安徽省省十联考(合肥八中等)2022-2023学年高二上学期期中数学试题

第页，共页安徽省省十联考（合肥八中等）2022-2023学年高二上学期期中数学试题一、单选题（本大题共8小题）1.已知倾斜角为的直线过，两点，则（）A． B． C． D．2.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，E为的重心，若，，，则（）A． B．C． D．3.“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4.已知F为双曲线：的左焦点，P为的右支上一点，则直线PF的斜率的取值范围为（）A． B．C． D．5.已知为圆O：上一点，则的取值范围为（）A． B．C． D．6.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为坐标平面上一点，且满足的点P均在椭圆C的内部，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A． B．C． D．7.如图，在正方体中，P为线段上一点，则直线与BP所成的角的最大值、最小值分别为（）A．， B．， C．， D．，8.已知椭圆C：上存在关于直线l：对称的点，则实数m的取值范围为（）A． B．C． D．二、多选题（本大题共4小题）9.如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（）A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上10.我们知道反比例函数的图象是双曲线，则下列有关双曲线的结论正确的是（）A．顶点坐标为， B．虚轴长为C．离心率为 D．焦点坐标为，11.已知直线：，：，：，其中a，k为常数，与的交点为M，则（）A．对任意实数a， B．存在a，使得点到原点的距离为3C．存在点P，使得为定值 D．M到的最大距离为12.已知曲线C：，则（）A．曲线C关于原点对称B．曲线C有4个顶点C．曲线C的面积小于椭圆的面积D．曲线C的面积大于圆的面积三、填空题（本大题共4小题）13.设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则.14.已知直线l过点，且在x轴和y轴上的截距分别为a，b，若，则l的方程为．15.已知空间向量，是相互垂直的单位向量，若向量满足，，则的最小值是．16.已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，则的最大值为．四、解答题（本大题共6小题）17.已知直线l：与圆C：相交于A，B两点．求及弦AB的垂直平分线的方程．18.如图，在直四棱柱中，四边形ABCD为菱形，，．(1)求到平面的距离；(2)求直线与平面所成角的正弦值．19.已知椭圆C：的右焦点为F，上顶点的坐标为，离心率为．(1)求C的方程；(2)设过F的直线l与C相交于点A，B两点，若（O为坐标原点），求直线l的方程．20.已知A为圆C：上一动点，点，若M为AB的中点，记点M的轨迹为．(1)求的方程，并说明是什么图形；(2)在直线上是否存在定点D（异于原点），使得对于上任意一点P，都有为常数？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，说明理由．21.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，E为PC的中点．(1)证明：平面平面PCD；(2)若，，求平面ABE与平面ABP夹角的正弦值．22.已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，过且斜率为的直线与C的左支交于点A，且．(1)求C的渐近线方程；(2)若，P为x轴上一点，是否存在直线l：与C交于M，N两点，使得，且？若存在，求出点P的坐标和直线l的方程；若不存在，说明理由．

参考答案1.【答案】A【分析】由斜率公式与斜率定义求解即可【详解】由题意知，即．故选A．2.【答案】B【分析】连接AE并延长交CD于点F，则F为CD的中点，利用向量的加减运算得答案【详解】连接AE并延长交CD于点F，因为E为的重心，则F为CD的中点，且.故选：B．3.【答案】C【分析】由充分条件与必要条件的概念集合两直线平行的判断即可求解【详解】若，则两条直线分别为，，显然两条直线相互平行，充分性成立；若直线与直线平行，则，且，所以，必要性成立．故选：C．4.【答案】D【分析】设直线PF为，与双曲线方程联立，然后根据方程有一正根一负根，列方程求解.【详解】由已知，设直线PF为，联立，消去得根据已知可得方程有一正根一负根，，解得故选：D．5.【答案】B【分析】设，由圆心到直线的距离小于或等于半径求解即可【详解】设，由题意知直线与圆O有公共点，所以，所以．故选：B．6.【答案】A【分析】由题意知点P的轨迹为以为直径的圆，且该圆在椭圆C的内部，得到，再利用计算可得到离心率的范围.【详解】所以点P的轨迹为以为直径的圆，且该圆在椭圆C的内部，所以，所以，所以，即，所以．故选：A．7.【答案】D【分析】设正方体的棱长为1，与BP所成的角为，以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法研究即可求解【详解】设正方体的棱长为1，与BP所成的角为，以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则，，，，，所以，，，设，所以，所以，，，所以，因为，所以，所以，又，所以，故与BP所成角的最大值为，最小值为．故选：D．8.【答案】C【分析】设C上关于直线对称的两点分别为，，其中点为，利用点差法，结合点E在C的内部可得，求解即可【详解】设C上关于直线对称的两点分别为，，其中点为，则，，两式相减，得，由，得，又，，所以，即，又，所以，，即，又点E在C的内部，所以，所以．故选：C．9.【答案】BCD【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解【详解】当时，，所以，则，即P在棱上，故A错误；同理当时，则，故P在棱上，故B正确；当时，，所以，即，故点P在线段上，故C正确；当时，，故点在线段上，故D正确．故选：BCD．10.