安徽省淮南市兴学教育咨询有限公司2023-2024学年高三上学期月考数学测试题

2023-2024学年安徽省淮南市兴学教育咨询有限公司高三（上）月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1．（5分）已知命题“∀x∈[1，2]，2x+x﹣a＞0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，5] B．[6，+∞） C．（﹣∞，3] D．[3，+∞）2．（5分）若要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度3．（5分）函数的部分图象大致形状是（）A． B． C． D．4．（5分）函数图象的对称轴可以是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线5．（5分）若，则实数λ的值为（）A．3 B． C．2 D．46．（5分）已知正实数x，y满足x+2y＝1，则的最小值为（）A． B． C． D．7．（5分）已知函数在区间[﹣5，5]的最大值是M，最小值是m，则f（M+m）的值等于（）A．0 B．10 C． D．8．（5分）给出定义：设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，f″（x）是函数y＝f′（x）的导函数．若方程f″（x）＝0有实数解x＝x0，则称（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．经研究发现所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f（x）的图象的对称中心．若函数f（x）＝x3﹣3x2，则＝（）A．﹣8088 B．﹣8090 C．﹣8092 D．﹣8096二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分（多选）9．（5分）已知＝5，下列计算结果正确的是（）A． B．tanα＝2 C． D．（多选）10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x⋅（x﹣1），则（）A．当x＜0时，f（x）＝﹣ex⋅（x+1） B．∀x∈R，都有f（x）∈（﹣1，1） C．f（x）≥0的解集为[﹣1，0）∪[1，+∞） D．f（x）的单调递增区间是（﹣2，0），（0，2）（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝sin|x|+|cosx|，下列叙述正确的有（）A．函数y＝f（x）的周期为2π B．函数y＝f（x）是偶函数 C．函数y＝f（x）在区间上单调递减 D．∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|（多选）12．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足，且为奇函数，f（﹣1）＝﹣1，f（0）＝2．下列说法正确的是（）A．3是函数y＝f（x）的一个周期 B．函数y＝f（x）的图象关于直线对称 C．函数y＝f（x）是偶函数 D．f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2023）＝2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知，则＝．14．（5分）若函数是偶函数，则a＝15．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的单调函数，且f（f（x）﹣2x﹣2x）＝10，则f（x）在[﹣2，2]上的值域为．16．（5分）若f（x）＝xlnx+x2﹣mx+e2﹣x≥0，则实数m最大值为．四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）已知函数f（x）＝x2﹣2x+3，g（x）＝log2x+m，若对∀x1∈[2，4]，∃x2∈[16，32]，使得f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围；（2）若命题p：函数（a＞0且a≠1）在区间内单调递增是真命题，求a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，．（1）求角B；（2）求2a﹣c的范围．19．（12分）设函数f（x）＝sinx+cosx（x∈R）．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值．20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A≠B．（1）求角C的大小；（2）若角C的平分线交AB于点D，且，求a+2b的最小值．21．（12分）已知函数，其中a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当x∈（0，1）时，求证：．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+ln（x+1）．（1）当时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；

