初三数学中考一轮复习专题教案：尺规作图的原理、方法与应用探究

初三数学中考一轮复习专题教案：尺规作图的原理、方法与应用探究

  一、教学背景分析

  (一)学科核心素养指向

  尺规作图是初中数学“图形与几何”领域的核心内容，是连接直观感知、操作确认与演绎推理的桥梁。其教学过程直接关联并服务于多项数学核心素养的培养：

  1.直观想象：要求学生能将抽象的数学语言（作图语句）转化为具体的图形操作，并在思维中构建图形的生成过程与空间关系。

  2.逻辑推理：尺规作图的每一步都蕴含着严密的几何原理，从已知条件出发，通过有限的基本作图步骤，推导出所求图形，是逻辑演绎的直观体现。探究作图原理是培养学生逻辑推理能力的绝佳载体。

  3.数学抽象：尺规作图工具（无刻度直尺、圆规）的设定，本身就是对现实绘图工具的抽象，它剥离了测量功能，强制思维聚焦于几何关系（如等长、共线、共圆、垂直、平行）的本质。作图过程是对几何公理、定理和基本事实的抽象应用。

  4.数学建模：将实际问题（如确定最短路径、平分角度、定位点）转化为尺规作图问题，是初步的数学建模过程。例如，将“在河边建水泵站使到两村管道总长最短”抽象为“在直线上找一点使得到直线同侧两点的距离之和最小”，进而通过作对称点转化为“两点之间线段最短”的作图问题。

  (二)学情分析与南通考情定位

  1.学生认知基础：经过初中两年多的系统学习，初三学生已掌握了基本的平面几何知识，如全等三角形、等腰三角形、相似三角形、圆的基本性质、垂直平分线、角平分线性质等，具备了理解尺规作图原理的知识储备。然而，多数学生可能存在以下问题：①对五种基本作图（作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线）的记忆是机械的，对其内在的几何原理（如SSS全等、菱形性质）理解不深；②面对稍复杂的综合作图题时，缺乏将复杂问题分解、转化为基本作图步骤的化归能力；③作图痕迹保留不规范，或对“写作法”语言表述不严谨。

  2.南通地区中考考查特点：分析近五年南通市中考数学试卷，尺规作图的考查呈现以下趋势：

    (1)考查频率高，位置稳定：几乎每年必考，通常出现在试卷的中档题位置（如第18-22题），分值为6-8分，形式多样。

    (2)考查方式灵活：从单纯的识别作图痕迹或补全作图步骤，向综合应用型、原理探究型转变。常见题型有：①根据作图痕迹判断作图结论或所用原理；②在给定的图形（如三角形、四边形、网格）中，按要求完成尺规作图并写作法；③结合具体实际问题（如选址、设计），设计作图方案并说明依据；④探究特定几何关系（如共圆点、定长线段）的尺规作图方法。

    (3)强调“作”与“证”的结合：越来越多的题目要求学生在完成作图后，证明所作图形满足条件，或将作图作为探究几何结论的途径。这要求学生对作图原理有深刻的理解和严密的逻辑表达能力。

    (4)与其他知识深度融合：常与三角形、四边形、圆、相似、解直角三角形、函数图象的对称性等知识结合，考查学生的综合运用能力。

  (三)教材内容整合与拓展

  本课时复习将超越单册教材的局限，对分散于人教版七、八、九年级教材中的尺规作图内容进行系统整合与深度重构。以五种基本作图为核心生长点，向外辐射至：三角形（外心、内心、重心、垂心的作图，特殊三角形的尺规绘制）、四边形（如菱形、正方形的尺规绘制）、圆（过不在同一直线上三点的圆、圆的切线、两圆的公切线）、图形的变换（轴对称、旋转、位似在尺规作图中的应用）以及实际应用模型（如费马点、胡不归模型中的作图元素）。

  二、教学目标

  (一)知识与技能

  1.熟练掌握五种基本尺规作图的方法与规范步骤，并能用准确的几何语言描述作法。

  2.理解五种基本作图背后的几何原理（主要涉及三角形全等的SSS、SAS判定，菱形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”等）。

