2023-2024学年天津市河东区高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年天津市河东区高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求）1．（4分）下列调查方式较为合适的是（）A．为了了解灯管的使用寿命，采用普查的方式 B．为了了解我市中学生的视力状况，采用抽样调查的方式 C．调查一万张面值为100元的人民币中有无假币，采用抽样调查的方式 D．调查当今中学生喜欢什么体育活动，采用普查的方式2．（4分）2017年2月为确保食品安全，鞍山市质检部门检查1000袋方便面的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是（）A．总体是指这箱1000袋方便面 B．个体是一袋方便面 C．样本是按2%抽取的20袋方便面 D．样本容量为203．（4分）下列条件中，能判断平面α与平面β平行的是（）A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．α与β同时平行于同一条直线 C．α与β同时要垂直于同一条直线 D．α与β同时垂直于同一个平面4．（4分）在一次随机试验中，事件A，B，C彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（）A．A与C是互斥事件，也是对立事件 B．A+B与B是互斥事件，也是对立事件 C．A+C与B是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B+C是互斥事件，也是对立事件5．（4分）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）A．BC⊥平面PAC B．AE⊥EF C．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC6．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，则异面直线EC1与AD所成角的正切值为（）A． B． C． D．（多选）7．（4分）若甲组样本数据x1，x2，…，xn（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据3x1+a，3x2+a，…，3xn+a的平均数为4，则下列说法正确的是（）A．a的值为﹣2 B．乙组样本数据的方差为36 C．两组样本数据的样本中位数一定相同 D．两组样本数据的样本极差不同8．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F、G、H分别为棱BC，CD，C1D1，B1C1的中点，点M为棱CC1上的动点，则下列说法中正确的个数是（）①AM与BB1异面；②A1H∥平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面AEM⊥平面BB1GF．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）9．（4分）中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计．将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示．则这400名学生视力的众数为．10．（4分）对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：m/s的数据为27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的第一四分位数是．11．（4分）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为177.5cm，抽出的女运动员平均身高为168.4cm．估计该田径队运动员的平均身高是cm．12．（4分）某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为．13．（4分）如图四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为SA上的点，当E满足条件：时，SC∥面EBD．14．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，△PAC是等腰直角三角形，PA＝6，AB⊥BC，CH⊥PB，垂足为H，D为PA的中点，则当△CDH的面积最大时，CB＝．三、解答题：（本大题5个题，共44分）15．（8分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务．该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用．问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X，Y两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X型车，高一级学生都租Y型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X型车的概率．16．（8分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，E为SD的中点．（1）证明：SB∥平面ACE；（2）若SA⊥平面ABCD，证明：SC⊥BD．17．（8分）某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）由频率直方图求样本中分数的中位数；（2）已知样本中分数在[40，50）的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；（3）已知样本中男生与女生的比例是3：1，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差．18．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若PA＝AC＝1，BC＝2，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．19．（10分）如图，在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面QAD⊥底面ABCD，M是QD的中点．（1）求证：AM⊥平面QCD；（2）求侧面QBC与底面ABCD所成二面角的余弦值；（3）在棱QC上是否存在点N使平面BDN⊥平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．

