2023年华侨、港澳、台联考高考数学试卷

2023年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k|k∈A}，则A∩B＝（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}2．（5分）已知（2+i）＝5+5i，则|z|＝（）A． B． C．5 D．53．（5分）设向量，，若，则x＝（）A．5 B．2 C．1 D．04．（5分）不等式的解集为（）A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，）5．（5分）抛物线y2＝2px过点，求焦点（）A．（，0） B．（，0） C． D．6．（5分）长方体的对角线长为1，表面积为1，有一面为正方形，则其体积为（）A． B． C． D．7．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+x+b在x＝1处取得极小值1，则b＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（5分）已知函数，则（）A．上单调递增 B．上单调递增 C．上单调递减 D．上单调递增9．（5分）若，且x＞0，则x＝（）A．2 B．3 C．4 D．510．（5分）Sn为等差数列的前n项和，S9＝81，a2＝3，则a10＝（）A．2 B．11 C．15 D．1911．（5分）O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝（）A．2 B． C． D．12．（5分）在2、3、5、6中任选2个不同数字，其乘积能被3整除的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。13．（5分）曲线y＝2lnx+x2在（1，1）处切线方程为．14．（5分）若双曲线C焦点在x轴上，渐近线为，则C离心率为．15．（5分）已知，若，则tanθ＝．16．（5分）已知函数f（x）＝2x+2﹣x，则f（x）在区间的最大值为．17．（5分）在△ABC中，A＝2B，a＝6，b＝4，则cosB＝．18．（5分）f（x）为R上奇函数，f（x+4）＝f（x），f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝6，f（﹣3）＝．三、解答题：本题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（15分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，，∠CAB＝120°．（1）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．20．（15分）已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，S3＝21，S6＝189．（1）求{an}的通项公式；（2）若，求{bn}的前n项和Tn．21．（15分）盒中有4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球．（1）求取到2个标有数字1的球的概率；（2）设X为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X的分布列及数学期望．22．（15分）已知椭圆C：的离心率为，直线交C于A、B两点，．（1）求C的方程；（2）记C的左、右焦点分别为F1、F2，过F1斜率为1的直线交C于G、H两点，求△F2GH的周长．

2023年华侨、港澳、台联考高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k|k∈A}，则A∩B＝（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}【考点】交集及其运算．【答案】D【分析】由题意得到B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，利用集合的交集运算即可求解．【解答】解：因为集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k|k∈A}，所以B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：D．2．（5分）已知（2+i）＝5+5i，则|z|＝（）A． B． C．5 D．5【考点】共轭复数；复数的模；复数的运算．【答案】B【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数即复数的模的概念得答案．【解答】解：由（2+i）＝5+5i，得＝＝＝＝3+i，则z＝3﹣i，|z|＝＝．故选：B．3．（5分）设向量，，若，则x＝（）A．5 B．2 C．1 D．0【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】A【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量，，，∴＝0，可得2（x﹣2）+（x+1）×（﹣1）＝0，∴x＝5．故选：A．4．（5分）不等式的解集为（）A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，）【考点】其他不等式的解法．【答案】C【分析】根据已知条件，结合不等式的解法，即可求解．【解答】解：，则，解得0＜x＜1，故原不等式的解集为（0，1）．故选：C．5．（5分）抛物线y2＝2px过点，求焦点（）A．（，0） B．（，0） C． D．【考点】抛物线的性质．【答案】C【分析】根据已知条件，先求出p，再结合抛物线焦点的性质，即可求解．【解答】解：抛物线y2＝2px过点，则3＝2p，解得p＝，故该抛物线的焦点为（）．故选：C．6．（5分）长方体的对角线长为1，表面积为1，有一面为正方形，则其体积为（）A． B． C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】B【分析】根据已知条件，结合长方体表面积、体积公式，即可求解．【解答】解：不妨设长方体底面为正方形，边长为a，高为b，则底面的对角线为，∵长方体的对角线长为1，表面积为1，∴，解得，∴长方体体积为．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+x+b在x＝1处取得极小值1，则b＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】C【分析】根据已知条件，对f（x）求导，利用导数研究函数的单调性，即可求解．【解答】解：f（x）＝x3+ax2+x+b，则f'（x）＝3x2+2ax+1，∵函数f（x）＝x3+ax2+x+b在x＝1处取得极小值1，∴，解得，故f（x）＝x3﹣2x2+x+1，f'（x）＝3x2﹣4x+1，令f'（x）＝0，解得x＝或x＝1，f（x）在（﹣∞，），在（1，+∞）上单调递增，在（，1）上单调递减，故f（x）在x＝1处取得极小值，故b＝1，符合题意．故选：C．8．（5分）已知函数，则（）A．上单调递增 B．上单调递增 C．上单调递减 D．上单调递增【考点】正弦函数的单调性．【答案】A【分析】根据已知条件，结合正弦函数的单调性，即可求解．【解答】解：，令，k∈Z，解得，k∈Z，当k＝0时，，故f（x）在（﹣，）上单调递增．