  3.能够综合运用基本作图方法，解决较为复杂的尺规作图问题，包括：作满足特定条件的三角形、四边形、圆；作已知图形的对称图形；进行线段、角的和差倍分运算；解决基于几何模型的实际应用作图问题。

  4.能根据作图痕迹，逆向推理出作图步骤及其依据的几何性质。

  (二)过程与方法

  1.经历“观察（识别痕迹）——操作（动手实践）——猜想（可能结论）——验证（逻辑证明）——应用（解决问题）”的完整探究过程，掌握几何研究的一般方法。

  2.学会运用“化归”思想，将复杂的作图问题分解、转化为一系列基本作图步骤的组合。

  3.通过小组合作探究、方案设计与论证，提升几何直观能力、空间想象能力和逻辑思维的严密性。

  4.体会数学的严谨性与工具性，理解尺规作图在几何学发展史上的奠基作用。

  (三)情感态度与价值观

  1.在追溯尺规作图的历史（如古希腊三大几何难题）中，感受数学文化的源远流长与理性精神的魅力，激发探索欲。

  2.通过解决具有现实背景的作图问题，体会数学的工具价值和应用之美，增强数学应用意识。

  3.在规范的作图操作与严谨的推理证明中，培养一丝不苟、精益求精的科学态度和理性精神。

  4.在小组协作与方案交流中，学会倾听、质疑与有条理地表达，提升数学交流能力。

  三、教学重难点

  (一)教学重点

  1.五种基本尺规作图的原理理解与熟练操作。

  2.综合运用基本作图解决复杂几何图形构造问题的策略与方法。

  3.将实际应用问题抽象、转化为尺规作图模型的能力。

  (二)教学难点

  1.原理的深度理解与逻辑贯通：学生往往“知其然”而“不知其所以然”。难点在于引导学生从全等三角形、菱形性质等角度，自主解释每一步作法的合理性，建立操作与推理的牢固链接。

  2.复杂问题的化归与策略构建：面对如“在三角形内部找一点P，使点P到三边距离之比等于给定值”这类综合性问题，学生难以找到转化的突破口。难点在于培养学生分析目标、逆向思考、将条件拆解为基本作图可实现的子目标的能力。

  3.“作法”的规范语言表述：用简洁、准确、无歧义的几何语言描述作图过程，是学生书面表达的薄弱环节。难点在于进行针对性训练，使学生掌握“以……为圆心，……为半径画弧，交……于点……”等标准句式的运用。

  四、教学准备

  (一)教师准备

  1.精心设计教案、导学案（含知识梳理、经典例题、探究任务、分层练习）。

  2.制作多媒体课件，动态演示关键作图步骤（尤其是复杂作图），清晰展示作图痕迹的形成过程，嵌入尺规作图数学史微视频。

  3.收集并筛选近五年南通及省内其他城市中考真题、模拟题中与尺规作图相关的典型试题，按难度和类型分类。

  4.准备几何画板或类似动态几何软件，预设一些可交互的尺规作图模型（如费马点、阿氏圆模型），用于课堂探究演示。

  5.准备实物投影仪，用于展示学生作图作品和作法书写。

  (二)学生准备

  1.复习回顾七年级下册至九年级上册教材中所有涉及尺规作图的内容，完成知识梳理思维导图。

  2.准备好圆规、无刻度的直尺（可用铅笔和三角板替代）、练习本、作图专用纸。

  3.预习导学案，尝试独立思考其中的“温故知新”部分。

  (三)环境准备

  教室座位按四人或六人小组排列，便于合作探究与交流讨论。

  五、教学过程(总课时规划：3课时)

  第一课时：溯源固本——重温基本作图，深挖几何原理

  (一)情境导入，设疑激趣(预计用时：8分钟)

  1.历史回眸：教师播放简短微视频，介绍“尺规作图”的起源——古希腊几何学。简述“三大几何难题”（化圆为方、倍立方体、三等分任意角）为何仅用尺规无法解决，强调尺规作图的规则限制（只认可直尺的“过两点作直线”功能和圆规的“以定点为心，定长为径作圆”功能，不认可度量）背后蕴含的理性精神。提问：为何古希腊人如此执着于这“简陋”的工具？引导学生思考尺规作图在训练逻辑思维、探究几何本质方面的独特价值。

