中考数学核心知识专题练习10〔动点路径问题〕

中考数学核心知识专题练习10〔动点路径问题〕引言在中考数学的几何综合题中，动点路径问题始终是一个热门且具有一定难度的考点。这类问题往往涉及一个或多个动点在特定图形上运动，要求我们判断动点运动轨迹的形状，或者求出轨迹的长度、面积等相关量。解决这类问题，不仅需要扎实的几何基础知识，更需要具备动态思维、转化思想和数形结合的能力。它能有效考查同学们对图形性质的理解、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。核心知识与方法梳理解决动点路径问题，关键在于判断动点运动轨迹的类型，常见的轨迹类型有直线型（线段、射线）和曲线型（主要是圆弧）。1.直线型路径：*特征：动点在运动过程中，始终满足某些条件，使得它到某条定直线的距离保持不变（平行），或者动点在运动过程中，其连线构成的图形始终保持某种几何不变性，如中点、定比分点等，从而判定其轨迹为直线。*常用方法：*平行线法：若动点到某条定直线的距离始终不变，则其轨迹平行于该定直线。*三角形中位线法：若动点是某个动态三角形的中位线的端点，且三角形的底边固定，则动点的轨迹是一条与底边平行且长度为底边一半的线段。*三点共线法：通过证明动点在运动过程中，始终在某条确定的直线上运动。2.圆弧型路径（曲线型）：*特征：动点在运动过程中，到某个定点的距离始终保持不变（即满足圆的定义），则其轨迹是以该定点为圆心，定长为半径的圆或圆弧。*常用方法：*圆的定义法：找到动点运动过程中到某个定点的距离为定值。这个定点就是圆心，定值就是半径。*定角对定边法：若动点与两个定点构成的角的大小始终不变（定角），且这两个定点之间的距离固定（定边），则动点的轨迹是以此定边为弦的一段圆弧（需注意圆心位置和圆弧的范围）。典型例题精析例1(直线型路径)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。点P是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作PD⊥AB于点D，连接PC，取PC的中点E，连接DE。当点P从点B运动到点C时，点E运动的路径长是多少？分析与解答：我们来仔细分析点E的运动情况。E是PC的中点，P是BC上的动点。我们需要找到点E的运动轨迹。首先，连接AC的中点F。（辅助线的添加是关键，这里考虑到E是PC中点，若取AC中点F，则EF可能是△CPA的中位线）因为F是AC中点，E是PC中点，所以EF是△CPA的中位线。根据三角形中位线定理，EF//PA，且EF=1/2PA。但PA是变化的，这条思路似乎直接求EF长度不太方便。我们换个角度，看E点的坐标？或者看E点到某些定直线的关系？或者，我们可以考虑点D的位置。PD⊥AB，∠PDB=90°。E是PC中点，在Rt△PDC中，DE是斜边PC的中线，所以DE=1/2PC。同理，在Rt△PDC中，EC=1/2PC，所以DE=EC。哦，DE=EC，这说明点E到点D和点C的距离相等？不，DE=EC，说明△DEC是等腰三角形。但这似乎还不足以说明轨迹。我们再回到E是PC中点这个核心条件。P在BC上运动，C是定点，那么PC的中点E的轨迹是什么呢？我们可以取BC的两个极端位置来看看E点的起始和终止位置。当点P与点B重合时（虽然题目说不与B、C重合，但可以无限接近），PC=BC=8，E是PC中点，此时E点是BC的中点，设为E1。当点P与点C重合时，PC=0，E点与C点重合，设为E2（同样是极限位置）。那么，点E是否在线段E1E2上运动呢？我们猜想它的轨迹是一条线段。设BC中点为E1，连接E1F（F为AC中点）。刚才我们有F是AC中点，E是PC中点。那么对于任意位置的P，E1是BC中点，E是PC中点，所以E1E是△CBP的中位线。因此，E1E//BP，且E1E=1/2BP。因为BP是沿着BC方向变化的，所以E1E始终平行于BC方向？不，BP就在BC上，所以E1E是△CBP的中位线，所以E1E平行于BP，而BP是BC的一部分，所以E1E其实是沿着BC方向的中位线，即E1E的方向是固定的，始终平行于BC？