2024年上海市高考数学试卷

2024年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，则＝．2．（4分）已知，则f（3）＝．3．（4分）已知x∈R，则不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为．4．（4分）已知f（x）＝x3+a，x∈R，且f（x）是奇函数，则a＝．5．（4分）已知k∈R，＝（2，5），∥，则k的值为．6．（4分）在（x+1）n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为．7．（5分）已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为．8．（5分）某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．9．（5分）已知虚数z，其实部为1，且，则实数m为．10．（5分）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．11．（5分）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC＝CD，存在点A满足∠BAC＝16.5°，∠DAC＝37°，则∠BCA＝．（精确到0.1度）12．（5分）无穷等比数列{an}满足首项a1＞0，q＞1，记In＝{x﹣y|x，y∈[a1，a2]∪[an，an+1]}，若对任意正整数n，集合In是闭区间，则q的取值范围是．二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．13．（4分）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势14．（4分）下列函数f（x）的最小正周期是2π的是（）A．sinx+cosx B．sinxcosx C．sin2x+cos2x D．sin2x﹣cos2x15．（5分）定义一个集合Ω，集合元素是空间内的点集，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得．已知（1，0，0）∈Ω，则（0，0，1）∉Ω的充分条件是（）A．（0，0，0）∈Ω B．（﹣1，0，0）∈Ω C．（0，1，0）∈Ω D．（0，0，﹣1）∈Ω16．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，定义集合M＝{x0|x0∈R，x∈（﹣∞，x0），f（x）＜f（x0）}，在使得M＝[﹣1，1]的所有f（x）中，下列成立的是（）A．存在f（x）是偶函数 B．存在f（x）在x＝2处取最大值 C．存在f（x）为严格增函数 D．存在f（x）在x＝﹣1处取到极小值三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图为正四棱锥P﹣ABCD，O为底面ABCD的中心．（1）若AP＝5，，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；（2）若AP＝AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．18．（14分）已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1）．（1）若y＝f（x）过（4，2），求f（2x﹣2）＜f（x）的解集；（2）存在x使得f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，求a的取值范围．19．（14分）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）．（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？20．（18分）已知双曲线Γ：＝1，（b＞0），左右顶点分别为A1，A2，过点M（﹣2，0）的直线l交双曲线Γ于P、Q两点，且点P在第一象限．（1）当离心率e＝2时，求b的值；（2）当，△MA2P为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接OQ并延长，交双曲线Γ于点R，若，求b的取值范围．21．（18分）对于一个函数f（x）和一个点M（a，b），定义s（x）＝（x﹣a）2+（f（x）﹣b）2，若存在P（x0，f（x0）），使s（x0）是s（x）的最小值，则称点P是函数f（x）到点M的“最近点”．（1）对于（x＞0），求证：对于点M（0，0），存在点P，使得点P是f（x）到点M的“最近点”；（2）对于f（x）＝ex，M（1，0），请判断是否存在一个点P，它是f（x）到点M的“最近点”，且直线MP与f（x）在点P处的切线垂直；（3）已知f（x）存在导函数f′（x），函数g（x）恒大于零，对于点M1（t﹣1，f（t）﹣g（t）），点M2（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M1与点M2的“最近点”，试判断f（x）的单调性．

