计量经济学模型案例与软件操作 课件 第八章 向量自回归模型

第八章向量自回归模型授课教师：所在学院：联系方式：引子:现象之间的影响是单方面的吗？

大家有没有观察过生活中变量间的循环影响？比如学生的每周学习时间（X）、娱乐时间（Y）和周测成绩（Z）。

该问题的多个变量不是单向影响，而是相互依赖、动态联动的。之前学的单方程回归模型，只能描述“学习时间影响成绩”这种单一方向的关系，没法同时捕捉“成绩→娱乐→学习”的循环互动。

那么，有没有一种模型能同时分析多个变量的相互作用，量化它们之间的动态影响路径呢？

这就是本章要重点学习的

向量自回归模型（VAR）及其扩展模型，它们正是解决多变量动态联动分析的核心工具。内容：1、向量自回归模型（VAR）2、向量误差修正模型（VECM）3、结构向量自回归模型（SVAR）第一节向量自回归模型（VAR）模型定义

由Sims于1980年提出，将每个内生变量视为所有内生变量滞后值的函数。它是一种非结构化的多方程模型，将单变量自回归推广到多元“向量”自回归。第一节向量自回归模型（VAR）

核心特点非理论驱动：不依赖严格经济理论，侧重数据动态关系。参数无零约束：保留所有参数估计值，不预先施加零约束。适用于预测：仅包含变量滞后项，适合多变量时间序列预测。第一节向量自回归模型（VAR）

第一节向量自回归模型（VAR）

第一节向量自回归模型（VAR）

推广到含有N个变量、滞后k期的VAR模型表示如下：其中第一节向量自回归模型（VAR）VAR模型的稳定性特征

稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR模型中某一个方程的新息(innovation)过程上时,随着时间的推移,分析这个冲击是否会逐渐地消失。如果是逐渐地消失,那么系统是稳定的;否则,系统是不稳定的。第一节向量自回归模型（VAR）

第一节向量自回归模型（VAR）VAR模型稳定的条件

VAR模型稳定的充分与必要条件是Π1的所有特征值都要在单位圆以内,或特征值的模都要小于1。即特征方程|Π-λI|=0的所有特征值的模都必须小于1。

在EViews等软件中，可以通过观察“AR根图表”进行快速检验。第一节向量自回归模型（VAR）

第一节向量自回归模型（VAR）

由于VAR模型参数的OLS估计量只具有一致性,单个参数估计值的经济解释是很困难的。要想对一个VAR模型做出分析,通常是观察系统的脉冲响应函数和方差分解。第一节向量自回归模型（VAR）脉冲响应函数脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击的反应。具体地说,它描述的是在随机误差项上施加一个标准差大小的冲击后对内生变量的当期值和未来值所带来的影响。对于如下VAR模型,如果y1,t表示GDP,y2,t表示货币供应量在模型中,如果误差u1t和u2t不相关,就很容易解释单个参数估计值的经济意义。u1t是y1,t的误差项,u2t是y2,t的误差项。u2t的脉冲响应函数衡量当期一个标准差的货币冲击对GDP和货币供应量的当前值和未来值的影响。第一节向量自回归模型（VAR）。方差分解另一个评价VAR模型的方法是方差分解,方差分解用于分析每个变量对系统波动的贡献程度。具体步骤如下。估计VAR模型，使用最大似然估计等方法估计VAR模型的系数。计算协方差矩阵，使用VAR模型的估计结果,计算系统中每个变量的协方差矩阵。进行方差分解，将系统波动分解为自身冲击和来自其他变量的冲击。分析结果，通过比较每个变量的贡献度,可以了解系统中哪些变量对整体波动起主导作用,哪些变量受其他变量的影响较大。第一节向量自回归模型（VAR）VAR模型滞后期k的选择

建立VAR模型除了要满足平稳性条件外,还应该正确确定滞后期k。如果滞后期太少,误差项的自相关会很严重,并导致参数估计的非一致性。正如在第四章介绍ADF检验的原理一样,在VAR模型中适当加大k值(增加滞后变量个数),可以消除误差项中存在的自相关。但从另一方面看,k值又不宜过大。k值过大会导致自由度减小,直接影响模型参数估计量的有效性。第一节向量自回归模型（VAR）1.用LR统计量选择k值。LR(似然比)统计量定义为

