2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义+培优点专项突破练习(新高考版)第15讲三角函数的图象和性质(学生版+解析)

第15讲三角函数的图象和性质题型梳理题型梳理易错分析易错点一忽略ω的正负对三角函数性质的影响题型方法题型一三角函数的图象变换题型二根据三角函数的部分图象求解析式题型三判断三角函数的单调性与最值题型四求三角函数的最小正周期题型五三角函数图象的对称性题型六极值、零点问题题型七ω的求解知识清单知识清单知识点01用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．知识点02正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调递增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))单调递减区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq\f(1,2)个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq\f(1,2)个周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．易错分析易错分析【易错点一】忽略ω的正负对三角函数性质的影响【例1】（2023·河南·模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（

）A． B．C．， D．，【举一反三】【变式1】（2021·陕西咸阳·一模）设函数，则在上的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【变式2】已知函数，则函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【变式3】（2025·宁夏·一模）已知函数，则函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．题型方法题型方法【题型一】三角函数的图象变换【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（

）A． B． C． D．解题技巧(1)由y＝sinωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移eq\f(φ,ω)(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值【举一反三】【变式1】（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（

）A． B．C． D．【变式2】（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则.【变式3】（2023·安徽·模拟预测）已知函数.(1)若函数恒成立，求实数的取值范围；(2)若函数，求函数的最大值.【题型二】根据三角函数的部分图象求解析式【例2】（2022·全国·模拟预测）已知函数的部分图像如图，则的解析式为（

）A． B．C． D．【举一反三】【变式1】（2020·宁夏银川·三模）已知函数的部分图像如图，则的解析式可能是（

）A． B．C． D．【变式2】（2024·广东江门·模拟预测）已知函数部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（

）A． B． C． D．【变式3】（2025·江西九江·三模）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则．【题型三】判断三角函数的单调性与最值【例3】（2022·北京·高考真题）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增解题技巧(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．【举一反三】【变式1】（2025·山东潍坊·模拟预测）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，则的最大值为.【变式3】（2023·河南·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)求在上的值域．【题型四】求三角函数的最小正周期【例4】（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．解题技巧(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为eq\f(2π,ω)，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为eq\f(π,ω)求解．【举一反三】【变式1】（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·陕西汉中·一模）若函数（）的最小正周期为，则【变式3】（2022·四川绵阳·模拟预测）已知向量​，设函数​(1)求​的最小正周期.(2)求函数​的单调递减区间.(3)求​在​上的最大值和最小值.【题型五】三角函数图象的对称性【例5】（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（

）A． B．C． D．【举一反三】【变式1】（2025·河南驻马店·模拟预测）函数的图象的一条对称轴方程为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·全国·模拟预测）函数的图象的对称中心为【变式3】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数．(1)求函数的对称中心及对称轴方程；(2)当时，求函数的最大值和最小值．【题型六】极值、零点问题【例6】（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【举一反三】【变式1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（

）A．1 B． C．2 D．3【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，则函数在上恰有1个零点，则实数的取值范围为.【变式3】（2024·河南·模拟预测）已知向量，向量，.(1)求的最小正周期；(2)求在上零点和极值点的个数.【题型七】ω的求解【例7】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．3【举一反三】【变式1】（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，若，在内有极小值，无极大值，则可能的取值个数（

）A．4 B．3 C．2 D．1【变式2】（2020·安徽池州·三模）已知函数满足，，且在区间上单调，则取值的个数有个．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围．好题必刷好题必刷一、单选题1．（2025·重庆·模拟预测）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2025·甘肃白银·三模）函数的最小值和最小正周期分别为（

）A． B． C． D．3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．34．（2025·辽宁·二模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（2024·河北·模拟预测）已知函数在区间单调递减，且和是两个对称中心，则（

）A． B． C． D．6．（2025·内蒙古包头·二模）已知在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题7．（2025·河北·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．是的周期B．的图象关于直线对称C．的值域为D．若在上恰有个零点，则8．（2025·山东临沂·三模）已知函数，则（

