数据的离散程度 (课件) 2025-2026学年人教版八年级数学下册

人教·八年级数学下册

第二十四章数据的分析24.2数据的离散程度24.2.1离差平方和、方差的应用问题导入问题如图，为什么自动灌装线的生产的饮料实际含量会有差别？这是因为自动灌装线在运行时，会受到机器精度、气压变化、液体流速等不可控因素的影响，导致每瓶饮料的实际灌装量和标准含量之间产生误差.这种误差在工业生产中是普遍存在的.探究新知问题如何判断哪条灌装线的质量更好？不能只看单瓶的误差，也不能只看平均含量.我们需要从两个维度来判断：1.误差是否合格：先看误差的绝对值有没有超过规定的标准，如果所有误差都在合格范围内，说明灌装线基本稳定.2.波动是否更小：在误差都合格的前提下，比较两条线的整体波动程度.可以计算每瓶与标准值的平均差异，波动更小的那条线，灌装质量更稳定、更好.探究新知例2自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）.甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如表所示.甲501496498499503498505498501501乙496493504495500506504505498499（1）如果每瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL为不合格品，两条灌装线的灌装质量是不是都合格？探究新知分析:在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小，说明灌装线的质量越好.解：（1）甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500mL的误差如表所示．甲组误差/mL1－4－2－13－25－211乙组误差/mL－4－74－50645－2－1从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5mL、7mL，两者都小于10mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的.甲501496498499503498505498501501乙496493504495500506504505498499探究新知（2）哪条灌装线的灌装质量更好？可通过哪些统计量来关注饮料的质量？（2）甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为x甲

=501+496+…+50110=500x乙

=496+493+…+49910=500甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的方差分别为(501－500)2+(496－500)2+…+(501－500)210

=6.6(496－500)2+(493－500)2+…+(499－500)210

=18.8

∴甲灌装线的灌装质量更好.探究新知因而在用样本估计总体时，通常要综合考虑样本平均数与样本方差，再作出判断.决策型问题的求解策略

决策型问题的求解不能只通过某一个统计量去判断，而应该从多个角度去分析.平均数、中位数、众数反映一组数据的集中趋势.方差是用来描述数据离散程度的量，它的大小体现一组数据的稳定情况.探究新知例3甲、乙两地同一天的气温记录如表所示.时刻0:002:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0024:00甲/℃1191012162123242118161413乙/℃13111214151719212018171615两地的气温有什么差异？解：为了直观地观察两地气温的特点，以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示，得到下图.探究新知①通过数据的集中趋势分析两地的气温差异：平均数、中位数、众数.两地气温的平均数分别为x甲11+9+…+1313==16x乙13+11+…+1513==16平均数相等.将两地气温按从小到大排列，可得甲地9101112131416161821212324乙地11121314151516171718192021中位数都是16众数：甲地是16和21,乙地是15和17.重复次数太少，不具有代表性.从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显.探究新知两地气温的方差分别为方差②通过数据的离散程度分析两地的气温差异：由

可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定.

新知应用1.甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试.每人投篮10组，每组投篮10次，两名运动员投篮10组命中的次数如下表所示.哪名运动员的投篮更稳定？甲869681077109乙78989881067课P174解：由题意得，由平均数相同，

可知，乙运动员的投篮更稳定.新知应用2.甲、乙两台机床同时生产一种零件.在10天中，两台机床每

天出次品的数量（单位：件）如下表所示.（1）分别计算两组数据的平均数和方差；解：由题意得，x甲0+1+0+2+2+0+3+1+2+410==1.5甲0102203124乙2311021101x乙2+3+1+1+0+2+1+1+0+110==1.2新知应用(0－1.5)2+(1－1.5)2+…+(4－1.5)210

=1.65(2－1.2)2+(3－1.2)2+…+(1－1.2)210

=0.76（2）哪台机床的性能比较好？即：出次品的平均数小，且波动较小(方差小)的.(2)由（1)可知，

x甲>x乙，

∴乙机床的性能比较好.课堂小结如何表现一组数据的集中趋势和离散程度？平均数离差平方和数据中位数众数总体平均数样本估计总体方差总体方差样本估计总体离散程度集中趋势课堂练习

A.甲B．

乙C.甲、乙均可D．

无法确定A课堂练习9.某市准备选购1000株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化．采购小组从三个苗圃中(单株树的价格都相同)各随机测量20株树苗的高度，得到的数据如下：苗圃A苗圃B苗圃C苗圃平均高度/m1.942.032.03方差0.60.61.2若要求风景树尽可能高且整齐美观，应选购

苗圃的树苗．(填“A”“B”或“C”) B课堂练习例4小李和小张参加了市田径比赛的校内选拔赛，近期的5次测试成绩(单位：分)如下表所示．测试序号12345小李121311915小张1110131214(1)根据上表中提供的数据，计算两人5次成绩的平均数和方差(2)若从两人中选择发挥较为稳定的一人参加市田径比赛，你认为选谁去合适？为什么？(2)选小张去合适．理由如下：

∴小张发挥较为稳定．∴选小张去合适．课堂练习10.某校九年级进行立定跳远训练，以下是刘明和张晓同学6次的训练成绩(单位：m)：刘明：2.54，2.48，2.50，2.48，2.54，2.52；张晓：2.50，2.42，2.52，2.56，2.48，2.58. (1)刘明的平均成绩是

，张晓的平均成绩是