其中,logL(k)和logL(k+1)分别是VAR(k)和VAR(k+1)模型的极大似然估计值。显然,当VAR模型滞后期的增加不会给极大似然函数值带来显著性增大时,即LR统计量的值小于临界值时,新增加的滞后变量对VAR模型毫无意义。应该注意,当样本容量与被估参数个数相比不够充分大时,LR的有限样本分布与LR渐近分布存在很大差异。选择k值的方法第一节向量自回归模型（VAR）

选择k值的方法第一节向量自回归模型（VAR）

选择k值的方法第一节向量自回归模型（VAR）格兰杰非因果性检验

VAR模型还可用来检验一个变量与另一个变量是否存在因果关系。计量经济学中格兰杰(Granger)非因果性定义如下:如果由yt和xt滞后值所决定的yt的条件分布与仅由yt滞后值所决定的条件分布相同,即

则称xt-1对yt存在格兰杰非因果性。格兰杰非因果性的另一种表述是其他条件不变,若加上xt的滞后变量后对yt的预测精度不存在显著性改善,则称xt-1对yt存在格兰杰非因果性关系。第一节向量自回归模型（VAR）案例实战分析外商投资对经济增长的影响,数据来源于国家统计局网站1985—2020年全国外商实际投资额和国内生产总值。第一节向量自回归模型（VAR）EViews软件操作1.导入数据首先建立工作文件,在命令栏输入“datalnfdilngdp”,从Excel文件中复制数据到序列对象lnfdi、lngdp中。第一节向量自回归模型（VAR）EViews软件操作2.单位根检验

对LNFDI做单位根检验,单击“View→UnitRootTets→AugmentedDickey-Fuller”,选择ADF检验,根据SC信息来选择滞后阶数。第一节向量自回归模型（VAR）EViews软件操作3.确定VAR模型滞后阶数

在命令栏输入:genrdlngdp=d(lngdp)genrdlnfdi=d(lnfdi)选定“dlnfdi”,按下Ctrl键,一起选定“dlngdp”,点击右键,在菜单中点击“Open→asVAR”,构建VAR模型,单击“View→LagStructure→LagLengthCriteria”,结果见图，确认最优阶数为*最多那行对应的阶数,本例为4阶。第一节向量自回归模型（VAR）EViews软件操作4.格兰杰因果检验

单击“View→LagStructure→GrangerCausality→BlockExogeneityTests”,结果见左图,可知FDI是GDP的格兰杰原因,GDP不是FDI的格兰杰原因。单击“LagStructure→ARRootsGraph”,右图中点均在单位圆内,说明检验是稳定的。第一节向量自回归模型（VAR）EViews软件操作5.脉冲响应和方差分解

单击“View→ImpulseResponse”,结果见图。

其直观展示了dlnfdi与dlngdp的滞后项对各自的冲击效应,可以看出,随着滞后项的推移,相应的冲击逐渐收敛于0。第一节向量自回归模型（VAR）EViews软件操作

单击“View→VarianceDecomposition”,结果见图。可以看出,随着时间的推移,dlnfdi和dlngdp的标准差中来自此二者的贡献比例逐渐稳定。以dlnfdi为例,dlngdp最终贡献的标准差比例占46%。

第一节向量自回归模型（VAR）Stata软件操作1.导入数据

从Excel文件中复制数据到数据编辑器中,如图所示,命令栏输入“tssetyear”设置时间变量。第一节向量自回归模型（VAR）Stata软件操作2.对FDI进行单位根检验dfullerlnfdi//DF检验,在5%水平下,原序列不平稳gendlnfdi=d.lnfdi//生成一阶差分序列dfullerdlnfdi//结果见图,可知一阶差分平稳第一节向量自回归模型（VAR）Stata软件操作2.对GDP进行单位根检验dfullerlngdp//检验结果为原序列不平稳gendlngdp=d.lngdp//生成一阶差分序列dfullerdlngdp//结果见图,可知一阶差分平稳第一节向量自回归模型（VAR）Stata软件操作3.模型定阶

