2026年大一轮复习讲义数学讲义练习第五章5.3平面向量的数量积（附答案）

§5.3平面向量的数量积分值：100分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2024·葫芦岛模拟)已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(a-b)的值为()A.4 B.3 C.2 D.02.(2025·西安模拟)平面向量a与b的夹角为120°，|a|=2，|b|=3，则|a-2b|等于()A.28 B.52 C.27 D.2133.长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10km/h，水流的速度v2的大小|v2|=6km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cosθ等于()A.-25 B.-35 C.-44.(2025·鞍山模拟)已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，向量a在向量b上的投影向量是2b，则a与b夹角的余弦值为()A.23 B.26 C.25.(2024·呼伦贝尔模拟)在△ABC中，AB⊥AC，CD=(2-1)BC，AC·AD=62，则AC等于(A.6 B.6 C.23 D.326.在△ABC中，设|AC|2-|AB|2=2AM·(AC-AB)，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是()A.(a+b)·c=a·c+b·cB.(a·b)·c=a·(b·c)C.a·b≤|a||b|D.|a-b|≤|a|+|b|8.已知向量a=(-2，1)，b=(1，t)，则下列说法正确的是()A.若a∥b，则t的值为-2B.|a+b|的最小值为1C.若|a+b|=|a-b|，则t的值为2D.若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是-∞，三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2024·西安模拟)已知单位向量e1⊥e2，向量a=λe1-2e2，b=2e1+e2，若a⊥b，则实数λ=.

10.(2025·汕头模拟)已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且满足4OC=-2OA-3OB，则cos∠AOB=，AB·OA=.

四、解答题(共26分)11.(12分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|=2|DC|=2，∠BAD=π3，E是BC边的中点(1)试用AB，AD表示AE，BC；(2)求DB·AE的值.(6分)12.(14分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AE=λAD，BC=2AB=2AD=2.(1)若BE⊥AC，求实数λ的值；(7分)(2)若λ=23，求AC与BE的夹角θ的余弦值.(7分13，14题每小题6分，15，16题每小题5分，共22分13.(多选)(2024·广州模拟)已知向量a，b不共线，向量a+b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是()A.a·b=0 B.(a+b)⊥(a-b)C.向量a，b在a+b上的投影向量相等 D.|a+b|=|a-b|14.(多选)已知向量a=(3，1)，b=(cosθ，sinθ)，则下列说法正确的是()A.存在θ∈0，π2，使得B.存在θ∈0，π2，使得C.对于任意θ∈0，π2，a·b∈(1D.对于任意θ∈0，π2，|a-b|∈［115.(2024·抚州模拟)定义：|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|=2，|b|=5，a·b=-8，则|a×b|=.

16.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，点M满足AM=12(AB+AF)，则|AM|=；若点P是线段EC上的动点(包括端点)，则AP·DP的最小值是答案精析1.C2.D3.B4.C5.A[由AB⊥AC，得AB·AC=0，由CD=BD-BC=(2-1)BC得BD=2BC由AC·AD=AC·(AB+BD)=AC·BD=2AC·BC=2AC·(AC-=2|AC所以|AC|=6，即AC=6.6.D[设线段BC的中点为D，则AB+AC=2AD因为|AC|2-|AB|2=2AM·(AC-AB)，所以(AC+AB)·(AC-AB)=2AM·BC即2AD·BC=2AM·BC即BC·(AM-AD)=0，当AM=AD时，点M和点D重合；当AM≠AD时，BC·DM=0即DM⊥BC，所以DM垂直且平分线段BC，因此动点M的轨迹是BC的垂直平分线，必通过△ABC的外心.]7.ACD[根据数量积的分配律可知A正确；B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；C中，根据数量积的定义可知a·b=|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；D中，|a-b|2-(|a|+|b|)2=-2a·b-2|a||b|≤0，故|a-b|2≤(|a|+|b|)2，即|a-b|≤|a|+|b|，故D正确.]8.BCD[选项A，a∥b⇔-2·t=1·1⇔t=-12，选项B，|a+b|=|(-1，t+1)|=(t+1)2+1≥1，当且仅当选项C，方法一|a-b|=|(-3，1-t)|=(-t+1)2+9，根据(-t+1方法二因为|a+b|=|a-b|，则a·b=0，所以a·b=-2+t=0，解得t=2，C选项正确；选项D，a与b的夹角为钝角，则a·b=t-2<0，且两个向量不能反向共线，注意到A选项，当t=-12时，a=-2b，于是t<2且t≠-12，D9.110.14-解析由4OC=-2OA-3OB两边平方得16OC2=4OA2+9OB2+12依题意，16=4+9+12cos∠AOB，所以cos∠AOB=1AB·OA=(OB-OA)·OA=OB·OA-OA2=cos∠AOB-1=-311.解(1)AC=AD+DC=AD+1AE=12(AB=1=34ABBC=AC-AB=AD+12AB=AD-12(2)由题意可知，|AD|=12(|ABDB=AB-AD所以DB·AE=(AB-AD)·3=34|AB|2-=34|AB|2-12|AD|2-14|AB||AD|·cosπ3=34×4-12.解(1)分别以BC，BA的方向为x轴、y轴的正方向，点所以A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)，所以AC=(2，-1)，BE=(λ，1)因为BE⊥AC所以BE·AC=2λ-1=0，所以λ=12(2)当λ=23时，|AC|=22+12=5，因为BE·AC=2λ-1=1所以cosθ=BE·AC|BE||13.BC[如图，作向量OA=a，OB=b，在▱OACB中，OC=a+b，BA=a由向量a+b平分a与b的夹角，得▱OACB是菱形，即|a|=|b|.对于A，a与b不一定垂直，A错误；对于B，(a+b)·(a-b)=a2-b2=0，即(a+b)⊥(a-b)，B正确；对于C，a在a+b上的投影向量为a·(a+b)|a+b|2(a+b)=a2+a·b|a+b|2(a+b)，b在a+b上的投影向量为对于D，由选项A知，a·b不一定为0，则|a+b|与|a-b|不一定相等，D错误.]14.BCD[对于A，a·b=3cosθ+sinθ=2sinθ+π3，若a⊥b，则2sinθ+π3=0，因为θ∈对于B，若a∥b，则3sinθ-cosθ=0，即tanθ=33因为θ∈0，π2，所以θ=π对于C，a·b=2sinθ+因为θ∈0，π2，所以θ+π则sinθ+π3所以a·b=2sinθ+π3∈(1，2对于D，|a-b|=(3-cosθ因为θ∈0，π2，则θ-π所以cosθ-π6则|a-b|∈［1，3)，故D正确.]15.6解析设向量a与b的夹角为θ∈[0，π]，则cosθ=a·b|a因为θ∈[0，π]，可得sinθ=1-cos2故|a×b|=|a||b|sinθ