不对，P在BC上，BP是从B到C，E1是BC中点，E是PC中点。当P在B时，E是E1；当P在C时，E是C。所以E1E的长度从0变化到E1C的长度。E1C是BC的一半，即4。但我们还需要确认，在运动过程中，E是否始终在E1C这条线段上。因为E1是BC中点，E是PC中点，所以对于BC上任意一点P，E点都满足CE=1/2CP，CE1=1/2CB。所以，点E在线段CE1上，且CE=(CP/CB)*CE1。因此，当P从B运动到C时，CP从CB减小到0，所以CE从CE1减小到0，即点E从E1运动到C。因此，点E的运动路径就是线段E1C。E1是BC中点，BC=8，所以CE1=4。因此，点E运动的路径长是4。（也可通过坐标法验证：以C为原点，建立坐标系，求出E点坐标的参数方程，消参后得到直线方程，并求出t变化时的x、y范围，从而得到线段长度。此处从略，几何法更简洁。）例2(圆弧型路径)如图，已知正方形ABCD的边长为4，点O是正方形ABCD的中心，点P是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），连接PO并延长到点Q，使得OQ=OP，连接CQ。当点P从点A运动到点B时，点Q运动的路径长是多少？分析与解答：首先，我们分析点Q的形成过程：O是正方形中心，P是AB上动点，Q在PO的延长线上，且OQ=OP，即O是PQ的中点。我们需要找出点Q的运动轨迹。已知O是定点，P是动点，Q是P关于O的中心对称点。因为O是正方形ABCD的中心，所以O点坐标可以求出（若建立坐标系），或者利用中心对称的性质。连接AC、BD交于点O，则O是AC和BD的中点。因为O是PQ的中点，所以Q点是P点关于O点的中心对称点。当点P在AB上运动时，Q点的轨迹应该是AB关于点O的中心对称图形。AB是一条线段，它关于点O的中心对称图形也是一条线段。我们可以找到A、B两点关于O的对称点，即可确定Q点轨迹的两个端点。在正方形ABCD中，A点关于O的对称点是C点，B点关于O的对称点是D点。因此，当P点从A运动到B时，Q点就从C运动到D。所以，点Q的运动路径是线段CD。正方形边长为4，所以CD=4，因此点Q运动的路径长是4。（另一种思路：因为O是定点，OP是动线段，OQ=OP，所以Q点满足到定点O的距离等于OP的长度。但OP的长度是变化的，所以Q点到O的距离也在变化，因此不是圆弧。这种情况下，利用中心对称得到轨迹是直线段更直接。）例3(圆弧型路径)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边AB上的一个动点，连接CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接BE。当点D从点A运动到点B时，点E运动的路径长是多少？分析与解答：此题稍复杂，涉及翻折变换。我们要关注翻折后不变的量。由翻折可知，CE=CA=3，∠ECD=∠ACD。点A翻折到点E，所以CE的长度是固定的，等于AC=3。点C是定点，E点到定点C的距离始终为3。这符合圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。因此，点E的轨迹是以点C为圆心，CE=3为半径的一段圆弧。接下来，我们需要确定这段圆弧的圆心角。即当点D从A运动到B时，点E的起始位置和终止位置，以及这两个位置与圆心C所形成的夹角。当点D与点A重合时，翻折后点E与点A重合（此时翻折无意义，但可视为初始位置）。当点D与点B重合时，翻折△ACD（此时即△ACB）沿CD（即CB）翻折，得到△ECD。此时CE=CA=3，∠ECB=∠ACB=90°，所以点E在过点C且垂直于CB的直线上，且CE=3。因此，点E的初始位置E1是点A，终止位置E2是点E（当D与B重合时）。我们需要求出∠E1CE2的度数，即∠ACE2的度数。因为∠ACB=90°，当D与B重合时，△ACD沿CD（CB）翻折，所以∠BCE2=∠ACB=90°。因此，∠ACE2=∠ACB+∠BCE2=90°+90°=180°？不对，翻折是将△ACD沿CD翻折到△ECD，当D与B重合时，CD就是CB，所以∠ACD=∠ECD=∠ACB=90°，所以点E在BC的延长线上，且CE=CA=3。