输入varsocdlnfdidlngdp,maxlag(6)，结果如图,可知最优滞后阶数为4。第一节向量自回归模型（VAR）Stata软件操作4.拟合模型

输入vardlnfdidlngdp,lag(1/4)，eststorevar1//对结果进行保存,之后进行模型阶数选择或者平稳性检验,就可以用到这个结果,估计结果如图。第一节向量自回归模型（VAR）Stata软件操作5.格兰杰因果检验

输入vargranger，检验结果如图。可以看出,检验的P值均在5%的显著性水平下显著,即dlnfdi和dlngdp互为格兰杰因果原因。第一节向量自回归模型（VAR）Stata软件操作6.模型平稳性检验

输入varstable,graph检验结果如图。可以看出,单位根都在单位圆内,即时间序列平稳。第一节向量自回归模型（VAR）Stata软件操作7.脉冲响应分析

输入irfcreateirf_result,set(irf_result)replace，irfgraphoirf，运行结果如图，可以看出,其直观展示了dlnfdi和dlngdp的滞后项对各自的冲击效应。随着滞后项的推移,相应的冲击逐渐趋于0。第一节向量自回归模型（VAR）Stata软件操作8.方差分解

随着时间的推移,对应内生变量(dlnfdi)对dlngdp标准差的贡献比例逐渐稳定。第二节向量误差修正模型（VECM）

如果VAR模型的内生变量都含有单位根,那么可以用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的VAR模型。

然而,当这些变量存在协整关系时,这种建模方法不是最好的选择。这时,采用差分的方法构造VAR模型虽然是平稳的,但不是最好的选择。因为单纯的差分VAR模型将丢失重要的非均衡误差信息,不过这种非均衡误差以及差分变量可以构造平稳的VAR模型,从而得到一类重要的模型,这就是向量误差修正模型（VECM）。第二节向量误差修正模型（VECM）下面推导向量误差修正(VEC)模型的一般形式。对于k=1的VAR模型,Yt=Π1Yt-1+ut,两侧同减Yt-1,得ΔYt=(Π1-I)Yt-1+ut，对于k=2的VAR模型,Yt=Π1Yt-1+Π2Yt-2+ut,两侧同减Yt-1,在右侧加、减Π2Yt-1,并整理得ΔYt=(Π1+Π2-I)Yt-1-Π2ΔYt-1+ut，对于k=3的VAR模型,Yt=Π1Yt-1+Π2Yt-2+Π3Yt-3+ut,整理得ΔYt=(Π1+Π2+Π3-I)Yt-1-Π2ΔYt-1-Π3ΔYt-1-Π3ΔYt-2+ut

=(Π1+Π2+Π3-I)Yt-1-(Π2+Π3)ΔYt-1-Π3ΔYt-2+ut第二节向量误差修正模型（VECM）

第二节向量误差修正模型（VECM）

第二节向量误差修正模型（VECM）

VAR模型中协整向量的估计

正确地估计协整参数矩阵β的秩r非常重要。若r被正确估计,则所有误差修正项都是平稳的,即模型中的所有项都是平稳的,参数估计量具有一致性。任何高估或低估r值都会给参数估计与推断带来错误。当低估r值时,将导致把余下的误差修正项并入模型的随机误差项ut。而高估r值将会把非协整向量带入协整参数矩阵中。N维的ΠYt-k将由I(0)项(协整向量与变量的积)和I(1)项(非协整向量与变量的积)混合而成,从而导致回归参数估计量及其相应统计量的非正态性分布。当用t检验临界值做显著性检验时就会得出错误结论。估计的第一步是用样本数据确定协整参数矩阵β的秩r。第二节向量误差修正模型（VECM）VAR模型中协整向量的估计对于任何r≤N的情形,模型的零假设是H0:rank(Π)≤r或Π=αβ'，其中α和β是N×r矩阵。注意,这一步只能估计r,无法估计α和β,因为对VAR模型来说,α和β是过多参数的,无法与r同时估计。接下来构造协整检验统计量LR,估计协整向量个数r,估计α和β。把模型看作数据生成系统,且0<r<N,ut~I.I.D(0,Ω),则对数似然函数是第二节向量误差修正模型（VECM）

