2023-2024学年重庆市高三(上)入学数学试卷

2023-2024学年重庆市高三（上）入学数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∩B＝{1，m}，则m＝（）A．0或 B．0或3 C．1或3 D．1或3或02．（5分）复数z满足（z+1）i＝1﹣i，则z的共轭复数的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）已知满足，则夹角的余弦值为（）A． B． C． D．4．（5分）已知函数y＝f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）“a＞1”是“函数f（x）＝ax2﹣2x（a∈R）在（1，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数在区间上是单调的，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．7．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1+a3＝10，，则该数列的公比为（）A．2 B．1 C． D．8．（5分）最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度＝器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位cm），则平地降雪厚度的近似值为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣6＝0，M（x，y）为圆C上任意一点，A（1，﹣1），则（）A．|MC|＝1 B．直线l：y＝x+b过点A，则C到直线l的距离为 C． D．圆C与坐标轴相交所得的四点构成的四边形面积为（多选）10．（5分）已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是（）A．|PF1|+|PF2|＝4 B．存在点P满足∠F1PF2＝90° C．直线PA1与直线PA2的斜率之积为﹣ D．若△F1PF2的面积为2，则点P的横坐标为±（多选）11．（5分）若随机变量X～B（9，），下列说法中正确的是（）A． B．期望E（X）＝3 C．期望E（4X﹣1）＝11 D．方差D（﹣2X+5）＝8（多选）12．（5分）给出下列命题，其中正确的是（）A．幂函数y＝xa（a∈R）图象一定不过第四象限 B．函数f（x）＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1） C．是奇函数 D．函数f（x）＝2x﹣x﹣2有两个零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为1，则＝．14．（5分）已知函数，现将该函数图象先向左平移个应位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，已知函数g（x）在区间上是单调的，则ω的取值范围是．15．（5分）若，ai∈R，i＝0，1，⋅⋅⋅，5，则a2+a4＝．（用数字作答）16．（5分）直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面正方形边长为2，侧棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）数列{an}的前n项积为bn，b1＝1．（1）若bn+1＝2an，求b4；（2）若，设cn＝log4a2n﹣1，求数列{cn}的前n项和．18．（12分）如图，P为圆锥的顶点，A，B为底面圆O上两点，∠AOB＝，E为PB中点，点F在线段AB上，且AF＝2FB．（1）证明：平面AOP⊥平面OEF；（2）若OP＝AB，求直线AP与平面OEF所成角的正弦值．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知6bcos2＝3b﹣2a+3c，D是AC边上一点，AD＝2DC，BD＝2．（1）求cosB；（2）求的最大值．20．（12分）为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩频率分布直方图如图所示．（1）用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（2）可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布N（μ，σ2）（用样本平均数和标准差s分别作为μ、σ的近似值），已知样本标准差s≈7.36，如有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取整数）（3）从得分区间[80，90）和[90，100]的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间[80，90）的概率．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.95，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.99．21．（12分）已知函数f（x）＝aln（x+1）+﹣x．（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）的图像在x＝0处的切线方程；（2）当x≥0时，f（x）≥1﹣4x恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点在椭圆C上，且PF1⊥F1F2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知A，B两点的坐标分别是（0，2），（﹣1，0），若过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为直径的圆过点B，求出直线l的所有方程．

