数学培优竞赛新方法(九年级)-第12讲-统计与概率

第12讲统计与概率

知识纵横

统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此根底上作出推断的科学。

在自然界和人类社会中，严珞确定性的现象十分有限，不确定性现象却是不量寻在的，而概率正是

而随机现象的一种数学的描述，数学钟用机率来表示事件发生的口寸机大小，核率是一个比值，用字唇尸

表示，计算公式是:

该事件发生的所有可能结果

事件发生概率0=

所有可能结果

在具体的计算中，常用到树形图、列表、穷举等方法。

统计与概率互为根底，概率这一概念是建立在频率这一统计量稳定性的根底上，而统计推断、估

计等统计方法的科学性有赖于概率理论的严密性。

例题求解

【例1】一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别为1,2,2,3,3,4；另一枚质地均匀的正

方体般子的六个面上的数字分别为1,3,4,5,6,8,同时掷这两枚般子，其朝上的面两教之和为1

的概率是_________

[2011年”《数字学报》杯”全国初中数学竞赛题〕

思路点拨用列表法列出所有情形。

3-

【例2】一项“过关游戏”规定：在第n关要掷一颗微子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于一，

4

aA

那么算过关；否则不算过关，现有以下说法;①过第一关是必然事件；②过第二关的概率是——；③可

35

以过第四关；④过第五关的楼率大于零。

其中，正确说法的个数为〔〕

A、4B、3C、2D、1

〔天津市竞赛题〕

思路点拨对于〔2〕，在理解“过关”意义根底上，逐步计算相关率。

【例3】小明准备给小陈打，由于保管不善，本上的小陈号码中，布两个数字已模湖不清，如

果用x、y表示这连个看不清的数字，那么小陈的号码为139x370y580（号码由11个数字组成），

小明记得这11个数字之和是20的整数倍，求小明一次拨对小陈号码的概率、

（2011年南通市中考题〕

思路点拨建立关于x、y的不定方程，由此可得x、y可能的对应值的所有情形。

【例4】杨华与李红用5张同样规格的硬纸片作拼图游戏，正面如图1所示，反面完全一样，将它们与

反面朝上均匀后，同时抽出两张。规则如下：

当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；

当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，李红得1分〔如图2〕.

问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；假设你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对

双方公平？

回口台岛B

小山

（图1）（图2）

例4图

思路点拨游戏对双方公平是指同，解题的关键是分别求出杨华和李红的得分。

【例5】一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、

4、…、2006,然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数〔即乙先擦去其中的

一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去〕，假设最后剩r的两个数互质，那么判甲胜；否则，

判乙胜.按照这种游戏规则，求甲获胜的概率.

〔四川省竞赛题〕

分析解题的更关键是依据裁决擦去的数的奇偶性进行讨论。

解2、3、4、…、2006中有1002个奇数，1003个偶数。〔1〕假设裁判擦去的是奇数，此时，乙一定

获胜，因为乙不管擦什么数，只要还有奇数，就擦奇数。这样最后两个数一定都是偶数，从而所剩两个

数不互质；〔2〕假设裁判擦去的是偶数，此时，甲一定获胜，设裁判擦去的数是2m,那么将所乘［的数配

成1002对：〔2,3〕，…，［2m-2,2mT〕，(2m+1,2m+2),•••,(2005,2006〕。这样，不管乙擦去哪一

个数，甲都擦去所配对的数对中的另一个数，最后所轲下的两个数比互质，故甲胜，故甲胜的概率为

1003

2005°

简约思维

［例6］一个正三角形ABC的每一个角各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动，目标角

是随机选择，求蚂蚁不不相撞的概率。

〔微软公司招聘面试试题〕

分析与解三只蚂蚁在每个角上都有两种选择的方向〔顺时针或逆时针〕。囚每只蚂蚁选择的不确定性，

故组成的各种情形，似乎繁杂。这正是微软主考制造的气氛，其用意在于考查应试者摒除习惯因素的干

扰，初中要害，化繁为简的能力。

选择一只蚂蚁A作为参照标准，一旦A确定了自己的运动方向，那么其他蚂蚁必须做汨同方向的

运动才能防止相撞，蚂蚁B、C分别有1的概率来选择与A相同的运动方向。

2

故蚂蚁防止撞到一起的概率为工x,二工。

224

学历训练

根底夯实

1、如图，图①有1个黑球，图②为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色,

图③为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3而过球为黑其余为白色；。。。。。那么从弟〃个图中

