2023-2024学年西藏拉萨那曲第一高级中学高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年西藏拉萨那曲第一高级中学高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知等比数列{an}中，a1＝1，a4＝﹣8，则公比q＝（）A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣22．（5分）已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.6，则其成功概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.63．（5分）垃圾分类是保护环境、改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措，现将3袋垃圾随机投入4个不同的垃圾桶，则不同的投法有（）A．7种 B．12种 C．64种 D．81种4．（5分）若函数f（x）＝lnx﹣2x+1，则f′(1A．0 B．12 C．32 5．（5分）记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5＝10，S7＝7，则公差d＝（）A．﹣1 B．−13 C．26．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ax的极值为﹣1，则实数a＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣e D．﹣37．（5分）已知函数f（x）＝（2x2+ax+a）ex，若f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则a的取值范围是（）A．（4，+∞） B．[4，+∞） C．[2，+∞） D．（2，+∞）8．（5分）某养猪场圈养了1000头小猪，计划半年后出栏，根据经验，该品种的猪生长半年后达到的重量X（kg）服从正态分布N（100，52），当猪的重量大于90kg时，即可出栏，则半年后即可出栏的猪的数量约为（）（参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545）A．683 B．841 C．977 D．955二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知随机变量X满足E（X）＝5，D（X）＝2，则下列选项正确的是（）A．E（2X+1）＝11 B．E（2X+1）＝10 C．D（2X+1）＝9 D．D（2X+1）＝8（多选）10．（6分）已知{an}为等差数列，满足2a5﹣a3＝3，{bn}为等比数列，满足b2＝1，b4＝4，则下列说法正确的是（）A．数列{an}的首项为1 B．a7＝3 C．b6＝16 D．数列{bn}的公比为±2（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣3x+2，则（）A．f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减 B．f（x）的最小值为0 C．f（x）的对称中心为（0，2） D．方程f（x）＝0有3个不同的解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）(x+12x13．（5分）设随机变量X～B(3，13)，则P（X14．（5分）已知甲射击命中的概率为13，且每次射击命中得3分，未命中得0分，每次射击相互独立，设甲10次射击的总得分为随机变量X，则D（X）＝四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝8，a6＝12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sn＝20，求n的值．16．（15分）已知二项式(2−x（1）求展开式的第5项的二项式系数；（2）求展开式中含x4的项．17．（15分）设f（x）=（1）求函数f（x）的单调递增，递减区间；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．18．（17分）为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”．我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动．这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名．（1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；（2）设X表示选出的3人中外科医生的人数，求X的均值与方差．19．（17分）已知函数f（x）＝lnx﹣a（x+1）+2（a∈R）．（1）若f（x）在[1e，e]（2）若∃x∈（0，+∞），使得f（x）≥0，求实数a的取值范围．

2023-2024学年西藏拉萨那曲第一高级中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知等比数列{an}中，a1＝1，a4＝﹣8，则公比q＝（）A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣2【考点】等比数列的通项公式．【答案】D【分析】利用等比数列的性质直接求解．【解答】解：等比数列{an}中，a1＝1，a4＝﹣8，则公比q=3故选：D．2．（5分）已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.6，则其成功概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6【考点】两点分布（0﹣1分布）．【答案】D【分析】根据两点分布的期望即可求解．