安徽省a10联盟2024届高三上学期8月开学摸底考试数学试题

2023-2024学年安徽省A10联盟高三（上）开学数学试卷（8月份）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知（1﹣i）x+（1+i）y＝1﹣3i，x，y∈R，则x﹣y＝（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣32．（5分）已知集合A＝{x|x＝3k﹣4，k∈N}，B＝{x|y＝ln（﹣x2+x+12）}，则A∩B的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）设，则（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b4．（5分）已知双曲线C：的一条渐近线与直线x﹣2y﹣1＝0垂直，则C的离心率为（）A． B． C． D．5．（5分）夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年轻消费者的喜爱，已知该系列奶茶的容器可以看作是一个圆台与一个圆柱拼接而成，其轴截面如图所示，其中EF＝20cm，CD＝14cm，AE＝3cm，AC＝3cm，则该容器的容积为（）（不考虑材料厚度）A．1265πcm3 B．1365πcm3 C．1295πcm3 D．1395πcm36．（5分）2023年7月28日晚，第31届世界大学生夏季运动会在成都盛大开幕．为宣传成都大运会，某大学团委开展了“阳光灿烂青春与共”大运会知识竞赛活动，各班以团支部为单位参加比赛，某班团支部在6道题中（包含4道图片题和2道视频题），依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到图片题”，事件B为“第2次抽到视频题”，则＝（）A． B． C． D．7．（5分）已知平面区域Ω1＝{（x，y）|x2+y2≤1}，Ω2＝{（x，y）|x4+y2≤1}，Ω3＝{（x，y）||x|+|y|≤1}，记Ω1，Ω2，Ω3的面积分别为S1，S2，S3，则（）A．S3＜S1＜S2 B．S3＜S2＜S1 C．S2＜S3＜S1 D．S2＜S1＜S38．（5分）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知AB＝BC＝CD＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AC与BD交于点O，若，则λ+μ＝（）A． B． C． D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）（多选）9．（5分）电影《八角笼中》是由王宝强导演并参演的一部电影，讲述了年轻人为理想而努力奋斗的故事．该电影一上映就引起了广大观众的热议，票房也超出了预期，现随机抽取若干名观众进行调查，所得数据统计如下表所示，则（）喜欢该电影不喜欢该电影男性观众16040女性观众14060附：．α0.100.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828A．若在被调查的观众中随机抽取1人，则抽到喜欢该电影的男性观众的概率为 B．在被调查的观众中，男性不喜欢该电影的比例高于女性 C．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为被调查观众的性别与对电影的喜爱程度有差异 D．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，可以认为被调查观众的性别与对电影的喜爱程度有差异（多选）10．（5分）已知直线l：mx﹣y﹣m+3＝0（m∈R）及圆C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝3，则（）A．直线l过定点 B．直线l截圆C所得弦长最小值为2 C．存在m，使得直线l与圆C相切 D．存在m，使得圆C关于直线l对称（多选）11．（5分）已知函数，则（）A．f（x）是偶函数 B．f（x）的图像关于直线x＝2对称 C．f（x）的最小正周期为2 D．f（x）在（0，1）上单调递增（多选）12．（5分）已知首项为的数列{an}的前n项和为Sn，其中，记数列{1﹣an}的前n项积为Tn，则（）A．a2＜ B．∃k∈N*，ak+1＜ak C．T2024＞0 D．使得Tk＜0成立的最小正整数k的值为2025三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）的展开式中的常数项为．14．（5分）曲线f（x）＝lnx+2f′（1）x在点（1，f（1））处的切线方程为．15．（5分）已知抛物线C：y2＝8x与直线l：＝0交于M，N两点（点M在第一象限），C的焦点为F，则|MF|＝．