2023-2024学年天津市河北区高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年天津市河北区高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}2．（4分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（4分）设a＝log2π，b＝logπ，c＝π﹣2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（4分）函数的图象大致为（）A． B． C． D．5．（4分）若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为（）A．0.1×0.93 B．C×0.13×0.9 C．0.13×0.9 D．C×0.1×0.936．（4分）对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论不正确的是（）A．甲、乙两组数据都呈线性相关 B．乙组数据的相关程度比甲强 C．乙组数据的相关系数r比甲大 D．乙组数据的相关系数r的绝对值更接近17．（4分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α8．（4分）课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量ξ表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为+的是（）A．P（ξ≤1） B．P（ξ＝1） C．P（ξ＞1） D．P（ξ＞2）9．（4分）在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，则＝（）A．1 B．3 C．4 D．610．（4分）已知函数．给出下列结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在上单调递增；③把函数y＝sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．① B．①② C．②③ D．①②③二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上．11．（4分）i是虚数单位，复数＝．12．（4分）下面是一个2×2列联表，则表中a、b处的值分别为．y1y2总计x1a2173x222527总计b4610013．（4分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．14．（4分）学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为．15．（4分）已知函数的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（8分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于O，E是DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面ACE；（Ⅱ）求证：B1D1⊥平面ACC1A1．17．（10分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求cos（α+2β）的值．18．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，且．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长，19．（12分）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中M个红球，N个黄球．（Ⅰ）若M＝2，N＝3，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率；（Ⅱ）若M＝4，现采用有放回摸球n次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量X，若E（X）＝2，，求n和N的值；（Ⅲ）若M＝3，N＝4，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量Y，求Y的分布列以及数学期望．

2023-2024学年天津市河北区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】B【分析】利用并集定义求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．【解答】解：集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，∴A∪B＝{1，2，4，6}，则（A∪B）∩C＝{1，2，4}．故选：B．2．（4分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】A【分析】解得a的范围，即可判断出结论．【解答】解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．3．（4分）设a＝log2π，b＝logπ，c＝π﹣2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵a＝log2π＞log22＝1，b＝logπ＜log1＝0，0＜c＝π﹣2＜π0＝1，∴a＞c＞b，故选：C．4．（4分）函数的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】B【分析】由已知，结合函数的性质检验各选项即可判断．【解答】解：由题意，x≠1，故排除A，因为，所以f（﹣x）＝＝＝f（x），故f（x）为偶函数，排除C，x＞1时，f（x）＜0，排除D．故选：B．5．（4分）若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为（）A．0.1×0.93 B．C×0.13×0.9 C．0.13×0.9 D．C×0.1×0.93【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【答案】D【分析】利用n次独立试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解．【解答】解：若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为：P＝C×0.1×0.93．故选：D．6．（4分）对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论不正确的是（）A．甲、乙两组数据都呈线性相关 B．乙组数据的相关程度比甲强 C．乙组数据的相关系数r比甲大 D．乙组数据的相关系数r的绝对值更接近1【考点】散点图．【答案】C【分析】利用线性相关的定义进行求解即可．【解答】解：由散点图可以看出，甲、乙两组数据都呈线性相关，所以A正确；乙图的点相对更加集中，所以其相关性较强，|r|更接近1，所以B，D正确；甲图是正相关，其相关系数r大于0，乙图是负相关，其相关系数r小于0，所以C错误．故选：C．7．（4分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【考点】直线与平面的位置关系．【答案】B【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．8．（4分）课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量ξ表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为+的是（）A．P（ξ≤1） B．P（ξ＝1） C．P（ξ＞1） D．