随机取出一个球,是黑球的概率是

08

图①图②图③图④(2011株洲市中考题〕

2.从1至9这9个自；第I题一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是

〔杭州市中考题〕

3.有四张工面分别标有数字-3,0,1,5的不透明卡片，他们除数字不同外其余全部相同。现将它们反面朝

上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上饿数字记为〃，那么使关于工的分式方程X—22—X有正

整数解的概率为O

（2011年重庆市中考题）

4.对于平面内任意一个凸四边形ABCD,现从以下四个关系式①AB=CD②AO=BC③A^CO④

ZA=ZC中任取两个作为条件，能够得出这个四边形A8co是平行四边形的概率是

［广州市中考题）

5.在0,1,2三个数中任取两个，组成两位数，那么在组成的两位数中是奇数的概率为C）

［泰安市中考题〕

6.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，假设这三种可能性大小相同，那么

两辆骑车经过该十字路口全部继续直行的概率为〔〕

（2011年呼和浩特市中考题〕

7.一个口袋有3个黑球和假设干和白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，

采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球,

记下颜色。。。。。。不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，根据上述数据，小明估

计口袋中的白球大约有〔〕

A18个B.15个C.12个D10个

〔青岛市中考题〕

8.”赵文弦图“是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形〔如下图〕，小

亮同学随机地在大正方形及其内部投针。假设直角三角形的两条直角边的长分别是2和1,那么针扎至“

小正方形〔阴影〕区域的概率是〔〕

〔临沂市中考题〕

9.有四张卡片〔反面完全相同〕，分别写有数字1,2,—1,一2,把它们反而朝上洗匀后，甲同学抽取一张记

下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母Z?,c,分别表示甲乙两同学抽出

的数字。

(1)用列表法关于x的方程/+云+。=0有实数解的概率。

(2)求〔1〕中方程有两个相等实数解的概率

(2011年贵州省中考题)

10.将反面完全相同，正面上分别写有数字1,2,3,4的四张卡片混合后，小明从中随机地抽取一张，把卡

片上的数字作为被减数，将形状，大小完全相同，分别标有数字1,2,3的三个小球混合后，小华从中随

机地抽取一个，把小球上的数字作为减数，然后计算出这两个数的差。

(1)请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率

(2)小明和小华做游戏，规则是：假设这两数的差为非负数，那么小明嬴；否则，小华赢，你认

为该游戏公平吗？请说明理由，如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平。

〔重庆市中考题〕

能力拓展

11、甲，乙两同学下棋，胜一盘得2分，和一盘各得1分，连下三盘，得分多者胜，那么甲取胜的概率

是O

［太原市竞赛题)

12、小丁，小明，小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用”剪子，布，锤子”的

方式确定，那么，在一个回合中三个人都出“布”的概率是O

〔海南省竞赛题〕

13、一只盒子中有红球九个，白球10个，黑球〃个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得

是白球的概率与不是白球的楼率相同，那么，加与〃的关系是O

〔山东省竞赛题）

14.某广场地面铺满了边长为36c〃z的正六边形地碍，现在向上抛掷半径为6gc、，〃的圆碟，圆碟落地后

与地砖间的间隙不相交的概率大约是O

〔太原市竞赛题〕

15、从分别写有数字1,2,34,5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上数字作为十位数字，第二张

卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，那么所组成的数是3的倍数的概率是____________o

132

A-B.—C.-D.-

51052

〔全国初中数学联赛题〕

16、甲，乙，丙，丁四位同学参加田径运动会4x10（而接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序,

那么，恰好由甲将接力棒交给乙的概率是〔）

A.-B.-C.—D.—

46812

（浙江省竞赛题〕

17.把一颗六个面编号分别为1,2,3,4,5,6质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，假设两个正面朝上的编

号分别为m,n,那么二次函数了=炉+〃江+〃的图像与x轴有两个不同交点的概率是（〕

»4171

D.—C.—D.一

129362

（全国初中数学竞赛题〕

18.长为1,2,345的线段各一条，从这五条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为〔〕

1712

A.—B.—C.-D.-

101055

19.任意选择一对有序整数S,c）,其中每一个整数的绝对值小于或等于5,每一对这样的有序整数被选

杼的可能性是相等的，求方程