2023-2024学年天津市河东区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求）1．（4分）下列调查方式较为合适的是（）A．为了了解灯管的使用寿命，采用普查的方式 B．为了了解我市中学生的视力状况，采用抽样调查的方式 C．调查一万张面值为100元的人民币中有无假币，采用抽样调查的方式 D．调查当今中学生喜欢什么体育活动，采用普查的方式【考点】普查与抽样．【答案】B【分析】根据已知条件，结合抽样调查、普查的定义，即可求解．【解答】解：为了了解灯管的使用寿命，采用抽样调查的方式，故A错误；为了了解我市中学生的视力状况，采用抽样调查的方式，故B正确；调查一万张面值为100元的人民币中有无假币，采用普查的方式，故C错误；调查当今中学生喜欢什么体育活动，采用抽样调查的方式，故D错误．故选：B．2．（4分）2017年2月为确保食品安全，鞍山市质检部门检查1000袋方便面的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是（）A．总体是指这箱1000袋方便面 B．个体是一袋方便面 C．样本是按2%抽取的20袋方便面 D．样本容量为20【考点】收集数据的方法．【答案】D【分析】根据总体、个体、样本和样本容量的定义，对选项中的命题判断正误即可．【解答】解：根据题意，总体是这1000袋方便面的质量，∴A错误；个体是一袋方便面的质量，∴B错误；样本是抽取的20袋方便面的质量，∴C错误；样本容量是20，∴D正确．故选：D．3．（4分）下列条件中，能判断平面α与平面β平行的是（）A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．α与β同时平行于同一条直线 C．α与β同时要垂直于同一条直线 D．α与β同时垂直于同一个平面【考点】平面与平面平行．【答案】C【分析】利用面面平行的判定直接判断即可．【解答】解：对于A，若α内有无穷多条平行的直线与β平行，则不能说明α平行β；对于B，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；对于C，垂直于同一条直线的两平面平行；对于D，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．综上，选项C正确．故选：C．4．（4分）在一次随机试验中，事件A，B，C彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（）A．A与C是互斥事件，也是对立事件 B．A+B与B是互斥事件，也是对立事件 C．A+C与B是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B+C是互斥事件，也是对立事件【考点】互斥事件与对立事件．【答案】D【分析】根据互斥事件性质以及对立事件的定义可解．【解答】解：事件A，B，C彼此互斥，它们的和为必然事件，则A与C是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；A+B与B能同时发生，不是互斥事件，故B错误；A+C与B是互斥事件，同时也是对立事件，故C错；A与B+C是互斥事件，也是对立事件，故D正确．故选：D．5．（4分）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）A．BC⊥平面PAC B．AE⊥EF C．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC【考点】直线与平面垂直．【答案】C【分析】在A中，推导出BC⊥AC，PA⊥BC，从而BC⊥平面PAC，可得正确；在B中，由BC⊥平面PAC，可证BC⊥AE，又AE⊥PC，可证AE⊥平面PBC，即可证明AE⊥EF，可得正确；在C中，由AC⊥BC，得若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，与AC⊥PA矛盾，可得错误；在D中，由AE⊥平面PBC，AE⊂面AEF，即可证明平面AEF⊥平面PBC，可得正确．【解答】解：在A中，∵C为圆上异于A，B的任意一点，∴BC⊥AC，∵PA⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，故A正确；在B中，∵BC⊥平面PAC，AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC，PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，∵EF⊂平面PBC，∴AE⊥EF，故B正确；在C中∴若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与AC⊥PA矛盾，故AC与PB不垂直，故C错误；在D中，∵AE⊥平面PBC，AE⊂面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC，故D正确．故选：C．6．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，则异面直线EC1与AD所成角的正切值为（）A． B． C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【答案】C【分析】在正方体中，AD∥B1C1，连接B1E，可得∠EC1B1为直线EC1与B1C1所成的角，进而求出∠EC1B1的正切值．【解答】解：在正方体中，AD∥B1C1，连接B1E，所以异面直线EC1与AD所成角等于直线EC1与B1C1所成的角，可得∠EC1B1为直线EC1与B1C1所成的角，正方体中，B1C1⊥平面ABB1A1，B1E⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥B1E，设正方体是棱长为2，则B1E＝＝＝，所以tan∠EC1B1＝＝．故选：C．（多选）7．（4分）若甲组样本数据x1，x2，…，xn（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据3x1+a，3x2+a，…，3xn+a的平均数为4，则下列说法正确的是（）A．a的值为﹣2 B．乙组样本数据的方差为36 C．两组样本数据的样本中位数一定相同 D．两组样本数据的样本极差不同【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】ABD【分析】由两组数据的平均数可求出a的值，再由方差的定义可求出乙组样本数据的方差，因为3xn﹣2随着xn的增大而增大，所以两组样本数据的样本中位数不相同，样本极差也不同．