此时，∠ACE是平角吗？AC=3，BC=4，点E在BC延长线上，CE=3，所以∠ACE=180°-∠ACB=90°？不，点C、A、B的位置是∠ACB=90°，AC=3，BC=4。当沿CB翻折时，点A会翻折到CB的另一侧，使得∠ECB=∠ACB=90°，所以E点在过C点且与CA关于CB对称的位置。因此，∠ACE=∠ACB+∠BCE=90°+90°=180°？此时A、C、E三点共线，E在AC的延长线上？不，CA=3，CE=3，若∠ACE=180°，则AE=6。我们可以通过计算来确认。在Rt△ABC中，AB=5。当D与B重合时，E点满足CE=CA=3，BE可以通过勾股定理计算：在Rt△BCE中，BC=4，CE=3，∠BCE=90°，所以BE=5。而初始位置，当D与A重合时，E与A重合，此时CE=CA=3。那么，点E从A点出发，沿以C为圆心，3为半径的圆运动，最终运动到E2点（当D与B重合时的位置）。我们需要确定的是，在整个运动过程中，E点是否完整地经过了一段圆弧，以及这段圆弧所对的圆心角是多少。由于CE始终等于3，点C是定点，所以E的轨迹必然是圆弧。关键是圆心角∠ACE2的大小。当D在A时，E在A（E1）；当D在B时，E在E2，此时CE2=CA=3，∠BCE2=∠BCD=∠BCA=90°（因为翻折，∠ECD=∠ACD，当D与B重合时，∠ACD=∠ACB=90°，所以∠ECD=90°=∠BCE2）。所以∠ACE1=0°（E1与A重合），∠ACE2=∠ACB+∠BCE2=90°+90°=180°。因此，点E运动的轨迹是圆心角为180°（即π弧度）的圆弧。所以，这段圆弧的长度是(nπr)/180=(180°π×3)/180°=3π。因此，点E运动的路径长是3π。专题练习练习1如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M是BC的中点，点N是AC上的一个动点（不与点A、C重合），连接MN，将△CMN沿MN翻折得到△C'MN，连接AC'。当点N从点A运动到点C时，求点C'运动的路径长。练习2如图，已知⊙O的半径为2，点A、B是⊙O上的两个定点，且∠AOB=90°，点P是⊙O上的一个动点（不与点A、B重合），连接PA、PB，取PA的中点M，连接OM、BM。当点P在⊙O上运动一周时，点M运动的路径长是多少？点B运动的路径长是多少？（注：第二问“点B运动的路径长”疑似笔误，应为“点M运动的路径长”或“线段BM中点运动的路径长”，此处按“点M运动的路径长”处理）练习3在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，点D是斜边AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF。当点D从点A运动到点B时，线段EF的中点O'运动的路径长是多少？参考答案与提示练习1提示：点C'的运动轨迹是以M为圆心，MC长为半径的一段圆弧。关键在于确定圆心角的大小。M是BC中点，BC=6，所以MC=3。初始时N与A重合，翻折后C'与B关于MN（此时MN为MA）对称，可求出此时C'的位置；当N与C重合时，C'与C重合。求出初始和终止位置C'与圆心M的夹角即可。路径长为3π。练习2提示：M是PA中点，O是OA中点（⊙O圆心），连接OM，则OM是△AOP的中位线，OM=1/2OP=1。所以点M到定点O的距离始终为1，其轨迹是以O为圆心，1为半径的圆。因为点P运动一周，所以点M也运动一周。路径长为2π×1=2π。练习3提示：连接CD，EF是矩形CEDF的对角线，所以EF与CD互相平分，即EF的中点O'也是CD的中点。因此，O'的运动轨迹就是CD中点的轨迹。C是定点，D是AB上的动点，CD中点O'的轨迹是△ABC的中位线。AB=13，中位线长为AB的一半，即6.5。总结与提升动点路径问题的求解，核心在于“动中求静”，即从运动变化中寻找不变的量或不变的关系。无论是直线型还是圆弧型路径，关键在于：1.明确动点的约束条件：分析动点是如何运动的，它受到哪些几何条件的限制。2.判