九年级圆部分较难题库

圆

圆的基本性质

点与圆的位置关系

1.决定圆的大小的是圆___;决定圆位置的是.

2.在RtAABC中NC=90°,AC=4,0C=3,E、F分别为AO、AC的中点，以0为圆心、

0C为半径作圆，点E在。0的圆__，点F在。0的圆.

3.如图;AB、CD是。0的两条直径,AE〃CD,BE与CD相交于P点，

则OP：AE=.

4.经过A、B两点的圆的圆心在_____，这样的圆有个.

5.如图;AB是直径,AO=2.5,AC=1.CD，AB,则CD=.

6.一已知点到圆周上的点的最大距离为加,最小距离为〃.则此圆的半径.

7.有个长、宽分别为4和3的矩形ABCD,现以点A为圆心，若B、C、D至少有一

个点在圆内，且至少有一个点在圆外,则。A半径r的范围是.

8.00的半径为15厘米，点0到直线t的距离0H=9厘米,P,Q,R为，上的三个

点,PH=9厘米,QH=12厘米,RH=15厘米,则P,Q,R与。0的位置关系分别

为__

9.若点A(a,-27)在以点B(-35,-27)为圆心,37为半径的圆上,a=.

10.在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,以点A为圆心作圆，若B,C,D三点中至少有一点在

圆内，且至少有一点在圆外，则。A的半径R的取值范围是

11.在直角坐标系中，。0的半径为5厘米,圆心0的坐标为(7,-4),点P(3,-l)

与圆0的位置关系是

12.如图。0是是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,D是弧AC的中点，已

求NCAD在度数。

13.已知。。的直径为16厘米，点E是。。内任意一点，（1）作出过点E的最短

的弦；（2）若0E=4厘米，则最短弦在长度是多少？

14.如图7-4,已知在aABC中，ZCAB=90°,AB=3厘米，AC=4厘米，以点A为圆

心、AC长为半径画弧交CB的延长线于点D.求CD的长。

15.试问：任意四边形的四个内角的平分线相交的四个点在同一个圆上吗？又问:

任意四边形各外角在平分线所相交在四边形在同一圆上吗？为什么？

16.如图7-6,AB是。0的直径，弦CD±AB于点P,（1）已知CD=8厘米,AP:PB=1:4,

求。。的半径；（2）如果弦AE交CD于点F。求证:AC2=AF«AE.

图7-6

17.已知四边形ABCD是菱形，设点E、F、G、H是各边的中点，试判断点E、F、

G、H是否在同一个圆上，为什么？又自AC、BD的交点0向菱形各边作垂线,

垂足分别为M、N、P、Q点，问：这四点在同一个圆上吗？为什么？

18.。。中有〃条等弦AB、AB、・・・AB,它们的中点分别是R、乂、・・叩“,试问:

Pi、P?、・・叩”这*个点在同一个圆上吗？请证明你的判断。又若。0上有一

点A,自点A引律条弦AB、AzB?、若它们的中点分别为0、Q”・・叩",

试问：Qi>Qz、・・叩"，这w个点在同一圆上吗？请证明你的判断。

垂径定理

19.©0中等于120°劣弧所对的弦是12g厘米,则。0的半径是厘米.

20.过。O上一点A,作弦AB、AC、分别等于该圆的半径R,连结BC,则点0到

BC的距离=，BC=

21.如图7-7,在。0中，弦AB=2a,点C是弧的中点,CD_LAB,CD=b，则。0

的半径R=.

图7-7

22.如图7-8,ABCD是。Ch的内接矩形，边AB平行y轴，且AB：BC=3：4,已知

的半径为5,圆心口的坐标是(10,10),矩形四个顶点A、B、C、D的

坐标是A;B__;C;D.

图7-8

23.在。0中，弦AB=40厘米，CD=48厘米，且AB〃CD,AB与CD距离是22厘米，

则圆的半径为厘米

24.四边形ABCD是。0的内接梯形，AB〃BC,对角线AC、BD相交于点E.求证：0E

平分NBEC.

25.如图7-9,在。0中，己待AC=BD.求证：(1)OC=OD;(2)品=晶

图7-9

26.与。与相交于点A、B,过点B作CD〃0a,分别交两圆于点C、D.求证:CD=

20。

27.如图7-10,00„。。2是两个等圆，点P是。。的中点，过点P的直线交。(X、

于点A、B、C、Do求证：AB=CD.

D

A

图7-10

28.如图7-11,00的半径为5,P是圆外一点,P0=8,Z0PA=30°,求AB、PB的

长。

A

29.如图7-12,圆管内，原有积水平面宽CD=10厘米，水深GF=1厘米，后水面

上升1厘米（即EG=1厘米），问：些时水面宽AB为多少？

30.在。0的弦AB上取AC=BD,过点C、D分别作AB的垂线CE、DF交圆于点E、

F,并使E、F在AB的同旁。求证：CE=DF.

31.如图7T3,在。0的直径MN上任取一点P,过点P作弦AC、BD,使NAPN=NBPN.

求证：PA=PB.