【解答】解：∵随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p，∴E（X）＝0×（1﹣p）+1×p＝p＝0.6．故选：D．3．（5分）垃圾分类是保护环境、改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措，现将3袋垃圾随机投入4个不同的垃圾桶，则不同的投法有（）A．7种 B．12种 C．64种 D．81种【考点】排列组合的综合应用．【答案】C【分析】因为每袋垃圾均有4个垃圾桶可以选择，结合分步乘法计数原理运算求解．【解答】解：因为每袋垃圾均有4个垃圾桶可以选择，不同的投法有4×4×4＝64种．故选：C．4．（5分）若函数f（x）＝lnx﹣2x+1，则f′(1A．0 B．12 C．32 【考点】基本初等函数的导数．【答案】A【分析】求导，再令x=1【解答】解：因为f（x）＝lnx﹣2x+1，所以f′(x)=1所以f′(1故选：A．5．（5分）记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5＝10，S7＝7，则公差d＝（）A．﹣1 B．−13 C．2【考点】等差数列的前n项和．【答案】A【分析】根据题意，利用等差数列求和公式得到方程组，求出公差，即可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，若S5＝10，S7＝7，则有S5＝5a1+10d＝10，S7＝7a1+21d＝7．解得d＝﹣1．故选：A．6．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ax的极值为﹣1，则实数a＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣e D．﹣3【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】A【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及极值关系对a的范围进行分类讨论即可求．【解答】解：由题意可得函数f（x）的定义域为(0，+∞)，f′(x)=1当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，不符合题意，则a＜0，令f'（x）＞0，得0＜x＜−1a；令f'（x）＜0，得所以函数f（x）在区间(0，−1a)则x=−1a是函数f（故f(−1a)=ln(−故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝（2x2+ax+a）ex，若f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则a的取值范围是（）A．（4，+∞） B．[4，+∞） C．[2，+∞） D．（2，+∞）【考点】由函数的极值求解函数或参数．【答案】A【分析】由题意，对函数求导，再讨论a的值与极值的大小关系，从而得出结果．【解答】解：因为f（x）＝（2x2+ax+a）ex，所以f′（x）＝[2x2+（a+4）x+2a]ex＝（x+2）（2x+a）ex，令f′（x）＝0，解得x＝﹣2或x=−a当−a2＜−f（x）在（﹣∞，−a2）上单调递增，在（可得f（x）在x=−a2处取得极大值，f（x）在故选：A．8．（5分）某养猪场圈养了1000头小猪，计划半年后出栏，根据经验，该品种的猪生长半年后达到的重量X（kg）服从正态分布N（100，52），当猪的重量大于90kg时，即可出栏，则半年后即可出栏的猪的数量约为（）（参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545）A．683 B．841 C．977 D．955【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】C【分析】由题意可知：μ＝100，σ＝5，则μ﹣2σ＝90，结合正态分布的3σ原则分析求解．【解答】解：由题意可知：μ＝100，σ＝5，则μ﹣2σ＝90，可得P(X＞90)=1所以半年后即可出栏的猪的数量约为1000×0.97725≈977．故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知随机变量X满足E（X）＝5，D（X）＝2，则下列选项正确的是（）A．E（2X+1）＝11 B．E（2X+1）＝10 C．D（2X+1）＝9 D．D（2X+1）＝8【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】AD【分析】利用数学期望以及方差的运算性质，求解即可．【解答】解：E（2X+1）＝2E（X）+1＝2×5+1＝11，D（2X+1）＝22•D（X）＝4D（X）＝4×2＝8．故选：AD．（多选）10．（6分）已知{an}为等差数列，满足2a5﹣a3＝3，{bn}为等比数列，满足b2＝1，b4＝4，则下列说法正确的是（）A．数列{an}的首项为1 B．a7＝3 C．b6＝16 D．数列{bn}的公比为±2【考点】等差数列与等比数列的综合．【答案】BCD【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式，逐一分析选项，即可得出答案．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵2a5﹣a3＝3，∴2（a1+4d）﹣（a1+2d）＝a1+6d＝a7＝3，故B正确，A错误；设等比数列{bn}的公比为q，∵b2＝1，b4＝4，∴b4＝b2•q2，即4＝q2，解得q＝±2，故D正确；∴bn＝4×（14）n﹣1∴b6＝b2•q4＝1×（±2）4＝16，故C正确，故选：BCD．（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣3x+2，则（）A．f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减 B．f（x）的最小值为0 C．f（x）的对称中心为（0，2） D．