【答案】AC【分析】将反比函数图象逆时针旋转转化为焦点在轴的双曲线，利用双曲线的性质即可求解.【详解】将双曲线的图象逆时针旋转后可得等轴双曲线，旋转前后实轴长、虚轴长、焦距保持不变，因为直线是的长轴所在的直线，所以联立和解得顶点坐标为，，所以实轴长，故A正确；其是等轴双曲线，所以虚轴长为，故B错误；因为，所以，离心率为，故C正确；设焦点坐标为和，因为和在直线上，且焦距等于，所以，所以，所以其焦点坐标为，，故D错误．故选:AC．11.【答案】ACD【分析】对于A，由即可判断得；对于C，结合选项A中的结论，得到M在圆上，由此可求得点P使得为定值；对于B，利用选项C中的结论，结合点到圆上的点的距离的最小值即可判断；对于D，利用直线到圆上点的距离的最大值即可判断.【详解】对于A，因为：，：，所以，则，故A正确；对于C，易得直线过定点，直线过定点，因为与的交点为M，则M在以AB为直径的圆上，而AB的中点为，且，故点M在圆：上，故取点P坐标为，此时为定值，故C正确；对于B，因为圆心到原点的距离为5，圆的半径为，故M到原点的最小距离为，而，所以不存在实数a，使得M到原点的距离为3，故B错误；对于D，因为过原点O，所以当，且M在直线OC上时，点M到的距离最大且最大值为，故D正确．故选：ACD．12.【答案】ABD【分析】研究曲线C的对称性并求出与坐标轴的交点，可判断AB；由曲线C中x的范围可求得得范围，进而与椭圆以及圆比较，可判断CD【详解】用-x替换x，化简后式子不变，则曲线C关于y轴对称；用-y替换y，化简后式子不变，则曲线C关于x轴对称；用-x，-y分别替换x，y，化简后式子仍不变，则曲线C关于原点对称，曲线C仅有两条对称轴，易求两条对称轴与曲线C的交点分别为，，故曲线C有4个顶点，故AB正确；易知曲线C中x的范围为，所以，故椭圆上的点在曲线C内部或在曲线C上，故椭圆的面积小于曲线C的面积，同理曲线C的面积大于圆的面积，故C错误，D正确．故选：ABD．13.【答案】【详解】根据双曲线定义，求解.【详解】由双曲线的定义得，又，所以，或经检验，舍去，所以.故答案为：.14.【答案】或【分析】时可设l的方程为，时设l的方程为，把点代入即可求解【详解】若，则l过，又l过点，故l的方程为，即；若，设l的方程为，所以，解得，所以，故l的方程为．故答案为：或．15.【答案】3【分析】利用空间向量的坐标运算即可求解.【详解】分别以，为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系，则设，则，，所以，所以，所以，所以，所以当，时，取得最小值3．故答案为：3.16.【答案】【分析】由椭圆方程，可得的值，根据椭圆的定义，整理等式，用换元法整理函数关系，结合二次函数性质，可得答案.【详解】由，可知，，，所以，又，所以当或时，，又，所以的最大值为．故答案为：.17.【答案】，．【分析】把圆的方程化为标准方程，利用点到直线的距离与勾股定理可得弦长，由两直线垂直可得斜率，再由点斜式求方程即可【详解】圆的方程可化为，故其圆心，半径，圆心C到l的距离，所以．直线l的斜率为，所以AB的垂直平分线的斜率为，由垂径定理知弦AB的垂直平分线过圆心，故弦AB的垂直平分线的方程为，即．18.【答案】(1)(2)【分析】（1）连接BD交AC于点O，以O为原点，直线OA，OB分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求点到平面的距离即可；（2）利用向量法求解线面角即可【详解】（1）连接BD交AC于点O，因为四边形ABCD为菱形，，，所以，，．以O为原点，直线OA，OB分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，，，设平面的一个法向量，则，令，则，，故．所以点到平面的距离（2）设直线与平面所成角的大小为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为19.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意知，，求解即可；（2）设直线l的方程为，，，联立方程，利用根与系数的关系结合数量积的坐标运算即可求解【详解】（1）由题意知，因为，所以，所以C的方程为．（2）易知，设直线l的方程为，，，联立方程，得消去x并整理，得，显然，，，所以，因为，所以，所以，即，解得，故直线l的方程为，即．20.【答案】(1)的方程为，其图形为以为圆心，为半径的圆(2)存在【分析】（1）设，，利用相关点代入法求解即可；（2）设，假设存在一点，满足，则，把P坐标代入轨迹的方程，解得即可【详解】（1）设，，则，，所以，，又点A在圆C上，所以，即的方程为，其图形为以为圆心，为半径的圆．（2）假设存在一点，满足（其中为常数），设，则，整理化简得：，因为P在轨迹上，所以，即，所以，整理得，由得，，所以存在满足题目条件．21.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面PCD，然后根据面面垂直的判定定理即可得证.（2）以O为坐标原点，直线OA，OG，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后根据二面角的法向量计算公式，代入计算即可得到结果.【详解】（1）证明：取PD的中点F，连接EF，AF，因为，所以，因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD，又平面PAD，所以，因为，F为PD的中点，所以．因为E，F分别为PC，PD的中点，所以，且，又，且，所以，且，所以四边形ABEF为平行四边形，所以，所以，．又平面PCD，且，所以平面PCD，又平面PBC，所以平面平面PCD．（2）取AD，BC的中点分别为O，G，连接PO，OG，则，因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以．以O为坐标原点，直线OA，OG，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，则，，．设平面ABE的一个法向量，则即令，得，，故．设平面ABP的一个法向量，则即令，得，，故，所以，设平面ABE与平面ABP的夹角为，则．22.【答案】(1)(2)存在，，直线l的方程为．【分析】（1）由直线的斜率为，可得，再由与双曲线的定义结合余弦定理建