2026年大一轮复习讲义数学讲义练习第九章9.2用样本估计总体（附答案）

§9.2用样本估计总体(分值：100分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的()A.极差 B.平均数C.中位数 D.众数2.若一组数据x1，x2，…，xn的方差为9，则数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的方差为()A.9 B.18 C.19 D.363.某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则()A.a=0.1B.车速众数的估计值是70C.车速平均数的估计值大于其中位数的估计值D.车速中位数的估计值是62.54.某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖.成绩/分919293949596979899100人数■■1235681012下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是()A.平均数，方差 B.中位数，方差C.中位数，众数 D.平均数，众数5.身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.该指标是通过体重(kg)除以身高(m)的平方计算得来.这个公式所得比值在一定程度上可以反映人体密度.一般情况下，我国成年人的身体质量指数在18.5~23.9内属正常范围.已知A，B，C三人的体质指数的平均值为20，方差为3.D，E两人的体质指数分别为18和22.则这5人的体质指数的方差为()A.175 B.145 C.1736.(2024·海口模拟)已知数据x1，x2，x3，…，x10满足xi-xi-1=1(2≤i≤10)，若去掉x1，x10后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是()A.中位数不变B.若x1=1，则数据x1，x2，x3，…，x10的第75百分位数为7.5C.平均数不变D.方差变小二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是()A.极差是4 B.众数小于平均数C.方差是1.8 D.数据的80%分位数为48.移动互联网时代，智能终端市场商机无限，全球商家强势抢攻市场.通过同比数据发现，中国智能手机市场呈现出积极的增长趋势.据报载，2023年11月，中国市场智能手机新机激活量为2871万台，同比增长12.9%(同比增长率=本期数据-去年同期数据去年同期数据×100%)，具体分为7个品牌排名，统计数据如表所示，则下列说法正确的有排名品牌当月新机激活量/万台同比新机激活量增长/万台No.1A604.413.0No.2B524.3160.5No.3C403.145.0No.4D401.4172.9No.5E383.3-47.5No.6F376.3-44.8No.7G178.228.0A.该月7个品牌同比新机激活量增长数据的极差为125.4B.该月7个品牌新机激活量数据的平均数大于中位数C.该月D品牌新机激活量同比增长率大于75%D.去年同期中国市场智能手机新机激活量小于2600万台三、填空题(每小题5分，共10分)9.一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第40百分位数是10.已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为.四、解答题(共28分)11.(13分)第8届中国-南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作，共谋发展”为主题，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家、地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在[90，100]内，并将部分数据整理如表：分数[90，92)[92，94)[94，96)[98，100]频数10102020(1)估计这100家企业评分的中位数(保留小数点后一位)；(6分)(2)估计这100家企业评分的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(7分)12.(14分)某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生.为分析他们的英语成绩，该老师计划用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取18名学生，统计他们英语考试的分数.(1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01~60，按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端.求抽出的学生编号的中位数；(5分)78166572080263140702436997280198320492434935820036234869693874812976341328414241242419859313232283039822588824101158272964432943(2)已知甲班的样本平均数为x1=72，方差为s12=92，两班总的样本平均数为x=76，方差为s①求乙班的样本平均数x2和方差s22；②判断两班学生的英语成绩是否有明显差异.(如果|x1-x2|≥2s1213~15题每小题5分，16题6分，共21分13.已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为()A.12 B.20 C.25 D.2714.(2024·南通模拟)已知实数x0，x1，…，x2024，则使2024∑i=0|xi－k|和2024∑i=0(xi-k)2最小的实数k分别为x0，A.中位数，标准差 B.平均数，中位数C.中位数，平均数 D.标准差，平均数15.在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数m，n，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则m＋n的最大值为()A.57 B.58 C.60 D.6116.