河南省南阳市六校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页河南省南阳市六校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知点，，则线段的垂直平分线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．2．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．3．已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，则抛物线的方程为（

）A． B． C． D．4．直线和的图形可能为（

）A． B．C． D．5．已知双曲线的右焦点为，过和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．6．直线与圆的位置关系为（

）A．相交 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为2，是双曲线上一点，轴，则的值为（

）A． B． C． D．8．已知直线l：与椭圆C：交于A，B两点，P为C的右顶点，则△ABP的面积为（

）A． B． C． D．9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线上存在点，使得，则此双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．10．已知A，B分别是椭圆与圆上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．11．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，焦距为，P为直线上一点，若△PAB为直角三角形，且其中较小的锐角的正切值为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．12．已知圆C：，直线l：，过直线l上一点A作圆C的两条切线，切点分别为P，Q．当四边形OPAQ（O为坐标原点）的面积最小时，＝（

）A． B． C． D．二、填空题13．已知直线与直线相互垂直，且两条直线都不与坐标轴垂直，则实数a的值为．14．如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm时，水面宽度为6cm，当水面再上升1cm时，水面宽度为cm．15．已知圆C的圆心在直线上，点（3，0）与（1，－2）都在圆C上，则圆C的面积为．16．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，以F为圆心作圆与C交于A，B两点，与l交于D、E两点，若，则F到l的距离为．三、解答题17．已知四边形ABCD为平行四边形，A（－2，1），B（4，0），D（－2，11）.(1)求点C的坐标；(2)若点P满足，求直线PC的方程.18．已知圆．(1)若直线l与C交于A，B两点，线段AB的中点为（2，2），求|AB|；(2)已知点P的坐标为（3，1），求过点P的圆C的切线l的方程.19．已知点到点的距离与点到点的距离之比为．(1)求点的轨迹的方程；(2)过的中点且倾斜角为的直线与（1）中的曲线交于两点，求的面积．20．已知椭圆C：的离心率，上顶点为A，右顶点为B，△AOB（O为坐标原点）的面积为．(1)求C的方程；(2)过C的右焦点的直线l与C交于P，Q两点，若．求l的方程．21．已知抛物线C：与直线相切．(1)求C的方程；(2)过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程．22．已知直线l过点P（1，0），与椭圆C：交于A，B两点，且直线l不与椭圆C的对称轴垂直．(1)若直线l的斜率为1，M（，－）为线段AB的中点，求的值；(2)若，点Q（16，0），当l变化时，直线AQ，BQ的斜率总是互为相反数，求C的方程．