2024年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，则＝{1，3，5}．【考点】补集及其运算．【答案】{1，3，5}．【分析】结合补集的定义，即可求解．【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，则＝{1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．2．（4分）已知，则f（3）＝．【考点】函数的值．【答案】．【分析】根据已知条件，将x＝3代入函数解析式，即可求解．【解答】解：，则f（3）＝．故答案为：．3．（4分）已知x∈R，则不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】{x|﹣1＜x＜3}．【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可．【解答】解：x2﹣2x﹣3＜0可化为（x﹣3）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜3，故不等式的解集为：{x|﹣1＜x＜3}．故答案为：{x|﹣1＜x＜3}．4．（4分）已知f（x）＝x3+a，x∈R，且f（x）是奇函数，则a＝0．【考点】函数的奇偶性．【答案】0．【分析】首先根据f（0）＝0，解得a＝0，再根据奇函数的定义进行验证即可．【解答】解：由题意，可得f（0）＝0+a＝0，解得a＝0，当a＝0时，f（x）＝x3，满足f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，故a＝0符合题意．故答案为：0．5．（4分）已知k∈R，＝（2，5），∥，则k的值为15．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的相等与共线．【答案】15．【分析】根据向量平行的坐标表示，列方程求解即可．【解答】解：由，，，可得2k﹣5×6＝0，解得k＝15．故答案为：15．6．（4分）在（x+1）n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为10．【考点】二项式定理．【答案】10．【分析】根据二项式系数和求得n值，再结合二项式的通项公式即可求得．【解答】解：由题意，展开式中各项系数的和是（1+1）n＝32，所以n＝5，则该二项式的通项公式是，令5﹣r＝2，解得r＝3，故x2项的系数为．故答案为：10．7．（5分）已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为．【考点】抛物线的焦点与准线．【答案】．【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解．【解答】解：设P坐标为（x0，y0），P到准线的距离为9，即x0+1＝9，解得x0＝8，代入抛物线方程，可得，故P到x轴的距离为．故答案为：．8．（5分）某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．【考点】随机事件．【答案】．【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．【解答】解：由题可知，A题库占比为，B题库占比为，C题库占比为，故．故答案为：．9．（5分）已知虚数z，其实部为1，且，则实数m为2．【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．【答案】2．【分析】根据已知条件，结合复数的概念，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：虚数z，其实部为1，则可设z＝1+bi（b≠0），所以，因为m∈R，所以，解得b＝±1，所以．故答案为：2．10．（5分）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值329．【考点】排列组合的综合应用．【答案】329．【分析】根据已知条件，结合组合数、排列数公式，并分类讨论，即可求解．【解答】解：由题可知，集合A中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数，先研究集合中无重复数字的三位偶数：（1）若个位为0，这样的偶数有种；（2）若个位不为0，这样的偶数有种；所以集合元素个数最大值为256+72+1＝329种．故答案为：329．11．（5分）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC＝CD，存在点A满足∠BAC＝16.5°，∠DAC＝37°，则∠BCA＝7.8°．（精确到0.1度）【考点】解三角形．【答案】7.8°．【分析】根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解．【解答】解：在△ACD中，根据正弦定理可得＝，设∠ACB＝α，则∠ACD＝90°﹣α，所以＝，①在△ABC中，根据正弦定理可得，＝，②联立①②，因为BC＝CD，所以，解得∠BCA＝7.8°．故答案为：7.8°．12．（5分）无穷等比数列{an}满足首项a1＞0，q＞1，记In＝{x﹣y|x，y∈[a1，a2]∪[an，an+1]}，若对任意正整数n，集合In是闭区间，则q的取值范围是[2，+∞）．【考点】数列的应用；等比数列的性质．【答案】[2，+∞）．【分析】利用已知条件，通过x，y的范围，判断x﹣y的范围，结合等比数列的性质，转化求解即可．【解答】解：不妨设x＞y，若x，y∈[a1，a2]，则由x﹣y∈[0，a2﹣a1]，若x，y∈[an，an+1]，则有x﹣y∈[0，an+1﹣an]，若x，y分别属于[a1，a2]和[an，an+1]，则x﹣y∈[an﹣a2，an+1﹣a1]，又因为q＞1，总有In是闭区间，则an﹣a2≤an+1﹣a1恒成立，an﹣a2≤an+1﹣a1化简可得qn﹣1（q﹣2）+q≥0，所以q≥2恒成立．故答案为：[2，+∞）．二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．13．（4分）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【考点】样本相关系数；回归分析；变量间的相关关系．【答案】C【分析】利用变量的性关系，判断选项即可．【解答】解：成对数据相关分析中，如果相关系数为正，当x的值由小变大，y的值具有由小变大的变化趋势，所以A、B、D选项错误．