2023-2024学年重庆市高三（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∩B＝{1，m}，则m＝（）A．0或 B．0或3 C．1或3 D．1或3或0【考点】交集及其运算．【答案】B【分析】由A，B，以及A与B的交集为B，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解：∵集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，且A∩B＝{1，m}∴m＝3或m＝，解得：m＝3或m＝0或m＝1，由元素的互异性得m＝1不合题意，舍去，则m＝3或0．故选：B．2．（5分）复数z满足（z+1）i＝1﹣i，则z的共轭复数的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】A【分析】根据已知条件，先求出z，再结合共轭复数和虚部的定义，即可求解．【解答】解：（z+1）i＝1﹣i，则z+1＝，故z＝﹣2﹣i，，所以z的共轭复数的虚部是1．故选：A．3．（5分）已知满足，则夹角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角．【答案】D【分析】根据数量积的运算律，由，解得，进而利用完全平方公式，解得，利用夹角公式，可得答案．【解答】解：由题意，向量，满足，，可得，所以，又由，所以，设向量与的夹角为θ，则．故选：D．4．（5分）已知函数y＝f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值；导数的运算．【答案】A【分析】由题意结合导数的几何意义求得f′（5），再求出f（5），则答案可求．【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y＝﹣x+8，∴f′（5）＝﹣1，又f（5）＝﹣5+8＝3，∴f（5）+f′（5）＝﹣1+3＝2．故选：A．5．（5分）“a＞1”是“函数f（x）＝ax2﹣2x（a∈R）在（1，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】A【分析】利用一次函数，二次函数的单调性求出a≥1，再利用充要条件的定义判定即可．【解答】解：①当a＝0时，则函数f（x）＝ax2﹣2x＝﹣2x在（1，+∞）上单调递减，②当a≠0时，若函数f（x）＝ax2﹣2x（a∈R）在（1，+∞）上单调递增，则，∴a≥1，综上，函数f（x）＝ax2﹣2x（a∈R）在（1，+∞）上单调递增时a的取值范围为[1，+∞），∴a＞1是函数f（x）＝ax2﹣2x（a∈R）在（1，+∞）上单调递增的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）已知函数在区间上是单调的，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】正弦函数的单调性．【答案】C【分析】由题意，根据三角函数在区间上单调，可知在区间内不含对称轴，构建不等式即可求得ω的取值范围．【解答】解：对于函数，令，（k∈Z），可得对称轴方程（k∈Z）．∵函数在区间上是单调的，∴，且，（k∈Z）．由，即0＜ω≤1．再根据，即（k∈Z）．又0＜ω≤1，可得或．故选：C．7．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1+a3＝10，，则该数列的公比为（）A．2 B．1 C． D．【考点】等比数列的通项公式；等比数列的性质．【答案】C【分析】由等比数列的定义和性质知，结合q＞0求解即可．【解答】解：设数列{an}公比为q，因数列{an}各项均为正数，故q＞0，则，所以，解得或（负值舍去）．故选：C．8．（5分）最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度＝器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位cm），则平地降雪厚度的近似值为（）A． B． C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】C【分析】依题意求得器皿中雪表面的半径，从而求得雪的体积，即可求得答案．【解答】解：如图，可求得器皿中雪表面的半径为，所以平地降雪厚度的近似值为h＝＝＝（cm）．故选C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣6＝0，M（x，y）为圆C上任意一点，A（1，﹣1），则（）A．|MC|＝1 B．直线l：y＝x+b过点A，则C到直线l的距离为 C． D．圆C与坐标轴相交所得的四点构成的四边形面积为【考点】直线与圆的位置关系．