参考答案1．【答案】B【分析】先求出线段的中点坐标及直线的斜率，再通过垂直求出其垂直平分线的斜率，最后利用点斜式即可求出方程.【详解】线段的中点为，，则线段垂直平分线的斜率为，则线段垂直平分线方程为，即.故选：B.2．【答案】C【分析】二次曲线表示椭圆的条件为.【详解】变形为，要表示椭圆需要满足，解得.故选：C.3．【答案】D【分析】根据题意，由焦点坐标求，并确定焦点所在位置，进而求抛物线方程.【详解】∵抛物线的焦点坐标为，则，且焦点在轴正半轴上，∴，故抛物线的方程为.故选：D.4．【答案】C【分析】分，和三种情况进行讨论，结合四个选项即可【详解】当时，经过第一，二，三象限，经过第一，二，三象限，且两条直线平行，四个选项均不满足；当时，经过第二，三，四象限，经过第一，二，四象限，且两条直线平行，C选项满足；当时，直线，直线，两条直线在轴重合，四个选项均不满足，故选：C5．【答案】B【分析】由双曲线可得其渐近线为，再求得直线的斜率，由平行得到斜率相等即可求得，再由焦点坐标得，从而求得，则该双曲线的方程可求.【详解】因为双曲线，所以它的渐近线为，又因为，，所以直线的斜率为，因为直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，故，又因为双曲线的右焦点为，所以，故，所以该双曲线的方程为.故选：B.6．【答案】A【分析】先求圆心到直线的距离，分类讨论求的取值范围，并结合与的大小关系判断直线与圆的位置关系.【详解】圆的圆心，半径，则圆心到直线的距离，当时，则；当时，则，∵，则，∴；则圆心到直线的距离，即，∴直线与圆相交.故选：A.7．【答案】A【分析】由离心率可得，再根据可得，即可整理双曲线方程为，代入可求的坐标，即可求得答案【详解】由题意可得即，由可得即，所以双曲线方程为，当时，解得，所以，因为，所以，故选：A8．【答案】C【分析】求得，然后求得到直线的距离，从而可求得三角形的面积.【详解】由消去并化简得，，设，则，所以，右顶点，到直线的距离为，所以.故选：C9．【答案】C【详解】由题意可知：双曲线的焦点在轴上，点在双曲线的右支上.结合题意，由双曲线的定义可得：，因为，所以，又因为，所以，解得：，又因为双曲线的离心率，所以.故选C.10．【答案】B【分析】圆外一点到圆上的点的最小距离，等于该点到圆心的距离减去半径.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，则的最小值为的最小值减去圆的半径，设，则有，，由椭圆方程可知，，∴当时，有最小值，所以的最小值为.故选：B11．【答案】D【分析】根据题意分析可得，结合，整理可求离心率.【详解】设椭圆的右焦点为，则有，由题意可得：，则，即，则，即，∴，解得.故选：D.12．【答案】D【分析】由题意，，故，由于，故当四边形OPAQ（O为坐标原点）的面积最小时，即最小，分析即得解.【详解】由题意，且故，即，故当四边形OPAQ（O为坐标原点）的面积最小时，即最小，此时，，，故.故选：D13．【答案】2【分析】根据，代入运算求实数a的值，并代入检验两条直线都不与坐标轴垂直，进而确定实数a的值.【详解】∵直线与直线相互垂直，则，解得：或.当时，则两直线为、，与题意不符，舍去；当时，则两直线为、，符合题意，成立；∴实数a的值为2.故答案为：2.14．【答案】【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，由题意求出抛物线方程，即可求解【详解】如图建立平面直角坐标系，让抛物线的顶点与坐标原点重合，则由题意可设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线线上，则，所以，所以抛物线的方程为，当水面再上升1cm时，，此时有，解得，所以此时的水面宽度为（）故答案为：15．【答案】【分析】首先设圆的标准方程，根据条件列式求圆心和半径，即可求解.【详解】设圆的方程为，所以，解得：，，，所以圆的面积.故答案为：16．【答案】2【分析】根据题意分析求出点A的坐标，代入抛物线的方程求，即可得出F到l的距离.【详解】设与x轴的交点分别为，则，即点，∴，解得或（舍去），故F到l的距离为2.故答案为：2.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意利用向量相等求点C的坐标；（2）根据求直线PC的斜率，再由点斜式方程求直线PC的方程.（1）设点C的坐标为，则，∵ABCD为平行四边形，则，∴，解得，故点C的坐标为.（2）由题意可得，∵，则,即，∴直线PC的方程为，即.18．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据运算求解；（2）根据直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式运算求解，注意讨论直线l的斜率是否存在.（1）的圆心，半径设线段AB的中点为M，则∴.（2）当l的斜率不存在时，则，圆心C到直线l的距离为，即l与圆C相切，∴符合题意；当l的斜率存在时，设为，则直线，即由题意可得：，解得，∴直线；综上所述：l的方程为或.19．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题意得到，利用两点距离公式即可得到M点的轨迹C的方程；（2）先由题设条件及点斜式可得直线的方程，再由弦长公式求得，由点线距离公式求得到直线的距离，从而由三角形面积公式即可求得的面积．（1）依题意，得，不妨设，因为，，所以，即，整理得，配方得，所以点的轨迹的方程为.（2）因为，，所以的中点坐标为，又因为直线的斜率为，所以直线的方程为，即，因为曲线的方程为，故曲线是圆心为，半径为的圆，所以圆心到直线的距离为，故，又因为点到直线的距离为，即边上的高为，所以.20．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据离心率以及三角形的面积求得，从而求得椭圆的方程.（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合来求得的方程.【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆的方程为.（2）右焦点为，当直线的斜率不存在时，由，得，不符合题意.所以直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去并化简得：，由于直线过焦点，所以直线与椭圆有两个交点，设，则，所以，，所以直线的方程为.21．【答案】(1)(2)或【分析】（1）联立方程利用运算求解；（2）分析可得，设l的方程为，联立方程结合韦达定理运算求解.【详解】（1）联立方程，消去x得，∵抛物线C与直线相切，则，解得或（舍去）故抛物线的方程C：.（2）设l的方程为，则线段AB的中点，过作抛物线的准线的垂线，垂足为N，则，即，∵，则，即，∴，联立方程，消去x得，，则，AB的中垂线的方程为，∴，则，即，解得，故l的方程为或.22．【答案】(1)(2)【分析】（1）假设A，B两点坐标代入椭圆方程，构造出可利用中点坐标公式，构造出