2023-2024学年安徽省淮南市兴学教育咨询有限公司高三（上）月考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1．（5分）已知命题“∀x∈[1，2]，2x+x﹣a＞0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，5] B．[6，+∞） C．（﹣∞，3] D．[3，+∞）【考点】全称量词和全称命题；命题的真假判断与应用．【答案】D【分析】先得出题设假命题的否命题“∃x0∈[1，2]，”，则等价于a≥（2x+x）min，x∈[1，2]，求y＝2x+x最小值即可．【解答】解：因为命题“∀x∈[1，2]，2x+x﹣a＞0”为假命题，则命题的否定“∃x0∈[1，2]，”为真命题，所以a≥（2x+x）min，x∈[1，2]，易知函数y＝2x+x在[1，2]上单调递增，所以当x＝1时，y＝2x+x取最小值，所以a≥21+1＝3，所以实数a的取值范围为[3，+∞）．故选：D．2．（5分）若要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】D【分析】利用诱导公式化简三角函数为同名函数，然后判断函数图象平移的单位与方向．【解答】解：函数＝cos（﹣2x﹣）＝cos（2x﹣）＝cos[2（x﹣）+]，所以只需将函数的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象．故选：D．3．（5分）函数的部分图象大致形状是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】C【分析】先判断函数的奇偶性，结合对称性以及0＜x＜1时的函数值的正负判断可得答案．【解答】解：由，x∈R，定义域关于原点对称，得，则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除BD；当0＜x＜1时，1﹣ex＜0，1+ex＞0，sinx＞0，所以，排除A．故选：C．4．（5分）函数图象的对称轴可以是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【考点】二倍角的三角函数；正弦函数的奇偶性和对称性．【答案】A【分析】利用诱导公式及公式将函数化简，再根据正弦函数的性质求出函数的对称轴．【解答】解：，令，解得，所以f（x）的对称轴为直线，当k＝1时，．故选：A．5．（5分）若，则实数λ的值为（）A．3 B． C．2 D．4【考点】两角和与差的三角函数．【答案】D【分析】由已知结合同角基本关系，二倍角公式，和差角及辅助角公式进行化简即可求解．【解答】解：由，得＝＝＝，所以，即λsin40°＝2cos20°﹣2sin20°＝4sin（60°﹣20°）＝4sin40°，所以λ＝4．故选：D．6．（5分）已知正实数x，y满足x+2y＝1，则的最小值为（）A． B． C． D．【考点】基本不等式及其应用．【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解．【解答】解：由题可得，因为x+2y＝1，则（x+1）+2（y+1）＝4，因为x＞0，y＞0，所以x+1＞0，y+1＞0，所以＝，当且仅当，即时，取得等号．故选：C．7．（5分）已知函数在区间[﹣5，5]的最大值是M，最小值是m，则f（M+m）的值等于（）A．0 B．10 C． D．【考点】函数的最值及其几何意义；三角函数的最值．【答案】C【分析】可设g（x）＝cosx•ln（x+），判断出g（x）是奇函数，从而得出g（x）的最大值和最小值的和为0，即可求出M+m的值，然后求解f（M+m）．【解答】解：函数，设g（x）＝cosx•ln（x+），则g（x）是奇函数，∴g（x）的最大值和最小值互为相反数，且f（x）的最大值为M，最小值为m，∴M+m＝．f（M+m）＝．故选：C．8．（5分）给出定义：设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，f″（x）是函数y＝f′（x）的导函数．若方程f″（x）＝0有实数解x＝x0，则称（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．经研究发现所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f（x）的图象的对称中心．若函数f（x）＝x3﹣3x2，则＝（）A．﹣8088 B．﹣8090 C．﹣8092 D．﹣8096【考点】导数的运算．【答案】B【分析】通过二次求导可得f″（x）＝6x﹣6，求出y＝f（x）的图像的对称中心为（1，﹣2），得到f（1﹣x）+f（1+x）＝﹣4，据此规律求和即可．【解答】解：由f′（x）＝3x2﹣6x，可得f″（x）＝6x﹣6，令f″（x）＝0，可得x＝1，又f（1）＝1﹣3＝﹣2，所以y＝f（x）的图像的对称中心为（1，﹣2），即f（1﹣x）+f（1+x）＝﹣4，所以＝＝．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分（多选）9．（5分）已知＝5，下列计算结果正确的是（）A． B．tanα＝2 C． D．【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值．【答案】BC【分析】将条件变形为用tanα表示的形式，进而可求出tanα，则可判断选项AB，再将选项CD变形，用tanα表示，代入tanα的值即可判断．【解答】解：由得，解得tanα＝2，故A错误，B正确；，故C正确；，故D错误．故选：BC．（多选）10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x⋅（x﹣1），则（）A．当x＜0时，f（x）＝﹣ex⋅（x+1） B．∀x∈R，都有f（x）∈（﹣1，1） C．f（x）≥0的解集为[﹣1，0）∪[1，+∞） D．f（x）的单调递增区间是（﹣2，0），（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合．【答案】BD【分析】根据题意，对于A，利用奇函数的性质求出x＜0时．