图7-13

32.AB、CD是。。的两条相交于点P的弦，且AB=CD,又点E、F分别是AB、CD

的中点，求证:ZXPEF是等腰三角形。

33.如图7-14,AB是半圆0的直径，CD是弦,AE_LCD,BFJ_CD,点E、F是垂足，

若BF交半圆于点G,求证：⑴EC=FD;⑵=DG

图7-14

34.如图7T5,在aABC中，AB=AC,以点A为圆心、小于AB长的线段为半径作

圆交BC于D、E两点（但半径必须大于BC边上的高）。求证:BD=EC.

图7-15

35.如图7T6,已知在。。中，=DC延长后相交于点E,求证：（1）

0E平分NBED;（2）EA=EC.

36.如图7-17,AB是00的直径,割线Z■交。0于点M和N,AC_L「，且交。0于

点E,BD，/苫；C、D是垂足。（1）求证：0C=0D;（2）若AB=10厘米，AC=7厘

米，BD=1厘米，求0C的长。

37.点P是。0外一点,PAB、PCD分别交。0于点A、B和点C、D,求证：（1）若AB=CD,

则PA=PC；（2）若PA=PC,则AB=CD.

38.如图7-18,AB为。0的弦，取AG=BH,ZDGB=ZFHA,求证:CD=EF.

图7-18

39.如图7-19,00半径为10厘米，G是直径AB上一点，弦CD经过G点，CD=16

厘米，过点A和点B分别向CD引垂线段AE和BF.问：AE-BF是多少？

c

40.AB为。0的弦，C、D在AB上，且AC=CD=DB,0C与0D的延长线分别交。。于

点E、F.求证：(1)ZA0C=ZB0F;(2)ZC0D>ZA0C;(3)=BF<EF

41.如图7-20,点B、C三等分半圆直径EF,点A在这个半圆上。求证:

AB+ACW亚EF.

3

图7-20

42.如图7-21,已知。0内两条弦AB、DC的延长相交于点P,且NP=90°.求证:

图7-21

圆心角、圆周角

43.如图7-22,设。0的半径的为R,且AB=AC=R,则NBAC=.

A

图7-22

44.如图7-23,AB为。0的弦，N0AB=75°,则此弦所对的优弧是圆周的

0

75-

A

B

图7-23

45.如图7-24,(1)Z«=；(2)Z«=—

46.如图7-25,在AABC中，NC是直角，ZA=32°18',以点C为圆心、BC为半

径作圆，交AB于点D,交AC于点E,则防的度数是o

47.如图7-26,点0是4ABC的外心，已知/ACB=100°,则劣弧n所对的

48.如图7-27,AB是。。的直径，CD与AB相交于点E,ZACD=60°,ZADC=50°,

则NAEC=度。

49.如图7-28,以等腰4ABC的边AB为直径的半圆，分别交AC、BC于点D、E,

若AB=10,Z0AE=30°,则DE=。

D.E

AOB

图7-28

50.在锐角4ABC中，NA=50°,若点0为外心，则/B0C=;若点I为内心，

则NBIC=；若点H为垂心，则NBHC=.

51.若4ABC内接于。0,ZA=n°,则NB0C=.

52.如图7-29,已知AB和CD是。0相交的两条直径，连AD、CB,那么a和夕的

关系是()

(A)«=/?(B)/?>-«(C)-a(D)B=2a

22

图7-29

53.如图7-30,在。。中，弦AC、BD交于点E,且若NBEC=130°,

/\D—OCx—

则NACD的度数为()

(A)15°(B)30°(080°(D)105°

54.如图7-31,AB为半圆的直径，ADLAB,点C为半圆上一点，CD_LAD,若

CD=2,AD=3,求AB的长。

55.如图7-32,A0J_B0,A0交。0于点D,AB交。0于点C,NA=27°,试用多种方

法求企、&7的度数。

图7-32

56.求证：如果AB和CD为。。内互相垂直的两条弦，那么NAOC和NBOD互补。

57.如图7-33,设AB是。0的任意直径，取A0上一点C,若以点C为圆心，0C

为半径的圆与。0相交于点D,DC的延长线与。0相交于点E,求证：

BE=3AD-

58.如图7-34,AB为。0的直径，0C1AB,过点C任引弦CD、CE分别交AB于点F、

Go求证：△CEDs/\CFG.

59.如图7-35,设点P是。。的直径AB上的一点，在AB的同侧由点P到圆上作

两条线段PQ、PR,若NAPQ=NBPR.求证：△APQSARPB.

60.如图7-36,在aABC的外接圆中，若NB、NC所对弧的中点分别为点P、Q.