  2.现实链接：展示一张南通某新区规划图局部，指出规划师在图纸上确定学校位置，要求到两条已建主干道的距离相等，且到两个已建居民小区的距离也相等。提问：如果我们只有圆规和无刻度的直尺（模拟原始规划工具），能否在图纸上精确找到这个点的位置？这需要用到哪些我们学过的知识？由此引出本课主题：尺规作图不仅是考试要求，更是解决实际空间定位与设计问题的基本技能。

  (二)自主梳理，构建网络(预计用时：12分钟)

  1.知识检索：学生在导学案上独立完成“基本作图清单”的填写。清单以表格形式呈现，包含“作图名称”、“已知条件”、“作图步骤（关键词）”、“作图原理（几何依据）”、“典型应用”五栏。教师巡视，关注学生“作图原理”栏的填写情况，发现认知模糊点。

  2.小组互鉴：组内交换导学案，互相补充、修正，特别是针对“作图原理”进行讨论。例如，讨论“作线段垂直平分线”为何取大于线段一半的长度为半径画弧？其原理是构造两个三边分别相等的三角形（SSS全等），从而得到交点到线段两端点距离相等，故交点在线段的垂直平分线上，两个这样的交点确定这条垂直平分线。或者说，两个交点与线段两端点构成一个菱形，其对角线互相垂直平分。

  3.精讲点拨：教师邀请一个小组代表上台，借助实物投影，讲解他们组对“过直线外一点作这条直线的垂线”的原理分析。学生可能会提到利用“等腰三角形三线合一”（以该点为圆心，适当长为半径画弧交直线于两点，则这两点与该点构成等腰三角形，再作这两点连线的垂直平分线即得高线）。教师追问：还有别的方法吗？引导学生回忆利用“直径所对的圆周角是直角”（以该点与直线上任意一点为直径端点作圆，与直线有另一交点，连接该点与此交点即为垂线）。通过比较，让学生体会同一作图目标可以有不同实现路径，但都基于坚实的几何定理。

  (三)典例剖析，原理探究(预计用时：20分钟)

  例题1(识别与推理)：如图，在△ABC中，∠C=90°。请根据图中保留的作图痕迹，判断下列结论：

  (1)直线MN是边AB的垂直平分线。

  (2)点D是∠BAC的角平分线与边BC的交点。

  (3)∠BAD=∠CAD。

  (4)AD=BD。

  (要求学生不仅判断正误，还需指出判断依据分别对应哪部分作图痕迹。)

  设计意图：此题直接对接南通中考常见题型。引导学生学会“读图”，将连续的圆弧痕迹分解为不同的基本作图动作，并关联其产生的几何结果。重点训练学生的观察、分析与逆向推理能力。

  例题2(操作与表达)：已知：线段a，∠α。求作：△ABC，使AB=AC=a，∠BAC=2∠α。

  (要求：保留作图痕迹，不写作法，但需在图中标注出所作图形满足的条件)

  学生活动：先独立尝试作图，然后小组讨论可能的方案。教师巡视，收集不同做法。

  方案展示与辨析：

    方案一：先作∠BAC=2∠α（作一个角等于已知角，再作角平分线？或直接作两倍角？），再在角的两边上截取AB=AC=a。问题：如何直接作2∠α？可能需要先作∠α，再以一边为公共边在外侧再作一个∠α。这本质是角的“加法”作图。

    方案二：先作线段BC（长度待定），再作BC的垂直平分线，在垂直平分线上取点A，使∠ABC=∠α（或使A满足某种条件）。这需要利用等腰三角形性质和垂直平分线性质进行推理。

  教师引导学生比较两种方案的优劣：方案一思路直接，但需要解决“作两倍角”这个非基本作图，可将其分解为两次“作一个角等于已知角”；方案二更巧妙，利用了“等腰三角形底边上的高也是顶角平分线”的性质，将“2∠α”转化为“底角为∠α”，只需作一个∠α即可。

