广东省广州市越秀区2024-2025学年高二下学期数学期末强化练习卷

广东省广州市越秀区2024-2025学年高二下学期数学期末强化练习卷

一、单选题

1．已知随机变量服从正态分布N1,2，若P20.2，则P01（）

A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6

2．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（）

A．60B．125C．240D．243

3．已知函数f(x)xsinx，那么f(x)（）

A．cosxB．sinxxcosx

C．sinxxcosxD．sinx

4．某校高二年级组织春游，已知该校1~8班每班30人，9~20班每班40人，且1~8班前往“庐山”景区，9~20班前

往“武功山”景区.若游客对“庐山”景区的满意度为80%，对“武功山”景区的满意度为75%，现从该校随机抽取一名高

二学生，则对所游景区感到满意的概率为（）

315423

A．B．C．D．

523530

5．已知等比数列an的公比为2，前4项的和是3，则前8项的和为（）

A．48B．51C．54D．57

1

6．随机变量X的取值为0，1，2，若PX0，EX1，则DX（）

4

113

A．B．C．D．1

424

7．从正六边形的6个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形

不是等边三角形的个数是（）

A．24B．26C．27D．29

8．已知fx2x36x2a（a为常数）在2,2上有最大值3，则此函数fx在2,2上的最小值是（）

A．37B．29C．5D．8

二、多选题

6

1

9．关于x的展开式，下列结论正确的是（）

x

A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为0

C．常数项为20D．系数最大的项为第4项

10．为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数x与所用时间y（单位：min）的5组数据为：

1,5,2,9,3,12,4,15,5,19，根据以上数据可得经验回归方程为：yˆ3.4xaˆ，则下列选项正确的有（）

A．aˆ1.8

B．回归直线yˆ3.4xaˆ必过点2,9

C．加工6个零件的时间大约为22.2min

D．若去掉3,12，剩下4组数据的经验回归方程不会有变化

*

11．设数列{an}的前n项和为Sn(nN)，关于数列{an}，下列四个命题中正确的是（）

*

A．若an1an(nN)，则{an}既是等差数列又是等比数列

2*

B．若SnAnBn(A，B为常数，nN)，则{an}是等差数列

n

C．若Sn11，则{an}是等比数列

*

D．若{an}是等差数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n(nN)也成等差数列

三、填空题

12．设数列an的前n项和为Sn，且a11，a2nan1,a2n1nan，则S100.

13．现有一批同规格的羽毛球，由A，B，C三家工厂生产，其中A，B，C三家工厂分别生产3000个、4000个、

3000个.A，B，C三家工程的次品率依次为0.02，0.04，0.03.现从这批羽毛球中任取一个，则这个羽毛球的次品的

概率为.

1

14．已知函数fxx32lnxmx在定义域上单调递增，则实数m的最大值是.

3

四、解答题

1

15．已知函数fxx3ax2bx1，其导函数为fx，不等式fx0的解集为2,4.

3

（1）求a，b的值；

（2）求函数在0,3上的最大值和最小值.

16．我国今年4月神舟十八号载人飞船成功发射、神舟十七号载人飞船顺利返回地球，5月嫦娥六号探测器成功发

射，航天工作者的艰苦努力和科技创新精神被公众广泛赞誉，航天精神成为新时代的时代楷模．为进一步弘扬航天

精神、学习航天知识，传播航天文化，某校计划开展“航天知识大讲堂”活动，为了解学生对“航天知识大讲堂”的喜

爱程度，从全校学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：

喜欢航天知识大讲堂不喜欢航天知识大讲堂合计

男2026

女14

合计50

n(adbc)2

附：2，其中nabcd．

(ab)(cd)(ac)(bd)

2

Px0.1000.0500.0250.0100.001

x2.7063.8415.0246.63510.828

(1)请将上面22列联表补充完整，依据0.010的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与

性别有关联；

(2)现从抽取的“喜欢航天知识大讲堂”学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取3人，

记这3人中“喜欢航天知识大讲堂“的女生人为X，求X的分布列和数学期望．

2

17．记正项数列an的前n项和为Sn，已知a11,2SnSn1an1n2.