第二节向量误差修正模型（VECM）

VAR模型中协整向量的检验

协整向量个数r的检验针对VAR模型展开，核心规则如下：从检验r=0（无协整向量、N个单位根）开始，若LR<临界值（不拒绝），说明无协整关系，终止检验；若LR>临界值（拒绝），继续检验。依次检验r≤1（1个协整向量、N-1个单位根）…r≤N-1（N-1个协整向量、1个单位根），某一步若LR<临界值（不拒绝）则终止；若r≤N-1被拒绝，说明r=N。若r≤r*-1被拒绝但r≤r不被拒绝，即存在r个协整向量。要注意的是，所有检验均为右单端检验。第二节向量误差修正模型（VECM）VEC模型中确定项的处理

VEC模型中常数项的位置可分3种情形讨论。位置不同,相应的协整检验用表也不同。(1)常数项μ完全属于协整空间。那么可以把μ写成μ=αμ1。其中,μ是N维的,α是N×r的,μ1是r维的。以VAR模型Yt=μ+Π1Yt-1+ut为例,相应的VEC模型形式是第二节向量误差修正模型（VECM）VEC模型中确定项的处理(2)常数项μ的一部分进入协整空间,一部分属于数据空间(VAR的常数项)。下面介绍怎样把μ分离成两部分。因为α是N×r的,构造一个N×(N-r)矩阵α⊥,使α'α⊥=0,α与α⊥正交。定义α⊥的目的是要把μ分离成相互无关的两部分μ=αμ1+α⊥μ2，显然αμ1能进入协整空间,μ1属于协整空间的常数项。因为α与α⊥是正交的,α⊥μ2不能进入协整空间,μ2属于数据空间的常数项。第二节向量误差修正模型（VECM）VEC模型中确定项的处理(3)常数项只进入数据空间(VAR的常数项),不进入协整空间。当αμ1=0时,μ=α⊥μ2。常数项只进入数据空间。第二节向量误差修正模型（VECM）VEC模型中趋势项的处理

同理,对时间趋势项t的系数δ也可以做上述分解。αδ1进入协整空间,表示变量协整关系中也存在线性趋势。α⊥δ2进入数据空间(VAR的常数项),表示原变量中存在二次方的时间趋势项,或差分变量中存在一次方的时间趋势项。第二节向量误差修正模型（VECM）案例实战

用VEC模型分析外商直接投资对经济增长的影响,数据来源于国家统计局1985—2020年全国外商直接投资额和国内生产总值。第二节向量误差修正模型（VECM）EViews软件操作1.导入数据在命令栏输入“datalnfdilngdp”,从Excel文件中复制数据到Workfile里,如图所示。第二节向量误差修正模型（VECM）EViews软件操作2.构建VAR模型对lnfdi和lngdp建立VAR模型,ExogenousVariables框中的常数c需删除。如图所示。第二节向量误差修正模型（VECM）EViews软件操作3.确定VAR模型滞后阶数确认最优阶数为*最多的5阶。确认结果如图。第二节向量误差修正模型（VECM）EViews软件操作4.协整检验单击“View→CointegrationTest”,序列为一阶单整,滞后阶数应该比原来估计的少1,即由原本的1-5修改为1-4,构建VEC模型,如图所示。第二节向量误差修正模型（VECM）EViews软件操作4.协整检验单击“View→CointegrationTest”,得出VEC模型的数学表达式,结果见左图,表达式见右图。可以看出,在“VARModel-SubstitutedCoefficients”部分分别给出了dlnfdi和dlngdp当期预测值的表达式。第二节向量误差修正模型（VECM）Stata软件操作1.导入数据从Excel文件中复制数据到数据编辑器里,命令栏输入“tssetyear”设置时间变量,如图所示。第二节向量误差修正模型（VECM）Stata软件操作2.Johansen协整检验输入命令:vecranklnfdidlngdp结果如图所示。可以看出,0阶及1阶协整检验的tracestatistic均大于5%显著性水平下的临界值,说明该模型存在1个以上的协整关系,即至少存在2个协整关系。第二节向量误差修正模型（VECM）Stata软件操作3.构建VEC模型输入命令:reglnfdilngdp//探究长期回归关系。结果如图所示。可以看出,lngdp对lnfdi的回归系数在1%上显著,即lngdp对lnfdi存在长期影响。第二节向量误差修正模型（VECM）Stata软件操作输入命令:estatbgodfrey//自相关检验结果如图所示。P值小于0.05,拒绝原假设,存在自相关关系。第二节向量误差修正模型（VECM）Stata软件操作输入命令:predictecm,residualreglnfdidlngdpecm//探究短期回归关系。可以看出,lngdp对lnfdi的回归系数在10%上显著,即lngdp对lnfdi存在短期影响。

