2023届陕西省西安市长安区高三下学期一模文科数学试题

第页，共页陕西省西安市长安区2023届高三下学期一模文科数学试题一、单选题（本大题共12小题）1.设集合，则（

）A． B． C． D．2.复数的共轭复数为（

）A． B． C． D．3.甲乙两位射击运动员参加比赛，抽取连续6轮射击比赛的成绩情况如下：甲：80、70、80、90、90、70；乙：70、80、80、80、70、80则下列说法中正确的是（

）A．甲比乙平均成绩高，甲比乙成绩稳定B．甲比乙平均成绩高，乙比甲成绩稳定C．乙比甲平均成绩高，甲比乙成绩稳定D．乙比甲平均成绩高，乙比甲成绩稳定4.函数在区间上的图象大致为（

）A． B． C． D．5.在中，则（

）A． B． C． D．6.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（

）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍7.下列是函数图像的对称轴的是（

）A． B． C． D．8.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（

）A． B． C． D．9.已知函数，若，则（

）A． B．C． D．10.已知点是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂足为A，交另一条渐近线于点B．若，则双曲线C的方程为（

）A． B． C． D．11.在三棱锥，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．12.设函数的定义域为，满足，且当时，．则下列结论正确的个数是（

）①；②若对任意，都有，则a的取值范围是；③若方程恰有3个实数根，则m的取值范围是．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共4小题）13.设a为实数，函数的导函数为，若是偶函数，则__________，此时，曲线在原点处的切线方程为______________．14.已知直线与圆交于A，B两点，若，则__________．15.已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________．16.在生活中，可以利用如下图工具绘制椭圆，已知O是滑杆上的一个定点，D可以在滑杆上自由移动，线段，点E满足，则点E所形成的椭圆的离心率为____________．三、解答题（本大题共7小题）17.已知等差数列的前n项和为，满足，_____________．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”）(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和．18.如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，F在上，满足．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．19.设抛物线的焦点为，，Q在准线上，Q的纵坐标为，点M到F与到定点的距离之和的最小值为4．(1)求抛物线C的方程；(2)过F且斜率为2的直线l与C交于A、B两点，求的面积．20.为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下：天数x123456繁殖个数y36132545100(1)判断（为常数）与（为常数，且）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)对于非线性回归方程（为常数，且），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值，3.50322.8517.530712.12（ⅰ）证明：对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系（即为常数）；（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）．附：对于一组数据其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．21.已知函数，求证：(1)存在唯一零点；(2)不等式恒成立．22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（，t为参数）．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线与x轴的交点为F，且曲线C与直线l交于A、B两点，求的值．23.已知．(1)求的解集；(2)已知在上恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案1.【答案】A【分析】解指数不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式得：，则，而，又，所以.故选：A2.【答案】C【分析】利用复数的除法及乘方运算，求出复数，再求其共轭复数作答.【详解】，则，所以复数的共轭复数为.故选：C3.【答案】B【分析】根据给定数据，求出甲乙成绩的平均数及方差，再比较判断作答.【详解】依题意，甲射击成绩的平均数，方差，乙射击成绩的平均数，方差，因此，所以甲比乙平均成绩高，乙比甲成绩稳定.故选：B4.【答案】A【分析】利用函数的奇偶性和指数函数的性质，排除选项得出正确答案．【详解】是偶函数，排除选项B和D当时，，，即，排除选项C故选：A5.【答案】C【分析】根据给定条件，利用平行四边形性质及向量线性运算求解作答.【详解】在中，令，则是对角线的中点，.故选：C6.【答案】B【分析】根据给定条件，可得，再利用和角的正切公式计算作答.【详解】依题意，，则，所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.故选：B7.【答案】D【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角公式化简函数，再利用余弦函数的性质求解作答.【详解】，显然，，，，所以函数图像的对称轴的是，ABC错误，D正确.故选：D8.【答案】C【分析】棱长为8的正四面体放入正方体，使正方体面对角线长等于正四面体棱长，然后求出体积作答.【详解】依题意，要使棱长为的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小，则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，如图，正四面体的棱长为8cm，该正四面体的所有棱均为正方体对应的面对角线，所以该正方体棱长为，盲盒内剩余空间的体积为.故选：C9.【答案】A【分析】在同一坐标系中作的图像,得到，借助的单调性进行判断即可.【详解】在R上单调递减，在同一坐标系中作的图像，如图：所以，故，故选：A.10.【答案】A【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.【详解】双曲线的渐近线方程为：，不妨令点A在直线上，，如图，因为，则，而，即有，，，由知，点在y轴同侧，于是，，，在中，，由得：，整理得：，化简得，解得或（舍去），所以，，双曲线方程为.故选：A11.【答案】C【分析】由面面垂直的性质结合直角三角形和等边三角形的性质得出的外接圆圆心为该三棱锥的外接球的球心，再由正弦定理以及球的表面积公式求解.【详解】解：过点作的垂线，垂足为，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以的外接圆的圆心为，设的外接圆圆心为，其半径为，则在上，所以，由面面垂直的性质可知，平面，所以，即为该三棱锥的外接球的球心，由正弦定理可知，，故该三棱锥的外接球的表面积为.故选：C12.【答案】C【分析】根据给定条件，求出上的函数解析式并画出部分函数图象，求函数值判断①；解不等式判断②；利用切线结合已知求出m的范围判断③作答.【详解】依题意，，当时，，且在区间上的最大值为1，当时，，，在区间上的最大值为2，当时，，，在区间上的最大值为4，当时，，，在区间上的最大值为8，显然，①正确；作出函数的部分图象，如图，当时，必有，由整理得：，于是得，因为对任意，都有，因此，所以a的取值范围是，②正确；方程恰有3个实数根，即直线与函数的图象恰有3个公共点，显然直线与在区间上的图象有且只有1个公共点，当直线与在区间上的图象相切时，由消去y整理得：，则，解得，而在区间上的最大值为，直线，当时，，此时该直线与在区间上的图象有两个公共点，因此直线与函数在时的图象有公共点时，公共点个数大于3，不符合题意，当直线与在区间上的图象相切时，由消去y整理得：，则，解得，当直线与在区间上的图象相切时，由消去y整理得：，则，解得，观察图象知，方程恰有3个实数根，则m的取值范围是，③错误.所以正确结论的个数是2.故选：C【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.13.【答案】

