北师大版小学数学五年级上册《倍数与因数》情境化探究教案

北师大版小学数学五年级上册《倍数与因数》情境化探究教案一、教材与学情分析（一）教材分析（【基础】、【核心概念】）“倍数与因数”是北师大版小学数学五年级上册第三单元的起始课，隶属于“数与代数”领域。本课是在学生已经掌握了非零自然数的认识、表内乘法、两位数乘两位数以及整数除法（特别是整除）的基础上进行教学的。它是数论学习的启蒙课，是后续学习2、5、3的倍数的特征、找因数、找质数、最大公因数与最小公倍数的重要基础，更是将来进行约分、通分、解决分数运算实际问题的知识根基。本节课的核心在于引导学生从原本对乘法算式“因数×因数=积”的运算意义理解，上升到对“倍数与因数”这一概念关系的抽象定义理解，实现从“运算”到“关系”的思维跨越。（二）学情分析（【难点】、【易错点】）五年级的学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们具备了一定的观察、比较和归纳能力，能够熟练进行整数乘除运算。然而，本节课面临三大学习难点：1.“相互依存”关系的理解（【难点】）：学生受前概念影响，习惯孤立地说“3是因数”或“36是倍数”，难以内化“倍数与因数是描述两个数之间的一种相互关系，不能单独存在”这一核心本质。2.研究范围的界定（【易错点】）：学生容易忽略“我们只在非零自然数（即正整数）的范围内研究倍数和因数”这一重要前提，误将小数或0纳入讨论。3.有序思维的初步建立：在找一个数的倍数时，学生可能会无序地跳跃寻找，导致遗漏，需要引导他们建立有序思考的数学学习习惯。二、教学目标与核心素养（一）教学目标1.知识与技能（【基础】）：结合具体情境，认识自然数与整数，理解倍数与因数的意义，能判断两个非零自然数之间的倍数与因数关系。掌握找一个数的倍数的基本方法，能在1~100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数。2.过程与方法（【重要】）：经历“观察算式、抽象概念、举例验证、归纳方法”的探究过程，通过小组合作、对比辨析，培养学生的抽象概括能力与合情推理能力，渗透有序思考的数学思想。3.情感态度与价值观：在探索数与数之间奥秘的过程中，体会数学的严谨与趣味，感受数学与生活的紧密联系，激发学生对数论知识的好奇心和求知欲。（二）核心素养聚焦本节课着重培养和发展学生的“数感”与“抽象意识”。通过将生活中的队列问题抽象为乘法算式，再从算式中抽象出倍数与因数的概念，引导学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。三、教学重难点（一）教学重点理解倍数和因数的意义，掌握找一个数的倍数的方法。（二）教学难点理解倍数和因数之间的相互依存关系。四、教学准备多媒体课件（包含运动会队列情境图、百数表）、学习任务单、黑白两色磁力片/棋子。五、教学过程设计一、课前导入：关系启迪，激活经验（预计3分钟）1.谈话引入，感知“关系”：同学们，在我们的生活中，人与人之间存在着各种各样的关系。谁能用一句话介绍一下你和身边同学的关系？（预设：同桌关系、朋友关系）。很好。那老师想问问，能说“王明是同桌”吗？为什么？（预设：不能，必须说“王明是我的同桌”，或者“我和王明是同桌”）。是的，关系是相互的，不能孤立地谈论某个人。2.迁移到数学：其实，在数学王国里，数与数之间也存在着这样相互依存、密不可分的关系。今天，我们就一起走进数的世界，去探索其中的一种关系——“倍数与因数”。（板书课题：倍数与因数）二、探究新知：情境抽象，建构概念（预计20分钟）（一）创设情境，列式引入（【基础】）1.呈现情境：课件出示教材中的运动会队列情境图（两个班排成不同的长方形队形）。2.提出问题：同学们，运动会开幕式上，两个班的同学分别排成了这样整齐的队形。你能从图中获得哪些数学信息？并算一算每个班各有多少人吗？3.学生活动：独立观察，列出算式并计算。4.汇报交流：1.5.引导回答：9排，每排4人，列式9×4=36（人）或4×9=36（人）。2.6.引导回答：5排，每排7人，列式5×7=35（人）或7×5=35（人）。7.回顾旧知：在乘法算式中，各部分都有自己的名称。