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点均在一个表面积为12π的球面上，空间内的一点E满足AE⊥B1D1，AE⊥A1D，若A1B⊂平面α，AE∥平面α，且B1C1∩平面α＝F，则CF的长为．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin2B+2sin2C+2sinBsinC+cos[2（B+C）]＝1，∠A的平分线交BC边于D，过D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求角A的大小；（2）若b＝2，c＝4，求AE的长．18．（12分）某公司使用甲、乙两台机器生产芯片，已知每天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为94%；乙机器生产的芯片占产量的四成，且合格率为95%，已知两台机器生产芯片的质量互不影响．现对某天生产的芯片进行抽样．（1）从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；（2）现采用有放回的方法随机抽取3个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为X，求X的分布列以及数学期望E（X）．19．（12分）已知等差数列{an}满足a3＝14，a9＝2a4+6，数列{bn}的前n项和为Sn，b1＝1，且数列是公比为的等比数列．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn＝an•bn，记数列{cn}的前n项和为Tn，试比较Tn与（4n﹣6）•2n+14的大小．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，侧面CDEF为等腰梯形，二面角E﹣CD﹣A为直二面角，AB＝2EF＝4，AF＝3．（1）求点F到平面ABCD的距离；（2）设点P为线段BC的中点，点Q满足，若直线PQ与平面ADE及平面ABCD所成的角相等，求λ的值．21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点到右顶点的距离为，点M在C上，且点M到右焦点距离的最大值为3，过点P（0，2）且不与x轴垂直的直线l与C交于A，B两点．（1）求C的方程；（2）记O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣msinx（m∈R）．（1）若f（x）在上恰有2个零点，求m的取值范围；（2）若m＞0，n＜0，g（x）＝f（x）+nx+是g′（x）的零点（g′（x）是g（x）的导数），求证：g（x0）+nln2≥nln（﹣n）．

2023-2024学年安徽省A10联盟高三（上）开学数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知（1﹣i）x+（1+i）y＝1﹣3i，x，y∈R，则x﹣y＝（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．【答案】C【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解．【解答】解：（1﹣i）x+（1+i）y＝x+y+（y﹣x）i＝1﹣3i，故，即，故x﹣y＝3．故选：C．2．（5分）已知集合A＝{x|x＝3k﹣4，k∈N}，B＝{x|y＝ln（﹣x2+x+12）}，则A∩B的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】交集及其运算．【答案】B【分析】根据不等式的解法以及集合的表示方法，求得A，B，得到A∩B，即可求解．【解答】解：由题意得，集合A＝{x|x＝3k﹣4，k∈N}＝{﹣4，﹣1，2，5，…}，由不等式﹣x2+x+12＞0即x2﹣x﹣12＜0，解得﹣3＜x＜4，即B＝{x|﹣3＜x＜4}，则A∩B＝{﹣1，2}，所以A∩B的元素个数为2个．故选：B．3．（5分）设，则（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【答案】D【分析】由已知结合对数函数的单调性即可比较a，b，c的大小．【解答】解：因为log3＜0，所以0＜＜1，即0＜a＜1，因为b＝log25＞2，1＜c＝log35＜2，所以a＜c＜b．故选：D．4．（5分）已知双曲线C：的一条渐近线与直线x﹣2y﹣1＝0垂直，则C的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的性质．【答案】B【分析】写出双曲线的渐近线方程，根据一条渐近线与直线x﹣2y﹣1＝0垂直求出，再根据a、b和c的关系求出双曲线的离心率大小．【解答】解：双曲线C：﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，由于一条渐近线与直线x﹣2y﹣1＝0垂直，则＝2，即b＝2a，所以c＝＝a，所以双曲线的离心率为e＝＝．