求证：直线PQ与AB、AC相交成等腰4ADE;若4ADE为等边三角形，求证：

弧晶的长等于该圆周长的三分之一。

61.如图7-37,AB是©0的直径，CD_LAB,AD、DB是方程x2-5x+4=0的两个根,

求CD的长。

.已知、、为圆上三点，£：：：厘米，求弦、

62ABCbBC:&=321,BC=5AB

AC的长。

63.已知AB是。0的直径，C为半圆上一点，连CA、CB,M为AB上的点，且MB=3,

过点M作MN1AB,交BC于点N,MN=百，BC=76,求。0的半径。

64.如图7-38,AB是。0的直径，D是几的中点，CD交AB于点E,(!)求证:

AD?=CD・DE;(2)若AC=C,BC=7L求BE的长。

图7-38

65.如图7-39,AABC的高AD、BE交于点M,延长AD,交4ABC外接圆于点G,

求证：D为GM的中点。

66.如图7-40,以AB为直径的半圆上任取两点M和C,过点M作MN1AB,交AC延

长线于点E,交BC于点F.求证：MN是NF和NE的比例中项。

图7-40

67.如图7-41,△ABC为圆内接三角形,AP为直径，H为垂心，求证：ZBHC=ZBPC.

68.ZXABC内接于。0,AHLBC,垂足为H,AD平分NBAC,D在圆上，求证：AD平

分NHA0.

A

图7-41

69.AB、AC、AD是同一圆0的三条弦，且AC平分NBAD,自点C向AB、AD作垂线,

垂足分别为E、F.求证:DF=BE.

70.已知AB是。0的直径，0C是垂直于AB的半径，过会上一点P作弦PE,分别

交0C和5c于点D、E,若P0=PD,求证：ZA0P=1zB0E.

71.C是。0的直径AB上的一点，过点C作弦DE,使CD=C0.求证：BE^3AD-

72.已知AB是。0的直径，P是0A上的一点，C是。。上一点，求证：PA〈PC〈PB.

73.如图7-42,在00中，AB、CD是互相垂直的两条直径，过点C任作两条弦CF、

CE,交AB于点H、G,求证：=

74.如图7-43,在AABC中，NA=90°,AD_LBC,BE平分NABC,由A、D、E三点确定

75.如图7-44,已知O0与G)0i相交于点A、B,点P是点0上的一点,引割线PAC、

PBD,交。于点C、D,连结CD。(1)作PE_LCD,求证：PE必过。0的圆心

0；(2)连结P0,求证：P0必垂直于CD.

76.如图7-45,两圆相交于点A、B,过点A引割线ACD,交一圆于点C,另一圆于

点D,又点G为CD的中点，直线GB义两圆于点E、F.求证：四边形EDFC是平

行四边形。

图7-45

77.如图7-46,设AB是。。上的两定点，且不是直径的两端点，若过点A的任意

弦AC与过A、B、0三点的圆相交于点P.求证：PB=PC.

78.设蓝।为90°的弧，点B、C将孤三等分，连AD与半径OB、0C分别交于点E、

F.求证：AE=DF=BC

79.证明下列各题：

(1)已知aABC内接于。0,AD_LBD于点D,AE是直径,求证:AB・AC=AD・AE;

(2)已知aABC内接于。0,ZBAC的平分线交BC于点D,交。0于点E,求证：

AB«AC=AD«AE;

(3)已知aABC内接于。0,AB=AC,过点A的任-弦AE交BC于点D,求证:

AB・AC=AD・AE

80.设锐角aABC的各顶点向对边作垂线AD、BE、CF,垂足分别为点D、E、F,并

延长AD、BE、CF各AABC的外接圆分别交于点P、Q、R.求证：AABC的垂心

是APQR的内心。

81.在4ABC中，AB=AC,过A点直线与4ABC外接圆交于点E,与BC的延长线交于

点D。求证:AD-AC2=AD*ED

82.如图7-47,已知。0的直径AB垂直弦CD,垂足为G,F为CD延长线上的一点,

AF交00于点E。求证:AC2=AE*AF

83.如图7-48,AB是。0的直径，半径OCLAB,D为筋上任一点，E为BD弦上一

点，且AD=BE.求证：ACDE为等腰直角三角形。

C

历

图7-48

84.如图7-49,等边aABC的外接圆前上任一点P,CP的延长和AB的延长线交

于点D,求证:(1)ZD=ZCBP;(2)AC2=CP*CD

D

图7-49

85.00的直径BE与弦AC互相垂直，垂足为点F,延长AB到点D,使BD=AB,已知

BE=20厘米,AB=11厘米,求CD的长。

86.如图7-50,四边形ABCD内接于。0,AC_LBD,垂足为点E,BAD：BCD=3：1,

DF交AC于点G,且AF・AB=AG・AE,BE=2,ED=3,⑴求证:AAFG^ADFB;⑵求:

S四边形ABCD的值；(3)求sinNADC的值

图7-50

87.点P为正方形ABCD的外接圆;3上的任意一点，连结PA、PB、PC.求证:

勺PA广p的r值为常数。

88.如图7-51,六边形AGBHCK内接于。0,内切于△ABC,点D、E、F为。I

与aABC各边相切的切点，若NEDF=65°,NDEF=60°,求NG、NH、NK的度数。

图7-51

89.如图7-52,AABC内接于。0,ZBAD=ZCAD,DE//AB,DE交AC于点Po求证:

(1)0D垂直平分BC;(2)AC=DE;(3)P0平分NAPD.