【答案】BC【分析】对于A，将圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径，从而可求得|MC|；对于B，求出直线方程，利用点到直线的距离公式求解，对于C；由圆的性质得r﹣|CA|≤|MA|≤r+|CA|，对于D；分别求出圆C与x轴相交所得的弦长和圆C与y轴相交所得弦长，然后可求出其面积．【解答】解：对于选项A，圆C：x2+y2﹣2x﹣6＝0的标准方程为（x﹣1）2+y2＝7，圆心C的坐标为（1，0），则，故A选项错误；对于选项B，直线l过点A，则﹣1＝1+b，b＝﹣2，所以C到直线l的距离为，故B选项正确；对于选项C，，故C选项正确；对于选项D，圆C与x轴相交所得的弦长为，圆C与y轴相交所得的弦长为，所以圆C与坐标轴相交所得的四点构成的四边形面积为，故D选项错误．故选：BC．（多选）10．（5分）已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是（）A．|PF1|+|PF2|＝4 B．存在点P满足∠F1PF2＝90° C．直线PA1与直线PA2的斜率之积为﹣ D．若△F1PF2的面积为2，则点P的横坐标为±【考点】椭圆的性质．【答案】CD【分析】先由椭圆方程求出椭圆的左右焦点坐标以及左右顶点的坐标，利用椭圆的定义即可判断选项A；根据∠F1PF2＝90°，可得点P满足的轨迹方程，再与椭圆方程联立整理求解，即可判断选项B；设出点P的坐标，代入椭圆方程，再利用斜率公式即可判断选项C；求出三角形PF1F2的面积，即可求出点P的纵坐标，从而求出点P的横坐标，即可判断选项D．【解答】解：由椭圆方程可得：a＝4，c＝，F1（﹣，0），F2（，0），A1（﹣4，0），A2（4，0），对于A，由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|＝2a＝8，故A错误；对于B，若∠F1PF2＝90°，则点P在圆：x2+y2＝7上，联立椭圆方程可得方程组无解，故B错误；对于C，设点P的坐标为（m，n），则，直线PA1与直线PA2的斜率之积为＝﹣，故C正确；对于D，三角形PF1F2的面积为S＝＝2，解得yP＝±h＝±2，代入椭圆方程可得x＝±，故D正确．故选：CD．（多选）11．（5分）若随机变量X～B（9，），下列说法中正确的是（）A． B．期望E（X）＝3 C．期望E（4X﹣1）＝11 D．方差D（﹣2X+5）＝8【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型；离散型随机变量的期望与方差．【答案】BCD【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及期望与方差公式，即可求解．【解答】解：随机变量X～B（9，），则P（X＝3）＝，故A错误；E（X）＝；故B正确；E（4X﹣1）＝4E（X）﹣1＝4×3﹣1＝11，故C正确；，故D（﹣2X+5）＝（﹣2）2D（X）＝8，故D正确．故选：BCD．（多选）12．（5分）给出下列命题，其中正确的是（）A．幂函数y＝xa（a∈R）图象一定不过第四象限 B．函数f（x）＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1） C．是奇函数 D．函数f（x）＝2x﹣x﹣2有两个零点【考点】命题的真假判断与应用；函数奇偶性的性质与判断．【答案】ABCD【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的性质依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，根据幂函数的性质，幂函数y＝xa（a∈R）图象一定不过第四象限，故A对；对于B，函数f（x）＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1），当x＝﹣1时，有x+1＝0，则f（﹣1）＝﹣1，图象一定过定点（﹣1，﹣1），故B对；对于C，令，＞0，解可得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），因为，且f（x）的定义域关于原点对称，所以f（x）是奇函数，故C对；对于D，函数f（x）＝2x﹣x﹣2的零点可以看成函数y＝2x与y＝x+2的交点问题，易知两个函数图象有两个交点，即f（x）＝2x﹣x﹣2有两个零点，故D对．故选：ABCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为1，则＝1．【考点】导数及其几何意义．【答案】1．【分析】根据导数的定义可得答案．【解答】解：＝f′（x0），又由函数f（x）在x＝x0处的导数为1，即f′（x0）＝1，故．故答案为：1．14．（5分）已知函数，现将该函数图象先向左平移个应位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，已知函数g（x）在区间上是单调的，则ω的取值范围是．【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】．【分析】由题意，利用降幂公式化简函数f（x），根据图象平移可得函数g（x），利用整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得答案．【解答】解：＝sinωx（1+sinωx）﹣sin2ωx＝sinωx，由题意，．当时，由ω＞0，则．若g（x）在上单调递增，则，可得不等式组，解得．若g（x）在上单调递减，则，可得不等式组，解得，由，解得，由k∈N，则k＝0，则．综上，ω的取值范围为．故答案为：．15．