【分析】由偶函数的定义得出的值，再由导数的几何意义求切线方程.【详解】，因为是偶函数，所以在上恒成立，则恒成立，故.因为，，所以曲线在原点处的切线方程为，即.故答案为：；14.【答案】##【分析】根据给定条件，利用圆的弦长公式求出圆心到直线l的距离即可求解作答.【详解】圆的圆心，半径，因为圆O的弦AB长为2，则点O到直线l的距离，而，因此，解得，所以.故答案为：15.【答案】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，求出，再利用余弦定理及均值不等式求解作答.【详解】在中，由及正弦定理得：，而，于是，有，而，，因此，由余弦定理得，即有，当且仅当时取等号，从而，而，则，所以周长的取值范围为.故答案为：16.【答案】##【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，结合几何关系求出椭圆方程即可求解作答.【详解】由，得，以点O为原点，直线OD为x轴建立平面直角坐标系，如图，过E作于C，交OA的延长线于P，过A作于B，有轴，而，即，则点B是的中点，且有，因此，即，设，有，于是，整理得点E的轨迹方程为，该椭圆长半轴长，短半轴长，所以点E所形成的椭圆的离心率.故答案为：【点睛】思路点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.17.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的基本量的运算可得，进而即得；（2）利用分组求和法即得.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为若选择条件①，则由，得，解得，；若选择条件②，则由，得，解得，；若选择条件③，则由，得，解得，；（2）由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有，则，的前n项和18.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据给定条件证明即可推理作答.（2）由等体积法得出所求体积.【详解】（1）在四棱锥中，平面，而平面，则，因，，平面，所以平面.（2）由（1）可知，平面，而PD在平面PAD中，所以，则，因为，所以.，则即.因为，所以.19.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知可推得，求出的坐标代入，即可得出关于的方程，求解即可得出；（2）由已知可求得直线方程为，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理求出弦长.然后根据点到直线的距离求出点到直线的距离，即可得出面积.【详解】（1）由已知可得，，.因为，当且仅当三点共线时，取得最小值.又，所以，即，整理可得，因为，所以.所以，抛物线C的方程为.（2）由（1）知，，所以直线的方程为，.联立直线与抛物线的方程可得，.设，，则由韦达定理可得.所以.又点到直线，即直线的距离为，所以，的面积.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线中的有关三角形的面积时，常联立直线与曲线的方程，根据韦达定理求出弦长.然后根据点到直线的距离公式，求出三角形的高，即可得出.20.【答案】(1)以更适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.【分析】（1）根据给定数据作出散点图，再借助散点图即可判断作答.（2）（ⅰ）由（1）选定的回归方程类型，取对数即可得关于x的直线方程作答；（ⅱ）由（ⅰ）的结果，利用最小二乘法求解作答.【详解】（1）作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图，如图，观察散点图知，样本点分布在一条指数型曲线周围，所以更适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型.（2）（ⅰ）由（1）知，（为常数，且），又，因此，令，即有为常数，所以繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系.（ⅱ），，由（ⅰ）知，，，因此，所以y关于x的回归方程为.21.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由导数得出的单调性，结合零点存在性定理证明即可；（2）先证明，再由的单调性，证明不等式即可.【详解】（1），.当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减；所以，即.所以在上单调递增，.则在上，存在，使得，即存在唯一零点；（2），令，.当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减；即，故.因为函数在上单调递增，所以.即.故不等式恒成立.【点睛】关键点睛：在证明第二问时，关键是由导数证明，再利用函数的单调性证明，在做题时，要察觉到这一点.22.【答案】(1)(2)24【分析】（1）根据曲线C的参数方程为（，t为参数），由两边平方求解；（2）易