A

90.AB是。。的直径，CD是此圆内长度一定的动弦，自点A、B分别向CD所在的

直线作垂线AH、BK、H、K为垂足。（1）若点C、D在AB的同旁，问：AH+BK

的值会变化吗？为什么？（2）若C、D在AB的两侧，问：|A"-BK|的值也

会变化吗？并证明你的结论。

91.已知以AB为直径的半圆上有C、D两点，ZDCB=120°,NADC=105°,CD=1.试求

四边形ABCD的面积。

92.已知AB、CD为圆0的两条互相垂直的直径，P为半圆僦）上的一点，求证：

圆的内接四边形

93.圆上四点，A、B、C、D分圆周为四段弧，诵：众：&：笳=1：2:3:4,则圆内接

四边形的最大内角为o

94.在锐角aABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H,在该图中，四点共圆共有

____组。

95.如图7-53,四边形ABCD是正方形，点P是AC上的任一点，过点P作EF〃BC,

交AB、CD于点E、F,过点P作GH〃AB,交BC、AD于点G、H.在该图中，四点

96.如图7-54,在梯形ABCD中，AB〃DC,AD=DC=BC,ZADC=1380,E是梯形外一点,

若点E在梯形ABCD的外接圆上，则NAEB=

97.如图7-55,在梯形ABCD中，AD〃BC,过B、C两点作一圆，AB、CD的延长线

交该圆于点E、F。求证：A、D、E、F四点共圆。

£

图7-55

98.在AABC中，ZA=60°,BD、CE是NABC、NACB的平分线，它们相交于点I。

求证：A、E、I、D四点共圆。

99.在梯形ABCD中，DC〃AB,过DC作圆，交BC于点E,交AD于点F,求证：A、B、

E、F四点共圆。

100.如图7-56,在ZiABC中,AD=AE,BE与CD交于点P,DP=EP,求证：B、C、E、D

101.从圆内接四边形ABCD的顶点C,作对角线BD的平行线，交AD的延长线于

点E,求证:DE«AB=BC«CD.

102.证明：钝角三角形三边中点与夹钝角一边上的高的垂足共圆。

103.如图7-57,在Z\ABC中，AB=AC,AD±BC,Z1=Z2=Z3,CE交AB于点G,连

GF.求证：(1)G、F、C、B四点共圆；(2)GF〃BE.

图7-57

104.如图7-58,在aABC中，NC=900,BD是NCBA的平分线，BE为4ABD外接圆

图7-58

105.在AABC中，AD_LBC,点0在AD上，以点0为圆心、OA为半径的圆交AB、

AC于点F、E.求证：F、B、C、E四点共圆。

106.在四边形ABCD中,ACJ_BD,AC与BD相交于0,OM±AB,ON±BC,OP±DC,0Q±AD

求证：M、N、P、Q四点共圆。

107.如图7-59,在々ABCD中，E是对角线BD上的一点，ECJ_BC,EF_LAB,又FG

交DC的延长线于点H.求证：E、G、H、D四点在同一个圆上。

H

图7-59

108.如图7-60,已知△ABC,AB、AC的垂直平分线交AC、AB的延长线于点F、E。

求证：E、F、C、B四点共圆。

图7-60

109.如图7-61,在。0中，AB〃CD,点P是AB的中点，CP的延长线交。0于点F,

又点E为前上任上点，连EF交AB于点G.求证：P、G、E、D四点共圆。

图7-61

H0.如图7-62,在△ABC中，NBAC为直角,AB=AC,BM=MC,过M、C任作一圆,

与AC交于点E,BE与圆交于F点，求证：AF1BE.

图7-62

111.如图7—63,在2ABCD的对角线上，任取一点P,过点P作AB、CD的公垂

线EG,又作AD、BC的公垂线FM。求证：EF//GM.

图7-63

112.如图7-64,PAABC外接圆一任意一点，点P至【「△ABC三边的垂足分别为D、

E、F三点成一直线。

D

图7-64

113.如图7-65,在QABCD中，过D、B两点作一圆，交平行四边形四条边（或

它们的延长线）于点E、F、G、H.求证：EF//GH.

图7-65

114.如图7-66,四边形ABC0是。0的内接四边形，DE±AC,AFLBD,点E、F

是垂足.求证：EF//BC.

图7-66

115.如图7-67,AB为半圆的直径，弦AC、BD相交于点H,HPLAB.求证：Z1

=Z2.

D

B

图7-67

116.在锐角AABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H.求证：点H是aDEF的

内心。

117.如图7—68,四边形ABCD是正方形，点E为BC上的任一点，AE1EF,EF

交NBCD的外角平分线于点F.求证：EA=EF.

又四边形BCDE是正方形，它的中心为点0,连

结0A.求证：0A平分NBAC.

119.四边形ABCD内接于。0,ACLBD,点M是月BC的中点.求证：0M^^AD.

120.圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P,求证：（1）PB

•AC=PC・BD；（2）点P至IJAD的距离与点P到BC的距离之比等于AD:BC.