【解答】解：对于选项A：由两组数据的平均数可知，4＝3×2+a，∴a＝﹣2，故选项A正确，对于选项B：∵a＝﹣2，∴3x1+a＝3x1﹣2，∴＝，∵，∴[++…+]＝×9[（x1﹣2）2++…+]＝＝36，故选项B正确，对于选项C：因为3xn﹣2随着xn的增大而增大，所以若xm（1≤m≤n）为甲组数据的中位数，则3xm﹣2（1≤m≤n）为乙组数据的中位数，故选项C错误，对于选项D：因为3xn﹣2随着xn的增大而增大，所以甲组数据的极差为xp﹣xq，则3xm乙组数据的极差为（3xp﹣2）﹣（3xq﹣2）＝3（xp﹣xq），故选项D正确，故选：ABD．8．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F、G、H分别为棱BC，CD，C1D1，B1C1的中点，点M为棱CC1上的动点，则下列说法中正确的个数是（）①AM与BB1异面；②A1H∥平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面AEM⊥平面BB1GF．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】平面与平面垂直；命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行．【答案】C【分析】根据正方体的几何性质逐项分析．【解答】解：对于①，连接A1C1，AC，∵AA1＝CC1，AA1∥CC1，∴四边形AA1C1C是平行四边形，又∵AM⊂平面AA1C1C，BB1∥CC1，CC1⊂平面AA1C1C，BB1⊄平面AA1C1C，∴BB1∥平面AA1C1C，又CC1∩AM＝M，∴BB1与AM是异面直线，故①正确；对于②，连接EH，则EH∥AA1，EH＝AA1，∴四边形AA1HE是平行四边形，A1H∥AE，又AE⊂平面AEM，A1H⊄平面AEM，∴A1H∥平面AEM，故②正确；对于③，取CC1的中点T，当M与T重合时，连接AD1，则有ET∥AD1，E，T，A，D1四点共面，即平面AEM截正方体的图形是四边形AD1TE，如下图：当M点在线段C1T上时，在平面AA1D1D内作直线AU∥EM，交DD1的延长线于U，交A1D1于V，连接UM，∵DD1∥CC1，∴D，U，C，C1四点共面，UM⊂平面DD1C1C，∴UM∩D1C1＝W，即平面AEM截正方体的图形是五边形AEMWV，如下图：故③错误；对于④，在正方形ABCD内，Rt△ABE≅Rt△BCF，∠EAB＝∠FBC，∴，∴AE⊥BF，又∵BB1⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴AE⊥BB1，BB1，BF⊂平面BB1GF，BB1∩BF＝B，∴AE⊥平面BB1GF，又AE⊂平面AEM，∴平面AEM⊥平面BB1GF，故④正确．故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）9．（4分）中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计．将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示．则这400名学生视力的众数为4.7．【考点】众数．【答案】4.7．【分析】根据众数的定义求解．【解答】解：由频率分布直方图可知，众数约为＝4.7．故答案为：4.7．10．（4分）对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：m/s的数据为27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的第一四分位数是29.5．【考点】用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】29.5．【分析】把12个数从小到大排序后，根据四分位数的概念即可求解．【解答】解：最大速度的数据从小到大为：27，28，29，30，31，33，34，35，36，36，38，38，且12×25%＝3，所以他的最大速度的第一四分位数是，故答案为：29.5．11．（4分）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为177.5cm，抽出的女运动员平均身高为168.4cm．估计该田径队运动员的平均身高是173.6cm．【考点】由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数．【答案】173.6．【分析】结合分层抽样的定义，以及加权平均数公式，即可求解．【解答】解：用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，其中男生占7×人，女生占7﹣4＝3人，抽出的男运动员平均身高为177.5cm，抽出的女运动员平均身高为168.4cm，则＝173.6cm．故答案为：173.6．12．（4分）某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5．【考点】平均数．【答案】79.5．【分析】先根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求出x的值，再利用平均数的定义求解．【解答】解：由题图知10×（x+0.015+0.02+0.03+0.025）＝1，解得＝0.01，所以这600名学生成绩的平均数约为＝55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25＝79.5．故答案为：79.5．13．（4分）如图四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为SA上的点，当E满足条件：SE＝AE时，SC∥面EBD．【考点】直线与平面平行．【答案】见试题解答内容【分析】由线面平行的性质定理可得SC∥OE，进而根据O为AC的中点，可得：E为SA的中点，进而得到答案．【解答】解：∵SC∥平面EBD，SC⊂平面SAC，平面SAC∩平面EBD＝OE，∴SC∥OE，又∵底面ABCD为平行四边形，O为对角线AC与BD的交点，故O为AC的中点，∴E为SA的中点，故当E满足条件：SE＝AE时，SC∥面EBD．故答案为：SE＝AE（填其它能表述E为SA中点的条件也得分）14．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，△PAC是等腰直角三角形，PA＝6，AB⊥BC，CH⊥PB，垂足为H，D为PA的中点，则当△CDH的面积最大时，CB＝．【考点】棱锥的结构特征．【答案】见试题解答内容【分析】先证出△CHD是直角三角形，再利用基本不等式得出CH＝DH＝时△CDH的面积最大，再利用三角形的等积法求出BC的值．