2026年教师资格《中学数学》科目冲刺押题试卷

2026年教师资格《中学数学》科目冲刺押题试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题：下列每题选项中，只有一项是最符合题意的。1.设集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A，则实数a的取值集合为（）。A.{1,1/2}B.{1/2}C.{1,1/2,0}D.{0}2.函数f(x)=log₃|x|的图像关于（）对称。A.y轴B.x轴C.原点D.直线y=x3.若复数z满足(1+i)z=2-i(i为虚数单位)，则z=（）。A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.-1-3i4.极限lim(x→0)(sinx/x)=（）。A.0B.1C.-1D.不存在5.函数f(x)=x³-3x+1在区间(-2,2)内的零点个数为（）。A.0B.1C.2D.36.已知等差数列{aₙ}中，a₁=5,公差d=-2,则a₅+a₇的值为（）。A.-10B.-8C.8D.107.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a²+b²-c²=ab，则角C=（）。A.30°B.45°C.60°D.90°8.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为5的概率是（）。A.1/6B.1/12C.5/36D.1/189.已知函数g(x)=x²-4x+3，则函数f(x)=g(x)+2的图像的顶点坐标为（）。A.(2,-1)B.(2,1)C.(-2,-1)D.(-2,1)10.直线l₁:ax+3y-6=0与直线l₂:x+(a+1)y+4=0平行（不重合），则实数a的值为（）。A.-3B.1C.-3或1D.-1二、多项选择题：下列每题选项中，有多项符合题意。11.下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）。A.y=x²(x∈R)B.y=sinx(x∈R)C.y=|x|(x∈R)D.y=x³(x∈R)12.在等比数列{bₙ}中，若b₂=6,b₄=54，则该数列的公比为（）。A.3B.-3C.2D.-213.使函数f(x)=tan(x+π/3)的图像向右平移π个单位后，得到的函数为奇函数的是（）。A.y=tan(x-π/3)B.y=-tan(x-π/3)C.y=tan(x+π/3)D.y=-tan(x+π/3)14.在空间几何体中，下列说法正确的是（）。A.正四棱柱一定是长方体B.长方体一定是正四棱柱C.正四棱锥的各侧面都是等腰三角形D.直平行六面体的对角线不一定互相平分15.关于样本数据{x₁,x₂,...,xn}，下列说法正确的是（）。A.样本方差是反映样本数据离散程度的一个统计量B.样本平均数一定等于总体平均数C.样本中位数是样本数据排序后中间位置的值D.样本极差是样本数据中的最大值与最小值之差三、解答题：16.已知函数f(x)=x²-mx+2m-1。(1)若f(x)在x=1处取得最小值，求实数m的值；(2)若f(x)=0总有实数根，求实数m的取值范围。17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足a²=b²+c²-bc。(1)求角A的大小；(2)若b=2√3,c=4，求边a的长及△ABC的面积。18.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且满足a₁=1,aₙ=Sₙ+(n-1)。(1)求数列{aₙ}的通项公式；(2)求数列{aₙ}的所有项的和。19.已知直线l:y=kx+b与圆C:x²+y²-4x+6y-3=0相交于A,B两点，且线段AB的中点M的坐标为(1,-2)。(1)求实数k和b的值；(2)求|AB|的长。20.某校为了解学生对数学学习的兴趣，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图略）：（1）若图中条形图中“非常感兴趣”的部分对应的矩形的高为8，则抽取的学生总数为多少人？（2）根据以上信息，补全频数分布直方图（图略）；（3）若该校共有2000名学生，估计该校对数学学习“感兴趣”及以上的学生大约有多少人？21.已知函数f(x)=e^x-ax+1。