121.如图7-69,已知AB为半圆0的直径，C、D为半圆上的两点，CE±AB于点E,

DF_LAB于点F,DGLOC于点G。求证：CE=GF.

图7-69

122.。。中弦AB//CD,M为CD中点，BM延长相交。0于点E.求证：A、E、M、0

四点共圆。

123.四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线相交于点E,BA、CD的延长线相交

于点F,NE、NF的平分线交AB、CD、BC、AD于点G、M、H、N,连结GH、

HM、MN、NG.求证：四边形GHMN是菱形。

124.如图7—70,AB是。。的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E,EF垂直BA

的延长线于点F。求证：(1)A、D、E、F四点共圆；(2)AB2=BE»BD-AE«AC.

125.四边形ABCD内接于圆0,AB=4,CD=2,且NA=9形ZB=60°.求:(1)AD及BC

的长；(2)四边形ABCD的面积。

126.如图7-71,AABC内接于圆0,AB=AC,NA=300。圆0的半径为10厘米，

又弦KN//BC,交AB、AC于点L、M,且KL=LM=MN.求弦KN的长。

直线和圆的位置关系

直线和圆的位置关系：

127.在直角△ABO中，ZA0B=900,0C_LAB,垂足为点C,已知0A=4g,08=276,

那么以点0为圆心、4为半径的圆与AB这条直线的位置关系是.

128.在RtAABC中，ZC=90°,AC=5,AB=13.

(1)以点A为圆心、4为半径的圆A与直线BC的位置关系是;

(2)以点B为圆心、以AB的长为半径的圆B与直线AC的位置关系是;

(3)以点C为圆心，当半径为时，圆C与直线AB相切。

129.。0的半径是6,。。的一条弦AB长为6百，以3为半径的同心圆，与AB

的位置关系是

130.。0的直径是8,直线/■和。0相交，圆心0到直线/"的距离是/则/应满

.

131.00的半径为r,。。的一条弦AB长也等于r,则以。为圆心、为半.径

2

的圆与AB的位置关系是.

132.如图7-72,在AABC中,ZC=90°,ZA=30°,点0为AB上的一点，BO=m,00

的半径r为:，当m在什么范围内取值时，BC与。0相离？相切？相交？

133.已知NBAC=300,点D是AC边上的一点，AD=5,则以点D为圆心，且与射线

AB相交两点的圆半径R的取值范围怎样？

134.在AABC中，AB=4厘米，AC=3厘米，ZBAC=60°,AD为NBAC的平分线，试

问：以点D为圆心、R为半径的圆，当R满足什么条件时，0D与AB相交？

相切？相离？此时。D与边AC又有怎样的位置关系？

135.已知。0外一点P,若。0的半径为R,PO=2R,又过点P作一射线PA,且

ZAP0=30",则PA与。0的位置关系怎样？为什么？

136.已知某圆的半径等于5厘米，圆心到三条直线的距离分别是3厘米、5厘米

和7厘米，那么这三条直线与该圆的交点一共有多少个？为什么？

圆的切线

137.如图7—73,在。0中，AO为半径,AB为弦，BC为切线，且OA=AB=BC,则

弧BD的度数为_；弧DE的度数为_______.

138.如图7—74,PA、PB切。0于点A、B,BDJ_AP,BD交弧AB于点C,ZCAD=25°,

则NP的度数为__.

ZPAB=45°,NABC=75°,TC为。0的切线，则

ZTCP=,弧AP：弧PC=.

p

c

AOB

图7-75

140.如图7-76,直线MN切。0于点T,AB//MN,弧AT=2弧AB,则NMTB=;

ZATB=.

141.如图7-77,在RtZXABC中，NC=90°,AC=3,BC=5,以点A为圆心、1为半径

作。A,又BD切。A于点D,则切线BD的长是.

图7-77

142.如图7—78,PA、PB、DE分别切00于点A、B、C,若P0=13厘米，00的半

径r=5厘米，则APDE周长为;若NAPB=50°,则ND0E=.

图7-78

143.如图7—79,直线AB切。0于点C,DE是。0的直径，EFLAB,垂足为F,DC

的延长线与EG的延长线交于点G,若NG=56°,则NE=.

144.在AABC中，ZC=90",半圆直径MN在AB上，半圆分别与AC切于点D,

与BC切于点E,已知AC=12厘米，BC=16厘米，则半圆的直径MN=

145.如图7-80,在。0中，过弦AB的端点A和B分别作。0切线AP和BQ,在弧

AB上取一点M,作MC//AP,交AB于点C,MD//BQ,交AB于点D,若AC=4厘米，

BD=5厘米，则MC=.

Pt

M

AB

图7-80

146.如图7—81,。0的直径等于8,0A_L0B,0C是AB边上的高,0A=4行，0B=2石.