  提炼升华：教师强调，复杂作图的关键在于“转化”。将目标（如2∠α）转化为更易用基本作图实现的条件（如等腰三角形的底角），这需要灵活运用几何图形的性质。

  (四)课时小结，布置作业(预计用时：5分钟)

  1.小结：师生共同总结本课时重点：五种基本作图是“基石”，其核心价值在于每一步都有几何定理作为“灵魂”。解决作图问题，既要动手操作，更要动脑推理，实现“手脑并用”。

  2.作业：

    (1)基础巩固：整理五种基本作图的规范作法语言，并各写出一种原理证明思路。

    (2)能力提升：完成导学案上的两道练习题：①根据给定的复杂作图痕迹，写出完整的作图步骤（用语言描述）。②已知线段a,h(h<a/2)，求作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边上的高AD=h。

    (3)预习思考：查阅资料或思考，如何用尺规作图实现线段的黄金分割？

  第二课时：化归融合——综合应用与模型构建

  (一)作业反馈，问题导学(预计用时：10分钟)

  1.利用实物投影展示几位学生关于“黄金分割点”作图的预习成果（很可能有学生已通过课外学习掌握）。请学生讲解作法：以线段AB为边作正方形ABCD，取AD中点E，连接EB，延长DA至F使EF=EB，再以A为圆心，AF为半径画弧交AB于G，则G为AB的黄金分割点。教师引导探究：为何这样作？背后是（√5-1）/2这个比例关系的几何实现，涉及勾股定理。

  2.讲评上节课能力提升作业中的共性问题，特别是作法语言表述的不规范处，展示范文，强调准确性。

  (二)专题探究：三角形中的经典尺规作图(预计用时：25分钟)

  探究活动一：寻找三角形的“心”

  问题：给定△ABC，请用尺规作图作出它的外心O、内心I、重心G、垂心H。

  小组合作：每个小组选择两个“心”进行作图，并准备汇报：①作图步骤；②每一步的依据；③该“心”的几何性质。

  汇报与整合：

    外心O

：作任意两边的垂直平分线，交点即为O。依据：线段垂直平分线性质。性质：OA=OB=OC。

    内心I

：作任意两个内角的角平分线，交点即为I。依据：角平分线性质。性质：I到三边距离相等。

    重心G

：作任意两条中线。但尺规作图如何作中线？转化为“作线段的中点”（即作线段的垂直平分线得到中点），再连接顶点与对边中点。依据：重心定义。性质：AG:GD=2:1等。

    垂心H

：作任意两条高线。如何过顶点作对边的垂线？（基本作图）。交点即为H。

  深度追问：教师利用几何画板，动态拖动△ABC的形状（锐角、直角、钝角），让学生观察这四个“心”的位置变化规律。特别指出，对于等边三角形，四心合一。这体现了特殊与一般的辩证关系。

  探究活动二：构造满足条件的三角形

  例题3(南通中考改编)：已知：线段m，n及∠α。求作：△ABC，使∠A=∠α，AB边上的中线CD=m，AB边上的高CE=n。（要求：写出作法，保留作图痕迹，并完成填空：满足条件的三角形有____个？）

  策略分析：这是一个典型的“定位分析”作图题。目标图形元素多，需确定作图顺序和关键控制点。教师引导学生采用“逆向分析”法：

    1.目标分解：我们需要最终得到△ABC，其中∠A固定，AB边上的中线长m和高长n固定。

    2.寻找不变性与可动点：∠A固定，意味着顶点A和射线AB、AC的方向固定。高CE=n意味着顶点C在与AB距离为n的平行线上运动。中线CD=m意味着AB的中点D是固定的（一旦AB确定），且C到固定点D的距离为m。

    3.转化：问题转化为：已知定点D，定长m，定直线l（到AB距离为n的平行线），求作点C同时在直线l上且满足CD=m。这等价于作圆D(m)与直线l的交点。交点个数（0,1,2）即三角形个数。