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对于任意x∈R，f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围。22.现要设计一个数学活动，内容涉及函数y=sin(x+α)(0≤α<π)的图像变换。(1)写出将该函数图像向左平移π/4个单位长度后得到的函数的解析式；(2)写出将该函数图像先伸缩纵坐标变为原来的2倍，再关于y轴对称后得到的函数的解析式；(3)请简要描述如何通过图像变换得到函数y=sin(2x+π/3)的图像。23.已知函数f(x)=x³-3x²+2。(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若函数f(x)的图像与直线y=kx+1有且只有两个交点，求实数k的取值范围。24.在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是边长为2的正三角形，AA₁=3，点D是棱BB₁的中点。(1)求证：CD⊥平面A₁AB；(2)求二面角A-C₁D-A₁的余弦值。25.已知数列{aₙ}是等差数列，其前n项和为Sₙ，且S₃=9,S₆=18。(1)求数列{aₙ}的通项公式；(2)设bₙ=(n+1)aₙ，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。26.某工厂生产一种产品，每件产品的成本为10元，售价为20元。工厂每生产一件产品需缴纳环保税2元，且每月固定支出为5000元。假设工厂月产量为x件（x为正整数），月利润为y元。(1)写出月利润y关于月产量x的函数关系式；(2)工厂要实现月利润为10000元，每月至少需要生产多少件产品？(3)当月产量x在什么范围内时，工厂的月利润随产量增加而增加？27.阅读下面的材料，完成下列问题：在数学学习中，我们常用“割圆术”来近似计算圆的周长和面积。其基本思想是：用正多边形的周长和面积去逼近圆的周长和面积。例如，设圆的半径为R，用边长为l的正n边形的周长和面积分别去近似圆的周长C和面积S。当n趋近于无穷大时，正n边形的周长趋近于圆的周长，即C=lim(n→∞)n*l；正n边形的面积趋近于圆的面积，即S=lim(n→∞)(n/2)*l*h，其中h是正n边形边心到顶点的距离。（1）当n=6时，求用边长为l的正六边形的周长和面积分别去近似圆的周长C和面积S的近似值（π取3.14）；（2）设圆的半径R=1，当n趋近于无穷大时，求正n边形周长趋近于圆周长的极限值；（3）请结合以上材料，谈谈你对“割圆术”蕴含的数学思想方法的理解。28.设计一个“函数奇偶性”的课堂导入环节。（1）请设计一个问题情境，引导学生思考函数奇偶性的意义；（2）根据学生可能的回答，引出函数奇偶性的定义，并说明其几何意义；（3）简述接下来如何展开“函数奇偶性”的教学。29.已知函数f(x)=x³-3x+1。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像与直线y=ax+b有且只有三个交点，求实数a,b满足的条件。30.某兴趣小组为调查本校学生每周参与体育锻炼的时间情况，随机抽取了60名学生进行调查，并将调查结果按时间区间（单位：小时）分为A,B,C,D,E五组，绘制成如下两幅不完整的统计图（图略）：（1）根据统计图信息，补全频率分布表；（2）估计该校学生每周参与体育锻炼时间在1.5小时及以上的学生比例；（3）若从每周参与体育锻炼时间在2小时及以上的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生每周参与体育锻炼时间都超过3小时的概率。试卷答案一、单项选择题：1.B2.A3.C4.B5.C6.A7.C8.A9.B10.A解析：1.A={1,2}。若B⊆A且B≠∅，则a=1/2或a=1。若B=∅，则ax=1对任意x∈R无解，需a=0。故a的取值集合为{0,1/2,1}。选项B正确。2.函数f(x)=log₃|x|的图像关于y轴对称。选项A正确。3.z=(2-i)/(1+i)=(2-i)(1-i)/(1+i)(1-i)=(2-2i-i+i²)/2=(1-3i)/2=-1/2-3i/2。故z=-1+3i。选项C正确。4.由极限基本公式lim(x→0)(sinx/x)=1。选项B正确。5.f'(x)=3x²-3。令f'(x)=0，得x=±1。f(-1)=1,f(1)=-1。f(-2)=-1,f(2)=3。由介值定理，f(x)在(-2,-1)和(1,2)内各有一个零点。选项C正确。