(1)求an；

a1

n,n为奇数

2

(2)若b，数列b的前n项和为Tn，求T的值.

n4n20

,n为偶数

anan4

x

．已知函数fxaxlnxax1（aR）

18e.

(1)当a1时，求fx的单调区间；

1

(2)若函数fx有两个不同的零点x，x，证明：x1x22eln．

12a

（其中e2.71828是自然对数的底数）

19．某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加

投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得

点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束.

(1)设员工在游戏过程中累计得n分的概率为Pn.

①求P1,P2,P3；

②求证数列PnPn12n9为等比数列.

(2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司

计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1元）

参考答案

1．B【分析】利用正态密度曲线的对称性可得出P010.5P2，由此可求得结果.

【详解】由于随机变量服从正态分布N1,2，则P2P00.2，

因此，P010.5P00.5P20.50.20.3.

故选：B.

【点睛】本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题.

2．D【分析】有分步计算原理即可得出结果.

【详解】每个同学由3种选择方式，5名同学共有35=243种选择方式

故选：D

3．C【分析】根据导数的运算计算．

【详解】f(x)(x)sinxx(sinx)sinxxcosx．

故选：C．

4．D【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答.

【详解】设B“任抽一名高二学生对所游景区感到满意”，A1“抽到1~8班的学生”，A2“抽到9~20班的学生”，

830112402

P(A),P(A)，

183012403283012403

43

P(B|A)80%,P(B|A)75%，

1524

142323

所以P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A).

1122353430

故选：D

k

5．B【分析】利用等比数列的性质aikqai转化可以得到a5a6a7a8与S4的关系，然后计算即可.

【详解】a1a2a3a4a5a6a7a8

4

a1a2a3a4qa1a2a3a4

44

S41q31251,

故选：B.

1

6．B【分析】设P(X1)p，P(X2)q，则由P(X0)，E(X)1，求出p，q，由此能求出D(X)．

4

【详解】设P(X1)p，P(X2)q，

11

由题意得E(X)0p2q1，pq1

44

11

解得p，q，

24

1212121

DX011121.

4242

故选：B.

7．A【分析】求出选出的三个点能构成三角形的选法种数，并求出等边三角形的个数，结合间接法可得结果.

【详解】在正六边形ABCDEF中，O为其中心，如下图所示：

3

从这七个点中任选三个点，共有C735种，其中三点共线的情形有3种，

所以，能构成的三角形的个数为35332个，

其中，构成的等边三角形分别为AOB、BOC、△COD、DOE、EOF、

FOA、△ACE、BDF，共8个，

所以，构成的三角形不是等边三角形的个数是32824个.

故选：A.

8．A【分析】求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a，即可求出函数的最小值．

【详解】由题意可知：fx6x212x6xx2,x2,2，

令fx0，解得2x0；令fx0，解得0x2；

可知fx在2,0上单调递增，则0,2上单调递减，

则函数的最大值为f0a3，

此时fx2x36x23，且f25，f237，

可知当x2时，函数fx取得最小值为37.

故选：A.

9．AB【分析】根据二项式的展开式公式、、二项式系数和公式、二项式系数的单调性与对称性以及赋变量值为1

求系数和就能解决问题.

6k

【详解】根据1的展开式的第公式k6k1，

xk1Tk1C6x,k0,1,2,3,4,5,6

xx

01234566

可知所有项的二项式系数和为C6C6C6C6C6C6C6264，所以选项A正确的；

6

根据展开式1642111，令可得：

xa0xa1xa2xa3a4a5a6x1

xx2x4x6

a0a1a2a3a4a5a60，所以选项B是正确的；

3

易得常数项为：3313，所以选项是错误的；

T4C6xC620C

x

根据该展开式的系数就是正负摆动的二项式系数，所以结合二项式系数的对称性和单调性可知：

012345624

C6<C6<C6<C6>C6>C6>C6，且C6C6，可知该展开式的T3与T5的系数是最大，所以选项D是错误；

故选：AB.

10．ACD【分析】求得数据的样本中心点可求出aˆ1.8可判断A；令x2代入回归直线方程可判断B；将x6代

入回归方程求得预测值可判断C；根据yˆ3.4x1.8恒过3,12，可判断D.

