2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知z=1−i2+2i，则zA．﹣i B．i C．0 D．12．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，则该平面图形的高为（）A．22 B．2 C．42 3．（5分）在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在线段BD上，且BE→=3EDA．14AD→+12AC→ 4．（5分）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生 C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和至多有1名男生5．（5分）已知点A（1，1），B（0，2），C（﹣1，﹣1）．则AB→在BCA．(105，3C．(15，6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对应的边，S△ABC=12(ab)2−(a2+b2−cA．54 B．34 C．357．（5分）已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x，方差为s2，则（）A．x=36，s2＜48C．x＞36，s28．（5分）在△ABC中，A=π6，B=π2，BC＝1，D为AC中点，若将△BCD沿着直线BD翻折至△BC′D，使得四面体C′﹣ABD的外接球半径为1，则直线A．33 B．23 C．53二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列说法正确的是（）A．数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同 B．数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3 C．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 D．甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组（多选）10．（6分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，a2＝2bcsinA，下列说法正确的是（）A．若a＝1，则S△ABCB．△ABC外接圆的半径为bcaC．cb+bD．A=π4时，c（多选）11．（6分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点P为线段D1F上的动点，则（）A．两条异面直线D1C和BC1所成的角为45° B．存在点P，使得C1G∥平面BEP C．对任意点P，平面FCC1⊥平面BEP D．点B1到直线D1F的距离为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为．13．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P为CD上一点，且满足AP→=mAC14．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，动点P在△AB1C内，满足D1P=14，则点P四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知z为复数，z+2i为实数，且z（1﹣2i）为纯虚数，其中i是虚数单位．（1）求|z|；（2）若复数(z+mi)216．（15分）某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（1）求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）17．（15分）在①（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB）；②2b−ac−cosAcosC=0；③向量m→=(c，已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．（1）求角C；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝2，求△ABC周长的取值范围；（3）在（2）条件下，若AB边中点为D，求中线CD的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18．（17分）三棱台ABC﹣A1B1C1中，若A1A⊥面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，M，N分别是BC，BA中点．（1）求A1N与CC1所成角的余弦值；（2）求平面C1MA与平面ACC1A1所成夹角的余弦值；（3）求CC1与平面C1MA所成角的正弦值．19．（17分）如图①，在矩形ABCD中，AB=2AD=42，E，E为CD的中点，如图△AED沿AE折起，点M在线段CD上．（1）若DM＝2MC，求证AD∥平面MEB；（2）若平面AED⊥平面BCEA，是否存在点M，使得平面DEB与平面MEB垂直？若存在，求此时三棱锥B﹣DEM的体积，若不存在，说明理由．