求证：AB与。0相切。

图7-81

147.在aABC中，AD是底边BC上的高，且等于BC的一半，求证：以中位线EF

为直径作半圆，必与BC相同。

148.已知A是©0外的一点,0A交。0于点C,过。0上一点P作弦PE±0A,垂足

为E,且NEPC=NCPA.求证：PA是。0的切线。

149.已知AB是。0的弦，BF与。0相切于点B,0E，AB,E是垂足，延长0E交FB

的延长线于M点，连结AM。求证：MA是。。的切线。

150.圆U的半径为4厘米，圆乌的半径为3厘米，这两个圆相交于A、B两点，

且圆心距为5厘米。求证：过A点与圆孰相切的直线必经过点。

151.如图7—82,在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点D是三角形内一点,

月.NADC=135°.求证:AB是△ADC外接圆的切线。

图7-82

152.PA切半圆于点A,割线PBC过圆心0,AD±BC,垂足为点D.求证：黑=岩.

153.在4ABC中，AB=28,BC=26,CA=30,半圆0切AC、BC于点D、E,点0在AB

上。求半圆的半径r.

154.如图7—83,DA_LAB,AB是半圆的直径，E是AD的中点，BD交半圆于点C。

若CE=-V13,BC=4,求0E的长。

D

155.AB是半圆0的直径，点C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D,DE1AB,

14

点E是垂足。已知BE=-AB,AE=-AB,CD=2,求BC的长。

156.如图7—84,过AABC的两顶点B、C的圆与AB、AC分别交于点M、N,又EF

切aABC的外接圆于点A。求证：EF//MN.

157.如图7—85,。。和。（\相交于点A、B两点，且NABC=NABD,AB2=BC«BD.

求证：AC是。。的切线。

图7-85

158.如图7—86,在等腰直角AABC中，NABC=90°,AB=BC,沿NC的平分线CF

对称，使点B落在AC边上的E点。求证：以EF为直径的圆必与AC相切于

点E.

H

图7-86

159.如图7-87,在RtAAOB中,ZA0B=90°,AO=BO,点D在AB上，且BD=BO,又

点M是AB的中点，以点0为圆心，0M为半径作。0,交0A于点E.求证：AB

和DE都是。。的切线。

160.如图7—88,ZXABC内接于。0,点P为弧BC的中点，AP交BC于点D,EF切

00于点A,BE//PA,交EF于点E,连结ED。求证：ZABC=ZAED.

P

图7-88

161.如图7—89,在AABC中NA的内、外角平分线AE、AF分别交直线BC及延

长于点E、F,又过点A作aABC的外接圆0的切线，交BC于点D.求证:DF=DE.

图7-89

162.PA、PB是。。的切线，AC是。。的直径，0P交AB于点D,且AC=4,PD=3.

求BC的长。

163.如图7—90,Z\A0B是直角三角形，NA0B=90°,以点0为圆心作圆，切斜边

AB于点C,又AD、BE是。0的切线，切。0于点D、E。求证：D、0、E三点

在一条直线上。

图7-90

164.如图7—91,AB是。。的直径，C是圆上一点，过C点的切线与过A、B两点

的切线分别交于E、F两点，AF、BE相交于P点。求证：CP//AE.

ffl7-91

165.如图7-92,AB是。0的直径，BP切。0于点B,00的弦AC平行于OP。(1)

求证：PC是。。的切线；(2)如果切线PC和BA的延长线相交于点D,且DA

PB_AC

等于。。的半径，求证:

DPOP

166.如图7-93,AB是。0的直径，AB=AC,DE±AC,连BE交。0于点F。求证:

（1）DE为。。的切线；（2）AE«EC=BE«EF.

167.如图7—94,AT切。0于点T,CB为。0直径,NBCT=30°,CT=百,求BC、

AC、SAABT.

图7-94

168.如图7—95,已知在AABC中，AB=AC,以AC为直径的。。交BC于点D,交

AB于点E,连结CE,过点D作。0的切线交AB于点M.求证：（DDM//CE;

(2)DC2=AC*BM.

图7-95

169.如图7—96,。。的半径为5,|OP|=10,PM为。。的切线，切点为M。求（1）

切点M的坐标；（2）MA的长。

图7-96

170.0是正方形ABCD一边BC的中点，AP与以点0为圆心、0B为半径的半圆切

于T点，求AT：TP的值。

171.在aABC中，NC=90°,。0分别切AC、BC于点M、N,圆心0在AB上，且

AO=15厘米，B0=20厘米，求。。的面积。

172.如图7—97,AABC内接于。0,AB=AC,过点B作。0的切线交AC的延长于

点D,又DE_LAB于点E。求证：CD=2BE.

173.如图7-98,AB是。0的直径，点C是BA延长线上的一点，CD切。0于点D,

ZBCD的平分线交BD于点E,又CA=1,CD是。0半径的g倍，求DE和EB

174.如图7—99,CD切。0于点D,CA是过圆心0的割线，过点B作。0的切线

交CD于点E,DE=|EC.求证：CA=V3CD.