11

【详解】x123453，y5912151912，

55

所以yˆ3.4xaˆ恒过3,12，所以123.43aˆ，

解得：aˆ1.8，故A正确；

当x2时，yˆ3.421.88.69，故B错误；

由yˆ3.4x1.8，令x6，则yˆ3.461.822.2，

故加工6个零件的时间大约为22.2min，故C正确；

因为yˆ3.4x1.8恒过3,12，所以剩下4组数据的经验回归方程不会有变化，故D正确.

故选：ACD.

11．BCD【解析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.

*

【详解】选项A:an1an(nN),an1an0得{an}是等差数列，当an0时不是等比数列，故错;

2

选项B:SnAnBn,anan12A,得{an}是等差数列，故对;

nn1n1

选项C:Sn11,SnSn1an2(1)(n2),当n1时也成立，an2(1)是等比数列，故对;

*

选项D:{an}是等差数列，由等差数列性质得Sn，S2nSn，S3nS2n(nN)是等差数列，故对;

故选：BCD

【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n项和公式是解题关键.

12．1189【分析】由a2nan1,a2n1nan，两式相加得a2n+a2n1n1，然后进一步通过迭代法可求得答案

【详解】解：因为a2nan1,a2n1nan，

所以a2n+a2n1n1，

4849

所以(aa)(aa)(aa)01481176，

234598992

由a2nan1,a2n1nan，可得a31a10

所以a100a501a25210a1211a612a312，

所以S100a1(a2a3)(a4a5)(a98a99)a100

11176121189，

故答案为：1189

13．0.031【分析】设任取一件羽毛球来自A厂为事件A1、来自B厂为事件A2、来自C厂为事件A3，根据题意求出

各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率.

【详解】设任取一件羽毛球来自A厂为事件A1、来自B厂为事件A2、来自C厂为事件A3，则彼此互斥，且

A1A2A3,

300040003000

PA0.3,PA0.4,PA0.3，

110002100031000

设任取一件羽毛球，取到的是次品为事件B，

则PBPA1BPA2BPA3B0.30.020.40.040.30.030.031.

故答案为：0.031.

14．3

【分析】根据函数fx在定义域上单调递增，由fx0恒成立求解.

1

【详解】因为函数fxx32lnxmx在定义域上单调递增，

3

2

所以fxx2m0恒成立，

x

2

即mx2恒成立，

x

3

2222x1

令gxx，则gx2x，

xx2x2

当x0,1时，gx0,gx单调递减，

当x1,时，gx0,gx单调递增，

所以，即，

gxming13m3

所以实数m的最大值为3.

故答案为：3

23

15．（1）a3,b8；（2）最大值：，最小值：1.

3

【分析】（1）根据题意可得fxx22axb0的解集为2,4，利用韦达定理即可求解.

（2）利用导数判断函数的单调性，然后求出极值与端点值即可求解.

【详解】解：（1）由fxx22axb0的解集为2,4，

242a

则a3,b8.

24b

1

（2）由（1）问可知，fxx33x28x1，

3

fxx26x8,x0,3，则

x0,222,3

fx大于零等于零小于零

fx单调递增极大值单调递减

823

则fxf25，

max33

由，f37，则

f01fxminf01.

【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数、利用导数求函数的最值，考查了计算求解能力，属于基础题.

16．(1)填表见解析；有把握认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关

(2)分布列见解析；期望为1

【分析】（1）给出列联表，计算2的值，再结合0.010的独立性检验进行判断；

（2）由超几何分布求出分布列，再计算数学期望即可．

【详解】（1）由题意，可得如下的22的列联表：

喜欢航天知识大讲堂不喜欢航天知识大讲堂合计

男20626

女101424

合计302050

零假设为H0：该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关

根据表中数据，计算得到

50(201460)23025

26.4646.635

20302624468

根据0.010的独立性检验，零假设为H0成立，

所以有把握认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关

（2）在喜欢航天知识大讲堂的学生中按性别分层抽样，

20

男生为64（人），女生为2人

30

X的所有可能取值为0,1,2，

CkC3k

24

则：P(Xk)3(k0,1,2)

C6

C3C1C2C2C1

41，243，241

P(X0)3P(X1)3P(X2)3

C65C65C65

随机变量X的分布列为

X012

131

P

555

131

随机变量X的期望E(X)0121

555

17．(1)an2n1

12940

(2)

129

【分析】（1）利用SnSn1an(n2)以及等差数列的相关知识可解；

（2）分奇偶进行求和，奇数项可以利用等差数列的前n项和公式求解，偶数项利用裂项相消法求解，再相加即可.

