福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题

第页，共页福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1.已知全集，集合，则（

）A． B．C． D．2.设命题，则命题的否定是（

）A． B．C． D．3.若，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．5.设，且，则（

）A． B． C． D．6.我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（

）A． B．C． D．7.下列比较大小正确的是（

）A． B．C． D．8.已知函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9.已知集合，则下列说法正确的是（

）A．集合A的子集个数为16个 B．集合C． D．10.设函数，则下列说法正确的是（

）A． B．函数C．函数为奇函数 D．函数的图像关于点中心对称11.已知，且，则（

）A． B．C． D．12.已知函数的定义域为，且，则当时，，则下列说法正确的是（

）A．函数是奇函数又为上的增函数B．函数，则C．若函数且，则D．若函数，则三、填空题（本大题共3小题）13.计算：.14.已知命题“”是真命题，则的取值范围是.15.设，则当时，取得最小值.四、双空题（本大题共1小题）16.已知函数，则；若当时，，则的最大值是.五、解答题（本大题共6小题）17.设的解集为，的解集为.(1)求集合和集合；(2)设实数集为，求.18.已知幂函数，且在区间上单调递减.(1)求的解析式及定义域；(2)设函数，利用单调性定义证明：在上单调递减.19.已知集合,.(1)若,求实数的取值范围；(2)若,且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.20.2022年8月9日，美国签署《2022年芯片与科学法案》，对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力.某企业原有400名技术人员，年人均投入万元（），现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员最多有多少人？(2)为了激励研发人员的工作热情，企业决定：研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求满足条件的的最大值，并说明理由.21.已知,且整数.①函数在定义域为上为偶函数;②函数在区间上的值域为.在①,②两个条件中,选择一个条件,将上面的题目补充完整,求出的值,并解答本题.(1)判断的奇偶性,并证明你的结论;(2)设,对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.22.对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.(1)当时，求函数的不动点；(2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；(3)在的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围.

参考答案1.【答案】D【分析】根据补集的定义计算可得.【详解】解：因为全集，集合，所以.故选：D2.【答案】A【分析】依据特称命题的否定写出命题的否定即可解决.【详解】命题的否定是故选：A3.【答案】B【分析】取，，可得“”不能推出“”；由基本不等式可知由“”可以推出“”，进而可得结果.【详解】因为，，取，，则满足，但是，所以“”不能推出“”；反过来，因为，所以当时，有，即.综上可知，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.【答案】C【分析】由解析式结合函数图象直接判断即可.【详解】对A，为奇函数，排除；对B，为偶函数，在单减，排除；对C，为偶函数，在单增，符合题意；对D，为偶函数，由对勾函数图象特点可知，函数不单调，排除.故选：C5.【答案】D【分析】取特殊值排除A，B，C，根据函数的单调性即可得出正确答案.【详解】对A项，当时，，故A错误；对B项，取，时，，不满足，故B错误；对C项，取，时，满足，但不成立，故C错误；对D项，函数在R上单调递增，，则，故D正确;故选：D6.【答案】D【分析】确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论．【详解】的定义域是，关于原点对称，，是偶函数，排除BC；又时，，是增函数，排除A．故选：D．7.【答案】C【分析】根据指数幂的运算法则及幂函数的性质判断即可.【详解】解：因为，又在上单调递减，，所以，所以.故选：C8.【答案】B【分析】由图象法易判断函数单调递增，结合定义域代入对应解析式解不等式即可求出取值范围.【详解】如图所示，在上单调递增，不等式有意义则,解得,当，，解得，又因为所以.故选：B9.【答案】AC【分析】求得集合A的子集个数判断选项A；化简集合B判断选项B；求得集合的关系判断选项C；求得判断选项D.【详解】选项A：集合的子集个数为（个）.判断正确；选项B：由，可得，即则集合.判断错误；选项C：由，可得.判断正确；选项D：由，可得.判断错误.故选：AC10.【答案】ABD【分析】求得的值判断选项A；求得函数的解析式判断选项B；求得函数的奇偶性判断选项C；求得函数的对称中心判断选项D.【详解】由，可得，则选项B判断正确；则，则选项A断正确；由定义域不关于原点对称，可知函数不为奇函数，则选项C断错误；由的图像关于原点中心对称，可得函数的图像关于点中心对称，则选项D断正确.故选：ABD11.【答案】ACD【分析】由可验证选项A，由代换，可验证BC选项，由可验证D选项.【详解】因为，且，所以由可得，A选项正确；，，因为，所以，，即，故B选项错误；，当时取到最小值，故C选项正确；因为，即，故D选项正确.故选：ACD12.【答案】BC【分析】令可证，令可证为奇函数，结合定义可证函数为单减函数，由可匹配正比例函数模型，通过函数关系式代换可依次验证B、C、D的正确性.【详解】令可得，令可得，即，故为奇函数，令，则，因为当时，，所以，即，故当时，单减，由奇函数对称性和可知，在上单减，故A项错误；因为，符合该函数模型的只能是正比例函数，不放设成，对B，，等价代换可得，显然左边=右边恒成立，故B项正确；对C，且，即，，故，当时，，故C正确；对D，，，，只有当时才符合，故D错误.故选：BC13.【答案】【分析】根据指数幂的运算法则计算可得.【详解】解：.故答案为：14.【答案】【分析】分为和两种情况，结合二次函数解不等式即可求解.【详解】当时，恒成立；当时，要使，则有，解得；故.故答案为：15.【答案】【分析】需使原式出现基本不等式形式，可变形为，将替换分子，结合基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，显然要使取最小值，必须满足，此时，当且仅当时取到等号.故取得最小值为.故答案为：16.【答案】

