《配方法的灵活运用》教学设计2025-2026学年人教版九年级上册数学

教学设计课题配方法的灵活运用科目数学年级课时1课型新授课授课人教学分析课程标准分析理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等.了解一元二次方程的根与系数的关系.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.教学内容分析配方法是继直接开平方法和一种解一元二次方程的方法,它是解一元二次方程的通法.用配方法解一元二次方程虽较麻烦、也不常用，但配方运算中体现出的配方、比较、转化等数学思想方法有助于学生思维能力的培养以及思维品质的提高.配方法是推出求根公式的关键，学好配方法对二次三项式求最值，二次函数求顶点坐标、求最值，以及完全平方式的灵活运用都很有用.学情分析在学习本节课内容之前，学生已经学习了完全平方公式和直接开平方法解一元二次方程，有了学习配方法的知识基础，另外，本阶段的学生学习积极性高、求知欲望强，具有一定的自主探究和合作学习的能力.资源环境分析多媒体教室教学准备教学目标1.会用配方法熟练灵活地解系数为1的一元二次方程；2．发现不同方程的转化方式，运用已有知识解决问题；3.通过配方法的探究活动，培养学生的观察能力和勇于探究的良好习惯.重点难点重点:用配方法熟练地解系数为1的一元二次方程.难点:熟练灵活地用配方法解系数不为1的一元二次方程.教法学法教法：在教学中主要以启发学生进行合作探究的形式展开，利用学生已有的知识，让学生自主探索，通过对比，明晰方程结构特征，联想完全平方公式，对方程进行转化，发现、理解并初步掌握配方法.主要采用合作探究式、小组讨论式教学方法.学法：为了使学生解决问题、获得新知、培养技能等，可主要采用自主学习、合作式学习、探究式学习的方法.教具资源ppt多媒体课件，微课动画视频设计思路以分析完全平方式中三项的关系为开端，为掌握配方法解一元二次方程做好充分准备.紧接着由实际生活例子引入新的问题，在和旧知识对比的过程中激发学生的好奇心和探究问题的欲望.经历由实际问题转化为方程的过程，通过对比、归纳、整理，体会降次的必要，获得降次的方法，理解数学化归思想重要意义.掌握配方法后通过设置拓展问题学生伴随着不断地质疑、解疑，逐步引入二次项系数不为1时用配方法解一元二次方程，不但完善了学生的思维，也提高了学生的能力，更加激发了学生学习数学的积极性.教学过程教学环节教师活动学生活动资源应用复习巩固，导入新课1.用直接开平方法解下列方程x2=1(x-5)2=62.下列方程能用直接开平方法解吗？x2-4x+4=4x2+6x+9=33.填上适当的数和式使下列等式成立：x2+6x+_=(x+)2x2+8x+_=(x+)2x2-4x+_=(x-)2x2+ax+=(x+)2问题：二次项系数为1时上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如的式子如何配成完全平方式？分析：要把形如的式子配成完全平方式，只要加上一次项系数一半的平方即加上()2.也就是说左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”.独立解决并口答.小组讨论交流并在教师引导下能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”.温故而知新，有利于学生衔接前后知识，为新知识做铺垫.进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备.创设情境，合作探新要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽应各是多少？问题：1.如何设未知数？怎样列方程？设场地的宽为xm,长(x+6)m,所列方程为x(x+6)=16，整理后得x2+6x-16=0观察方程和我们上节课学习的方程x2+6x+9=2有何联系与区别?(引导学生总结)(1)方程x2+6x+9=2的等号左边是一个完全平方式，可用直接开平方法解.(2)方程x2+6x-16=0的等号左边不是一个完全平方式，你能由方程x2+6x+9=2的解法联想到怎样解方程x2+6x-16=0吗？