    4.正向作图步骤设计：①作∠XAY=∠α。②在射线AX上任取一点B‘，作B’关于A的对称点？等等，需要先确定AB？不，应该先确定高和底边的关系。更优步骤：③在射线AY上截取AE=n（作垂线段）。④过E作直线l⊥AY。⑤在AX上适当位置取点B，作AB的垂直平分线找到中点D。⑥以D为圆心，m为半径画弧交直线l于点C（可能有0、1、2个交点）。⑦连接AC、BC。

  学生实践：各小组根据分析，尝试完成作图，并讨论不同情况下（m与n的大小关系变化）交点个数的结论。教师巡视指导。

  思想提炼：本例题的核心思想是“交轨法”——通过满足两个独立条件的轨迹（直线、圆）的交点来确定所求点。这是解决复杂定位作图问题的通用策略。

  (三)专题探究：尺规作图在实际模型中的应用(预计用时：15分钟)

  模型：最短路径问题（将军饮马及其变式）

  情境：如图，南通濠河岸边有A、B两个历史文化街区，计划在濠河岸线（近似看作直线l）上修建一个旅游码头P，使得AP+BP的值最小。请在岸线l上确定码头P的位置。

  学生活动：迅速反应，这是经典的“将军饮马”模型。作法：作点A关于直线l的对称点A‘，连接A’B交l于点P，点P即为所求。

  原理探究：为何这样作？教师引导学生证明：在l上任取另一点P‘，利用轴对称性质说明AP+BP=A’P+BP=A‘B，而A’P‘+BP’>A‘B（三角形两边之和大于第三边）。

  变式拓展：如果要求在l上找点P，使△ABP的周长最小？使|AP-BP|最大？引导学生分析目标变化如何导致作图策略变化（如周长最小需再作B的对称点；差最大则连接AB并延长交l于P）。

  链接中考：呈现一道南通模拟题，将上述模型置于直角坐标系或菱形背景中，要求找出点P并求其坐标。强调尺规作图不仅是几何方法，其思想（对称、化折为直）在代数综合题中同样有广泛应用。

  (四)课堂小结与作业(预计用时：5分钟)

  1.小结：本课时我们提升了尺规作图的“战斗力”。掌握了通过“逆向分析”、“交轨法”解决复杂构造问题的策略，并将作图技能应用于三角形“心”的寻找和“最短路径”等经典模型。关键在于将综合目标拆解、转化为基本作图的“零件”，并用几何推理设计“组装蓝图”。

  2.作业：

    (1)综合实践：完成“三角形四心”的尺规作图于一图（可选用不同的三角形形状），并标注字母和主要结论。

    (2)模型应用：设计一个校园或社区生活中的实际问题，能用“将军饮马”模型解决，并给出尺规作图确定点的方案。

    (3)挑战思考：已知∠AOB和其内部一点P，求作一条过P点的直线，交OA、OB于C、D，使得PC=PD。（提示：思考中点与平行线的关系）

  第三课时：拓展创新——原理探究与中考真题演练

  (一)思维挑战，原理深究(预计用时：20分钟)

  挑战题解析：对上节课留下的挑战题进行探讨。

  问题：已知∠AOB和其内部一点P，求作一条过P点的直线，交OA、OB于C、D，使得PC=PD。

  师生共探：

    1.分析目标：要过P作直线交两边于C、D，且P是CD中点。即P是线段CD的中点。

    2.联想与转化：中点与平行线有关（中位线）。如果我们在OB上任意取一点D‘，连接PD’并延长一倍至C‘，希望C’在OA上。这需要满足什么？这本质上是构造一个以P为中心，位似比为1:2的位似变换？更直接的思路：考虑过P作OB的平行线交OA于E，如果能在EP延长线上截取PC=PE？不对。

    3.关键突破：教师引导：如果我们能先作出一个满足条件的线段，比如在OA上找一个点C‘，使得存在D’在OB上且P是C‘D’中点。但C‘未知。换个角度，如果把整个图形绕点P旋转180°会怎样？点D旋转后会落在哪里？设直线交OA、OB于C、D，P为中点。那么点C关于点P的对称点一定在直线OB上！