2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知z=1−i2+2i，则zA．﹣i B．i C．0 D．1【考点】复数的运算；共轭复数．【答案】A【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：z=1−i则z=故z−z=−故选：A．2．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，则该平面图形的高为（）A．22 B．2 C．42 【考点】平面图形的直观图；斜二测法画直观图．【答案】C【分析】根据给定条件，求出O′C′，再作出水平放置的原平面图形作答．【解答】解：在直角梯形O′A′B′C′中，O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，显然∠A′O′C′＝45°，于是O′C′=O′A′−B′C′直角梯形O′A′B′C′对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC，BC∥OA，OC⊥OA，OA＝2BC＝4，OC=2O′C′=42所以该平面图形的高为42故选：C．3．（5分）在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在线段BD上，且BE→=3EDA．14AD→+12AC→ 【考点】平面向量的基本定理．【答案】B【分析】由已知结合向量的线性运算即可求解．【解答】解：平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在线段BD上，且BE→则AE→=AD→+DE→=AD故选：B．4．（5分）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生 C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和至多有1名男生【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件．【答案】A【分析】利用互斥事件的定义直接求解．【解答】解：某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，对于A，恰有1名女生和恰有2名女生不能同时发生，是互斥事件，故A正确；对于B，至少有1名男生和至少有1名女生能同时发生，不是互斥事件，故B错误；对于C，至少有1名女生和全是女生能同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，至少有1名女生和至多有1名男生能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选：A．5．（5分）已知点A（1，1），B（0，2），C（﹣1，﹣1）．则AB→在BCA．(105，3C．(15，【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可．【解答】解：∵A（1，1），B（0，2），C（﹣1，﹣1），∴AB→=(−1，1)，BC→=(−1，−3)，∴|AB→|=∴cos〈AB即向量AB→与BC因此向量AB→在BC→上的投影向量与而|AB→|⋅|cos〈∴AB→在BC→上的投影向量为故选：C．6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对应的边，S△ABC=12(ab)2−(a2+b2−cA．54 B．34 C．35【考点】三角形的面积公式．【答案】D【分析】由正弦定理可得ac＝2，由余弦定理可得a2+c【解答】解：因为c2=2sinCsinA，由正弦定理asinA又由余弦定理cosB=a2+则由“三斜求积术”得S△ABC故选：D．7．（5分）已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x，方差为s2，则（）A．x=36，s2＜48C．x＞36，s2【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】B【分析】根据数据总和不变，则平均数不变，再结合方差公式，即可求解．【解答】解：设收集的48个准确数据为x1，x2，⋯x48，所以x1所以x1+x2+⋯+x48＝1728，所以x=又48=150[故选：B．8．（5分）在△ABC中，A=π6，B=π2，BC＝1，D为AC中点，若将△BCD沿着直线BD翻折至△BC′D，使得四面体C′﹣ABD的外接球半径为1，则直线A．33 B．23 C．53【考点】几何法求解直线与平面所成的角．【答案】D【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定△BC′D为等边三角形，利用正弦定理可确定△ABD外接圆半径，由此可知△ABD外接圆圆心O即为四面体C′﹣ABD外接球球心，由球的性质可知OG⊥平面BC′D，利用VC′﹣OBD＝VO﹣C′BD可求得点C′到平面ABD的距离，由此可求得线面角的正弦值．【解答】解：∵A=π6，B=π2，BC＝1，∴AC＝2，又∴AD＝CD＝BD＝1，则BC′＝C′D＝BD＝1，即△BC′D为等边三角形，设△BC′D的外接圆圆心为G，△ABD的外接圆圆心为O，取BD中点H，连接C′H，OH，OG，OB，OC′，OD，∵A=π6，BD＝1，∴OB=1又四面体C′﹣ABD的外接球半径为1，∴O为四面体C′﹣ABD外接球的球心，由球的性质可知：OG⊥平面BC′D，又C′H⊂平面BC′D，∴OG⊥C′H，∵C′G=23CH=23设点C′到平面ABD的距离为d，由VC′﹣OBD＝VO﹣C′BD得：13又△OBD与△C′BD均为边长为1的等边三角形，∴d=OG=6直线BC′与平面ABD所成角的正弦值为dBC′故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列说法正确的是（）A．数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同 B．数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3 C．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 D．甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数；分层随机抽样．【答案】AB【分析】根据已知条件，结合平均数、方差公式，众数、中位数的定义，以及分层抽样的定义，即可求解．【解答】解：平均数为1+2+3+3+4+56∴中位数为3+32=3，数据据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3，故B正确；根据样本的抽样比等于各层的抽样比知，样本容量为9÷33+1+2=乙组数据的平均数为5+6+9+10+55乙组数据的方差为15所以这两组数据中较稳定的是乙，D错误；故选：AB．