2027届新高三数学热点突破复习函数的单调性和最值

2027届新高三数学热点突破复习函数的单调性和最值五年高考考点1函数的单调性1.★(2021全国甲文,4,5分)下列函数中是增函数的为()A.f(x)=-x

B.f(x)=

C.f(x)=x2

D.f(x)=

D

解析对于f(x)=-x,易知f(x)是减函数,故A不符合题意;对于f(x)=

,易知f(x)是减函数,故B不符合题意;对于f(x)=x2,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不符合

题意;对于f(x)=

=

,由幂函数的性质可知,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故选D.2.★★(2023新课标Ⅰ,4,5分)设函数f(x)=2

x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是

()A.(-∞,-2]

B.[-2,0)

C.(0,2]

D.[2,+∞)

D

解析

f(x)=2x(x-a)=

,由复合函数的单调性知函数y=

-

在(0,1)上单调递减,所以

≥1,解得a≥2,即a的取值范围是[2,+∞),故选D.3.★★(2021北京,3,5分)设函数f(x)的定义域为[0,1],则“f(x)在区间[0,1]上单调递增”是

“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

A

解析若f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)在[0,1]上的最大值为f(1);若f(x)在[0,1]上的最大

值为f(1),则f(x)未必在[0,1]上单调递增,如图.故选A.

4.★★(2024新课标Ⅰ,6,5分)已知函数f(x)=

在R上单调递增,则a的取值范围是

()A.(-∞,0]

B.[-1,0]C.[-1,1]

D.[0,+∞)

B

解析当x≥0时,函数f(x)显然是增函数;当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a=-(x+a)2+a2-a,而f(x)在R

上单调递增,所以

则-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0].故选B.易错警示该题容易只考虑当x≥0时,函数f(x)是增函数,及当x<0时,函数f(x)是增函数,

从而得到a≤0,而忽视了函数分界点处的函数值大小.三年模拟1.★(2026届福建连城一中月考,3)下列函数f(x)中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),均有(x1

-x2)·(f(x1)-f(x2))>0”的是

()A.f(x)=

B.f(x)=x2-4x+4C.f(x)=2x

D.f(x)=lo

x

C

解析由“对任意的x1,x2∈(0,+∞),均有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0”,得函数f(x)在(0,+∞)上单

调递增.对于A,f(x)=

在(0,+∞)上不单调,选项A不符合题意;对于B,函数f(x)=x2-4x+4在(0,2)上单调递减,选项B不符合题意;对于C,函数f(x)=2x在(0,+∞)上单调递增,选项C符合题意;对于D,函数f(x)=lo

x在(0,+∞)上单调递减,选项D不符合题意.故选C.2.★★(2026届黑龙江新时代教育联合体期中,6)若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(3-a)<f(2a-1),则a的取值范围是

()A.

B.

C.

D.

B

解析因为f(x)是(0,+∞)上的增函数,所以由f(3-a)<f(2a-1)得

解得a∈

.故选B.3.★★(2025届陕西西安模拟,3)若函数f(x)=

在(1,+∞)上单调,则a的取值范围是

()A.[-2,+∞)

B.[-1,+∞)C.(-∞,-2]

D.(-∞,-1]

A

解析因为y=2x在R上为增函数,y=x2+ax-3在

上单调递减,在

上单调递增,且函数f(x)=

在(1,+∞)上单调,所以根据复合函数的单调性,可得-

≤1,即a≥-2,所以a的取值范围是[-2,+∞).故选A.4.★★★(2026届江苏南京一中月考,6)若函数f(x)=

在(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是

()A.[-3,9]

B.[-3,+∞)C.[0,9]

D.(-∞,9]

A

解析当-1<x≤3时,y=log2(x+1)单调递增且值域为(-∞,2],而f(x)在(-1,+∞)上单调递增,则y=x+

在(3,+∞)上单调递增,且3+

≥2⇒a≥-3,当-3≤a≤0时,y=x+

在(3,+∞)上单调递增,满足题设;当a>0时,y=x+

在(

,+∞)上单调递增,此时只需

≤3,即0<a≤9.综上所述,-3≤a≤9.故选A.5.★★★(2025届江苏扬州开学考,5)已知函数f(x)在[1,+∞)上单调递减且对任意x∈R满

足f(x)=f(2-x),则不等式f(2x-3)>f(x)的解集是

()A.

∪(3,+∞)

B.

C.