分析：x2+6x-16=0移项得移项得左边配成x2+ax+a左边配成x2+ax+a2的形式，需两边加上9(即()2)x2+6x+9=16+9左边写成完全左边写成完全平方式降次(x+3)2=25降次x+3=±5x+3=5,或x+3=-5解一次方程解一次方程x1=2,x2=-8可以验证，2和-8是方程x2+6x-16=0的两个根.像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方是为了降次，把一个一元二方程转化成两个一元一次方程来解，体现了转化思想.问题1由一两位同学回答并板演由其他同学找问题纠正错误.2由小组讨论分析区别，学生思考，尝试解答，小组合作讨论后，请代表发表意见，在教师的指导后总结什么叫配方法，配方法解方程的基本步骤有哪些.选择以解决问题为本课开端，有利于激发学生探究的欲望.通过对比，学生很容易发现两个方程的联系与区别，进而引发联想，促使学生继续探究.经历由实际问题转化为方程的过程，通过对比、归纳、整理，体会降次的必要，获得降次的方法，理解数学化归思想重要意义.例题讲解，迁移创新1.解方程2x2+1=3x你有什么新发现？如何处理？引导分析：需用等式的性质将二次项系数变成1.解方程3x2-6x+4=0你有什么新发现？如何处理？分析：配完方后等号右边是负数，这种情况是存在的，它说明这个一元二次方程无实数根.4.解方程x2-4x+6=2,你有什么新发现？如何处理？分析：配完方后等号右边等于0，这种情况，说明一元二次方程有两个相等的实数根.概括总结：一般地，如果一个一元二方程通过配方转化成(x+n)2=p的形式，那么就会有：(1)当p＞0时，方程有两个不相等的实根，x1=-n+,x1=-n-；(2)当p=0时，方程有两个相等的实数根，x1=x2=-n；(3)当p＜0时，因为对任意的实数x，都有(x+n)2≥0,所以方程没有实数根.让学生独立思考并回答.学生配完方后发现等号右边是负数，试着独立分析接下来的问题.配合后完全平方式等于零.总结以上几个例题情况和同学共同总结概括.在学习过配方法后，学生对配方有了一定的认识，但并不全面，通过设置拓展问题学生伴随着不断地质疑、解疑，不但完善了学生的思维，也提高了学生的能力，更加激发了学生学习数学的积极性.经历不同的题型，增加学生的视野，扩散学生的思维.让经历自主探究和合作交流，发现不同方程的转化方式和途径，培养学生勇于探究的良好学习习惯.课堂练习，巩固提高填空：(1)x2+10x+=(x+)2(2)x2-12x+=(x-)2(3)x2+5x+=(x+)2(4)x2-x+=(x-)2.2.解下列方程：(1)x2+10x+9=0(2)x2-x-=0(3)3x2+6x-4=0(4)4x2-6x-3=0(5)x2+4x-9=2x-11(6)x(x+4)=8x+12学生思考问题，抢答先让学生自己完成，再小组交流.通过对新知识及时运用联系，使学生知识系统化.知识拓展，加强应用试用配方法说明：不论取何实数，多项式的值必定大于零.若a,b,c是∆ABC的三边长，且试判断∆ABC的形状.学生先观察，小组讨论，分析大致思路.通过对新知识的拓宽扩大学生对本节课知识的认识.反思小结，梳理新知概括总结：一般地，如果一个一元二方程通过配方转化成(x+n)2=p的形式，那么就会有：(1)当p＞0时，方程有两个不相等的实根，x1=-n+,x1=-n-；(2)当p=0时，方程有两个相等的实数根，x1=x2=-n；(3)当p＜0时，因为对任意的实数x，都有(x+n)2≥0,所以方程没有实数根.学生整理知识，自由发言.让学生自己概括总结，培养表达能力，用多媒体展示本节知识点，并对本节课重点知识进行标注.布置作业学生课后自主完成习题使学生做题更熟练板书设计21.2配方法的灵活应用1．配方法的定义2．用配方法解一元二次方程的一般步骤(1)移项（把常数项移到方程的右边）；(2)把二次项系数化为1（方程两边同时除以二次项系数a）；(3)配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）；(5)开平方（根据平方根意义，方程两边开平方）；(6)求解（解一元一次方程）；(7)定解（写出原方程的解）.教学反思学生在前面已经学过完全平方公式和如何对一个正数进行开方运算，而且普遍掌握良好，所以本节课从这两个方面入手，利用几个简单的实际问题逐步引入配方法.教学中将难点放在探索如何配方上，重点放在配方法的应用上.课堂上