）A．函数的最小正周期为B．是的一条对称轴C．函数在上单调递增D．函数图象与直线有3个交点三、填空题9．（2025·天津河北·模拟预测）函数的最大值为．10．（2025·甘肃白银·三模）若函数的最小正周期是，则.11．（2024·全国·模拟预测）若函数在内恰好存在两个极值点，且直线与曲线在内恰有两个交点，则的取值范围是．12．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数在上有且仅有一个零点，则的取值范围是．13．（2024·上海·三模）设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是．14．（2025·四川巴中·二模）已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为.15．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和在上都恰好存在两个零点，则的取值范围是．四、解答题16．（2025·北京海淀·三模）已知函数．(1)若，求的值；(2)若在一个周期内的部分取值如下表，：x0m求的解析式及单调增区间．17．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知函数.(1)求的最小正周期和值域；(2)设，若函数为奇函数，求的最大值.18．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中.(1)若，求函数的值域；(2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值.19．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数．(1)若的最小正周期为，求当时的值域；(2)若在区间内无零点，求的取值范围．20．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知向量(1)求函数的单调递增区间和对称中心；(2)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围．第15讲三角函数的图象和性质题型梳理题型梳理易错分析易错点一忽略ω的正负对三角函数性质的影响题型方法题型一三角函数的图象变换题型二根据三角函数的部分图象求解析式题型三判断三角函数的单调性与最值题型四求三角函数的最小正周期题型五三角函数图象的对称性题型六极值、零点问题题型七ω的求解知识清单知识清单知识点01用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．知识点02正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调递增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))单调递减区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq\f(1,2)个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq\f(1,2)个周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．易错分析易错分析【易错点一】忽略ω的正负对三角函数性质的影响【例1】（2023·河南·模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【分析】利用余弦函数的性质求解即可.【详解】可化为，故单调增区间：，，解得，.令，，令，.，所以的单调递增区间是.故选：D【举一反三】【变式1】（2021·陕西咸阳·一模）设函数，则在上的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】求出函数的减区间，再与求交集妈阿中得．【详解】由已知，，，又，∴减区间为．故选：D．【变式2】已知函数，则函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角函数的性质即得.【详解】∵函数，由，可得，∴函数的单调递减区间为.故选：D．【变式3】（2025·宁夏·一模）已知函数，则函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等变换得，再求出其单调区间即可.【详解】，令，解得，所以其单调递增区间为.故选：A.题型方法题型方法【题型一】三角函数的图象变换【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案.【详解】函数向左平移个单位后为，当时，，∵单调递增，所以，即，可得，又，∴.故选：B.解题技巧(1)由y＝sinωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移eq\f(φ,ω)(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值【举一反三】【变式1】（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先将化为正弦型，然后由平移规律可得答案.【详解】因为，所以.故选：A【变式2】（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则.【答案】【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可求得答案.【详解】函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得，即故答案为：【变式3】（2023·安徽·模拟预测）已知函数.(1)若函数恒成立，求实数的取值范围；(2)若函数，求函数的最大值.【答案】(1)或；(2).【分析】（1）由已知及倍角余弦公式可得，结合正弦函数性质求解集即可；（2）设，原函数化为，利用导数求极值、端点值，并比较大小即可得最大值.【详解】（1）由得：，所以，得，所以或，的取值范围为或.（2）由，设，函数，可得令且得：，当时，，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，而，易知最大，函数的最大值为.