（5分）若，ai∈R，i＝0，1，⋅⋅⋅，5，则a2+a4＝120．（用数字作答）【考点】二项式定理．【答案】120．【分析】采用赋值法，分别令x＝1，x＝﹣1和x＝0，求a2+a4的值．【解答】解：令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5＝﹣1；令x＝﹣1，可得；两式相加得，令x＝0，可得a0＝1，故a2+a4＝120．故答案为：120．16．（5分）直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面正方形边长为2，侧棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于．【考点】球的体积和表面积．【答案】．【分析】分别求出球面与面ABCD、面A1B1C1D1、面AA1B1B、面AA1D1D的交线长，相加即可得出结果．【解答】解：如下图所示：①因为正方形ABCD的边长为2，所以，以顶点A为球心，2为半径的球与面ABCD的交线是以A为圆心，半径为2，且圆心角为的圆弧，其长度为；②因为AA1⊥底面A1B1C1D1，且，所以，以顶点A为球心，2为半径的球与面A1B1C1D1的交线是以点A1为圆心，半径为，圆心角为的圆弧，其长度为；③设以顶点A为球心，2为半径的球与棱A1B1的交点为点E，因为，AA1⊥A1B，则，所以，，从而可得，故以顶点A为球心，2为半径的球与侧面AA1B1B的交线是以点A为圆心，半径为2，且圆心角为的圆弧，其长度为；④同③可知，以顶点A为球心，2为半径的球与侧面AA1D1D的交线是以点A为圆心，半径为2，且圆心角为的圆弧，其长度为．因此，球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于．故答案为：．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）数列{an}的前n项积为bn，b1＝1．（1）若bn+1＝2an，求b4；（2）若，设cn＝log4a2n﹣1，求数列{cn}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）4；（2）．【分析】（1）由条件分别取n＝1，2，3，即可求得a1＝1，a2＝2，a3＝2，再由b4＝2a3即可求得b4的值；（2）由两式相除法可求得an，结合条件可求得cn，最后由公式法即可求解．【解答】解：（1）由题可得：b1＝a1＝1，b2＝2a1＝2＝a1•a2，∴a2＝2，b3＝2a2＝2×2＝4＝a1•a2•a3＝1×2×a3＝2a3，∴a3＝2，∴b4＝2a3＝2×2＝4；（2）∵且数列{an}的前n项积为bn，∴a1•a2•a3••••，当n≥2时，a1•a2•a3••••，两式相除得：，a1＝b1＝1，也满足上式，∴，∵cn＝log4a2n﹣1＝＝，∴数列{cn}的前n项和为＝．18．（12分）如图，P为圆锥的顶点，A，B为底面圆O上两点，∠AOB＝，E为PB中点，点F在线段AB上，且AF＝2FB．（1）证明：平面AOP⊥平面OEF；（2）若OP＝AB，求直线AP与平面OEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直．【答案】（1）证明详情见解答．（2）．【分析】（1）设底面圆的半径为r＝1，在△AOB中，由余弦定理可得AB，AF，由＝2，得＝+，两边平方解得||，由勾股定理可得OA⊥OF，又PO⊥面AOB，结合线面垂直的性质定理可得PO⊥OF，再由线面垂直的判定定理可得OF⊥面POA，即可得出答案．（2）以O为原点，OB所在直线为y轴，在平面AOB中，垂直于OB的直线为x轴，OP直线为z轴建立空间直角坐标系，由＝＝（﹣，1，0），解得F点坐标，求出平面OEF的法向量为＝（a，b，c），设直线AP与平面OEF所成角的为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||，即可得出答案．【解答】解：（1）证明：设底面圆的半径为r＝1，在△AOB中，OA＝OB＝1，∠AOB＝，所以AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OBcos∠AOB＝12+12﹣2cos∠＝3，所以AB＝，因为AF＝2FB，则AF＝，所以＝2，所以﹣＝2（﹣），所以＝+，所以2＝（+）2，所以2＝（+）2＝2+•+2＝+•1•1cos+＝，所以||＝，在△AOF中，OA2+OF2＝12+（）2＝，AF2＝，所以OA2+OF2＝AF2，所以OA⊥OF，又PO⊥面AOB，OF⊂面AOB，所以PO⊥OF，又OP∩OA＝O，OP⊂面AOP，OA⊂面AOP，所以OF⊥面POA，又OF⊂面OEF，所以面OEF⊥面POA．（2）以O为原点，OB所在直线为y轴，在平面AOB中，垂直于OB的直线为x轴，OP直线为z轴建立空间直角坐标系：所以P（0，0，），B（0，1，0），A（，﹣，0），E（0，，），所以＝（﹣，，0），＝（﹣，，），＝＝（﹣，1，0），设F（x，y，z），则（x﹣，y+，z）＝（﹣，1，0），所以x＝，y＝，z＝0，所以F（，，0）设平面OEF的法向量为＝（a，b，c），＝（0，，），＝（，，0），所以，令b＝，则a＝﹣3，c＝﹣1，所以＝（﹣3，，﹣1），设直线AP与平面OEF所成角的为θ，sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，直线AP与平面OEF所成角的正弦值为．