图7-99

175.如图7-100,AABC是。。的内接三角形，AD是NA的平分线，AD的延长线

交。。于点M,过点M作PQ〃BC,分别交AB、AC的延长线于点P、Q.求证：

PMQM

(1)PQ是。。的切线；(2)隹=7於.

ro

176.如图7—101,。。在NACB内部，且切CA于点T,OH_LCB,点H为垂足，又

HP切。0于点P。求证:CT2=CH2+HP2

A

图7-101

177.如图7—102,PB、PC切。0于点B、C,作直径BA并延长与PC的延长线相

交于点D,若弧BC为120°,求证：(1)AC=AD;(2)P0等于。。的直径。

图7-102

178.AB为半圆0的直径，DA，AB,CB，AB,垂足为点A、B,DC切。0于点E,又点

F是DC的中点，如果AD=13厘米，BC=25厘米，求EF和ABR长度。

179.如图7-103,BD、CE分别是aABC两边AC、AB上的高,0是aABC的外心,

求证：0A1DE.

图7-103

180.如图7—104,弦CD平行于直径AB,BE切。0于点B,交AD的延长线于点E,

EF_LAC,F为垂足。求证：FC=AC.

图7-104

181.如图：7—105,直线AF切AABC外接圆0于点A,交AABC的高CE的延长

线于点F,BD1AC.求证:AD：DC=EF：EC.

图7-105

182.如图7—106,由正方形ABCD的顶点A引一条直线，与BD、CD及BC的延长

线分别交于点E、F、Go求证：CE和aCGF的外接圆0相切。

183.如图7—107,直线DF平分AABC中NA的外角，交△ABC外接圆于点E,FB

为AABC外接圆的切线。求证：AD・EF=BF・DC.

184.如图7—108,AB为00的直径,AD是切线,FB和DB是割线。求证:BE・BF=CB・DB

185.如图7—109,C是。0直径AB上一点，D在。0上，DC±AB,DF切。0于点D,

CE_LDF于点E,求证：AB・CE=AC・BC+DC2.

图7-109

186.在RtaABC中，NA=90",以AB为直径作半圆交BC于点D,过点D作半圆的

切线交AC于点E。求证：(1)AE=CE;(2)CD«CB=4DE2.

187.PA为。0的切线，A是切点，PBC为割线，E是AB的中点，PE的延长线交

PA2A17

AC于点F.求证：±\=竺

PC2FC

188.如图7—110,直线L在外，过圆心作0AJ_L,A为垂足，过点A作割线

交。0于点B、C,过B、C两点作。0的切线，交L于点E、F。求证：AE=AF.

189.如图7—111,CD为半圆0的直径，P为半圆外一点，PA、PB切半圆。于点

A、B,AC与BD相交于点E,PC交半圆于点F。求证：(1)ABPE^ABOC;

(2)PE2=PF«PC.

P

OD

图7-111

190.如图7—112,AB是。0的直径，AD是。0的弦，过点D作。。的切线交AB

的延长线交于点C,过点C作AB的垂线交AD的延长线于点E,已知AB=5厘

米，AD=4厘米。(1)求BD的长；(2)求证：4CDE是等腰三角形；(3)求

△CDE的面积。

191.如图7-113,在等腰梯形ABCD中，AB//CD(AB>CD),AD=BC,以AD为直径的

3

00交AB于点E,00的切线EF交BC于点F,且cosA=-0(1)求证：

DC3

△ADE^ABEF;(2)当七=三时，求证4BEF的面积与aADE的面积的比值;

AB7

(3)当DC与AB两底长满足什么关系时，DF与。0相切？

192.已知0A、0B是。0的两条互相垂直的半径，过弧AB上的任一点M作。0的

切线，分别交0A、0B的延长线于点S、T；又MP_LOS,P为垂足，求证：ZkAOB

的面积是aMOP的面积与△SOT面积的比例中项。

三角形的内切圆

193.一个直角三角形的斜边为10厘米，内切圆半径为1厘米，则这个三角形的

周长是o

194.如图7—114,。。是aABC内切圆，与BC相切且与AB、AC的延长线分

别切于P、Q两点，若NAPQ=70°,贝|JNA=;ZB0C=;若BC=7

厘米，AC=8厘米，AB=5厘米，则AP=.

图7-114

195.等腰梯形ABCD外切于。0,AD=3厘米，BC=7厘米，则。0的直径为—

厘米。

196.如图7—115,在。0的外切四边形ABCD中，若AB=4,BC=5,CD=3,则

SABOC:S/^COD:S△AOD:S“OB=

图7-115

197.半径是r的圆外切正三角形的边长与它的内接正方形边长的比值是____.

198.在aABC中，AB=AC=39,BC=30,则内切的直径为.

199.已知圆的半径为R,那么这个圆的内接正三角形的内切圆半径为.

200.在圆的外切四边形ABCD中，AB=(m+n^CD=(m-n)2,则AD+BC用m、n可表示为

201.已知直角三角形的斜边和一条直角边的比为25：7,它的内切圆的半径

r=l.2厘米，则这个直角三角形各边长分别为_.

202.已知半圆的圆心0在RtAABC的斜边BC上，且半圆分别与AB、AC切于D、

E,AB=4,AC=5,则半圆半径R=___.