【题型二】根据三角函数的部分图象求解析式【例2】（2022·全国·模拟预测）已知函数的部分图像如图，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过三角函数图像的翻折可得的值，结合五点作图的思想可得和的值，进而可得结果.【详解】令，由图易得，所以，，得，当时，由五点作图可得，解得，，不满足，故舍去，所以，结合得，此时应满足，结合，解得，故的解析式为，故选：B.【举一反三】【变式1】（2020·宁夏银川·三模）已知函数的部分图像如图，则的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据定义域排除A，根据奇偶性排除D，根据单调性排除B，即可得出答案.【详解】由图象可知，函数在上单调递增，且为奇函数，对A项，由于定义域不是，则A错误；对B项，当时，，；.则函数在不是单调递增，则B错误；对C项，，则函数在上单调递增，又，则函数为奇函数，则C正确；对D项，，则函数不是奇函数，则D错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据图象判断解析式，属于中档题.【变式2】（2024·广东江门·模拟预测）已知函数部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用排除法，结合奇偶性和零点分析判断.【详解】对于选项A：因为，可知为偶函数，但函数的图象关于原点对称，不合题意，故A错误；对于选项BC：若，则，即，，可知函数在上没有零点，不合题意，故B，C错误，检验可知选项D符合题意，故D正确．故选：D.【变式3】（2025·江西九江·三模）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则．【答案】/【分析】先根据余弦函数相位变换及诱导公式求得函数解析式，然后利用特殊角的余弦值求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，所以．故答案为：【题型三】判断三角函数的单调性与最值【例3】（2022·北京·高考真题）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增【答案】C【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C.解题技巧(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．【举一反三】【变式1】（2025·山东潍坊·模拟预测）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用给定最小正周期及单调性逐项判断即得.【详解】对于A，的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，故其最小正周期为，当时，在上单调递增，A是；对于B，由A的分析同理可知的最小正周期为，当时，在上单调递减，B不是；对于C，的最小正周期为，在上单调递减，C不是；对于D，的最小正周期为，D不是.故选：A【变式2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，则的最大值为.【答案】4【分析】利用三角形面积公式建立关系，将转化为与角相关的三角函数表达式，结合余弦定理即可得出.【详解】利用面积公式和余弦定理：面积：，同时，联立得：，结合余弦定理，化简得：,将表达式,转化为单一三角函数形式：，其中振幅,故最大值为4.故答案为：4.【变式3】（2023·河南·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)求在上的值域．【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为(2)【分析】（1）根据正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据正弦型函数的最值性质，结合（1）的结论进行求解即可.【详解】（1）令，，得，，所以的单调递增区间为．令，，得，，所以的单调递减区间为，综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，故在上的最大值为，最小值为，在上的最大值为，最小值为．所以在上的最大值为2，最小值为－2，即在上的值域为．【题型四】求三角函数的最小正周期【例4】（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．解题技巧(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为eq\f(2π,ω)，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为eq\f(π,ω)求解．【举一反三】【变式1】（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解.【详解】函数的最小正周期，故选：C．【变式2】（2025·陕西汉中·一模）若函数（）的最小正周期为，则【答案】/【分析】利用余弦型函数周期公式计算得解.【详解】由函数的最小正周期为4，得，所以.故答案为：【变式3】（2022·四川绵阳·模拟预测）已知向量​，设函数​(1)求​的最小正周期.(2)求函数​的单调递减区间.(3)求​在​上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)(3)最大值为1，最小值为【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合三角恒等变换即可化简，由周期公式即可求解，（2）利用整体法即可求解，（3）根据得，即可结合三角函数的性质求解.【详解】（1）由已知可得:​所以.（2）由​，可得，​的单调递减区间为​.（3）,​，​的最大值为1，最小值为​.【题型五】三角函数图象的对称性【例5】（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中，B选项中，C选项中，D选项中，排除选项CD，对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，故选：B.【举一反三】【变式1】（2025·河南驻马店·模拟预测）函数的图象的一条对称轴方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，，计算可得对称轴.【详解】令，，解得，，当时，，所以函数的图象的一条对称轴方程为.