专题04 二次根式（七大考点）-（重难突破）2026中考数学总复习 考点强化讲与练

专题04二次根式（七大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习・考点强化讲与练（一）二次根式的相关概念（1）二次根式：式子（a≥0）叫做二次根式．（2）有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。即a中，a≥0（二）最简二次根式与同类二次根式（1）最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分数；分母不含根式；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．（2）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．（三）二次根式的性质（1）（a≥0）具有双重非负性，一是a≥0，二是≥0．（2）（）2＝a（a≥0）．（3）a（四）二次根式的有理化在进行二次根式计算时，最后的结果都要化简成最简二次根式。若被开方数中含有分母或分母中含有根号时，对这一类二次根式的化简过程叫做分母有理化。①ab②1（五）二次根式的运算（1）二次根式的加减运算：am（2）二次根式的乘除运算：①乘法运算：a⋅b=②乘法逆运算：ab=③除法运算：ab=a④除法逆运算：ab（3）二次根式的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。典例1：1．已知32a−8+3A．9 B．±9 C．3 D．±3【变式1】2．在函数y=3A．x≠−2 B．x>−2 C．x≤−2 D．x≥−2【变式2】3．若3x+2+1x−1【变式3】4．若60m是正整数，则整数m可取的最小值为．【变式4】5．（1）当a为时，2a+1＋1的值最小，为；（2）当a为时，4−(a+2)2的值最大，为【变式5】6．已知关于x的方程m+x−2=4有实数解，那么m的取值范围是【变式6】7．下列式子中，是二次根式的是()A．6 B．52 C．5 D．2【变式7】8．若31×5A．40 B．50 C．60 D．70典例2：9．将x−11A．1−x B．−1−x C．x−1 D．【变式1】10．化简：12a2【变式2】11．实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：a2−b【变式3】12．若m满足等式m−2022+2021−m=m，则m−【变式4】13．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+【变式5】14．下列计算中，正确的是（）A．9=±3 B．C．3(−3)3=3【变式6】15．已知−1<a<0，化简a+1A．2a B．−2a C．−2a 【变式7】16．已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则a2A．−2a B．−2a−b C．−b D．−2b−a典例3：17．计算：（1）3x−5（2）2【变式1】18．化简（1）48（2）7【变式2】19．计算（要求写出演算过程）：（1）32×（2）−12024（3）3+1【变式3】20．计算：（1）12（2）312（3）3+【变式4】21．计算（1）5−（2）32（3）27【变式5】22．计算：（1）12（2）48（3）−（4）(2【变式6】23．计算：（1）−1（2）(3【变式7】24．计算（1）18（2）1（3）18（4）6典例4：25．下列选项中的式子，是最简二次根式的是（）A．12 B．243 C．36m D．【变式1】26．在48、15、−28、34、12、3【变式2】27．二次根式2x2、m2−2m+1、26xy、【变式3】28．若3m−4是最简二次根式，且m为整数，则m的最小值是．【变式4】29．若20与最简二次根式133−m是同类二次根式，则m的值为【变式5】30．下列二次根式中，能与3合并的二次根式的是（）A．18 B．13 C．24 D．【变式6】31．将二次根式a−A．−a−2 B．−−a−2 C．a−2 D．【变式7】32．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（）A．12与18 B．3m与9m C．13与23 D．典例5：33．把式子分母有理化过程中，错误的是（）A．m−nm−nC．m−nm+n【变式1】34．已知x=12+3，y=12−3，若x的整数部分是m，y的小数部分是【变式2】35．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：12（1）将12+1分母有理化可得（2）关于x的方程3x−12=【变式3】36．计算：12+1【变式4】37．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=a2+ba−b，如3※2=【变式5】38．计算3+A．3−2 B．3+2【变式6】39．阅读例题：25−3=25+A．5+5 B．5−5 C．5+25【变式7】40．观察下列等式：①12②13③14…化简：1n+1A．n+1+n B．n+1 C．n 典例6：【变式1】41．已知x=6−3（1）若x的小数部分是m, y的小数部分是n，求m+n2021【变式2】42．阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的：已知a=12+3他是这样分析与解的：∵a=12+3∴a−2=−3，∴(a−2)∴a2−4a=−1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）若a=12−1（2）化简：13【变式3】43．已知a=2−12（1）a（2）先化简，再求值：ab【变式4】44．已知x=13−（1）求xy及x+y的值；（2）求x2【变式5】45．在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：已知a=110−3∵a=110−3∴a−32=10∴2a请你根据他们的分析过程，解决下列问题：（1）若m=211+3（2）若n=117−4【变式6】46．