（多选）10．（6分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，a2＝2bcsinA，下列说法正确的是（）A．若a＝1，则S△ABCB．△ABC外接圆的半径为bcaC．cb+bD．A=π4时，c【考点】解三角形；正弦定理．【答案】ABD【分析】A中，由题意可得bcsinA的值，代入三角形的面积公式，可得三角形的面积，判断A的真假；B中，由正弦定理可得该三角形的半径，判断B的真假；C中，由均值不等式，可得最小值时为b＝c，由题意可得A≠π3，判断C的真假；D中，将A角的大小及题意，可得所求的结果，判断【解答】解：A中，a＝1，由题意可得2bcsinA＝1，所以S=12bcsinA=12•B中，设外接圆的半径r，由正弦定理asinA=2r，因为a2＝2bcsinA，所以r=bcC中，cb+bc≥2cb⋅bc=2，当且仅当cb=bc，即b＝D中，A=π4，因为a2＝2bcsinA，可得a2=2bc，由余弦定理可得cosA=b2所以cb+bc=故选：ABD．（多选）11．（6分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点P为线段D1F上的动点，则（）A．两条异面直线D1C和BC1所成的角为45° B．存在点P，使得C1G∥平面BEP C．对任意点P，平面FCC1⊥平面BEP D．点B1到直线D1F的距离为4【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面平行；平面与平面垂直．【答案】BCD【分析】对于A，由正方体的性质可得BC1∥AD1，两条异面直线D1C和BC1所成角即为∠AD1C＝60°；对于B，当点P与点D1重合时，四边形EGC1D1是平行四边形，C1G∥D1G，从而C1G∥平面BEP；对于C，连接CF，推导出CC1⊥EB，△BAE≌△CFB，CF⊥BE，从而BE⊥平面FCC1，进而平面FCC1⊥平面BEP；对于D，由余弦定理求出∠B1D1F＝45°，由此能求出点B1到直线D1F的距离．【解答】解：对于A，由正方体的性质可得BC1∥AD1，两条异面直线D1C和BC1所成角即为∠AD1C＝60°，故A错误；对于B，当点P与点D1重合时，由题知EG∥DC，EG＝DC，D1C1∥DC，D1C1＝DC，∴EG∥D1C1，EG＝D1C1，四边形EGC1D1是平行四边形，∴C1G∥D1G，∵C1G⊄平面BEP，D1E⊂平面BEP，∴C1G∥平面BEP，故B正确；对于C，连接CF，∵CC1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴CC1⊥EB，又AE＝BF，AB＝CB，∠A＝∠CBF，∴△BAE≌△CFB，∴∠EBA+∠CFB＝90°，∴CF⊥BE，∵CE，CC1相交，CF，CC1⊂平面FCC1，∴BE⊥平面FCC1，又BE⊂平面BEP，∴对任意点P，平面FCC1⊥平面BEP，故C正确；对于D，由正方体的性质得B1D1＝42，FD1=22+42+42∴cos∠B1D1F=B∴∠B1D1F＝45°，∴点B1到直线D1F的距离为d＝B1D1sin∠B1D1F＝42×22故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为19【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】19【分析】基本事件总数n＝33＝27，三人恰好参加同一个社团包含的基本事件个数m＝3，由此能求出三人恰好参加同一个社团的概率．【解答】解：某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，基本事件总数n＝33＝27，三人恰好参加同一个社团包含的基本事件个数m＝3，则三人恰好参加同一个社团的概率为P=m故答案为：1913．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P为CD上一点，且满足AP→=mAC【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理．【答案】3．【分析】由AD→=2DB→，P为CD上一点，且满足AP→=mAC→+12AB【解答】解：由AD→=2DB又C，P，D三点共线，则有AP→=mAC∵AP→∴2−2m3=12又CD→且∠BAC=π3，AC＝2，故AP→⋅CD→==−1=−1＝3．故答案为：3．14．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，动点P在△AB1C内，满足D1P=14，则点P的轨迹长度为【考点】轨迹方程；棱柱的结构特征．【答案】2π【分析】确定正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线BD1与ΔAB1C的交点E，求出EP确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图，如图，E为正三角形AB1C的外心，D1E⊥平面AB1C，根据几何关系，不难得出D1E＝32×(3因为点P在ΔAB1C内，满足D1P=14，则EP=因此点P的轨迹是以点E为圆心，2为半径的圆在ΔAB1C内的圆弧，而ΔAB1C为正三角形，则三棱锥B﹣AB1C必为正三棱锥，E为正ΔAB1C的中心，于是正ΔAB1C的内切圆半径EH＝AB1×3则cos∠HEF=32，即∠HEF=π6所以圆在ΔAB1C内的圆弧为圆周长的12即点P的轨迹长度为12⋅2π故答案为：2π．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知z为复数，z+2i为实数，且z（1﹣2i）为纯虚数，其中i是虚数单位．（1）求|z|；（2）若复数(z+mi)2【考点】复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数．【答案】（1）25（2）（﹣2，2）．