D.(3,+∞)

B

解析因为对任意x∈R满足f(x)=f(2-x),所以f(x)图象的对称轴为直线x=1,又函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,所以f(2x-3)>f(x)等价于|2x-3-1|<|x-1|,即3x2-14x+15<0,解得

<x<3,故选B.6.★★★(2026届山东济南摸底考,7)已知函数f(x)=

+x,满足f(3a+2)+f(a)<1,则实数a的取值范围是

()A.(-∞,-1)

B.(-1,+∞)C.

D.

C

解析由题意知函数f(x)=

+x的定义域为R,则f(x)+f(-x)=

+x+

-x=

+

=1,则f(-x)=1-f(x),又f

'(x)=

+1=

>0,故f(x)在R上单调递增,由f(3a+2)+f(a)<1,得f(3a+2)<1-f(a),即f(3a+2)<f(-a),则3a+2<-a,解得a<-

,即实数a的取值范围是

.故选C.7.★★★(多选)(2026届福建百校联合测评,11)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意的

x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,f(2)=-4,则

(

)A.f(0)=0B.f(x)+f(-x)=0C.f(x)在R上单调递增D.f(x2-2x)-f(2-x)>4的解集为(0,1)

ABD

解析对于A,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+f(1),得f(0)=0,因此A正确;对于B,令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0,因此B正确;对于C,任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,又因为当x>0时,f(x)<0,所以f(x2-x1)<0,所以f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-[f(x2-x1)+f(x1)]=-f(x2-x1)>0,所以f(x1)>f(x2),可知f(x)在R上单调递减,

因此C错误;对于D,由f(x2-2x)-f(2-x)>4得f(x2-2x)-4>f(2-x),即f(x2-2x)+f(2)>f(2-x),因此f(x2-2x+2)>f(2-x),

结合C中单调性可知x2-2x+2<2-x,即x2-x<0,解得0<x<1,因此D正确.故选ABD.8.★★(2026届北京大学附中开学考,18)能说明“若f(x)+g(x)是R上的增函数,则f(x),g(x)

至少一个是R上的增函数”为假命题的函数f(x)=__________,g(x)=_________________

____.

-x2+x(答案不唯一)

x2+2x

解析不妨取f(x)=x2+2x,g(x)=-x2+x,f(x)+g(x)=3x为R上的增函数,而f(x),g(x)都是二次函数,都不是R上的增函数,因此满足题意的函数可以是f(x)=x2+2x,g(x)=-x2+x.9.★★★★(2026届安徽五校第一次联考,14)已知f(x)的定义域为(0,+∞),且f(2)=2,对于

任意正数x,y,都有f(xy)+1=f(x)+f(y),若当x>1时,f(x)>1,则不等式f(2x-1)≤4的解集为______.

解析令x=y=2,则f(4)+1=f(2)+f(2)=4⇒f(4)=3;令x=2,y=4,则f(8)+1=f(2)+f(4)=5⇒f(8)=4,任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则

>1,从而f

>1,所以f(x2)+1=f

+1=f(x1)+f

,则f(x2)-f(x1)=f

-1>0,所以f(x2)>f(x1),因此f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(2x-1)≤4=f(8),所以

⇒

<x≤

,即x∈

.五年高考考点2函数的最值(值域)1.★★★(2021全国乙文,8,5分)下列函数中最小值为4的是

()A.y=x2+2x+4

B.y=|sinx|+

C.y=2x+22-x

D.y=lnx+

C

解析对于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值为3,所以A不符合题意;对于B,设

|sinx|=t,则0<t≤1,y=|sinx|+

=t+

,t∈(0,1],易知y=t+

在(0,1]上单调递减,故t=1时,ymin=1+

=5,所以B不符合题意;对于C,令2x=t(t>0),则y=2x+22-x=t+

,t>0,易知y=t+

在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,y取最小值,ymin=2+

=4,所以C符合题意;对于D,令lnx=t,t∈R且t≠0,则y=lnx+

=t+

,显然t<0时,函数值小于0,不符合题意.故选C.2.★★★★(2022北京,14,5分)设函数f(x)=

若f(x)存在最小值,则a的一个取值为_________________________________________;a的最大值为_________.

