规律探索之代数-2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

规律探索之代数—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题一、代数式规律探索1．（2026·涪城一模）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（）A．676 B．675 C．674 D．13502．（2025·武汉模拟）黑板上有按规律排列的20个整数：1，−2，3，−4，5，−6，7，⋯，−18，19，−20．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，−10，−16，则添写数字−1．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是−16，则另一个数是（）A．6或4 B．2或8 C．−4或6 D．2或−83．（2026·定海模拟）观察xy2，−x2y3，x34．（2025·成都模拟）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为．5．（2026·杭州二模）“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展.经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算.请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：第1个等式：2第2个等式：3第3个等式：4第4个等式：5（1）请用此方法拆分20242：（2）请将上面的规律归纳出一个一般性的结论（用含n的等式表示，n为正整数），并运用有关知识说明这个结论是正确的.二、数阵类规律探索6．（2024·绵阳）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6，…第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（）A．36 B．96 C．226 D．4267．（2025·绵阳模拟）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，⋯，第n个数记为aA．20108 B．20119 C．20110 D．201118．（2026·宁波模拟）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）”展开式的系数规律.当代数式x4−8x9．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为.10．（2025·浙江）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a+b)n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：【应用体验】已知(x+2)4=x4+mx三、末尾数字规律探索11．（2025七上·浙江期中）已知一列数a1,a2，A．8 B．6 C．4 D．212．（2025七上·金东期中）对于每个正整数n，设f(n)表示n(n+2)的末位数字.例如，f(1)=3(1×3的末位数字)，f(2)=8(2×4的末位数字)，f(3)=5(3×5的末位数字)，…，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2026)的值是()A．9115 B．9123 C．9126 D．1114113．观察下列等式：31=3,32A．3 B．9 C．2 D．014．（2022七下·平湖期末）设m，n是正整数，且m>n≥2，若7m与7n的末两位数字相同，当m−n的值最小时，A．2 B．3 C．4 D．515．（2024七下·江北期末）若A=(2+1)22+1A．6 B．7 C．3 D．5四、点的坐标规律16．（2026八上·宁波期末）如图，已知A301,AA．−67532−6752 B．67517．（2026·定海一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A、C在y轴、x轴上，B(2,1)，将矩形OABC绕着点C顺时针旋转90°得到矩形CO1A1B1，再将矩形COA．(11,0) B．(12,1) C．18．（2025·杭州模拟）如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2A．(2024,0) B．(2023,19．（2025八上·宁波期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，4)，以OA为斜边在y轴右侧作等腰直角△OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为A2，以A1A2为斜边在右侧作等腰直角△A1A2A3，再过点A3作x轴的垂线，垂足为A4，以A3A4为斜边在右侧作等腰直角△A3A4A5.....按此规律继续作下去，则点A2025的纵坐标为()A．121011 B．121012 C．20．（2025八上·慈溪期中）如图放置的△OA1B,△A1B1A2,△A2B2A．(1012,10123C．(20243,4048)

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题知：这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现，又∵2025÷3=675，

∴这一列数的前2025个数中，偶数的个数为675．

故答案为：B．【分析】发现这列数连续三个数中必有两个奇数，一个偶数，据此解答即可．2．【答案】C【解析】【解答】解：∵1−2+3−4+5−6+7−⋯−18+19−20=−10，∴这20数的和的个位数为0，经过9次操作后剩下两个数，一个是−16，另一个一定是一个个位数，∵−16+−4=−20或∴另一个数是−4或6．故选：C．【分析】

由题意知这20数的和的个位数为0，则无论多少次操作后剩余数字的个位数字的和总是0，即当剩余两个数且一个是−16时，另一个一定是一个个位数且两个个位数字的和是0．3．【答案】−【解析】【解答】第1个式子：xy第2个式子：−x第3个式子：x3⋯⋯第n个式子：(−1)n+1∴第2026个代数式为(−1)2026+1故答案为：−x【分析】根据所给式子的指数变化规律，得到第n个式子为(−1)n+14．【答案】1350【解析】【解答】解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．由于2025÷3=675，即前2025个数共有675组，∴奇数有675×2=1350个．故答案为：1350．【分析】首先观察斐波那契数列数列的奇偶性，利用周期规律，计算总奇数的个数即可.5．【答案】（1）20242=2023+20232+2024（2）根据题意，可知一般的结论为（n+1）2=n+n2+（n+1）理由：∵左边=（n+1）2，右边：=n∴这个结论是正确的【解析】【分析】（1）仿照材料中等式的形式列式即可；

（2）得到规律，然后分别计算出等式的左边和右边，然后证明即可．6．【答案】C【解析】【解答】解：由题知2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6....

从第三行开始，第n行的左起第三个数可表示为n(n-1)+6

36=5×6+6，故A不符合题意；

9×10+6=96，故B不符合题意；

14×15+6=216，216<226<246，故C符合题意；

20×21+6=426，故D不符合题意；

故答案：C.