故选：B．5．（5分）夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年轻消费者的喜爱，已知该系列奶茶的容器可以看作是一个圆台与一个圆柱拼接而成，其轴截面如图所示，其中EF＝20cm，CD＝14cm，AE＝3cm，AC＝3cm，则该容器的容积为（）（不考虑材料厚度）A．1265πcm3 B．1365πcm3 C．1295πcm3 D．1395πcm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】D【分析】由已知可得圆柱、圆台的底面半径与高，再由圆柱与圆台的体积公式求解．【解答】解：如图，由已知可得，圆柱的底面半径为10，高为3，圆台的上底面半径为7，下底面半径为10，高为．∴该容器的容积为V＝＝1395πcm3．故选：D．6．（5分）2023年7月28日晚，第31届世界大学生夏季运动会在成都盛大开幕．为宣传成都大运会，某大学团委开展了“阳光灿烂青春与共”大运会知识竞赛活动，各班以团支部为单位参加比赛，某班团支部在6道题中（包含4道图片题和2道视频题），依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到图片题”，事件B为“第2次抽到视频题”，则＝（）A． B． C． D．【考点】条件概率与独立事件．【答案】C【分析】根据题意，分析可得若发生，即第1次抽到视频题，此时还剩下4道图片题和2道视频题，由古典概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，事件A为“第1次抽到图片题”，事件B为“第2次抽到视频题”，若发生，即第1次抽到视频题，此时还剩下4道图片题和1道视频题，故＝．故选：C．7．（5分）已知平面区域Ω1＝{（x，y）|x2+y2≤1}，Ω2＝{（x，y）|x4+y2≤1}，Ω3＝{（x，y）||x|+|y|≤1}，记Ω1，Ω2，Ω3的面积分别为S1，S2，S3，则（）A．S3＜S1＜S2 B．S3＜S2＜S1 C．S2＜S3＜S1 D．S2＜S1＜S3【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【答案】A【分析】Ω1表示的是半径为1的圆，对于曲线x2+y2＝1和x4+y2＝1，两者取相同的横坐标时（除x＝0，x＝1以外），曲线x4+y2＝1的纵坐标绝对值皆大于曲线x2+y2＝1，Ω3表示的是x+y＝1，x+y＝﹣1，x﹣y＝1，x﹣y＝﹣1四条直线围成的正方形．【解答】解：Ω1表示的是半径为1的圆，所以S1＝π，对于曲线x2+y2＝1和x4+y2＝1，两者取相同的横坐标时（除x＝0，x＝1以外），曲线x4+y2＝1的纵坐标绝对值皆大于曲线x2+y2＝1，所以S2＞S1，对于Ω3，当x＞0，y＞0，有x+y≤1，根据对称性可知Ω3表示的是x+y＝1，x+y＝﹣1，x﹣y＝1，x﹣y＝﹣1四条直线围成的正方形，S1＝＝2，所以有S2＞S1＞S3．故选：A．8．（5分）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知AB＝BC＝CD＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AC与BD交于点O，若，则λ+μ＝（）A． B． C． D．【考点】平面向量的基本定理．【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，从而求得相关向量的坐标，根据，结合平面向量的坐标运算，即可求得答案．【解答】解：以C为坐标原点，CD，CA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的坐标系，由题意得，则，，C（0，0），所以，，因为CB＝CD＝1，∠DCB＝90°+45°＝135°，故∠BDC＝22.5°，因为，所以（负值舍去），所以OC＝，故，又D（﹣1，0），则，因为，所以，解得，所以．故选：A．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）（多选）9．（5分）电影《八角笼中》是由王宝强导演并参演的一部电影，讲述了年轻人为理想而努力奋斗的故事．该电影一上映就引起了广大观众的热议，票房也超出了预期，现随机抽取若干名观众进行调查，所得数据统计如下表所示，则（）喜欢该电影不喜欢该电影男性观众16040女性观众14060附：．α0.100.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828A．若在被调查的观众中随机抽取1人，则抽到喜欢该电影的男性观众的概率为 B．在被调查的观众中，男性不喜欢该电影的比例高于女性 C．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为被调查观众的性别与对电影的喜爱程度有差异 D．