6.a₅=5+4*(-2)=-3。a₇=5+6*(-2)=-7。a₅+a₇=-10。选项A正确。7.由a²+b²-c²=ab，得2a²+2b²-2c²=2ab，即(a²+b²-c²)/(a²+b²)=ab/(a²+b²)。sin²C/cos²C=sinA*sinB/(sinA)²+(sinB)²。sin²C=sinA*sinB。cosC=0。角C=90°。选项D正确。8.总的基本事件数为6*6=36。满足条件的基本事件为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4个。概率为4/36=1/9。选项D错误，应为1/9。此处按题目选项设置，若必须选，则题目或选项有误。假设题目意在考察标准答案选项，则可能选项设置有问题。若必须从给定选项中选择一个最接近的标准概率，通常为1/6(对应(3,2)或(2,3))。但题目给的是1/6。此处保留原分析结果1/9，并指出选项问题。9.g(x)=(x-2)²-1。顶点坐标为(2,-1)。f(x)=g(x)+2=(x-2)²+1。顶点坐标为(2,1)。选项B正确。10.l₁:ax+3y-6=0。l₂:x+(a+1)y+4=0。若平行，则3(a+1)=a*1，且-6≠4。3a+3=a。2a=-3。a=-3。选项A正确。二、多项选择题：11.A是偶函数。B是奇函数。C是偶函数。D是奇函数。选项B,D正确。12.b₄/b₂=q²=54/6=9。q=±3。选项A,B正确。13.向右平移π个单位，得f(x)=tan(x-π+π/3)=tan(x-2π/3)。要为奇函数，需x-2π/3=-x+kπ，即2x=2π/3+kπ。x=π/3+kπ/2。选项A,B正确。14.正四棱柱底面是正方形，侧棱垂直底面。长方体对角线平方和等于三边平方和。正四棱锥侧面是等腰三角形（底边相等，高相等）。直平行六面体对角线不一定互相平分（除非是长方体）。选项C正确。15.A是正确定义。C是正确定义。D是正确定义。B错误，样本平均数不一定等于总体平均数。选项A,C,D正确。三、解答题：16.(1)f'(x)=2x-m。令f'(x)=0，得x=m/2。f(x)在x=m/2处取得最小值，需m/2=1。m=2。(2)f(x)=0有实数根，需Δ=m²-4(2m-1)≥0。m²-8m+4≥0。Δ'=64-16=48。m=4±2√3。解不等式(m-4)²≥48。m∈(-∞,4-2√3]∪[4+2√3,+∞)。17.(1)cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(b²+c²-(b²+c²-bc))/(2bc)=bc/(2bc)=1/2。A=60°。(2)sin60°=a/2√3。a=2√3*(√3/2)=3。面积S=(1/2)*b*c*sinA=(1/2)*2√3*4*(√3/2)=6√3。18.(1)n=1时，S₁=1。a₁=S₁+(1-1)=1。n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=[Sₙ+(n-1)]-[Sₙ₋₁+(n-2)]=aₙ₋₁+(n-1)-(n-2)=aₙ₋₁+1。aₙ=aₙ₋₁+1。aₙ=a₁+(n-1)*1=1+(n-1)=n。检验n=1时成立。通项aₙ=n。(2)Sₙ=1+2+3+...+n=n(n+1)/2。所有项的和为lim(n→∞)Sₙ=lim(n→∞)[n(n+1)/2]=+∞。或Tₙ=1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。所有项的和为lim(n→∞)Tₙ=+∞。19.(1)圆心C(2,-3)。M(1,-2)。CM⊥l。斜率k_CM=(-2-(-3))/(1-2)=1/-1=-1。l的斜率k=1。b=-3-k*1=-3-1=-4。直线方程为y=x-4。(2)点C到l的距离d=|2-(-3)-(-4)|/√(1²+(-1)²)=9/√2=(9√2)/2。|AB|=2√(r²-d²)=2√(2²-((9√2)/2)²)=2√(4-81/4)=2√(-77/4)=2*(i√77)/2=i√77。此处计算错误，r²-d²应为正。r²=4²+6²-(-3)²=16+36-9=43。d²=81/4。r²-d²=43-81/4=172/4-81/4=91/4。|AB|=2√(91/4)=√91。20.(1)"非常感兴趣"占8/40=1/5。总数为8/(1/5)=40人。(2)补全直方图需知道各组频数或频率。无法完成。(3)"感兴趣及以上"人数占比为(10+8)/40=18/40=9/20。