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知a=12+3∵a=1∴a−2=−3∴(a−2)2=3∴a∴2a请你根据小明的解题过程，解决如下问题：（1）13+（2）化简：12（3）若a=15−2【变式7】47．化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：12+1=（1）若a=15−2（2）比较2025−2024与（3）利用这一规律计算：12典例7：48．材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为S=1材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)，其中P=请解决下列问题：（1）若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a=5，b=6，c=7，∴p=12根据海伦公式可得：S=pp−a（2）请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是5，6，7，求这个三角形的面积．【变式1】49．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：一元三次方程x3+x2−2x=0，可以通过因式分解把它转化为xx2+x−2=0，解方程x=0和一元二次方程x2+x−2=0，可得x1=0,x2=1,x3=−2Δ=b2−4ac=(2y+3)（1）解下列方程：①x3②2x+3（2）根据材料给你的启示，求函数y=3【变式2】50．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点Ax1,0、Bx2,0的距离记作AB=x1−x2，如果Ax1,y1、Bx2,y2是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1∴AB2=AQ2利用上面公式解决下列问题：（1）直接应用平面内两点间距离公式计算点A1,−3，B（2）在平面直角坐标系中的两点A0,3，B4,1，P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值和此时点（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式x2【变式3】51．【背景介绍】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即4×12ab+b−a（1）【方法运用】请利用“双求法”解决问题：如图2，在6×6的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高的长度为；（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．设AD=a，BD=b，CD=m．①用“双求法”表示AC2+BC2，可以得到关于a②用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线与高线，并直接比较它们的大小；（3）【知识迁移】如图，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长），在此规划一个面积为50平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？【变式4】52．某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：s=14a2b2−材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式spp−ap−bp−c（其中a，b，请你用适合的公式解决问题．（1）三角形的三边长为a=7，b=22，c=3，则面积为（2）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=7，AD=6，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．【变式5】53．规律探索图：如图，认真分析各式，然后解答问题．OA22=(1)OA32=(2)OA42=(3)……（1）OA10（2）Sn=（3）求出1S【变式6】54．龙城初级中学数学兴趣小组现场学习：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：；（2）△ABC中BC边上的高为；（3）在图1右侧空白部分，画线段DE=10，并以DE为边作Rt△DEF（4）如图2，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA,RQDC,QPFE的面积分别为13，10，17，则花坛中间△PQR的面积为．【变式7】55．【观察发现】∵(6∴11+230∵(2+3∴7+43（1）【初步探索】化简：10+221=（2）形如m−2n可以化简为a−b，即m−2n=a−b，且a，b，m，n均为正整数，用含a，b的式子分别表示m，（3）若x+45=1+y5，且x，y（4）【解决问题】某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为80cm2和型号长宽高A型10812B型121015C型161010请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵32a−8∴2a−8+5−3b=0，∴2a−3b=3，∴原式=3故答案为：C．【分析】由题意及立方根的性质可得2a−8+5−3b=0，则2a−3b=3，再代入二次根式计算即可求解.2．【答案】B3．【答案】x≥−234．【答案】155．【答案】（1）−1（2）−2；2【解析】【解答】解：（1）∵2a+1≥0∴2a+1+1≥1∴2a+1+1∴当2a+1=0，2a+1+1的值最小，