P（ξ＞2）【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】A【分析】根据超几何分布的概率公式求解．【解答】解：由题意知随机变量ξ服从超几何分布．因为ξ表示这6本书中理科书籍的本数，所以+＝P（ξ＝0）+P（ξ＝1）＝P（ξ≤1）．故选：A．9．（4分）在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，则＝（）A．1 B．3 C．4 D．6【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】由平面向量数量积的运算律求解即可．【解答】解：因为四边形ABCD是边长为2的正方形，所以，，由E为CD的中点，可得＝＝，所以＝．故选：D．10．（4分）已知函数．给出下列结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在上单调递增；③把函数y＝sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．① B．①② C．②③ D．①②③【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．【答案】B【分析】由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，直接代入区间即可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为，①由周期公式可得，f（x）的最小正周期，故①正确；②由x∈，则2x+∈[﹣，]⊆[﹣，]，故②正确；③根据函数图象的平移法则可得，函数y＝sin2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到，故③错误．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上．11．（4分）i是虚数单位，复数＝4﹣i．【考点】复数的运算．【答案】见试题解答内容【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数＝＝＝4﹣i，故答案为：4﹣i．12．（4分）下面是一个2×2列联表，则表中a、b处的值分别为52、54．y1y2总计x1a2173x222527总计b46100【考点】分类变量与2×2列联表．【答案】见试题解答内容【分析】根据列联表可知四个变量之间的关系，在每一行中，前两个数字的和等于最后一个数字，在每一列中，前两个数字的和等于最后一个数字，根据这种关系得到结果．【解答】解：根据列联表可知∵a+21＝73，∴a＝52．又∵a+2＝b，∴b＝54．故答案为：52；5413．（4分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【答案】见试题解答内容【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a＝．故答案为：．14．（4分）学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7．【考点】全概率公式；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；条件概率．【答案】0.7．【分析】根据题意，A1表示“第1天去A餐厅用餐”，B1表示“第1天去B餐厅用餐”，A2表示“第2天去A餐厅用餐”，分析可得P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（B1）P（A2|B1），由此计算可得答案．【解答】解：根据题意，A1表示“第1天去A餐厅用餐”，B1表示“第1天去B餐厅用餐”，A2表示“第2天去A餐厅用餐”，由题意P（A1）＝P（B1）＝0.5，P（A2|A1）＝0.6，P（A2|B1）＝0.8，由全概率公式得王同学第2天去A餐厅用餐的概率为：P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（B1）P（A2|B1）＝0.5×0.6+0.5×0.8＝0.7；故答案为：0.7．15．（4分）已知函数的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是[﹣1，2）．【考点】分段函数的应用．【答案】见试题解答内容【分析】由题意可得只要满足直线y＝x和射线y＝2（x＞m）有一个交点，而且直线y＝x与函数f（x）＝x2+4x+2的两个交点即可，画图便知，直线y＝x与函数f（x）＝x2+4x+2的图象的两个交点为（﹣2，﹣2）（﹣1，﹣1），由此可得实数m的取值范围．【解答】解：由题意可得射线y＝x与函数f（x）＝2（x＞m）有且只有一个交点．而直线y＝x与函数f（x）＝x2+4x+2，至多两个交点，题目需要三个交点，则只要满足直线y＝x与函数f（x）＝x2+4x+2的图象有两个交点即可，画图便知，y＝x与函数f（x）＝x2+4x+2的图象交点为A（﹣2，﹣2）、B（﹣1，﹣1），故有m≥﹣1．而当m≥2时，直线y＝x和射线y＝2（x＞m）无交点，故实数m的取值范围是[﹣1，2），故答案为：[﹣1，2）三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（8分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于O，E是DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面ACE；（Ⅱ）求证：B1D1⊥平面ACC1A1．【考点】直线与平面垂直；直线与平面平行．【答案】（Ⅰ）证明过程见详解；（Ⅱ）证明过程见详解．【分析】（Ⅰ）连接EO，由题意EO∥BD1，进而中点结论；（Ⅱ）由线面垂直可得B1D1⊥AA1，由正方形的性质可得B1D1⊥A1C1，进而可证得结论．【解答】证明：（Ⅰ）连接EO，在正方体中，可知O为BD的中点，E是DD1的中点，所以EO∥BD1，EO⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE；（Ⅱ）正方体中可知B1D1⊥A1C1，AA1⊥平面A1C1CA，B1D1⊂平面A1C1CA，所以B1D1⊥AA1，又因为B1D1⊥A1C1，AA1∩A1C1＝A1，所以B1D1⊥平面ACC1A1．17．（10分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求cos（α+2β）的值．【考点】求两角和与差的三角函数值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）先求得sinα的值，再由正弦的和角公式计算即可；（Ⅱ）先求得sin2β和cos2β的值，再由余弦的和角公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由于，，则，则＝；（Ⅱ）由于，，则，可得，，则×．18．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，且．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长，【考点】三角形中的几何计算．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由向量平行，可得（a+b）sinA﹣（b+c）（sinC﹣sinB）＝0，再由正弦定理和余弦定理可得cosC的值，进而求出角C的大小；（Ⅱ）由三角形的面积可得ab＝2，再由余弦定理可得a+b的值，即可求得周长．【解答】解：（Ⅰ）由，，且，可得：（a+b）sinA﹣（b+c）（sinC﹣sinB）＝0，由正弦定理可得（a+b）a﹣（b+c）（c﹣b）＝0，整理得﹣ab＝a2+b2﹣c2，由余弦定理可得a2+b2﹣c2＝2abcosC，所以，又C∈（0，π），所以；