【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PC⊥面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB，又AB⊥BC，BC∩PC＝C，∴AB⊥平面PBC，又CH⊂平面PBC，∴AB⊥CH，又CH⊥PB，PB∩AB＝B，∴CH⊥平面PAB，又DH⊂平面PAB，∴CH⊥DH，又△PAC是等腰直角三角形，且PA＝6，D是PA的中点，∴CD＝PA＝3，PC＝AC＝＝3，设CH＝a，DH＝b，则a2+b2＝CD2＝9，∴9＝a2+b2≥2ab，即ab≤，当且仅当a＝b＝时，“＝”成立，此时△CDH的面积最大；在Rt△PBC，设BC＝x，则PB＝＝＝，∴PC•BC＝PB•CH，即3•x＝•，解得x＝，∴CB的长是．三、解答题：（本大题5个题，共44分）15．（8分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务．该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用．问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X，Y两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X型车，高一级学生都租Y型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X型车的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）利用分层抽样方法能求出应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各抽取多少人．（Ⅱ）记抽取的2名高一学生为a1，a2，3名高二的学生为b1，b2，b3，利用列举法能求出抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X型车的概率．【解答】解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）高二学生的人数为：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）记抽取的2名高一学生为a1，a2，3名高二的学生为b1，b2，b3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共10种可能，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）其中至少有1人在市场体验过程中租X型车的有：（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共9种，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）故所求的概率p＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）16．（8分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，E为SD的中点．（1）证明：SB∥平面ACE；（2）若SA⊥平面ABCD，证明：SC⊥BD．【考点】直线与平面平行；直线与平面垂直．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接BD，交AC于点O，连接OE，易知OE∥SB，再由线面平行的判定定理，得证；（2）由SA⊥平面ABCD，知SA⊥BD，结合AC⊥BD，根据线面垂直的判定定理，可得BD⊥平面SAC，进而得证．【解答】证明：（1）连接BD，交AC于点O，连接OE，因为底面ABCD是正方形，所以点O是BD的中点，又E为SD的中点，所以OE∥SB，因为OE⊂平面ACE，SB⊄平面ACE，所以SB∥平面ACE．（2）因为SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以SA⊥BD，因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又SA∩AC＝A，SA、AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC，因为SC⊂平面SAC，所以SC⊥BD．17．（8分）某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）由频率直方图求样本中分数的中位数；（2）已知样本中分数在[40，50）的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；（3）已知样本中男生与女生的比例是3：1，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）72.5；（2）20人；（3）．【分析】（1）根据中位数的定义求解；（2）利用频率分布直方图求出在样本中分数在[40，90）的频率，用样本估计总体，估计出总体中分数在[40，90）的人数，从而求出总体中分数小于40的人数；（3）由平均数与方差的计算公式求解．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，分数在[20，50]的频率为1﹣（0.01+0.02+0.04+0.02）×10＝0.1，所以分数在[20，70]的频率为0.1+0.1+0.2＝0.4＜0.5，分数在[20，80]的频率为0.4+0.4＝0.8＞0.5，所以中位数落在[70，80）内，设其为x，则0.4+（x﹣70）×0.04＝0.5，解得x＝72.5，即中位数为72.5；（2）由频率分布直方图知，分数在[50，90）的频率为（0.01+0.02+0.04+0.02）×10＝0.9，在样本中分数在[50，90）的人数为100×0.9＝90（人），所以在样本中分数在[40，90）的人数为95人，所以估计总体中分数在[40，90）的人数为400×0.95＝380（人），总体中分数小于40的人数为20人；（3）总样本的均值为，所以总样本的方差为＝＝．18．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若PA＝AC＝1，BC＝2，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直．【答案】见试题解答内容【分析】（1）证明PA⊥BC，BC⊥AC，推出BC⊥平面PAC，然后证明平面PAC⊥平面PBC．（2）过点A作AD⊥PC，连结MD，说明∠AMD是直线AM与平面PBC所成的角，通过求解三角形得出结果即可．【解答】解：（1）证明：在三棱锥P﹣ABC中，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∵∠ACB＝90°，即BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，BC⊂平面PBC∴平面PAC⊥平面PBC．（2）在平面PAC内，过点A作AD⊥PC，连结MD，∵平面PAC⊥平面PBC，∴AD⊥平面PBC，∴∠AMD是直线AM与平面PBC所成