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知6bcos2＝3b﹣2a+3c，D是AC边上一点，AD＝2DC，BD＝2．（1）求cosB；（2）求的最大值．【考点】解三角形；正弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得3sinAcosB＝2sinA，结合sinA≠0，可求cosB的值．（2）由题意利用平面向量的运算可求＝9﹣（4a2+c2），又cos∠ADB+cos∠CDB＝0，进而利用余弦定理以及基本不等式即可求解．【解答】解：（1）因为6bcos2＝3b﹣2a+3c，所以可化为6b×＝3b﹣2a+3c，可得3b+3bcosA＝3b﹣2a+3c，由正弦定理可得3sinBcosA＝3sinC﹣2sinA，在三角形ABC中，3sinBcosA＝3sin（A+B）﹣2sinA，化简整理得：3sinAcosB＝2sinA，因为A∈（0，π），sinA≠0，所以cosB＝．（2）因为＝＝（）＝，＝，又因为BD＝2，所以4＝，所以＝9﹣（）＝9﹣（4a2+c2），又cos∠ADB+cos∠CDB＝0，所以，所以，可得，可得4ac＝3[a2+c2﹣（c2+2a2﹣12）]，所以4ac＝3[18﹣（c2+2a2）]＝54﹣（c2+4a2），因为4ac≤（2a）2+c2，所以54﹣（c2+4a2）≤4a2+c2，可得54≤（4a2+c2），所以4a2+c2≥，所以﹣（4a2+c2），所以＝9﹣（4a2+c2）＝，所以的最大值．20．（12分）为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩频率分布直方图如图所示．（1）用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（2）可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布N（μ，σ2）（用样本平均数和标准差s分别作为μ、σ的近似值），已知样本标准差s≈7.36，如有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取整数）（3）从得分区间[80，90）和[90，100]的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间[80，90）的概率．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.95，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.99．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【答案】（1）80.5；（2）73分；（3）．【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数．（2）根据正态分布的对称性求得正确答案．（3）根据分层抽样、条件概型等知识求得正确答案．【解答】解：（1）根据题意，由频率分布直方图可知，此次知识竞赛的平均分＝（65×0.01+75×0.04+85×0.035+95×0.015）×10＝80.5；（2）由（1）可知X～N（80.5，7.362），设学校期望的平均分约为m，则P（X≥m）＝0.84，因为P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.68，则P（μ﹣σ＜X≤μ）≈0.34，所以P（X＞μ﹣σ）≈0.84，即P（X＞80.5﹣7.36）≈0.84，P（X≥m）＝0.84，必有m≈80.5﹣7.36≈73，所以学校期望的平均分约为73分；（3）由频率分布直方图可知，分数在[80，90）和[90，100]的频率分别为0.35和0.15，那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在[80，90），应抽取人，分数在[90，100]应抽取人，设事件A＝“抽测的3份试卷来自于不同区间”，B＝“抽测3份试卷有2份来自区间[80，90）”，从这10份样本中随机抽测3份试卷，有＝120种抽取方法，若抽测的3份试卷来自于不同区间，有+＝63+21＝84种抽取方法，则P（A）＝，其中有2份来自区间[80，90）的取法有＝63种，即P（B）＝P（AB）＝，故已知抽测的3份试卷来自于不同区间，抽测3份试卷有2份来自区间[80，90）的概率P（B|A）＝＝＝．21．（12分）已知函数f（x）＝aln（x+1）+﹣x．（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）的图像在x＝0处的切线方程；（2）当x≥0时，f（x）≥1﹣4x恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）y＝1；（2）[﹣2，+∞）．【分析】（1）f（x）求导，将切点横坐标代入导数，为切线的斜率，再利用点斜式直线方程可求切线方程；（2）构造函数g（t）＝alnt++3t﹣4，利用其单调性，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）x∈（﹣1，+∞），当a＝2时，f（x）＝2ln（x+1）+﹣x，f（0）＝1，f'（x）＝﹣（）2﹣1，k＝f'（0）＝0，所以a＝2时，函数f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝1；（2）∵f（