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，可以认为被调查观众的性别与对电影的喜爱程度有差异【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【答案】AC【分析】根据题意，结合表格中的数据，利用事件的概率和独立性检验中X2的计算公式，逐项判定，即可求解．【解答】解：根据题意，喜欢该电影的男性观众有160人，可得，所以A正确；由男性不喜欢该电影的比例为，女性不喜欢该电影的比例为，可得，所以B错误；由，因为3.841＜5.333＜6.635，所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为被调查观众的性别与对电影的喜爱程度有差异，所以C正确，D错误．故选：AC．（多选）10．（5分）已知直线l：mx﹣y﹣m+3＝0（m∈R）及圆C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝3，则（）A．直线l过定点 B．直线l截圆C所得弦长最小值为2 C．存在m，使得直线l与圆C相切 D．存在m，使得圆C关于直线l对称【考点】直线与圆的位置关系．【答案】ABD【分析】利用直线系方程求解直线经过定点，判断A；求解直线l截圆C所得弦长最小值，判断B；利用圆的圆心到直线的距离等于半径，求解m，判断C；通过直线经过圆的圆心，判断D即可．【解答】解：直线l：mx﹣y﹣m+3＝0（m∈R），可得m（x﹣1）﹣（y﹣3）＝0，可得直线经过定点（1，3），所以A正确；圆C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝3，圆的圆心（2，4），半径为，圆的圆心到定点（1，3）的距离为：＝，所以直线l截圆C所得弦长最小值为：2＝2，所以B正确；因为圆的圆心到定点（1，3）的距离为：（半径），所以直线与圆的的位置关系是相交，不存在m，使得直线l与圆C相切，所以C不正确；当直线l：mx﹣y﹣m+3＝0（m∈R）经过圆的圆心时，存在m，使得圆C关于直线l对称，所以D正确．故选：ABD．（多选）11．（5分）已知函数，则（）A．f（x）是偶函数 B．f（x）的图像关于直线x＝2对称 C．f（x）的最小正周期为2 D．f（x）在（0，1）上单调递增【考点】函数奇偶性的性质与判断；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性．【答案】AB【分析】化简得f（x）＝|sinπx|﹣cos，利用三角函数的性质对四个选项逐一判断可得答案．【解答】解：∵＝|sinπx|﹣cos，∴f（﹣x）＝|sinπ（﹣x）|﹣cos（﹣）＝|sinπx|﹣cos＝f（x），∴f（x）是偶函数，A正确；又f（4﹣x）＝|sinπ（4﹣x）|﹣cos（4﹣x）＝|sinπx|﹣cos＝f（x），∴f（x）的图像关于直线x＝2对称，B正确；又f（2+x）＝|sinπ（2+x）|﹣cos（2+x）＝|sinπx|+cos≠f（x），C错误；当x∈（0，1）时，f（x）＝sinπx﹣cos，∵f（）＝﹣≈0.366，f（）＝﹣≈0.5﹣0.2575＝0.2425，即f（）＞f（），D错误．故选：AB．（多选）12．（5分）已知首项为的数列{an}的前n项和为Sn，其中，记数列{1﹣an}的前n项积为Tn，则（）A．a2＜ B．∃k∈N*，ak+1＜ak C．T2024＞0 D．使得Tk＜0成立的最小正整数k的值为2025【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】ACD【分析】由已知递推式可得an+1＝an+，令n＝1，求得a2，可判断A；计算an+1﹣an，可判断B；由递推式可得＝﹣，由数列的裂项相消求和，推得an与1的关系，可判断CD．【解答】解：首项为的数列{an}的前n项和为Sn，其中，即为an+1＝an+，可得a2＝a1+＝+＜，an+1﹣an＝＞0，即an+1＞an，可得数列{an}为递增数列，故B错误；又＝＝﹣，即＝﹣，所以++...+＝﹣+﹣+...+﹣＝﹣＝2﹣，由数列{an}为递增数列，可得a2＞a1，a3＞a1，…，a2023＞a1，则2﹣＜＜1，即a2024＜1，又数列{an}为递增数列，可得a2024＞a1，a2024＞a2，…，a2024＞a2023，则2﹣＞＞＝1，即有a2025＞1，由数列{an}为递增数列，可得a1＜1，a2＜1，…，a2024＜1，a2025＞1，a2026＞1，…，所以1﹣a1＞0，1﹣a2＞0，…，1﹣a2024＞0，1﹣a2025＜0，1﹣a2026＜0，..．由数列{1﹣an}的前n项积为Tn，可得T2024＞0，使得Tk＜0成立的最小正整数k的值为2025，故C、D都正确．故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）的展开式中的常数项为15．【考点】二项式定理．