【分析】根据每行最后一个数字的规律n(n-1)，可得每行第三个数字的规律n(n-1)+6，分别验证各选项即可得结果.7．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意，a1=1，a2=1+2=3，∴a∴a∴a故答案为：C．

【分析】通过对前几个数进行分析，可归纳出an=1+2+3+……+n，进而利用等差数列求和公式得an=nn+12，然后将n=200代入计算求出a200得值，最后根据有理数加法法则算出a4+a8．【答案】5或-1【解析】【解答】解：由题意，得x4−8即x-2=3或x-2=-3，

解得x=5或-1.故答案为：5或-1.【分析】根据题意得到(x-2)4=81，解方程求出x的值即可.9．【答案】21【解析】【解答】解：找规律发现a+b3的第三项系数为：a+b4的第三项系数为(a+b5的第三项系数为：不难发现(a+bn的第三项系数为+因为第八行为(a+b∴a+b7+6=21,∴第八行从左到右第三个数为21.故答案为：21.【分析】根据图形中的规律即可求出a+b810．【答案】8【解析】【解答】解：∵(a+b)4=a4+4a3b+6a11．【答案】B【解析】【解答】解：由题知，

∵a1=2

∴a2=2a1-1=3

a3=2a2-1=5

a4=2a3-1=9

a5=2a4-1=17

a6=2a5-1=33

a7=2a6-1=65

由此可见，这列数字的个位数字除了第一项，后续按3，5，9，7循环，

又∵(2025-1)÷4=506

∴a2025的个位数字为7

∵(2026-1)÷4=506....1

∴a2026的个位数字为3

∴a2026-a2025的个位数字是13-7=6

故选：B.

【分析】根据所给计算方式，依次求出运算结果的个位数字，发现规律即可解决问题.12．【答案】B【解析】【解答】解：由题知，

因为f（1）＝3（1×3的末位数字），f（2）＝8（2×4的末位数字），f（3）＝5（3×5的末位数字），

则f（4）＝4（4×6的末位数字），

f（5）＝5（5×7的末位数字），

f（6）＝8（6×8的末位数字），

f（7）＝3（7×9的末位数字），

f（8）＝0（8×10的末位数字），

f（9）＝9（9×11的末位数字），

f（10）＝0（10×12的末位数字），

f（11）＝3（11×13的末位数字），

f（12）＝8（12×14的末位数字），

…，

由此可见，这列数从f（1）开始按3，8，5，4，5，8，3，0，9，0循环．

因为2026÷10＝202余6，

则202×（3+8+5+4+5+8+3+0+9+0）+3+8+5+4+5+8＝9123，

即f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2026）＝9123．

故答案为：B．

【分析】根据题意，依次求出f（4），f（5），f（6），…，找到规律即可解决问题．13．【答案】B【解析】【解答】解：观察下列等式：

31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，

发现规律：

末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，

每4个数一组循环，

∴2023÷4＝505……3，

∵3＋9＋7＋1＝20，

∴20×505＝10100，

∵0+3+9+7=19

∴算式：3＋32＋33＋34＋…＋32023结果的末位数字是9．

故答案为：9．

【分析】先求出规律：每4个数一组循环，再结合2023÷4＝505……3，求出20×505＝10100，再求出0+3+9+7=19，即可得到算式：3＋32＋33＋34＋…＋32023结果的末位数字是9．14．【答案】B【解析】【解答】解：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，……，

设m，n是正整数，且m>n≥2，7m与7n的末两位数字相同，当m−n的值最小时，m-n=6-2=4，mn为51=5，62=3，2<73<3，84=2，故答案为：B.【分析】先找出7m的末两位数的规律，再求出m-n的最小值，通过观察m-n为最小值时mn的值，从中确定15．【答案】B【解析】【解答】解：A=(2+1)22+124+128+1216+1+2

=（2−1）(2+1)22+124+128+1216+1+2

=（22−1）22+116．【答案】A【解析】【解答】解：第一组：A1(0,1)，第二组：A4(0,2)，第三组：A7(0,3)，每组内的坐标规律为：第1个点(0,k)，第2个点(32k∵2025÷3=675无余数，∴2025是第675组的第3个点，∴根据规律，第675组的第3个点的坐标为(−32×675∴点A2025的坐标是(−故答案为：A.【分析】先从所给的点中可得到3个点为一组呈现循环规律，再得到点的规律，由此求解即可．17．【答案】D【解析】【解答】解：∵B(2,∴在矩形OABC中，A(0,1)，∵第一次将矩形OABC绕右下角顶点C顺时针旋转90°得到矩形O1A1第二次再将矩形O1A1B1C绕右下角顶点B1...然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1，∴依此规律，A1(3,故答案为：D.【分析】根据旋转依次找出点A的对应点的坐标，得到规律即可解答．18．【答案】D【解析】【解答】解：观察坐标特点，可得

相邻两个坐标的横坐