，不等式f（4x2）+f（1﹣tx）＞0成立，求实数t的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合；奇函数偶函数的性质．【答案】（Ⅰ）b＝0；（Ⅱ）{t|t＜4}．【分析】（I）由奇函数的性质可得f（0）＝0，解方程即可求解；（Ⅱ）由f（1）＞0，求出a的取值范围，判断f（x）的单调性，根据f（x）的单调性和奇偶性脱去符号f，参变分离后，求出函数的最小值即可．【解答】解：（I）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴，解得b＝0，当b＝0时，，∴f（x）为R上的奇函数，故b＝0；（Ⅱ）由（I）知，f（1）＝＞0，a＞0且a≠1，解得a＞1，易知f（x）＝是R上的增函数，又f（x）是定义在R上的奇函数，由f（4x2）+f（1﹣tx）＞0⇒f（4x2）＞f（tx﹣1），故∀x∈[0，1]