2000*(9/20)=900人。21.(1)f'(x)=e^x-a。若a≤0，f'(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增。若a>0，令f'(x)=0，得x=lna。当x<lna时，f'(x)<0，f(x)单调递减。当x>lna时，f'(x)>0，f(x)单调递增。单调递增区间为(-∞,lna)和(lna,+∞)。单调递减区间为(lna,+∞)。(2)f(x)≥1恒成立，即e^x-ax+1≥1恒成立。e^x-ax≥0恒成立。g(x)=e^x/x。g'(x)=(x-1)e^x/x²。令g'(x)=0，得x=1。g(1)=e/1=e。g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增。g(x)min=e。需-a≤e。a≥-e。22.(1)g(x)=sin(x+π/4)。(2)h(x)=2sin(x+α)。k(x)=-2sin(x+α)=2sin(-x-α)=2sin(x+(π+α))。解析式为y=2sin(x+(π+α))。(3)方法一：y=sin(2x+π/3)=sin[2(x+π/6)]。先伸缩纵坐标变为原来的2倍，得y=2sin(2x+π/3)。再关于y轴对称，得y=2sin[-2x+π/3]=2sin(2x-π/3)。方法二：y=sin(2x+π/3)=sin[2(x-(-π/6))]。先平移π/6个单位，得y=sin[2(x-(-π/6)+π/6)]=sin(2x+2π/6)=sin(2x+π/3)。再伸缩纵坐标变为原来的2倍，得y=2sin(2x+π/3)。23.(1)f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(0)=1。f(2)=2³-3*2²+2=-2。f(-1)=-1³-3*(-1)²+2=-2。极大值M=max{f(0),f(-1)}=max{1,-2}=1。极小值m=min{f(0),f(-1)}=min{1,-2}=-2。单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞)。单调递减区间为(0,2)。(2)直线y=kx+b与f(x)有三个交点，需图像与直线相切，且切点两侧各有一个交点。即方程x³-3x²+2=kx+b有唯一解，且k≠0（否则为相交或重合）。设切点为(x₀,y₀)，则y₀=x₀³-3x₀²+2=kx₀+b。f'(x₀)=3x₀²-6x₀=k。由b=y₀-kx₀=x₀³-3x₀²+2-(3x₀²-6x₀)x₀=x₀³-3x₀²+2-3x₀³+6x₀²=-2x₀³+3x₀²+2。需判别式Δ=0。即(3x₀)²-4(-2x₀³+3x₀²+2)=0。9x₀²+8x₀³-12x₀²-8=0。8x₀³-3x₀²-8=0。x₀=-1时，8(-1)³-3(-1)²-8=-8-3-8=-19≠0。x₀=1时，8(1)³-3(1)²-8=8-3-8=-3≠0。方程8x³-3x²-8=0无有理根。可能题目条件或选项设置有问题。若按标准思路，需k=3x₀²-6x₀，b=-2x₀³+3x₀²+2。条件为Δ=0。即9x₀⁴-4(-2x₀³+3x₀²+2)=0。9x₀⁴+8x₀³-12x₀²-8=0。可能需要数值解或特殊值检验。若简化，可考虑x₀=0或x₀=2时的情况，但可能不满足唯一解。此题条件较复杂，标准答案可能需要更严谨推导或假设特定解。此处按题目要求，条件为Δ=0且k≠0。即9x₀⁴+8x₀³-12x₀²-8=0且k=3x₀²-6x₀≠0。24.(1)取AC中点E，连接BE。AC=2，AE=1。BB₁⊥平面ABC。BE⊥AC（E在AC中点，△ABC正三角形）。AE⊥BE。又AA₁⊥平面ABC。AE⊥AA₁。AE,BE,AA₁两两垂直。以E为原点，AE,BE,AA₁所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。A(1,0,0),B(√3/2,1/2,0),C(-√3/2,1/2,0),A₁(1,0,3),D(√3/4,1/2,3/2)。向量CD=(-√3/2-√3/4,0,0)=(-3√3/4,0,0)。向量n=(0,0,1)是平面A₁AB的一个法向量。向量CD·n=(-3√3/4)*0+0*0+0*1=0。CD⊥平面A₁AB。(2)取BC中点F，连接DF,A₁F。△BCF为等腰三角形，DF⊥BC。B(√3/2,1/2,0),C(-√3/2,1/2,0),F(0,1/2,0)。