1

([0,1]中任意一个实数都可以,答案不唯一)

解析当a<0时,f(x)=-ax+1在(-∞,a)上为增函数,无最小值.而f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最

小值为0,所以f(x)不存在最小值.当a=0时,f(x)=

此时f(x)存在最小值,最小值为0.当0<a≤1时,f(x)=-ax+1在(-∞,a)上单调递减,所以f(x)>1-a2.因为a∈(0,1],所以1-a2∈

[0,1),所以f(x)>0.而f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上存在最小值,最小值为0,所以f(x)在R上存在最

小值.当a>1时,f(x)=-ax+1在(-∞,a)上单调递减,所以f(x)>1-a2.f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最

小值大于或等于0,而1-a2<0,所以函数f(x)在R上不存在最小值.综上,a的取值范围为[0,

1],a的最大值为1.三年模拟1.★★(2025届山东威海模拟,5)已知函数f(x)=

的值域为R,则a的取值范围是()A.(-∞,1)

B.(-1,+∞)C.[-1,1)

D.(1,+∞)

C

解析因为y=x在[1,+∞)上单调递增,y=-

在[1,+∞)上单调递增,所以当x≥1时,f(x)=x-

单调递增,则f(x)≥f(1)=0,若函数f(x)的值域为R,则1-a>0,即a<1,此时函数y=(1-a)x+2a在(-∞,1)上单调递增,所以当

x=1时,1-a+2a=a+1≥0,即a≥-1,所以-1≤a<1.故选C.2.★★★(2025届黑龙江牡丹江一中开学考,7)记实数x1,x2,…,xn的最小数为min{x1,x2,…,

xn},若f(x)=min{x+1,x2-2x+1,-x+8},则函数f(x)的最大值为()A.4

B.

C.1

D.5

B

解析在同一个坐标系中,分别作出函数y1=x+1,y2=x2-2x+1,y3=-x+8的图象,如图所示,

f(x)=min{x+1,x2-2x+1,-x+8}的图象是图中实线部分,要求的函数f(x)的最大值即图中最

高点A的纵坐标.由

解得

故所求函数f(x)的最大值为

.故选B.3.★★★(2025届山西晋中部分校质检,8)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),若对于任意的

x,y∈(0,+∞),都有f(x)+f(y)=f(xy)+2,当x>1时,都有f(x)>2,且f(3)=3,则函数f(x)在区间[1,27]

上的最大值为

()A.2

B.3

C.4

D.5

D

解析任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则

>1,所以f

>2,令x=x1,y=

,则f(x1)+f

=f

+2=f(x2)+2,所以f(x1)-f(x2)=2-f

<0,则f(x1)<f(x2),因此f(x)在(0,+∞)上单调递增,令x=y=1,则f(1)=2,令x=y=3,则f(3)+f(3)=f(9)+2,又f(3)=3,所以f(9)=4,令x=3,y=9,则f(3)+f(9)=f(27)+2,所以f(27)=5,所以函数f(x)在区间[1,27]上的最大值

为f(27)=5.故选D.4.★★★(2026届江苏启东中学素质测试,8)设函数f(x)=max{x2+2x+4,|x-4|},其中max

{a,b}表示a,b中的最大者,若f(x)在区间[m,n]上的最大值为7,最小值为4,则区间长度n-m

的最大值和最小值分别为

()A.3,1

B.4,1

C.5,2

D.7,2

B

解析由题意得f(x)=

其图象如图所示,令f(x)=4,得x=0;

令f(x)=7,得x=-3或1.当m=-3,n=1时,n-m取得最大值4;当m=0,n=1时,n-m取得最小值1.所以n-m的最大值和最小值分别为4,1.故选B.5.★★★(新定义理解)(2025届江苏如东开学考,13)对于实数a,b,定义新运算:a⊕b=

设函数f(x)=|x2-2x|⊕(|x|-1),当x∈(1,3)时,函数f(x)的值域为_____________.

(0,2)

解析由|x2-2x|-(|x|-1)≥1得|x2-2x|≥|x|,解得x≤1或x≥3,则f(x)=|x2-2x|⊕(|x|-1)=

故当x∈(1,3)时,f(x)=|x|-1=x-1的值域为(0,2).6.★★★★(2026届广东深圳模拟,14)若函数f(x)=x4+4x3+ax(a∈R)的图象存在对称轴,则

f(x)的最小值为_______.

-4

解析设f(x)图象的对称轴为直线x=b,则f(2b-x)=f(x),即(2b-x)4+4(2b-x)3+a(2b-x)=x4+4x3+

ax,化简得(4b2-4bx+x2)2+4(4b2-4bx+x2)·(2b-x)+a(2b-x)=x4+4x3+ax,(4b2-4bx+x2)(4b2-4bx+x2+