【分析】（1）根据已知条件，结合实数和纯虚数的定义，先求出z，再结合复数模公式，即可求解；（2）根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．【解答】解：（1）设z＝x+yi，（x，y∈R）．由z+2i＝x+（y+2）i为实数，得y+2＝0，即y＝﹣2．又z（1﹣2i）＝x﹣4﹣2（1+x）i，由z（1﹣2i）为纯虚数，得x4=02(1+x)≠0∴x＝4，∴z＝4﹣2i．∴|z|=4（2）由z＝4﹣2i，得z=4+2i∴(z+mi)2=（﹣m2﹣4m+12）+8（根据条件，可知−m解得﹣2＜m＜2．∴实数m的取值范围是（﹣2，2）．16．（15分）某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（1）求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）0.01；82.5；（2）平均值为82，520名学生获奖．【分析】（1）所有组频率之和为1，每个小长方形面积为该组对应的频率，这样让1减去其它组频率即为所求组频率，所求组频率即为对应长方形面积，面积除以宽得到高就是m值．频率分布直方图中的中位数是频率0.5位置为应的x的值．（2）平均值是各组中点值乘以对应的频率之和，不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率．【解答】解：（1）由图知第一组频率为1﹣（0.03+0.04+0.02）×10＝0.10，所以第一组矩形的高为m0.1010因为前两组的频率为（0.01+0.03）×10＝0.4＜0.5，前三组的频率为（0.01+0.03+0.04）×10＝0.8＞0.5，所以得分的中位数在第三组内，设中位数为x，（0.01+0.03）×10+（x﹣80）×0.04＝0.5，解得x＝82.5，所以估计此次得分的中位数是82.5分．（2）由频率分布直方图知，学生得分的平均值为x=参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为1000×[0.02×10+（90﹣82）×0.04]＝520，所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分，参赛的1000名学生中有520名学生获奖．17．（15分）在①（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB）；②2b−ac−cosAcosC=0；③向量m→=(c，已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．（1）求角C；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝2，求△ABC周长的取值范围；（3）在（2）条件下，若AB边中点为D，求中线CD的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）π3（2）（2+23，6]．（3）（213，3【分析】（1）若选①，由正弦定理，余弦定理可得cosC的值，再由角C的范围，可得角C的大小；若选②，由正弦定理及两角和的正弦公式，可得cosC的值，再由角C的范围，可得角C的大小；若选③，由正弦定理可得tanC的值，再由角C的范围，可得角C的大小；（2）在锐角三角形中，可得角A的范围，由正弦定理可得a，b的表达式，进而可得a+b+c的表达式，由辅助角公式及角A的范围，可得△ABC的周长的范围；（3）由（2）可得a+b的范围，由中线的向量表示及余弦定理可得中线CD的取值范围．【解答】解：（1）若选①，由正弦定理可得（a+c）（a﹣c）＝b（a﹣b），整理可得：a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理可得：a2+b2﹣c2＝2abcosC，可得cosC=12，而C∈（0，可得C=π若选②，由正弦定理可得2sinB−sinAsinC整理可得：2sinBcosC＝sinAcosC+cosAsinC＝sin（A+C）＝sinB，因为sinB＞0，可得cosC=12，而C∈（0，可得C=π若选③，csinB=3bcosC由正弦定理可得sinCsinB=3sinBcosC因为sinB＞0，可得tanC=3，而C∈（0，π可得C=π（2）△ABC为锐角三角形，且c＝2，所以0＜A＜π20=B=2π3由正弦定理可得：asinA所以b=43sinB，c=4所以△ABC的周长为c+a+b＝2+43（sinA+sinA）＝2+43[sinA＝2+43（32cosA+32sin因为π6＜A所以π3＜A所以sin（A+π6）∈（所以△ABC周长的取值范围（2+23，6]．（3）由（2）可得b+a＝4sin（A+π6）∈（2因为AB边中点为D，所以2CD→=CA→+CB→，所以4CD→2=CA→2+CB→2+2CA→⋅CB→=CA→2+CB→2+2|CA→|•|CB→|cosC=CA由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab，即a2+b2﹣ab＝4，可得（a+b）2＝4+3ab，可得ab=(a+b所以4CD→2=23（a+b）因为（a+b）2∈（12，16]，所以4CD→2=23（a+b）2+4所以|CD→|∈（213，即中线CD的取值范围（213，318．（17分）三棱台ABC﹣A1B1C1中，若A1A⊥面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，M，N分别是BC，BA中点．（1）求A1N与CC1所成角的余弦值；（2）求平面C1MA与平面ACC1A1所成夹角的余弦值；（3）求CC1与平面C1MA所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【答案】（1）45；（2）23；（3）【分析】（1）以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A1N与CC1所成角的余弦值．（2）求出平