∴a=−1∴当a=−12时，故答案为：−1（2）∵a+22≥0，

∵a+22≤0，∴4−a+22有最大值且最大值为2．此时a+22=0，∴当a=−2时，4−a+2故答案为：−2，2.【分析】（1）根据2a+1≥0及题意可求出a（2）根据a+22≥0及题意可求出6．【答案】m≤4【解析】【解答】解：∵m+x−2∴x−2=4−m，

∵关于x的方程m+∴4−m≥0，∴m≤4.故答案为：m≤4.【分析】根据二次根式的非负性及题意列出不等式，即可求解．7．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意得，6是二次根式，故A项符合题意；

52不是二次根式，故B项不符合题意；

5不是二次根式，故C项不符合题意；

25故答案为：A.【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可求得.8．【答案】C9．【答案】B【解析】【解答】解：∵11−x∴1−x>0，

∴x-1<0，∴原式=−=−=−=−1−x故答案为：B．【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．10．【答案】211．【答案】−2a【解析】【解答】解：由数轴可得b>0,a−b<0,a<0，∴原式=−a−b+b−a=−2a.

故答案为：−2a．【分析】由数轴得出b>0,a−b<0,a<0，再化简即可．12．【答案】202213．【答案】2b−2a14．【答案】D【解析】【解答】解：9=3(−2)23(−3)(3.14−π)2故选：D．【分析】根据二次根式的性质，对四个式子逐一化简，再作判断．15．【答案】A16．【答案】C17．【答案】（1）解：原式=9=9=5x（2）解：原式=6==3【解析】【分析】（1）利用完全平方公式去括号，再合并同类项即可；（2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可．18．【答案】（1）解：原式=4=4−=4+（2）解：原式=7−3−=4−7+2=−3+2【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后再计算二次根式的乘除，最后计算二次根式的加减法．（2）先利用完全平方公式以及平方差公式展开，然后再计算二次根式的加减法运算．19．【答案】（1）4（2）4（3）220．【答案】（1）解：原式=====1．（2）解：原式=3=3=9=152（3）解：原式==3−2+5−2=7−25【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可；（2）先算乘法，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可；（3）先根据平方差公式、完全平方公式去括号，再合并同类二次根式即可．21．【答案】（1）解：5−12×3

=5−36

（2）解：32−82

=4（3）解：27−13+12

=3【解析】【分析】（1）先算乘法，再算减法，即可得出答案；（2）先对分子的根式化简成最简根式，再合并同类根式，再算除法即可；（3）先对所有根式化简成最简根式，再合并同类根式即可．22．【答案】（1）解：12=2=43（2）解：48=4−=4−3（3）解：−=9+=9+3（4）解：(2=12−4=6−4【解析】【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式；（2）先进行乘除运算，再进行加减计算；（3）分别化简计算负整数指数幂，绝对值，零指数幂，二次根式，再进行加减计算即可；（4）利用完全平方公式和平方差公式化简，再进行加减计算．23．【答案】（1）解：−12024=−1+2−4+3−=−7（2）解：(3+=3+2=4+26【解析】【分析】（1）先算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，最后算加减法即可；（2）先利用平方差和完全平方公式去括号，再算加减即可．24．【答案】（1）解：18==3（2）解：1==−1；（3）解：18=3=3=42（4）解：6==3−2=1．25．【答案】D26．【答案】15【解析】【解答】解：48=4−2834123215是最简二次根式.故答案为：15．【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．27．【答案】1【解析】【解答】解：2x2=2x26xy不能再化简，是最简二次根式，则最简二次根式有1个.故答案为：1．【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可.28．【答案】229．【答案】−2【解析】【解答】解：20=25，

∵最简二次根式13∴3−m=5，∴m=−2.故答案为：−2．【分析】先化简20=230．【答案】B【解析】【解答】解：A、18=32，不能与B、13=3C、24=26，不能与D、0.3=3010故答案为：B．

【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）和同类二次根式的定义逐项分析判断即可.31．【答案】B32．【答案】A33．【答案】C【解析】【解答】解：A、将式子的分子分母同乘以m+B、将分子因式分解为m+nmC、m−D、将分子因式分解为m+nm故答案为：C．【分析】根据分母有理化的方法进行判断即可，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变.34．【答案】19−13【解析】【解答】解：x=12+3∵1<3<2，

∴-2<∴0<2−3<1，3<2+3<4，

∵x的整数部分是m，∴x的整数部分是m=0，y的小数部分是n=3∴原式=0+=21−12=19−133故答案为：19−133【分析】先化简x=12+3得2−3，化简35．【答案】（1）2（2）11【解析】【解答】解：（1）原式=2−12故答案为：2−1（2）∵3x−1∴3x−1∴3x−13x−13x−13x−13x=3x=11故答案为：112【分析】（1）分母有理化即可得出答案；（2）先分母有理化，再根据式子的规律化简，解方程即可求解．36．【答案】937．【答案】338．【答案】D【解析】【解答】解：原式======2.故选：D．【分析】先把分母因式分解，再化简，进而得出答案.39．【答案】C【解析】【解答】解：∵2<5<3，