f（x）的解析式，可得A错误，对于B，求出函数的导数，分析可得f（x）的单调性以及最值，综合可得B正确，对于C，求出函数的解析式，结合解析式分析f（x）≥0的解集，可得C错误，对于D，利用函数的奇偶性以及B的结论，可得D正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝ex（﹣x﹣1），则f（x）＝﹣f（﹣x）＝ex（x+1），A错误；对于B，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），其导数f′（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）+e﹣x＝e﹣x（2﹣x）＝，在区间（0，2）上，f（x）递增，在区间（2，+∞）上，f（x）递减且f（x）＞0，而f（2）＝，综合可得：在区间（0，+∞）上，有﹣1＜f（x）≤；又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣∞，0）上，有﹣≤f（x）＜1；综合可得：f（x）∈（﹣1，1），B正确；对于C，由A、B的结论，f（x）＝，若f（x）≥0，必有或x＝0或，解可得﹣1≤x≤0或x≥1，即f（x）≥0的解集为[﹣1，0]∪[1，+∞）C错误；对于D，由B的结论，在区间（0，2）上，f（x）递增，在区间（2，+∞）上，f（x）递减，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣2，0）上，f（x）递增，在区间（﹣∞，﹣2）上，f（x）递减，综合可得：f（x）的单调递增区间是（﹣2，0），（0，2），D正确；故选：BD．（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝sin|x|+|cosx|，下列叙述正确的有（）A．函数y＝f（x）的周期为2π B．函数y＝f（x）是偶函数 C．函数y＝f（x）在区间上单调递减 D．∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|【考点】命题的真假判断与应用；三角函数的周期性．【答案】BC【分析】直接利用函数的关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于函数f（x）＝sin|x|+|cosx|因为，，所以，故f（x）的周期不是2π，故选项A错误；根据f（﹣x）＝sin|x|+|cosx|＝sin|﹣x|+|cos（﹣x）|＝f（x），故函数为偶函数，故选项B正确；当时，函数f（x）＝sin|x|+|cosx|＝sinx﹣cosx＝sin（x﹣），令x﹣≤，解得，所以f（x）的一个单调递减区间为[]，则f（x）在上单调递减，故选项C正确；当x＞0时，f（x）＝sinx+|cosx|，，即，故选项D错误．故选：BC．（多选）12．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足，且为奇函数，f（﹣1）＝﹣1，f（0）＝2．下列说法正确的是（）A．3是函数y＝f（x）的一个周期 B．函数y＝f（x）的图象关于直线对称 C．函数y＝f（x）是偶函数 D．f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2023）＝2【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质与判断．【答案】AC【分析】根据已知可推得，即可判断A；由为奇函数，即可得出函数的对称性，即可判断B；易知，结合，即可推得f（﹣x）＝f（x），即可判断C；根据函数的奇偶性、周期性求解，即可判断D项．【解答】解：对于A项，因为，所以，所以3是函数y＝f（x）的一个周期，故A正确；对于B项，因为为奇函数，所以，所以点是函数y＝f（x）图象的对称中心，故B错误；对于C项，因为为奇函数，所以，所以．又因为，所以，所以f（﹣x）＝f（x），所以函数y＝f（x）是偶函数，故C项正确；对于D项，由C知，函数y＝f（x）是偶函数，所以f（1）＝f（﹣1）＝﹣1．又3是函数y＝f（x）的一个周期，所以f（2）＝f（﹣1）＝﹣1，f（3）＝f（0）＝2，f（2023）＝f（1）＝﹣1，所以，f（1）+f（2）+f（3）＝0，所以，，故D错误．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知，则＝﹣．【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数．【答案】﹣．【分析】观察已知角和所求角之间的联系，再利用二倍角公式，得解．【解答】解：因为，所以cos（）＝cos（）＝sin（）＝，则＝cos2（）＝2cos2（）﹣1＝2×﹣1＝﹣．故答案为：﹣．14．（5分）若函数是偶函数，则a＝2【考点】函数奇偶性的性质与判断．【答案】2．【分析】根据题意，由偶函数的定义，利用特殊值法可得f（1）＝f（﹣1），即，求出a的值，验证可得答案．【解答】解：根据题意，因为函数是偶函数，则有f（1）＝f（﹣1），即，解得a＝2，此时，又因为16x+1＞0，所以f（x）的定义域为R关于原点对称，且，即函数是偶函数满足题意．故答案为：2．15．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的单调函数，且f（f（x）﹣2x﹣2x）＝10，则f（x）在[﹣2，2]上的值域为．【考点】函数的值域；函数单调性的性质与判断．【答案】．【分析】易知f（x）﹣2x﹣2x是一个固定的数记为t，得到f（x）＝2x+2x+t，进而有f（t）﹣2t﹣2t＝t，即f（t）＝2t+3t＝10，求得t＝2，利用函数的单调性求得其值域．【解答】解：因为f（x）为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的t∈R，使得f（t）＝10，则f（x）﹣2x﹣2x＝t，f（t）﹣2t﹣2t＝t，即f（t）＝2t+3t＝10，因为函数y＝2t+3t为增函数，且22+3×2＝10，所以t＝2，f（x）＝2x+2x+2．易知f（x）在[﹣2，2]上为增函数，且，f（2）＝10，则f（x）在[﹣2，2]上的值域为．故答案为：．16．（5分）若f（x）＝xlnx+x2﹣mx+e2﹣x≥0，则实数m最大值为3．【考点】利用导数研究函数的最值．【答案】3．【分析】二次求导，结合隐零点得到方程与不等式，变形后得到，从而，lnx0≤2﹣x0，代入，得到m的最大值．【解答】解：f（x）＝xlnx+x2﹣mx+e2﹣x≥0，定义域为x∈（0，+∞），则f′（x）＝lnx+2x+1﹣m﹣e2﹣x，令h（x）＝lnx+2x+1﹣m﹣e2﹣x，则，h（x）在（0，+∞）上单调递增，且x→0时，h（x）→﹣∞，当x→+∞时，h（x）→+∞∴∃x0∈（0，+∞），使得h（x0）＝0，即f′（x0）＝0．