DF=√[(0-√3/2)²+(1/2-1/2)²+(0-0)²]=√(3/4)=√3/2。A₁(1,0,3),F(0,1/2,0)。A₁F=√[(0-1)²+(1/2-0)²+(0-3)²]=√(1+1/4+9)=√(40/4)=√10。二面角A-C₁D-A₁的平面角为∠A₁FD。cos∠A₁FD=A₁F/DF=√10/(√3/2)=2√10/√3=2√30/3。25.(1)S₃=3/2*[2a₁+(3-1)d]=3/2*(2a₁+2d)=3(a₁+d)=3a₃=9。a₃=3。S₆=6/2*[2a₁+(6-1)d]=3(2a₁+5d)=18。2a₁+5d=6。由a₃=a₁+2d=3。得2a₁+4d=6。联立2a₁+5d=6和2a₁+4d=6。d=6。代入2a₁+4*6=6。2a₁+24=6。2a₁=-18。a₁=-9。通项aₙ=a₁+(n-1)d=-9+(n-1)*6=6n-15。(2)bₙ=(n+1)aₙ=(n+1)(6n-15)=6n²-9n。Tₙ=1*(-3)+2*3+3*9+...+n*(6n-15)。用“倒序相加法”或求和公式。Tₙ=Σ(k*(6k-15))fromk=1ton=6Σk²fromk=1ton-9Σkfromk=1ton=6n(n+1)(2n+1)/6-9n(n+1)/2=n(n+1)(2n+1)-3n(n+1)/2=n(n+1)/2*(2(2n+1)-3)=n(n+1)/2*(4n+2-3)=n(n+1)/2*(4n-1)=n(n+1)(4n-1)/2。26.(1)y=20x-10x-2x-5000=8x-5000。(2)8x-5000=10000。8x=15000。x=1875。至少需要生产1875件。(3)利润函数y=8x-5000。y'=8>0。y在定义域内（x≥0）单调递增。要实现利润增加，需生产量x增加。即当x>1875时，y随x增加而增加。27.(1)n=6，边长l=2π/6=π/3。周长L≈6*(π/3)=2π≈2*3.14=6.28。面积S≈(1/2)*6*(π/3)*√[(π/3)²+1²]≈1*2π*√[(π²/9)+1]≈2*3.14*√[(9.86/9)+1]≈6.28*√[1.09+1]≈6.28*√2.09≈6.28*1.443≈9.08。(2)lim(n→∞)n*l=lim(n→∞)n*(2π/n)=lim(n→∞)2π=2π。(3)“割圆术”蕴含的数学思想方法：以直代曲（用内接/外切正多边形逼近圆）、无限逼近（当n趋近于无穷大时，多边形趋近于圆）、化繁为简（将复杂问题分解为简单问题处理）、数形结合（利用图形直观理解数量关系）、极限思想（用极限描述无限过程和精确值）。体现了中国古代数学的严谨性和创造性的思想方法。28.(1)提问：同学们，我们学过的函数中，哪些函数的图像是中心对称图形？它们的对称中心有什么特点？对于函数y=f(x)，如果它关于某个点(a,b)对称，即满足f(x)-b=-[f(2a-x)-b]，即f(x)+f(2a-x)=2b。大家能想到哪些函数满足这个条件？比如y=x³。我们看它的图像，关于原点(0,0)对称。也就是说，y=x³是一个奇函数。奇函数有什么性质？它的图像关于y轴对称吗？不，是关于原点对称。那么，如果函数y=f(x)是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)，它的图像有什么对称性？它关于原点对称。反过来，如果函数的图像关于原点对称，是不是就意味着它是奇函数？是的，这是函数奇偶性的定义。...(继续引导)(2)由奇函数定义f(-x)=-f(x)。几何意义是：函数y=f(x)的图像关于原点对称。如果f(x)是奇函数，其图像上任意一点(x,f(x))关于原点(0,0)存在对应的对称点(-x,-f(x))，反之亦然。...(继续阐述)(3)接下来，我们可以研究奇函数的图像变换。例如，已知y=f(x)是奇函数，如何得到y=f(x+a)的图像？先平移。如何得到y=f(kx)的图像？先伸缩。如何得到y=kf(x)的图像？先伸缩。那么，如何得到y=f(kx+a)的图像？先伸缩，再平移。具体步骤是什么？...(引导学生总结并展开教学)29.(1)f'(x)=3x²-3。令f'(x)=0，得x=±1。f(-1)=1,f(1)=-1。f(-2)=-5,f(2)=1。由介值定理，f(x)在(-2,-1)和(1,2)内各有一个零点。f(x)在(-∞,-1)单调递减，在(-1,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减。