故选：D.【变式2】（2023·全国·模拟预测）函数的图象的对称中心为【答案】【分析】根据的对称中心为可求解.【详解】令，，解得，所以对称中心为.故答案为:.【变式3】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数．(1)求函数的对称中心及对称轴方程；(2)当时，求函数的最大值和最小值．【答案】(1)对称中心为，对称轴方程为：；(2)最大值为，最小值为0．【分析】（1）先用半角公式降次，再利用辅助角公式可化简为，利用正弦函数的对称性，求解即可．（2）当时，，可得，即可得出函数的最值．【详解】（1），令，解得，对称轴方程为：．令，解得，函数的对称中心为．（2）当时，，由正弦函数的性质可知，的最大值为1，最小值为，函数的最大值为，最小值为0．【题型六】极值、零点问题【例6】（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．故选：C．【举一反三】【变式1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【分析】根据余弦型函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性求解即可.【详解】由题意可得函数为奇函数，所以，，又因为在处取得极值，即关于对称，所以，，即，，由为奇函数且在上单调，可得在上单调，所以的周期，所以，又，所以.故选：B.【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，则函数在上恰有1个零点，则实数的取值范围为.【答案】【分析】由题可得，利用整体法结合三角函数的图象与性质即可求解.【详解】因，则，若函数在上恰有1个零点，则故答案为：【变式3】（2024·河南·模拟预测）已知向量，向量，.(1)求的最小正周期；(2)求在上零点和极值点的个数.【答案】(1)(2)3；3.【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式化简，再由的最小正周期即可得出答案；（2），由的图象结合零点和极值点的定义即可得出答案.【详解】（1），则的最小正周期.（2）令，因为，所以，由的图象可得，当时，即在上的零点个数为3，再由极值点的定义可知，极值点个数为3.【题型七】ω的求解【例7】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】C【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.【详解】函数，设函数的最小正周期为T，由可得，所以，即；又函数在上存在零点，且当时，，所以，即；综上，的最小值为4.故选：C.【举一反三】【变式1】（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，若，在内有极小值，无极大值，则可能的取值个数（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根据余弦函数的零点求得，又极值情况列不等式可得，分情况得的取值进行取舍，即可得答案.【详解】已知函数，若，所以，则①，又在内有极小值，无极大值，则，所以，又，则当得，，所以，不符合①式，故舍；当得，，所以由①式可得；当得，，所以，由①式可得；当得，，所以，不符合①式，故舍；当得，，无解，故舍；易知，当时，都无解，故不讨论；综上，或，则可能的取值个数为.故选：C.【变式2】（2020·安徽池州·三模）已知函数满足，，且在区间上单调，则取值的个数有个．【答案】3【分析】根据最大值点和零点可确定，由此得到；根据单调性可知，解出，由此得到所有可能的取值.【详解】，，解得：，即，；在上单调，，即，，解得：，，或，取值的个数有个.故答案为：.【点睛】本题考查根据正弦型函数的单调性、周期性求解参数值的问题；关键是能够通过最值点和零点确定周期、根据单调性确定周期所处的范围.【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据降幂公式和辅助角公式化简得，再根据正弦型函数的单调区间得到不等式组，解出即可.（2）首先求出，根据零点个数得到不等式组，解出即可.【详解】（1）当时，．令，得，，所以函数的单调递增区间为．（2）．当，．若函数有且仅有两个零点，则，且，所以．好题必刷好题必刷一、单选题1．（2025·重庆·模拟预测）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的运算律及余弦函数的取值范围即可求解.【详解】设，则，因为，所以当时，取最小值，故选：C.2．（2025·甘肃白银·三模）函数的最小值和最小正周期分别为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平方关系及二倍角余弦公式化简，再根据三角函数的性质求解即可．【详解】因为，所以当时，函数取最小值，函数的最小正周期为．故选：C3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】由周期公式求得，然后由换元法即可求解.【详解】由题意，解得，，所以的最大值为3.故选：D.4．（2025·辽宁·二模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据在上有两个零点列出不等式组，解出取值范围即可．【详解】由题可知，，当时，，因为函数在上有两个零点，所以，解得，故选：A．5．（2024·河北·模拟预测）已知函数在区间单调递减，且和是两个对称中心，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦型函数图像的单调性和对称性，先求得最小正周期即，，再结合和在区间单调递减可求得，得到函数的解析式，代入求值即可.【详解】由题意可知，即，则，所以，且和是两个对称中心，且，所以和在同一周期内，又的一个周期内有个对称中心，所以，即，，则，又，解得，，又当，时单调递减，解得，，所以区间为的一个子集，所以，结合得，，可得，所以，所以，故D正确.故选：D.6．（2025·内蒙古包头·二模）已知在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据题意求出，再根据求出，再根据的范围约束出和范围，最后结合正弦函数图象即可求出的范围.【详解】由题意可知，则，因，则，则，，因在上单调递增，结合正弦函数图象性质可得，解得，故的取值范围是.故选：B