当x∈（0，x0）时f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时f′（x）＞0，故f（x）在x∈（0，x0）上单调递减，在x∈（x0，+∞）上单调递增，∴②，由f′（x0）＝0得①，即，代入②得，，整理得∵x0+1＞0，∴，∴lnx0≤2﹣x0，，故m的最大值为3．故答案为：3．四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）已知函数f（x）＝x2﹣2x+3，g（x）＝log2x+m，若对∀x1∈[2，4]，∃x2∈[16，32]，使得f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围；（2）若命题p：函数（a＞0且a≠1）在区间内单调递增是真命题，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；命题的真假判断与应用．【答案】（1）（﹣∞，﹣1]；（2）．【分析】（1）由题意只需[f（x1）]min≥[g（x2）]min，由函数的单调性求出最小值即可．（2）由题意首先由真数大于0求出a的取值范围，然后对底数a进行分类讨论结合复合函数单调性即可求解．【解答】解：（1）因为∀x1∈[2，4]，∃x2∈[16，32]，使得f（x1）≥g（x2），所以只需[f（x1）]min≥[g（x2）]min，因为f（x）＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2在[2，4]上单调递增，所以f（x）＝（x﹣1）2+2在[2，4]上的最小值，因为g（x）＝log2x+m在[16，32]上单调递增，所以g（x）＝log2x+m在[16，32]上的最小值[g（x2）]min＝g（16）＝log216+m＝4+m，所以m+4≤3，解得m≤﹣1．所以实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．（2）由题意真数x3﹣ax＞0在上恒成立，即a＞x2在上恒成立，所以，且注意到a≠1，由题意函数（a＞0且a≠1）在区间内单调递增，不妨设y＝g（t）＝logat＝f（x），t（x）＝x3﹣ax，接下来分以下两种情形来求a的取值范围：情形一：当时，函数y＝g（t）＝logat关于t单调递减，由复合函数单调性可知，只需t（x）＝x3﹣ax在区间内单调递减，即t′（x）＝3x2﹣a≤0在区间上恒成立，所以，又，所以此时有．情形二：当a＞1时，函数y＝g（t）＝logat关于t单调递增，由复合函数单调性可知，只需t（x）＝x3﹣ax在区间内单调递增，即t′（x）＝3x2﹣a≥0在区间上恒成立，所以a≤3×02＝0，又a＞1，所以此时a不存在．综上，符合题意的a的取值范围为．18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，．（1）求角B；（2）求2a﹣c的范围．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）任选一条件，都有；（2）．【分析】（1）由正弦定理可得2c﹣a＝2bcosA，再由余弦定理可得c2+a2﹣b2＝ac，结合余弦定理可得答案；（2）由正弦定理可得a＝4sinA，c＝4sinC，即2a﹣c＝8sinA﹣4sinC，结合，利用正弦的差角公式和辅助角公式化简结合角的范围可得答案．【解答】解：（1）∵，∴由正弦定理可得：（2c﹣a）c＝b2+c2﹣a2＝2bccosA，∴可得：2c﹣a＝2bcosA，可得：，∴由余弦定理可得：，整理可得：c2+a2﹣b2＝ac，∴，∵B∈（0，π），可得：；（2）在△ABC中，由（1）及，故a＝4sinA，c＝4sinC，＝，因为，则，，所以2a﹣c的范围为．19．（12分）设函数f（x）＝sinx+cosx（x∈R）．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值．【考点】三角函数的周期性．【答案】（1）π．（2）1+．【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．（2）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，得出结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝sinx+cosx（x∈R），∴函数＝＝（cosx﹣sinx）2＝1﹣sin2x的最小正周期为＝π．（2）函数＝（sinx+cosx）•[sin（x﹣）+cos（x﹣）]＝（sinx+cosx）•sinx＝sin2x+sinxcosx＝×+sin2x＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x﹣）+，在上．2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣＝时，函数y取得最大值为1+．20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A≠B．（1）求角C的大小；（2）若角C的平分线交AB于点D，且，求a+2b的最小值．【考点】解三角形；正弦定理．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换整理得，再根据角A，B的范围分析运算，即可得解；（2）根据三角形的面积关系整理得，结合基本不等式求范围，即可得解．【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得，则，可得，整理得，注意到0＜A，B＜π，且A≠B，则，，且，可得或，解得或（舍去），故；（2）若∠C的平分线交AB于点D，则，因为S△ABC＝S△ACD+S△BCD，则，即，整理得，则，当且仅当，即时，等号成立，故a+2b的最小值．21．（12分）已知函数，其中a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）