图像大致趋势：左下↘驼峰↗驼峰↙右上。要使图像与直线y=ax+b有且只有三个交点，需直线过极值点(-1,1)或(1,-1)。若过(-1,1)，则b=1。此时直线方程为y=ax+1。需与f(x)只有一个交点。即方程x³-3x²+2=ax+1有且只有一根。x³-3x²-ax+1=0有两个相同的根。Δ=a²-12=0。a=±2√3。若过(1,-1)，则b=-1。直线方程为y=ax-1。需与f(x)只有一个交点。即方程x³-3x²+2=ax-1有且只有一根。x³-3x²-ax+2=0有两个相同的根。Δ=a²-8=0。a=±2√2。综上所述，实数a,b满足a²-12=0且b=1或a²-8=0且b=-1。即a=±2√3且b=1或a=±2√2且b=-1。需要考察考生对函数性质、方程根的分布、直线与函数图像交点个数等知识的综合运用能力，以及分类讨论的严谨性。30.(1)题目信息不足，无法补全频数分布表。需要补充完整统计图信息，如各组人数或频率。(2)需要各组频数或频率信息才能计算比例。假设题目提供了完整统计图信息，估计比例=(1.5小时及以上组频数/总频数)*100%。例如，若1.5小时及以上组频数为48人，总频数为60人，则比例为(48/60)*100%=80%。(3)需要各组频数信息。假设总频数为60人，其中2小时及以上组人数为40人，其中超过3小时组人数为10人。则P(抽取2人>3小时)=P(第一人>3小时且第二人>3小时)=(10/40)*(9/39)=1/16。需要具体各组人数信息才能计算。试卷答案一、单项选择题：1.B2.A3.C4.B5.C6.A7.C8.A9.B10.A二、多项选择题：11.B,D12.A,B13.A,B14.C15.A,C,D三、解答题：16.(1)f'(x)=2x-m。令f'(x)=0，得x=m/2。f(x)在x=m/2处取得最小值，需m/2=1。m=2。(2)f(x)=0有实数根，需Δ=m²-4(2m-一定理法)≥0。m²-8m+4≥0。Δ'=64-16=48。m=4±2√3。解不等式(m-4)²≥48。m∈(-∞,4-2√3]∪[4+2√3,+∞)。17.(1)cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(b²+c²-(b²+c²-bc))/(2bc)=bc/(2bc)=1/2。A=60°。(2)sin60°=a/2√3。a=2√3*(√3/2)=3。面积S=(1/2)*b*c*sinA=(1/2)*2√3*4*(√3/2)=6√3。18.(1)n=1时，S₁=1。a₁=S₁+(1-1)=1。n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=[Sₙ+(n-1)]-[Sₙ₋₁+(n-2)]=aₙ₋₁+1。aₙ=aₙ₋₁+1。aₙ=a₁+(n-1)*1=1+(n-1)=n。检验n=1时成立。通项aₙ=n。(2)Sₙ=1+2+3+...+n=n(n+1)/2。所有项的和为lim(n→∞)Sₙ=lim(n→∞)[n(n+1)/2]=+∞。或Tₙ=1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。所有项的和为lim(n→∞)Tₙ=+∞。19.(1)圆心C(2,-3)。M(1,-2)。CM⊥l。斜率k_CM=(-2-(-3))/(1-2)=1/-1=-1。l的斜率k=1。b=-3-k*1=-3-1=-4。直线方程为y=x-4。(2)点C到l的距离d=|2-(-3)-(-4)|/√(1²+(-1)²)=9/√2=(9√2)/2。|AB|=2√(r²-d²)=2√(4²-((9√2)/2)²)=2√(4-81/4)=2√(40/4-81/4)=2√(91/4)=√91。20.(1)"非常感兴趣"占8/40=1/5。总数为8/(1/5)=40人。(2)补全频数分布表需知道各组频数或频率。无法完成。(3)"感兴趣及以上"人数占比为(10+8)/40=18/40=9/20。2000*(9/20)=900人。21.(1)f'(x)=e^x-a。若a≤1，f'(x)>一定理法。若a>1，令f'(x)=0，得x=lna。当x<lna时，f'(x)<0，f(x)单调递减。当x>lna时，f'(x)>一定理法。单调递增区间为(-∞,lna)和(lna,+∞)。单调递减区间为(lna,+∞)。(2)f(x)≥1恒成立，即e^x-ax≥0恒成立。g(x)=e^x/x。g'(x)=(x-1)e^x/x²。令g'(x)=0，得x=1。g(1)