故选：A．9．（5分）若，且x＞0，则x＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】对数的运算性质．【答案】B【分析】根据对数式和指数式的互化可得出x2+2x﹣15＝0，然后根据x＞0解出x的值即可．【解答】解：∵，∴x2+2x+1＝16，且x＞0，解得x＝3．故选：B．10．（5分）Sn为等差数列的前n项和，S9＝81，a2＝3，则a10＝（）A．2 B．11 C．15 D．19【考点】等差数列的前n项和．【答案】D【分析】可设公差为d，根据S9＝81，a2＝3即可建立关于a1，d的方程组，然后解出a1，d的值，然后即可求出a10的值．【解答】解：设等差数列的公差为d，则：，解得，∴a10＝a1+9d＝1+18＝19．故选：D．11．（5分）O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝（）A．2 B． C． D．【考点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定．【答案】A【分析】由题意利用勾股定理即可求解．【解答】解：O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝＝＝2．故选：A．12．（5分）在2、3、5、6中任选2个不同数字，其乘积能被3整除的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】D【分析】根据古典概型的概率公式即可求解．【解答】解：在2、3、5、6中任选2个不同数字，基本事件总数n＝＝6，其乘积能被3整除a的基本事件有5个，分别为：（2，3），（2，6），（3，5），（3，6），（5，6），则其乘积能被3整除的概率为．故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。13．（5分）曲线y＝2lnx+x2在（1，1）处切线方程为y＝4x﹣3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】y＝4x﹣3．【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程．【解答】解：由y＝2lnx+x2可得y′＝，x＞0，曲线在点（1，1）处的切线斜率为k＝4，所以所求切线方程为y﹣1＝4（x﹣1）即y＝4x﹣3．故答案为：y＝4x﹣3．14．（5分）若双曲线C焦点在x轴上，渐近线为，则C离心率为．【考点】双曲线的性质．【答案】．【分析】先根据渐近线方程求得，再由求解．【解答】解：因为双曲线C焦点在x轴上，一条渐近线方程为，所以，所以双曲线C的离心率为．故答案为：．15．（5分）已知，若，则tanθ＝﹣3﹣2．【考点】同角三角函数间的基本关系；二倍角的三角函数．【答案】﹣3﹣2．【分析】利用二倍角公式得到sinθ＞0，cosθ＜0，则，tanθ＜﹣1，利用“1”的代换即可求解．【解答】解：∵，且，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴，tanθ＜﹣1，∵，∴＝＝﹣，解得tanθ＝﹣3﹣2或﹣3+2（舍）．故答案为：﹣3﹣2．16．（5分）已知函数f（x）＝2x+2﹣x，则f（x）在区间的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【答案】．【分析】求导后得到f（x）在[﹣，0）单调递减，在（0，]单调递增，由f（﹣）＝，f（0）＝2，f（）＝，比较大小即可求解．【解答】解：∵f（x）＝2x+2﹣x，∴f′（x）＝2xln2﹣2﹣xln2＝ln2（2x﹣2﹣x），令f′（x）＝0，则x＝0，∴f（x）在[﹣，0）单调递减，在（0，]单调递增，∴f（﹣）＝，f（0）＝2，f（）＝，则f（x）在区间的最大值为．故答案为：．17．（5分）在△ABC中，A＝2B，a＝6，b＝4，则cosB＝．【考点】正弦定理；余弦定理．【答案】．【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．【解答】解：在△ABC中，A＝2B，a＝6，b＝4，则，即，解得cosB＝．故答案为：．18．（5分）f（x）为R上奇函数，f（x+4）＝f（x），f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝6，f（﹣3）＝6．【考点】函数奇偶性的性质与判断．【答案】6．【分析】根据已知条件，结合奇函数的性质，以及函数的周期性，即可求解．【解答】解：f（x+4）＝f（x），则函数f（x）的周期为4，f（x）为R上奇函数，f（0）＝f（4）＝0，令x＝﹣2，则f（﹣2+4）＝f（2）＝f（﹣2）＝﹣f（2），解得f（2）＝0，令x＝﹣3，则f（1）＝f（﹣3）＝﹣f（3），f（1）＝f（5）＝f（﹣3），所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝﹣f（3）+f（2）+f（3）+f（4）+f（﹣3）＝f（﹣3）＝6．故答案为：6．三、解答题：本题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（15分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，，∠CAB＝120°．（1）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据已知条件，结合棱柱的体积公式，即可求求解；（2）根据已知条件，结合余弦定理，求出BC，再结合棱柱的表面积，即可求解．【解答】解：（1）AB＝AC＝1，，∠CAB＝120°，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为AA1•S△ABC＝＝；（2）AB＝AC＝1，∠CAB＝120°．则BC2＝AC2+AB2﹣2AB•AC•cos∠CAB＝3，解得BC＝，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为＝．20．（15分）已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，S3＝21，S6＝189．（1）求{an}的通项公式；（2）若，求{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和．【答案】（1）an＝3×2n﹣1，（n∈N•）．（2）Tn＝﹣1+（﹣2）n．【分析】（1）利用等比数列的前n项和公式，建立方程组进行求解即可．（2）求出{bn}的通项公式，得到{bn}是等比数列，利用等比数列的前n项和公式进行求解即可．【解答】解：（1）∵{an}为等比数列，其前n项和为Sn，S3＝21，S6＝189．∴S6≠2S3，∴q≠1，则，两式作商得1+q3＝9，即q3＝8，得q＝2，a1＝3，则an＝3×2n﹣1，（n∈N•）．（2）∵＝（﹣1）n•3×2n﹣1，∴当n≥2时，＝＝﹣2，即{bn}是公比为﹣2的等比数列，首项b1＝﹣3，则Tn＝＝＝﹣1+（﹣2）n．21．（15分）盒中有4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球．（1）求取到2个标有数字1的球的概率；（2）设X为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】（1）；（2