    4.作法浮现：因此，我们可以：①在OA上任取一点M（不与P重合）。②作点M关于点P的对称点N。③连接NP并延长（即过N、P作直线）交OB于点D。④连接DM并延长交OA于点C？验证：因为N是M关于P的对称点，所以P是MN中点。又因为我们希望P是CD中点，如果C、M重合？不对。

    更严谨的作法：实际上，步骤③得到的直线NP（即过N、P的直线）就是所求直线。证明：设NP交OB于D。连接MP并延长交OA于C？我们需要证明C就是M。事实上，因为N是M关于P的对称点，所以M、P、N共线，且P为MN中点。如果这条直线交OB于D，我们只需证明P也是CD中点。根据对称性，如果我们作D关于P的对称点C‘，则C’在直线MN上，也在OA上吗？这需要利用平行线性质或角度关系证明。此法稍显繁琐。

    更简洁的“平行线法”作法：①过点P作OB的平行线，交OA于点E。②在射线OA上截取EF=EP（或延长EP至F使EP=PF）。③过点F作OA的垂线？不。连接FP并延长交OB于点D。④连接DP并延长交OA于点C？这仍然复杂。

    标准作法（利用平行四边形性质）：①过点P作直线PF∥OB，交OA于点F。②在射线OA上，以F为圆心，FP长为半径画弧，交OA于点G（使得FG=FP）。③过点G作直线GP交OB于点D。④连接DP并延长交OA于点C，则直线CD即为所求。

    原理：由作图，FP=GF，且FP∥OD。易证四边形GFPD为平行四边形（一组对边平行且相等？GF是否平行于DP？不一定。需要证明）。实际上，连接FD。因为FP=GF，且FP∥OB，欲证P是CD中点，可考虑证明△FPC≌△GPD？需要更多推导。此题的真正简洁作法如下：

    最终简明作法：①过点P作PC‘∥OB，交OA于点C’。②在射线OB上截取OD‘=OC’。③连接C‘D’，取其中点Q。④连接PQ并延长，交OA、OB于C、D。则直线CD即为所求。

    原理简述：在OA、OB上预先构造一组相等线段OC‘=OD’，则C‘D’的中线OQ满足OQ平分∠AOB。过定点P作直线CD，欲使P为CD中点，可考虑构造以P为中心的比例关系。更通用的方法是“位似法”或“平行线法”，此略。通过此题的深入探讨，意在让学生体验尺规作图的思维深度，有时需要创造性构造辅助图形。教师可视学生接受情况，点到为止，重在展示探究过程而非强记作法。

  (二)中考真题实战演练与评析(预计用时：20分钟)

  真题1(2022年南通中考第18题，改编)：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC。用直尺和圆规按下列步骤作图：①以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN/2的长为半径画弧，两弧在∠CAB内部交于点P；③作射线AP交边BC于点D。

  (1)根据以上作图，判断∠CAD与∠BAD的大小关系，并说明理由。

  (2)若CD=2，BD=4，求AB的长。

  学生活动：独立审题、思考。第(1)问识别出AP是∠CAB的平分线，依据是角平分线的基本作法（SSS原理）。第(2)问需要综合运用角平分线性质、勾股定理等知识进行计算。

  教师点评：此题完美体现了南通中考“作图识别+原理说理+综合计算”的命题模式。要求学生不仅能识别基本作图，还要能迅速调用相关几何性质进行推理计算。

  真题2(2021年南通中考第20题，改编)：定义：有一组对角互余的凸四边形称为“对余四边形”。如图，已知四边形ABCD是“对余四边形”，且AD≠CD，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）：