∴2是5的整数部分，

∵a是∴a=5∴5a故选：C【分析】先根据a是5的小数部分，得到a=540．【答案】D41．【答案】（1）解：∵4<8<9，∴4<8<∴0<3−22<1，由（1）可知，x=3−22，y=3+2∴0<x<1，5<y<6，∵x的小数部分是m, y的小数部分是n，∴m=3−22，n=3+2∴m+n===1−=1−5+4=4242．【答案】（1）解：∵a=1∴a−1=2∴a−12=2，即∴a2∴8a（2）解：原式=====5．43．【答案】（1）解：∵a=2−12∴a+b=2−12∴a2（2）解：a===1由（1）可得：a+b=6，故原式=144．【答案】（1）解：x=y=∴xy=3x+y=3（2）解：原式=x+y由（1）可得x=则原式=23【解析】【分析】（1）根据分母有理化先求出x=3（2）先变形x245．【答案】（1）2（2）1146．【答案】（1）3（2）解：原式===13−1=12．（3）解：∵a=5∴a−2=5∴a−22∴a2∴a2∴原式=a【解析】【解答】解：（1）原式=3故答案为：3−【分析】（1）先对每一项进行分母有理化，再计算即可；（2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；（3）先利用a=15−2可得a=5+247．【答案】（1）解：∵a=5代入得，3a2=35+4=27+125=2.（2）解：先比较两式的倒数，

∵1202512024又∵2025+∴12025∴2025−（3）解：∵121314⋯，∴121=1=1−506【解析】【分析】（1）先化简a，再代入代数式计算即可；（2）先比较两式的倒数，进而得出答案；（3）由题意可得每项可表示为1n48．【答案】（1）9；6（2）解：∵a=5，b=6，∴a2=5，b2=6，c2=7∴S=====26【解析】【解答】解：（1）∵a=5，b=6，c=7，

∴p=1S=p故答案为：9；66【分析】（1）将a=5，b=6，c=7直接代入求解即可；（2）运用二次根式的性质化简即可求解．49．【答案】（1）解：①因式分解得xx∴x=0或x2解x2−3x−4=0，

因式分解得∴x+1=0或x−4=0，

解得：x=-1或x=4，综上所述：x1=0，x2②2x+3=x方程两边平方得2x+3=x整理得x2−2x−3=0，

因式分解得∴x−3=0或x+1=0，∴x1=3，∵2x+3=x≥0∴x=−1（舍去），∴x=3；（2）解：∵y=3∴yx整理得(y−3)x当y=3时，8x+2=0，∴x=−1当y≠3，方程有解，Δ=∴y≥1∴最小值为13【解析】【分析】（1）①方程左边分解因式，进而得出答案；

②方程两边平方，进而得出答案；（2）根据材料转化为关于x的整式方程，利用一元二次方程根的判别式即可解答．50．【答案】（1）解：A1,−3，B−2,1故答案为：5；（2）解：作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，直线AB'于x轴的交点即为所求的点P∵B(4,1)∴B∵A(0,3∴设直线AB'的一次函数表达式为y=kx+3，把B'(4,−1)代入−1=4k+3，解得：当y=0时，解得x=3，即P(3,0∴PA+PB=PA+PB即为PA+PB的最小值为42（3）解：x2+y−22+x−32两点之间线段最短，则当点(x,y)在以(0,2)和(3,1利用公式可得，点(0,2)和(3,1即x2+y−251．【答案】（1）16（2）解：①m2②∵m2∴m=ab∵斜边长为a+b，∴斜边上的中线长为a+b2，高线长为ab∵a−∴a−2ab∴a+b2故大小关系为：a+b2（3）解：设大长方形的长为x米，宽为y米，则小栅栏的总长度为(2x+4y)平方米，xy=50（平方米），∵a+b2∴a+b≥2ab∴2x+4y≥22x⋅4y答：小栅栏的总长度最少为40米．【解析】【解答】解：（1）作AB边上的高CD，由勾股定理可得AB=3∴S△ABC∵S△ABC∴12∴CD=16故答案为：165（2）①如图，由勾股定理可得，AC2+BC2∴AC∴a2∴m2故答案为：m2【分析】本题考查勾股定理及由勾股定理得到的新知识的应用，解答中涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的运算等．由勾股定理延伸得到结论a+b2（1）先用割补法求出△ABC的面积，再用12（2）①在Rt△ABC中，利用勾股定理表示出AC2+BC2，在Rt△ACD中，用勾股定理表示出AC2，在Rt△BCD中，用勾股定理表示出B②根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线，根据①的结论可用含a，b的代数式表示Rt△ABC与高线，再根据a−（3）设与墙平行的边AB长x米，垂直于墙的边AD长y米，可得所有虚线的和为2x+4y，根据（2）中得到的结论a+b≥2ab，可得2x+4y≥252．【答案】（1）47（2）解：连接AC，∵四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=90°，∴AC=A∴△ABC的面积=1∵5+6+7∴△ACD的面积=9×(9−5)×(9−6)×(9−7)∴四边形ABC