河南省2023届高三上学期期中考试理科数学试题

第页，共页河南省2023届高三上学期期中考试理科数学试题一、单选题（本大题共12小题）1.已知集合，，则（

）A． B． C． D．2.若，则（

）A． B． C． D．3.已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．2 B． C．1 D．4.已知为第三象限角，且，则（

）A． B． C． D．5.已知数列是的无穷等比数列，则“为递增数列”是“且，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6.已知非零向量，的夹角正切值为，且，则（

）A．2 B． C． D．17.已知的角，，的对边分别为，，，且，则的面积为（

）A． B． C． D．8.已知函数，不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A．或 B．C． D．或9.若，且，则（

）A． B． C． D．10.已知函数的最小正周期为，则（

）A． B．C． D．11.对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，.已知函数，则方程在上的实根个数为（

）A．290 B．292 C．294 D．29612.已知点在曲线上运动，过点作一条直线与曲线交于点，与直线交于点，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题）13.在等比数列中，，，则.14.在平行四边形中，，，，且，，三点共线，则的最小值为.15.已知函数是定义在上的奇函数，满足，，且在内恒成立（为的导函数），若不等式恒成立，则实数的取值范围为.16.设，其中，，，成公差为的等差数列，，，成公比为3的等比数列，则的最小值为.三、解答题（本大题共6小题）17.在直角坐标系中，角的顶点在原点，始边均与轴正半轴重合，角的终边经过点，角的终边经过点.(1)求的值；(2)若角的终边为（锐角）的平分线，求的值.18.已知数列的各项均不为0，其前项的乘积.(1)若为常数列，求这个常数；(2)若，设，求数列的通项公式.19.如图所示，在平面四边形中，，，，，.(1)求的值；(2)求.20.已知数列的前项和为，，.(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的前项和.21.已知函数的最小值为1.(1)求实数的值；(2)若直线：与曲线没有公共点，求实数的取值范围.22.已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若存在，且，使得，求证：.

参考答案1.【答案】C【分析】根据集合和集合的含义求交集.【详解】联立，解得，或，所以.故选：C.2.【答案】B【分析】根据举例说明判断AC；根据不等式的基本性质判断B；结合分式的意义判断D.【详解】A：不妨取，，，则，故A错；B：由得，又，所以，故B正确；C：当时，，，故C错误；D：当时，没有意义，故D错误.故选：B.3.【答案】B【分析】由等差数列的性质求解，【详解】由题意得，故选：B4.【答案】A【分析】利用余弦的二倍角公式求解即可.【详解】，∵为第三象限角，∴.故选：A.5.【答案】C【分析】根据等比数列的单调性，结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：若为递增的等比数列，显然后面的项都比大，即且，，充分性成立；反过来，若且，，即（为公比），因为，所以，所以，从而可得为递增数列，必要性成立，所以“为递增数列”是“且，”的充分必要条件.故选：C.6.【答案】D【分析】由切弦互换可得，由及数量积运算可得，结合范围求解即可【详解】由，又由得，即，解得故选：D7.【答案】B【分析】利用余弦定理求出，根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据面积公式计算可得.【详解】解：因为，令，，，由余弦定理可得，所以，所以.故选：B8.【答案】A【分析】确定，为方程两根，利用韦达定理求出值，则得到原不等式，解出即可.【详解】依题知的根为，，则两根之和为3，两根之积为，∴即∴可化为，即，解得，或，∴不等式的解集为或.故选：A.9.【答案】A【分析】对等式，取10为底的对数，得，则得到的值，再利用化简得到的值，即可得到答案.【详解】，∴，又，∴，，∴，即.故选：A.10.【答案】D【分析】由周期性得，再由对称性与单调性判断，【详解】因为的最小正周期为，所以，令得，即在上单调递增，同理得在上单调递减，而，，，由三角函数性质得故选：D11.【答案】C【分析】依题意得到的解析式，即可得到的解析式，令，则问题转化为与的交点个数，数形结合即可得解.【详解】解：设，当时，当时，当时，当时，当时，所以，则，令，解得，画出与的图象如下所示：由图可知与在每个区间（且）内均有个交点，所以交点总数为，所以方程在上的实根个数为.故选：C12.【答案】C【分析】求的最小值就是求的最小值，首先求出上的且斜率为的切线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】如下图所示，，当斜率为的直线与的图像相切时，为切点，此时的值最小.设，，则有，解得，代入函数，求得，即，则的最小值即点到直线的距离，则.故选：C13.【答案】32【分析】利用等比数列的性质得到，然后求即可.【详解】设的公比为，则，.故答案为：32.14.【答案】【分析】依题意可得，根据三点共线得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】解：因为，又，，三点共线，所以，又，所以，，所以，当且仅当即时取等号；故答案为：15.【答案】【分析】根据为奇函数和得到，构造函数，根据在内恒成立，得到在上单调递增，根据和的对称性和周期性得到的周期性和对称性，再结合在上单调递增，得到，将不等式整理为，在结合即可得到的取值范围.【详解】因为，为奇函数，所以，，令，则，又在内恒成立，所以在上单调递增，因为，所以是的一个周期，因为，所以是的一条对称轴，又在上单调递增，所以在上单调递减，当时，，又在上单调递增，所以当时，，可整理为，所以.故答案为：.16.【答案】【分析】由等差数列与等比数列的性质求解，【详解】设，若则不成立，所以,由，可得，若要使得有解，则，所以，所以得，故的最小值为.故答案为：17.【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据题意求出，再根据差的正切公式即可求出；（2）由题可得，先求出，再根据二倍角公式即可求出.【详解】（1）依题知，，∴.（2）由条件得，，，，∵角的终边是（锐角）的平分线，∴，∴，∴.18.【答案】(1)2(2)【分析】（1）当时代入，利用常数列即可求出常数值；（2）由得出，两边同时取对数可得出的通项，即可求出的通项公式.【详解】（1）已知，当时，有，因为为常数列，所以故这个常数为2.（2）已知，所以当时，，两边同时取对数，则，当时，，，因此的首项为1，且从第二项开始，是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以所以数列的通项公式为.19.【答案】(1)；(2).【分析】（1）设，，利用余弦定理得到，然后利用正弦定理得到，最后利用同角三角函数基本公式求即可；（2）利用诱导公式得到，然后利用余弦定理解三角形即可.【详解】（1）设，，则，所以，利用正弦定理得，解得，又，所以，.（2）因为，所以，根据余弦定理得，解得.20.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据与的关系，得到是以2为首项，2为公比的等比数列，即可证明；（2）由（1）中的结论可得，然后根据错位相减法即可得到.【详解】（1）当时，,当时，由得，∴，又∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，∴，∵，∴是以1为首项，1为公差的等差数列（2）由（1）知，∴∵，∴∴，∴.21.【答案】(1)2(2)【分析】(1)根据题意，若则不符合题意；若，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最小值，进而得出关于a的方程，解之即可；(2)将原问题转化为关于的方程在上没有实数解，当时符合题意，当时，构造函数，利用导数研究函数的单调性求出最小值，即可求解.【详解】（1）若，易知单调递增，没有最小值，不符合题意；若，，令，得，在上，，在上，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得；（2）直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，①当时，该方程可化为，在上没有实数解；②当时，该方程化为，令，则，由，得，在上，，在上，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又当时，，故函数的值域为，所以当时，方程无实数解，解得，综合①②，可知的取值范围是.22.【答案】(1)在，上单调递增，在上单调递减；(2)证明见解析.【分析】（1）求导，令，，得到的递增递减区间；（2）由（1）