二、多选题7．（2025·河北·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．是的周期B．的图象关于直线对称C．的值域为D．若在上恰有个零点，则【答案】BCD【分析】利用函数周期性的定义可判断A选项；利用函数的对称性的定义可判断B选项；令，，利用二次函数的基本性质求出的值域，可判断C选项；分析可知为函数的周期，求出方程在区间上的解集，结合函数周期性可求出的值，可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，，所以，故是不是函数的周期，A错；对于B选项，因为，所以的图象关于直线对称，B对；对于C选项，，令，，因为二次函数在上为增函数，在上为减函数，所以，，，所以，函数的值域为，C对；对于D选项，因为，所以函数为函数的周期，由，解得或，当时，方程的解集为，所以函数在上有且只有三个零点，又因为，且，由于在上恰有个零点，则，D对.故选：BCD.8．（2025·山东临沂·三模）已知函数，则（

）A．函数的最小正周期为B．是的一条对称轴C．函数在上单调递增D．函数图象与直线有3个交点【答案】ABD【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，求出最小正周期；B选项，代入验证，得到B正确；C选项，求出，故在上不单调；D选项，同一坐标系内画出两函数图象，数形结合得到答案.【详解】A选项，，故的最小正周期为，A正确；B选项，，故是的一条对称轴，B正确；C选项，，，由于在上不单调，故在上不单调，C错误；D选项，同一坐标系内画出与，如下：可以看出两函数有3个交点，D正确.故选：ABD三、填空题9．（2025·天津河北·模拟预测）函数的最大值为．【答案】3【分析】根据余弦函数的值域及已知函数的解析式确定的最大值即可.【详解】由余弦函数的性质知，则，当时，函数有最大值为3.故答案为：310．（2025·甘肃白银·三模）若函数的最小正周期是，则.【答案】3【分析】根据正切型函数的周期性求解的值即可.【详解】因为函数的最小正周期是，所以，则.故答案为：3.11．（2024·全国·模拟预测）若函数在内恰好存在两个极值点，且直线与曲线在内恰有两个交点，则的取值范围是．【答案】【分析】函数的解析式化为，结合题意列出不等式组，解出即可.【详解】因为所以在内恰好存在两个极值点、两个零点．令，则在内恰好存在两个极值点、两个零点．得，即，即的取值范围是．故答案为：.12．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数在上有且仅有一个零点，则的取值范围是．【答案】【分析】结合余弦函数图象以及复合函数单调性和零点存在性定理即可求解.【详解】当时，设，，故时，，而，有且仅有一个零点，令，易知在上单调递减，而，，所以，．当时，，无零点，不符合题意，舍去；当，设，故，所以，易知在上单调递减，而，，所以，.综上，．故答案为：13．（2024·上海·三模）设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是．【答案】【分析】根据题意得，利用数列的收敛性得即可求解.【详解】设等比数列首项为，公比为，又，所以，即，，，又时，，此时，所以，故答案为：.14．（2025·四川巴中·二模）已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为.【答案】【分析】由得的范围，因此在这