故选：C．14．（4分）下列函数f（x）的最小正周期是2π的是（）A．sinx+cosx B．sinxcosx C．sin2x+cos2x D．sin2x﹣cos2x【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的周期性．【答案】A【分析】利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，化简选项表达式，求解函数的周期即可．【解答】解：对于A，sinx+cosx＝sin（x+），则T＝2π，满足条件，所以A正确．对于B，sinxcosx＝sin2x，则T＝π，不满足条件，所以B不正确．对于C，sin2x+cos2x＝1，函数是常函数，不存在最小正周期，不满足条件，所以C不正确．对于D，sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，则T＝π，不满足条件，所以D不正确．故选：A．15．（5分）定义一个集合Ω，集合元素是空间内的点集，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得．已知（1，0，0）∈Ω，则（0，0，1）∉Ω的充分条件是（）A．（0，0，0）∈Ω B．（﹣1，0，0）∈Ω C．（0，1，0）∈Ω D．（0，0，﹣1）∈Ω【考点】平面向量的基本定理；空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【答案】C【分析】利用空间向量的基本定理，结合充要条件，判断选项即可．【解答】解：不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得．所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，又因为（1，0，0）∈Ω，所以对于A三者不能构成一组基，故不能推出（0，0，1）∉Ω，故A错误；对于B，（1，0，0）∈Ω，（﹣1，0，1）∈Ω，且（1，0，0），（﹣1，0，0）共线，所以（0，0，1）可以属于Ω，此时三者不共面，故B错误；对于C，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出（0，0，1）∉Ω，故C正确；对于D，三者无法构成一组基，故不能推出（0，0，1）∉Ω，故D错误．故选：C．16．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，定义集合M＝{x0|x0∈R，x∈（﹣∞，x0），f（x）＜f（x0）}，在使得M＝[﹣1，1]的所有f（x）中，下列成立的是（）A．存在f（x）是偶函数 B．存在f（x）在x＝2处取最大值 C．存在f（x）为严格增函数 D．存在f（x）在x＝﹣1处取到极小值【考点】函数的奇偶性．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性、单调性、极值及最值的相关性质对各选项进行判定即可．【解答】解：对于A，x＜x0时，f（x）＜f（x0），当x0＝1时，x0∈[﹣1，1]，对于任意x∈（﹣∞，1），f（x）＜f（1）恒成立，若f（x）是偶函数，此时f（1）＝f（﹣1），矛盾，故A错误；对于B，若f（x）函数图像如下：当x＜﹣1时，f（x）＝﹣2，﹣1≤x≤1时，f（x）∈[﹣1，1]，当x＞1，f（x）＝1，所以存在f（x）在x＝2处取最大值，故B正确；对于C，在x＜﹣1时，若函数f（x）严格增，则集合M的取值不会是[﹣1，1]，而是全体定义域，故C错误；对于D，若存在f（x）在x＝﹣1处取到极小值，则在x＝﹣1左侧存在x＝n，f（n）＞﹣1，与集合M定义矛盾，故D错误．故选：B．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图为正四棱锥P﹣ABCD，O为底面ABCD的中心．（1）若AP＝5，，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；（2）若AP＝AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．【答案】（1）12π；（2）．【分析】（1）根据已知条件，先求出PO，再结合棱锥的体积公式，即可求解．（2）建立空间直角坐标系，求出平面AEC的法向量，再结合向量的夹角公式，即可求解．【解答】解：（1）因为P﹣ABCD是正四棱锥，所以底面ABCD是正方形，且OP⊥底面ABCD，因为，所以AO＝OD＝OB＝OC＝3，因为AP＝5，所以，所以△POA绕OP旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，所以；（2）如图建立空间直角坐标系，因为AP＝AD，由题知P﹣ABCD是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，设，则AO＝OD＝OB＝OC＝a，，则O（0，0，0），P（0，0，a），A（0，﹣a，0），B（a，0，0），C（0，a，0），D（﹣a，0，0），，故，，，设为平面AEC的法向量，则，即，令x1＝1，则y1＝0，z1＝﹣1，所以＝（1，0﹣1），则，设直线BD与面AEC所成角为θ，因为，，则．18．（14分）已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1）．（1）若y＝f（x）过（4，2），求f（2x﹣2）＜f（x）的解集；（2）存在x使得f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，求a的取值范围．【考点】数列与函数的综合；对数函数的图象．【答案】（1）（1，2）；（2）（1，+∞）．