；【分析】先算内层，再求；画出大致图象，确定变化范围，可求的最大值.【详解】，则；由分段函数画出大致图象，如图：若当时，，则可令解得，则，令，解得或（舍去，）则，，则，则的最大值是故答案为：；17.【答案】(1)或，(2)【分析】(1)解出一元二次不等式和分式不等式的解集即为集合和集合；(2)由(1)结论求出，进而求出即可.【详解】（1）解:由题知的解集为或，或，，即，不等式的解集为，，综上:或，；（2）由(1)知或，，，.18.【答案】(1)；(2)证明见详解【分析】（1）易得，代入值验证符合在区间上单调递减的值即可；（2），再利用定义证明即可.【详解】（1）由幂函数性质可得，解得或，又在区间上单调递减，当时，，不满足题意，舍去；当时，，满足题意，所以，定义域为；（2），设，，，因为，所以，所以，，在上单调递减.19.【答案】(1)(2)或【分析】(1)化简集合,根据并集定义,利用数轴得出的取值范围,(2)由(1)得出集合,根据是的充分不必要条件,说明,利用数轴得出的取值范围即可.【详解】（1）解:由题知,或,,,综上:;（2）由(1)知或是的充分不必要条件,或,或.20.【答案】(1)300；(2)7，理由见解析.【分析】（1）根据题意可得，解不等式可得结果；（2）由题意得，化简得在时恒成立，然后利用基本不等式求出的最小值即可.【详解】（1）根据题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，则，解得，因为且，所以要使这名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的技术人员最多300人；（2）由条件可知研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得，两边同除以，得，整理得，即在时恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，所以，所以满足条件的的最大值为7.21.【答案】(1)奇函数,证明见解析;(2)【分析】(1)选①时,根据偶函数性质,定义域关于原点对称,图像关于轴对称,求出,选②时,根据单调性,代入函数值可求出,根据两种情况下所求出的的值,代入中,利用奇偶函数的定义证明奇偶性即可;(2)由(1)结论求出在R上的值域,再求出在的值域,因为,,使得成立,只需值域是值域的子集即可,进而求出的取值范围.【详解】（1）解:当选①时:因为在定义域为上为偶函数,所以,所以,且为偶函数,所以故所以,;当选②时:因为单调递增,在区间上的值域为,所以即,解得,综上:.因为,所以,所以,故,所以是奇函数;（2）解:由(1)知,,当时,,当且仅当时成立,所以,即时,,当,,因为是奇函数,所以即时,,综上:,记值域为集合,,,记值域为集合