【答案】见试题解答内容【分析】求出二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，可得二项式展开式的常数项．【解答】解：二项式展开式的通项公式为Tr+1＝C（x2）6﹣r（﹣）r＝C（﹣1）rx12﹣3r，r＝0，1，2...6，令12﹣3r＝0，解r＝4，展开式中的常数项为C（﹣1）4x0＝15．故答案为：15．14．（5分）曲线f（x）＝lnx+2f′（1）x在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+1＝0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】x+y+1＝0．【分析】求出切点的坐标和切点处的导数，利用点斜式求出方程．【解答】解：因为+2f′（1），所以f′（1）＝1+2f′（1），故k＝f′（1）＝﹣1，f（x）＝lnx﹣2x，所以f（1）＝﹣2，切线方程为y+2＝﹣x+1，即x+y+1＝0．故答案为：x+y+1＝0．15．（5分）已知抛物线C：y2＝8x与直线l：＝0交于M，N两点（点M在第一象限），C的焦点为F，则|MF|＝8．【考点】抛物线的性质；直线与抛物线的综合．【答案】8．【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系求解即可．【解答】解：已知抛物线C：y2＝8x与直线l：＝0交于M，N两点（点M在第一象限），C的焦点为F，由题意可得F（2，0），直线l过点F，联立，消y可得：3x2﹣20x+12＝0，则或x＝6，又点M在第一象限，则xM＝6，则|MF|＝xM+2＝6+2＝8．故答案为：8．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点均在一个表面积为12π的球面上，空间内的一点E满足AE⊥B1D1，AE⊥A1D，若A1B⊂平面α，AE∥平面α，且B1C1∩平面α＝F，则CF的长为．【考点】点、线、面间的距离计算．【答案】．【分析】利用线面垂直的证明，说明AE即为AC1，取线段B1C1的中点F，利用线面平行的证明说明平面α即为平面A1FB，从而解直角三角形即可求得答案．【解答】解：由题意正方体的所有顶点均在一个表面积为12π的球面上，得＝π×（）2＝12π，故AB＝2，正方体中，BB1∥DD1，BB1＝DD1，即四边形B1BDD1为平行四边形，故BD∥B1D1，因为AE⊥B1D1，所以AE⊥BD，又AE⊥A1D，BD∩A1D＝D，BD，A1D⊂平面A1BD，所以AE⊥平面A1BD，连接AC，AC1，则AC⊥BD，而CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，故CC1⊥BD，而CC1∩AC＝C，CC1AC⊂平面ACC1，故BD⊥平面ACC1，AC1⊂平面ACC1，故BD⊥AC1，同理可证A1B⊥AC1，而A1B∩BD＝B，A1B，BD⊂平面A1BD，故AC1⊥平面A1BD，则直线AE即为直线AC1，取线段B1C1的中点F，连接A1F，BF，连接AB1交A1B于G，则G为A1B的中点，连接FG，则FG∥AC1，又FG⊂平面A1FB，AC1⊄平面A1FB，故AC1∥平面A1FB，故平面α即为平面A1FB，在Rt△CC1F中，C1F＝1，CC1＝2，则，故答案为：．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin2B+2sin2C+2sinBsinC+cos[2（B+C）]＝1，∠A的平分线交BC边于D，过D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求角A的大小；（2）若b＝2，c＝4，求AE的长．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）A＝；（2）．【分析】（1）结合三角形的内角和定理，二倍角公式与正弦定理，化简已知等式可得b2+c2+bc﹣a2＝0，再利用余弦定理，得解；（2）由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，利用三角形面积公式，求得AD的长，再在Rt△ADE中，由AE＝ADcos60°，得解．【解答】解：（1）因为B+C＝π﹣A，所以cos[2（B+C）]＝cos[2（π﹣A）]＝cos2A＝1﹣2sin2A，由正弦定理及2sin2B+2sin2C+2sinBsinC+cos[2（π﹣A）]＝1，知b2+c2+bc﹣a2＝0，由余弦定理得，cosA＝＝﹣＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝．（2）因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝，因为S△ABC＝S△ABD+S△ACD，所以bcsin∠BAC＝c•AD•sin∠BAD+b•AD•sin∠CAD，即bc＝c•AD+b•AD，所以2×4＝4AD+2AD，解得AD＝，在Rt△ADE中，AE＝ADcos∠CAD＝ADcos60°＝×＝．