【分析】（1）先求出函数解析式，再结合函数的单调性，即可求解；（2）根据等差数列的性质，推得loga（x+1）+loga（x+2）＝2loga（ax）有解，再结合分离常数法，以及二次函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由y＝f（x）过（4，2）可得loga4＝2，则a2＝4，解得a＝2（负值舍去），因为f（x）＝log2x在（0，+∞）上是严格增函数，f（2x﹣2）＜f（x），则0＜2x﹣2＜x，解得1＜x＜2，故所求解集为（1，2）；（2）因为f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，所以f（x+1）+f（x+2）＝2f（ax），即loga（x+1）+loga（x+2）＝2loga（ax）有解，化简可得，则（x+1）（x+2）＝（ax）2且，故在（0，+∞）上有解，又，故在（0，+∞）上，，故a2＞1，解得a＜﹣1或a＞1，又a＞0，所以a＞1，故a的取值范围为（1，+∞）．19．（14分）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）．（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？【考点】独立性检验．【答案】（1）12500人；（2）0.9h；（3）学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2两小时有关【分析】（1）由已知结合频率与概率关系即可求解；（2）先求出样本平均数，然后用样本平均数估计总体平均数即可；（3）结合独立性检验即可判断．【解答】解：（1）580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比，该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为；（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为[0.5×（5+134）+×（4+147）+×（42+137）+（3+40）+（1+27）]＝≈0.9h；（3）由题意可得2×2列联表，[1，2）其他总数优秀455095不优秀177308485①提出零假设H0：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关，②确定显著性水平α＝0.05，P（χ2≥3.841）≈0.05，③，④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20．（18分）已知双曲线Γ：＝1，（b＞0），左右顶点分别为A1，A2，过点M（﹣2，0）的直线l交双曲线Γ于P、Q两点，且点P在第一象限．（1）当离心率e＝2时，求b的值；（2）当，△MA2P为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接OQ并延长，交双曲线Γ于点R，若，求b的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合．【答案】（1）；（2）P（2，；（3）．【分析】（1）由题意可得，a＝1，可得c＝2，由a2+b2＝c2求解即可；（2）由题意可得MA2＝PA2，P（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则可得，再由，求解即可；（3）设P（x1，y1）Q（x2，y2）则R（﹣x2，﹣y2），设直线，联立直线与双曲线方程，再结合韦达定理可得y1+y2＝，y1y2＝，又由，得（﹣x2+1）（x1﹣1）﹣y1y2＝1，即有（m2+1）y1y2﹣3m（y1+y2）+10＝0，可得，即可得答案．【解答】解：（1）因为e＝2，即，所以，又因为a2＝1，所以c2＝4，又因为a2+b2＝c2，所以b2＝3，所以（负舍）；（2）因为△MA2P为等腰三角形，①若A1A2为底，则点P在线段MA2的中垂线，即上，与P双曲线上且在第一象限矛盾，故舍去；②若A2P为底，则MP＝MA2，与MP＞MA2矛盾，故舍去；③若MP为底，则MA2＝PA2，设P（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则，即，又因为，得，得，解得，即；（3）由A1（﹣1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则R（﹣x2，﹣y2），设直线l：x＝my﹣2（m＞），联立，得（b2m2﹣1）y2﹣4b2my+3b2＝0，则y1+y2＝，y1y2＝，所以＝（﹣x2+1，﹣y2），＝（x1﹣1，y1），又因为，得（﹣x2+1）（x1﹣1）﹣y1y2＝1，则（x2﹣1）（x1﹣1）+y1y2＝﹣1，即（my2﹣3）（my1﹣3）+y1y2＝﹣1，化简后可得到（m2+1）y1y2﹣3m（y1+y2）+10＝0，再由韦达定理得3b2（m2+1）﹣12m2b2+10（b2m2﹣1）＝0，化简得b2m2+3b2﹣10＝0，所以＞，所以b2＜3，解得0＜b＜，．21．（18分）对于一个函数f（x）和一个点M（a，b），定义s（x）＝（x﹣a）2+（f（x）﹣b）2，若存在P（x0，f（x0）），使s（x0）是s（x）的最小值，则称点P是函数f（x）到点M的“最近点”．（1）对于（x＞0），求证：对于点M（0，0），存在点P，使得点P是f（x）到点M的“最近点”；（2）对于f（x）＝ex，M（1，0），请判断是否存在一个点P，它是f（x）到点M的“最近点”，且直线MP与f（x）在点P处的切线垂直；（3）已知f（x）存在导函数f′（x），函数g（x）恒大于零，对于点M1（t﹣1，f（t）﹣g（t）），点M2（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M1与点M2的“最近点”，试判断f（x）的单调性．【考