22

【详解】（1）因为2SnSn1an1n2，所以2Sn1Snan11，

将上述两式相减得：2an1anan1anan1an，由于an是正项数列，

2

当n2时，2S2S122a1a2a21，因为a11，所以a23或1(舍去)，

所以a2a1312，

所以可得：an1an2，故数列an是首项为1，公差为2的等差数列，

所以an12(n1)2n1；

a1

n,n为奇数n,n为奇数

2

（2）因为b，结合（1）的结论可得b4，

n4n,n为偶数

,n为偶数

2n12n3

anan4

T20b1b3b5b19b2b4b6b20

1111

13519+4++++

3771111153943

1191011111111

+++

23771111153943

12940

.

129

18．(1)fx在0,1单调递增，在1,单调递减；

(2)证明见解析.

【分析】（1）通过对函数求导，利用导数来研究函数的单调性.

（2）利用导数，通过构造函数，研究函数的单调性以及最值，再结合对数均值不等式、不等式放缩进行证明.

x

【详解】（）已知函数fxaxlnxax1，定义域为0,，

1e

x11

当a1时，fxlnxx1，得fx1x，

exexx

所以当0x1时，fx0，当x1时，fx0，

因此fx在0,1单调递增，在1,单调递减.

2

（2）先证明xx，

12a

x

已知函数fxaxlnxax1，定义域为0,，

e

11

所以fx1ax，

eaxx

当a0时，fx0，fx在0,单调递增，不满足题意；

11

当a0，可知fx在0,单调递增，在,单调递减.

aa

又当x0时，fx；当x时，fx，

11

若函数fx有两个不同的零点x1，x2，不妨设x2x1，则flna20，

aae

1111111

即fln20，令h(x)xlnx2，则h(x)0，

aeaaeex

1

所以h(x)xlnx2在0,上单调递增，又h(e)0，

e

111111

所以由fln20，解得0a，所以0x1x2，

aeaaea

x

因为fxlnxax1elnxaxlnxax1，

eax

t

设tlnxax，则由于gtet1单调递增，则lnx1ax1lnx2ax2，

xx1

12

即lnx1lnx2ax1x2，，利用对数均值不等式有

lnx1lnx2a

xx1xx

12122

，可证得x1x2.

lnx1lnx2a2a

12

所以要证明x1x22eln，只要证明2elna0.

aa

1

212ea

设a2elna（0a），则22ee，

aea0

a2aa2

11

所以a在0,单调递减，则a0.

ee

1

因此有x1x22eln.

a

abab

对数均值不等式证明如下：

lnalnb2

aa

11

abab

不妨设ab0，要证，即证bb，

a

lnalnb2ln2

b

am1m12(m1)

令m1，即证，即lnm，

blnm2m1

2(m1)2(m1)

即证：lnm0，令h(m)lnm，

m1m1

14(m1)2

则h(m)0，

m(m1)2m(m1)2

2(m1)

所以h(m)lnm在1,上单调递增，

m1

abab

所以h(m)h(1)0，所以结论得证.

lnalnb2

135

19．(1)①P，P，P；②证明见解析；

122438

(2)1499元.

【分析】（1）①根据事件发生概率，依次分类进行求解即可；

②由题知，累计获得n分时有可能是获得n1分时掷骰子点数为奇数或获得n2分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子

111

点数为奇数和偶数的概率均为，所以PPP3n9，结合数列递推关系，即可证明PP是公

2n2n12n2nn1

1

比为的等比数列.

2

n

（）由（），运用累加法可求得211，进而可求得员工获得二等奖和一等奖的概率，设一等

21Pn1n9

332

x341171

奖的奖金为x元，进而可得x1010000，解不等式即可.

2512512

1

【详解】（1）①由题意，员工游戏过程中累计得1分，即第一次投掷为奇数，其概率为P；