(多选)(2024·焦作模拟)北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩x∈(0，15］，且x∈N*，则下列可以作为该5名同学中比赛成绩的最高分的有()A.13 B.12 C.11 D.10答案精析1.C2.D3.D4.C[由表格数据可知，成绩为91分、92分的人数为50-(12+10+8+6+5+3+2+1)=3(人)，成绩为100分的出现的次数最多，所以成绩的众数为100，成绩从小到大排列后处在第25，26位的两个数都是98分，所以数据的中位数为98，所以中位数和众数与被遮盖的数据无关.]5.A[设A，B，C三人的体质指数分别为a，b，c，由于A，B，C三人的体质指数的平均值为20，方差为3，故(a-20)2+(b-20)2+(c-20)23=3，则(a-20)2+(b-20)2+(c-20)2=9，由于a+b+c+18+225=20×3+18+225=20，故5个人的体质指数的平均数为20，故15[(a-20)2+(b-20)2+(6.B[原来的中位数与现在的中位数均为x5+x62=2x1+92=x1当x1=1时，数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.因为10×75%=7.5，所以该组数据的第75百分位数是第8个数8，故B错误；由于xi-xi-1=1(2≤i≤10)，故x2=x1+1，x3=x1+2，…，x9=x1+8，x10=x1+9，原来的平均数为x1+x2+…+x1010=10x1+4510=x1+4.5，去掉x1，x10后的平均数为x2+原来的方差为110[(x1-x1-4.5)2+(x2-x1-4.5)2+…+(x10-x1-4.5)2]=8.25，去掉x1，x10后的方差为18[(x2-x1-4.5)2+(x3-x1-4.5)2+…+(x9-x1-4.5)2]=5.25，方差变小，故D正确7.AC[数据从小到大排列为1，1，2，3，3，3，3，4，5，5.该组数据的极差为5-1=4，故A正确；众数为3，平均数为1×2+2+3×4+4+5×210=3两者相等，故B错误；方差为110×[(1-3)2×2+(2-3)2×1+(3-3)2×4+(4-3)2×1+(5-3)2×2]=1.8，故C∵10×80%=8，∴这组数据的80%分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5，故D错误.]8.BCD[同比新机激活量增长数据的极差为172.9-(-47.5)=220.4，故A错误；该月新机激活量数据的平均数为28717≈410.14，该月7个品牌新机激活量数据的中位数为401.4，故B去年同期D品牌新机激活量为401.4-172.9=228.5，所以同比增长率为172.9228.5×100%≈75.67%>75%，故C设去年同期中国市场智能手机新机激活量为x，由题意可得2871-xx×100%=12.9%，解得x≈2543<2600，故D正确9.6解析由题意知该组数据的极差为17-2=15，中位数为m所以m+122=15×35=9，解得又6×40%=2.4，所以该组数据的第40百分位数是该组数据的第三个数6.10.7解析原7个数的方差为177∑即7∑i=1(xi-2加入一个新数据2后所得8个数的平均数为x=7×2+28=2所以这8个数的方差为s2=18[28+(2-2)2]=711.解(1)由题意得这100家企业评分在[96，98)内的频数为100-10-10-20-20=40.设这100家企业评分的中位数的估计值为x，因为评分在[90，96)内的频数之和为10+10+20=40<50，评分在[90，98)内的频数之和为40+40=80>50，所以x∈[96，98)，由50-4040=得x=96.5.(2)这100家企业评分的平均数的估计值为x=1100(91×10+93×10+95×20+97×40+99×20)=96这100家企业评分的方差的估计值为s2=1100[(91-96)2×10+(93-96)2×10+(95-96)2×20+(97-96)2×40+(99-96)2×20]=5.812.解(1)根据按比例分配的分层随机抽样的规则，需要在甲班抽取的样本数为18×6060+48=10在随机数表中依次读取的编号为48，38，29，34，13，28，41，42，24，19，编号从小到大依次为13，19，24，28，29，34，38，41，42，48，所以抽出的学生编号的中位数为29+342=31.5(2)①依题意，样本中甲班学生有10人，乙班学生有8人，由按比例分配的分层随机抽样的平均数和方差的公式，得x=59x因此x2=9x-5xs2=59[s12+(x1即96=59(92+42)+49(s解得s22所以x2=81，s②因为|x1-x22s12+s229=2因此|x1-x2|≥2s所以两班学生的英语成绩有明显差异.13.D[设丢失数据是x，则平均数为61+x7，众数是8，若x<8，则中位数为8，此时若8<x<10，则中位数为x，此时2x=61+x7+8，解得x若x≥10，则中位数为10，此时2×10=61+x7+8，解得x所以丢失数据的所有可能值为-5，9，23，其和为27.]14.C[2024∑i=0|xi－k|＝|x0－k|＋|x1－k|＋…＋|x2024－k|，表示2根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值，因为2025为奇数，所以k取x0，x1，…，x2024的中位数时，2024∑i=0|xi－k2024∑i=0(xi-k)2＝2024∑i=0(xi2－2kxi＋k2)＝(x02＋x12＋x22＋…＋x20242)－(2故当k＝x0＋x即k为x0，x1，…，x2024的平均数时，2024∑i=0(15.C[若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是3”，或是“一个是3，另一个不是3”，或是“两个不等的且不是3，8，11，28”.①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是3；②因为中位数保持不变，若插入的数“一个是3，另一个不是3”，则一个是3，另一个数不小于8，又因为极差加倍，则另一个数为53，此时m＋n＝56；③若插入的两个数是不等的且不是3，8，11，28，且极差为50，中位数保持不变，则两个数可以为m＝m＝1m＝-22所以m＋n的最大值为60.]