203.如图7—116,在△ABC中，AB=20厘米，BC=22厘米，AC=14厘米，。0

为AABC内切圆，切各边于点F、D、E,又直线MN切。0于点G,分别交AB

和BC于点M、N,则ABNIN的周长为_厘米。

A

BA'D(

图7-116

204,三角形内切圆与三边的切点分圆为10:9:5的三条弧，则这个三角形最小角

的余切等于______o

205.AABC的内切圆切各边于点D、E、F,则aABC必定是_______三角形。

206.三角形的内心是以各边与内切圆的切点为顶点的三角形的____（填:外心、

内心、重心、垂心）

207.三角形的垂心是这个三角形三条高的垂足所成三角形的_____（填：外心、

内心、重心、垂心）

208.AABC的内切圆被三个切点分成三段弧，在每段弧上取一点，分别过这些

点作内切圆的切线，截原三角形得三个小三角形，设这三个小三角形的周长

分别为口、P?、P3，则AABC的周长为.

209.在AABC中，NA=60°,内切圆I在BC边上的切点分BC为2和5两段，则

AB和AC的长分别为.

210.如果0是4ABC内一点，且△OAB、△OBC、A0CA的面积比为AB:BC:CA,那

么0是AABC的（填：外心、内心、重心、垂心）

211.在aABC中，ZA=60°,内切圆I在BC边上的切点为D,若BD=2,DC=5,则

AB和AC的长分别为

212.直角三角形两条直角边为m和n,它的外接圆直径为P,内切圆直径为q,

则m、n、p、q之间的关系为.

213如图7—117,在。0的外切直角梯形ABCD中，AB//CD,ZA=90,E、F、G、

H分别为各边上的切点，若CD=4厘米,AB=8厘米，则内切圆直径是（）.

214.如图7—118,。。是边长为2的正方形ABCD的内切圆，EF切①0于P点,

交AB、BC于点E、F,则ABEF的周长是.

215.等腰三角形的腰被内切圆的切点分为7：5（由顶点开始）两部分，求腰与底

边之比.

216.已知点P为。0外的一点，PA、PB切。0于点A、B,0P与AB交于点C,00

的半径为3厘米，ZAPB=60°,求OP、PA、AB,AC、0C和CP的长.又设P0

交。0于点E,问：点E是aABC的什么“心”？

217.已知等腰梯形两底之和为10厘米，两底之差为6厘米，且有内切圆，用两

种方法求内切圆的半径.

218.在RtZ^ABC中，C=90,内切圆I切AB于点D.求证:S△做=AD•BD.

219.四边形ABCD是。0的外切四边形，AD//BC,00切AD、BC于点M、N.求证：

AM•BN=DN-CN.

220.在△ABC中,AB=AC,点I是内心.求证:AB、AC都与△IBC的外接圆相切.

221.如图7—119,点I是4ABC的内心，过点I且垂直于AI的直线交AB、AC

BID=C.

222.等腰4ABC,腰长为10厘米，底边长为12厘米，求三角形内切圆的半径.

223.如图7-120,已知一等腰直角三角形的外接圆和内切圆半径分别为R和r,

求斜边AB和直角边AC的长.

224.。0是RtZ\ABC的内切圆，ZC=9°,三边分别为a、b、c,求（1）内切圆半r；

（2）外接圆半径R（3）若三边分别为6、8、10,则r、R各等于多少？

225.圆的半径为5厘米，它的外切四边形的面积为120cm2并且四边形的三边依

次为1：2：3,求这四边形各边的长.

226.。。是梯形ABCD的内切圆，。。的面积是3万厘米，梯形ABCD的中位线长

是3.8厘米，且NB=60,求梯形ABCD的两腰AB、CD的长.

227.已知在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,。。内切于梯形ABCD,AD=V2-1,

BC=V2+1,求⑴AB的长；（2）内切圆半径r.

228.在AABC中，ZC=90°,内切圆I与AB、BC、CA分别切于点D、E、F,若

01的半径为r,BE=n,试用r和n表示4ABC的面积得____.

229.已知aABC三边长为6、8、10,则它的内心、外心间的距离为__；若三边

长为5、5、8,则内心、外心间的距离为_;内心、重心间的距离为一,

外心与重心

间的距离为.

230.AABC的外心在AB上，且AABC是直角三角形，AABC的周长为30厘米，

重心G离C点的距离为厘米，求4ABC重心G到AB边的距离.

4

231.若斜边为13的直角三角形的两条直角边分别是一元二次方程x2-（m-

l）x+3（m+2）=0的两根，求（l）m的值；（2）直角三角形内切圆的面积.

232.如图7-121,aABC的面积是10百，NA=60",AB：AC=5：2,求这个

三角形内切圆半径r（用最简根式表示）.

图7-121

233.已知等腰三角形的顶角为120°,它的内切圆的周长为12万，求这三角形的

周长与面积.

234.如图7-122,等腰三角形的腰长AB=AC=5,内切圆的两腰上两切点间的距

离EF为2.4,求⑴BC的长;(2)SAABC.

235.AABC的内切圆切AC于点E,且AE=2厘米，E