  (1)在图1中，作出四边形ABCD关于对角线BD的对称图形；

  (2)在图2中，AD、CD是“对余四边形”ABCD的两条邻边，∠A与∠C互余，请作出该“对余四边形”的第三条边AB。（要求：顶点B在对角线BD上）

  小组探究：此题难度较大，融合了新定义、轴对称作图和满足条件的点的作图。

    对于(1)：作轴对称图形，关键是找到关键点（A、C）关于BD的对称点。利用基本作图“过一点作已知直线的垂线”和“截取等长”即可实现。

    对于(2)：这是条件作图。已知AD、CD及其夹角（∠ADC，但未直接给出度数，只知∠A+∠C=90°），点B需在BD上，且满足四边形ABCD对角互余（即∠ABC+∠ADC=90°？注意定义是“有一组对角互余”，不一定是∠A与∠C，也可能是∠B与∠D。但题目说AD、CD是邻边，∠A与∠C互余，那么互余的一组对角就是∠A和∠C）。现在要作AB。分析：∠A已知（由AD、CD确定？不，AD、CD是边，夹角∠D未知）。实际上，已知条件可以转化为：在△ACD中，已知两边AD、CD，且∠A+∠C=90°，那么根据三角形内角和，∠D=180°-(∠A+∠C)=90°。所以△ACD是直角三角形，∠D=90°。AC是其斜边。而B在BD上，且要使得∠ABC与∠ADC互余？因为∠ADC=∠D=90°，所以需要∠ABC与90°互余，即∠ABC=90°。所以问题转化为：在对角线BD上找一点B，使得∠ABC=90°，即AB⊥BC。但C点固定，要AB⊥BC，意味着点B在以AC为直径的圆上。所以作图步骤：①作线段AC的中点O（作AC的垂直平分线）。②以O为圆心，OA为半径作圆。③该圆与对角线BD的交点即为所求点B（可能有两个，需根据“凸四边形”等条件取舍）。

  教师精讲：此题是尺规作图压轴题的典型代表，考查在新情境下分析、转化、应用几何知识的能力。核心是将新定义“对余四边形”转化为具体的角度关系（∠D=90°），再将“作点B使∠ABC=90°”转化为“点B在以AC为直径的圆上”这一轨迹，最终利用“交轨法”解决问题。充分体现了尺规作图与几何推理、几何变换（隐形圆模型）的深度融合。

  (三)总结反思，体系构建(预计用时：5分钟)

  1.知识体系回顾：师生共同绘制尺规作图复习的思维导图。中心是“尺规作图”，第一层分支：工具与规则、五种基本作图（名称、步骤、原理）、基本思想方法（交轨法、转化与化归、对称、旋转、位似思想）、应用领域（三角形、四边形、圆中的构造，实际模型如最短路径、费马点等）、考查题型（识别、操作、说理、综合）。

  2.思想方法提炼：

    *从特殊到一般：基本作图是特殊操作，解决复杂问题需要一般性的策略。

    *数形结合：作图是“形”的操作，但驱动它的是“数”的关系（等量、比例、角度）。

    *化归思想：将未知转化为已知，将复杂分解为简单。

    *模型思想：识别问题本质，关联到已知的几何模型。

  3.备考建议：

    (1)规范是底线：作图痕迹清晰，关键点标字母，写法语言准确。

    (2)原理是核心：不满足于记住步骤，务必理解每一步“为什么可以这样做”。

    (3)策略是关键：面对陌生问题，冷静进行目标分析、条件转化，尝试逆向思考、轨迹交汇。

    (4)融合是趋势：加强尺规作图与代数、函数、几何综合题的关联训练。

  六、板书设计(提纲式，随课堂进程生成)

  第一课时板书

  尺规作图复习（一）：原理为本

  一、工具：无刻度直尺（连直线）、圆规（画圆、截等长）

  二、五种基本作图（表格式核心词，留空由学生填写原理）

    1.作等线段：SSS

    2.作等角：SSS

    3.作角平分线：SSS（或菱形对角线）

    4.作线段的垂直平分线：SSS（或菱形对角线）

    5.过点作垂线：等腰三角形三线合一/直径对直角

  三、思想：操作↔推理

  第二课时板书

  尺规作图复习（二）：化归融合

  一、三角形中的“心”（外心O、内心I、重心G、垂心H）→作图=基本作图的组合

  二、复杂作图策略：

    1.逆向分析：从目标倒推需满足的条件。

    2.交轨法：满足条件1的轨迹∩满足条件2的轨迹=所求点（线、圆）。