18．（12分）某公司使用甲、乙两台机器生产芯片，已知每天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为94%；乙机器生产的芯片占产量的四成，且合格率为95%，已知两台机器生产芯片的质量互不影响．现对某天生产的芯片进行抽样．（1）从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；（2）现采用有放回的方法随机抽取3个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为X，求X的分布列以及数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据全概率公式即可求得答案；（2）确定X～B（3，），由二项分布的概率计算可求得分布列，根据期望公式即可求得数学期望．【解答】解：（1）记事件A1表示芯片来自甲机器生产，事件A2表示芯片来自乙机器生产，事件B表示取到的是合格品；则＝＝0.6×（1﹣0.94）+0.4×（1﹣0.95）＝0.056．（2）由题意得，X～B（3，），故，，，，所以X的分布列为：X0123P故．19．（12分）已知等差数列{an}满足a3＝14，a9＝2a4+6，数列{bn}的前n项和为Sn，b1＝1，且数列是公比为的等比数列．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn＝an•bn，记数列{cn}的前n项和为Tn，试比较Tn与（4n﹣6）•2n+14的大小．【考点】数列的求和．【答案】（1）an＝5n﹣1，；（2）当n＝1时，Tn＜（4n﹣6）•2n+14，当n＝2时，Tn＝（4n﹣6）•2n+14，当n≥3时，Tn＞（4n﹣6）•2n+14．【分析】（1）由等差数列通项公式的求法，结合数列递推式求数列的通项公式即可；（2）先利用错位相减法求和，然后结合数列的单调性求解即可．【解答】解：（1）已知等差数列{an}满足a3＝14，a9＝2a4+6，设等差数列的公差为d，则，即，即an＝4+5（n﹣1）＝5n﹣1，又数列{bn}的前n项和为Sn，b1＝1，且数列是公比为的等比数列，又，则，即，则当n≥2时，，即，即bn＝2bn﹣1，又b1＝1，则数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则；（2）由已知可得cn＝（5n﹣1）×2n﹣1，则，①，②由①﹣②可得：（5n﹣1）×2n，即，即，设，则，显然数列{Mn}为递增数列，又，则当n＝1时，Tn＜（4n﹣6）•2n+14，当n＝2时，Tn＝（4n﹣6）•2n+14，当n≥3时，Tn＞（4n﹣6）•2n+14．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，侧面CDEF为等腰梯形，二面角E﹣CD﹣A为直二面角，AB＝2EF＝4，AF＝3．（1）求点F到平面ABCD的距离；（2）设点P为线段BC的中点，点Q满足，若直线PQ与平面ADE及平面ABCD所成的角相等，求λ的值．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，得到点F到平面ABCD的距离即为FO的长，由勾股定理求出答案；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线PQ与平面ADE及平面ABCD所成的角相等列出方程，求出λ的值．【解答】解：（1）如图，过点E作EM⊥CD于点M，过点F作FO⊥DC于点O，连接OA．因为二面角E﹣CD﹣A为直二面角，所以平面CDEF⊥平面ABCD，又平面CDEF∩平面ABCD＝CD，FO⊂平面CDE，所以FO⊥平面ABCD，所以点F到平面ABCD的距离即为FO的长，因为OA⊂平面ABCD，所以FO⊥OA，因为四边形CDEF为等腰梯形，AB＝CD＝2EF＝4，所以MO＝EF＝2，故DM＝OC＝1，OD＝3，因为AD＝4，由勾股定理得，又，由勾股定理得，即点F到平面ABCD的距离为．（2）以O为坐标原点，分别以OD，OF所在直线分别为x，z轴，过点O作平面CDEF的垂线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．则，由，得，，设平面ADE的法向量为，由，由，解得y＝0，令z＝1，得x＝，故，又易知平面ABCD的一个法向量为，设直线PQ与平面ADE所成角为θ，与平面ABCD所成角为α，则sinθ＝sinα，所以，整理得，由λ＞0，得．21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点到右顶点的距离为，点M在C上，且点M到右焦点距离的最大值为3，过点P（0，2）且不与x轴垂直的直线l与C交于A，B两点．（1）求C的方程；（2）记O为坐标原点，求△AOB面积的最