方程f（x）＝0有3个不同的解【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值；函数的零点与方程根的关系．【答案】AC【分析】根据已知条件，利用导数研究函数的单调性，以及图象，即可求解．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣3x+2，对于A：f'（x）＝3x2﹣3，令f'（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞1，令f'（x）＜0，解得﹣1＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，且f（﹣1）＝4＞0，f（1）＝0，可画出函数f（x）的大致图象如图所示，故A正确；对于B：此函数无最小值，故B错误；对于C：f（x）+f（﹣x）＝4，故C正确；对于D：根据图象可知f（x）有2个不同的解，故D错误．故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）(x+12x【考点】二项展开式的通项与项的系数．【答案】7．【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解．【解答】解：(x+12x令8﹣4r＝0，得r＝2，所以(x+12x故答案为：7．13．（5分）设随机变量X～B(3，13)，则P（X【考点】n重伯努利试验与二项分布．【答案】见试题解答内容【分析】根据二项分布的概率计算公式即可求解．【解答】解：∵随机变量服从X∼B(3，1∴P(X≥1)=1−P(X=0)=1−C故答案为：192714．（5分）已知甲射击命中的概率为13，且每次射击命中得3分，未命中得0分，每次射击相互独立，设甲10次射击的总得分为随机变量X，则D（X）＝【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】见试题解答内容【分析】设命中的次数为Y，则Y～B(10，13)，X【解答】解：设命中的次数为Y，则Y～B(10，13)由题X＝3Y，所以D(X)=D(3Y)=3故答案为：20．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝8，a6＝12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sn＝20，求n的值．【考点】等差数列的通项公式．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）利用等差数列通项公式及Sn＝20，能求出n的值．【解答】解：（1）∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝8，a6＝12．∴a4解得a1＝2，d＝2，∴数列{an}的通项公式an＝a1+（n﹣1）d＝2+（n﹣1）×2＝2n．（2）∵Sn＝20，∴Sn=n2(解得n＝4或n＝﹣5，∵n∈N*，∴n的值为4．16．（15分）已知二项式(2−x（1）求展开式的第5项的二项式系数；（2）求展开式中含x4的项．【考点】二项式定理．【答案】（1）126；（2）18x4．【分析】（1）根据项数可求得n＝9，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可；（2）由（1）中的n＝9，求出通项，使x的幂次为4，求出含x4的项即可．【解答】解：（1）因为二项式的展开式中共有10项，所以n＝9，所以第5项的二项式系数为C9（2）由（1）知n＝9，记含x4的项为第r+1项，所以Tr+1取r2=4，解得r＝8，所以故展开式中含x4的项为18x4．17．（15分）设f（x）=（1）求函数f（x）的单调递增，递减区间；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，令导函数大于0，求出增区间，令导函数小于零，求出减区间；（2）恒成立问题可转化成f（x）max＜m即可可．函数在[﹣1，2]上的最大值，利用极值与端点的函数值可以确定．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2﹣x﹣2，令f′（x）＝0，解得x＝1或−2令f′（x）＞0，解得x∈（﹣∞，−2令f′（x）＜0，解得x∈（−2f（x）的单调递增区间为（﹣∞，−23），（1，+∞），递减区间为（（2））∵f（﹣1）＝512，f（−23）＝52227，f（1）＝3即f（x）max＝7，要使x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，即f（x）max＜m，∴m＞7，故实数m的取值范围为（7，+∞）．18．（17分）为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”．我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动．这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名．（1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；（2）设X表示选出的3人中外科医生的人数，求X的均值与方差．【考点】离散型随机变量的方差与标准差．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意，先得到所有基本事件数，再分别求出“选出的外科医生人数多于内科医生人数”包含的各事件的概率，利用互斥事件的加法公式进行求解即可；（2）得到X的所有取值，求出相对应的概率，代入期望公式和方差公式进行求解即可．【解答】解：（1）易知推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数n=C在这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名