第三节

结构向量自回归模型（SVAR）

VAR模型存在将变量当期关系隐含于随机扰动项、参数过多的局限，仅含少量经济变量时估计效果较好，无法适配变量兼具滞后与同期影响的场景，而SVAR模型在VAR模型基础上纳入了变量的同期影响关系，弥补了这一不足。该模型由Sims于1980年开创，目前已广泛应用于宏观经济学、货币金融学等多学科领域，是分析宏观经济问题的重要工具，相关研究多聚焦于货币政策传导机制和价格波动。

第三节

结构向量自回归模型（SVAR）SVAR模型的识别以其与VAR模型的内在联系为基础，核心思想是通过施加约束条件，使VAR模型的可估计统计量数不少于SVAR模型的待求未知量数，其中需先解决对比二者待估计/可估计量数的“排序问题”。n变量的SVAR(p)比同维度VAR(p)多n²个待估计未知量，因此需施加n²个约束条件，常见的矩阵对角元为1的约束仅能提供n个，还需至少n(n-1)个约束才能保证模型可识别，约束条件多于该标准为过度识别，不足则为不足识别。接下来将详细介绍对结构冲击项(structuralshocks)的方差协方差矩阵约束。

第三节

结构向量自回归模型（SVAR）

我们使用一个二元的SVAR(p)模型对这种约束方法进行介绍。假定SVAR模型中包含的两个变量分别是真实GDP增长率和货币供给增长率,分别使用y1t和y2t来表示这两个变量。这样,我们就可以获得由总供给和货币供给反应方程组成的SVAR模型,即

第三节

结构向量自回归模型（SVAR）

模型1可以解释为总供给等式,因为当期的经济增长率是当期和滞后的货币供给增长率以及滞后的经济增长率的函数。这样,u1t就具有一定的经济含义,它表示总供给或者生产率冲击。

模型2是一个货币需求反应函数,它刻画了当期的货币供给增长率如何受到当期的经济增长率和这两个变量的历史观测值的影响。在这个方程中,u2t就可以解释为货币供给冲击。

第三节

结构向量自回归模型（SVAR）

需要注意的是,这里限制Ωu为对角矩阵,只给出了n(n-1)/2个约束条件,还需要至少n(n-1)/2个额外的约束条件。另外的约束条件如何获得呢?通常可以考虑采用下面介绍的方法。

第三节

结构向量自回归模型（SVAR）

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结构向量自回归模型（SVAR）

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结构向量自回归模型（SVAR）案例实战

利用1985—2016年外商直接投资(FDI)、国内生产总值(GDP)、出口额(EX),假定随机干扰项存在同期的相互影响,估计SVAR模型。数据来源于国家统计局网站。第三节

结构向量自回归模型（SVAR）EViews软件操作1.导入数据建立工作文件,在命令栏输入“datalnfdilngdplnexport”,从Excel文件中复制数据到Workfile里。第三节

结构向量自回归模型（SVAR）EViews软件操作2.单位根检验单位根检验方法同案例1,各变量序列ADF检验结果如图所示。第三节

结构向量自回归模型（SVAR）EViews软件操作3.构建SVAR模型先构建VAR模型,确认最优阶数为*最多的2阶。单击“Proc→EstimateStructuralFactoriza