谁来说一说，在9×4=36这个算式里，9、4、36分别叫什么？（因数、因数、积）【板书：因数×因数=积】（二）结合乘法，揭示概念（【核心】、【重要】）1.首次抽象，给出定义：在数学上，我们不仅把它们叫做因数和积，当我们在非零自然数的范围内研究时，它们还有一层特殊的关系。教师指着算式9×4=36清晰表述：“因为9×4=36，所以我们就说，36是9和4的倍数，9和4是36的因数。”（【非常重要】：教师语速放慢，用加重音和停顿强调“谁是谁的”这种表述结构）2.强化依存，初步辨析：请大家注意看，在这个关系里，36是单独存在的吗？9和4是单独存在的吗？引导学生发现：我们不能说“36是倍数”，也不能说“9是因数”，必须说清楚“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”。倍数和因数就像一对好朋友，是相互依存的。（板书：——相互依存）3.模仿表达，内化概念：谁能像老师这样，结合5×7=35这个算式，来说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？（指名23名学生完整表述）（三）抽象延伸，明确范围（【易错点】、【难点】）1.提供素材，辨析真伪：课件出示一组算式，请学生小组内讨论：下面哪些算式中的数存在倍数和因数关系？哪些不存在？为什么？1.2.①24×2=482.3.②7×8=563.4.③0.5×100=50（引发冲突）4.5.④3÷5=0.65.6.⑤7÷2=3.57.汇报与碰撞：1.8.对于算式①和②，学生容易判断存在关系。2.9.对于算式③，学生会产生疑问。教师引导：0.5是小数，我们研究的范围是自然数。自然数是我们数物体个数时用的数，如0、1、2、3……（补充“整数”概念：像3、2、1、0、1、2、3…这样的数是整数。但本节课我们重点研究非零自然数）。3.10.【重要规定】：教师郑重揭示——为了方便和研究需要，在小学数学中，我们约定只在非零自然数（即1，2，3，4……）的范围内研究倍数和因数。（板书：非零自然数范围）11.二次辨析，深化理解：有了这个规定，我们再回头看，哪个算式不符合要求？（学生指正③④⑤）。那对于算式④3÷5=0.6，虽然3和5都是自然数，但它们的商是小数，不存在整数倍的关系，所以我们也说3和5之间不存在倍数和因数的关系。必须是“整数除法，商是整数而没有余数”的情况，或者直接看“乘法算式，乘数和积都是非零自然数”。（四）探究方法，深化思维（【高频考点】）1.出示例题：请大家找出7的倍数，看谁找得又快又准。课件出示一组数：7，14，17，25，77。2.自主探究：学生独立尝试，并在小组内交流自己的方法。3.方法汇报（【重要】）：1.4.方法一（乘法）：看哪个数可以写成“7×某个自然数”。因为7×1=7，7×2=14，7×11=77，所以7、14、77是7的倍数。2.5.方法二（除法）：看哪个数除以7的商是整数且没有余数。14÷7=2，17÷7=2……3，77÷7=11，所以7、14、77是7的倍数。6.优化策略：这两种方法都非常好，它们之间是相通的。我们在判断时，可以选择自己喜欢的方法。7.追问拓展，感知“无限”：除了这些，7还有其他的倍数吗？比如84是7的倍数吗？你能再举出几个7的倍数吗？（学生举例：7×4=28，7×5=35……）8.【难点突破】归纳特征：通过刚才的例子，你发现一个数的倍数有什么特点？（预设：个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。）教师根据学生回答板书：个数无限，最小是本身，无最大。9.有序思维训练：刚才大家找到了很多7的倍数。如果老师要求大家写出100以内所有的7的倍数，怎样才能做到既不重复，又不遗漏呢？（引导学生按照从小到大，用乘法依次乘1，2，3……的顺序来找）板书：7×1=7，7×2=14，7×3=21……7×14=98。当乘积超过100时，我们就停止。三、巩固练习：分层应用，形成技能（预计10分钟）（一）基础练习（全体反馈）1.说一说（课本练一练第1题变式）：根据算式，说说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。1.2.4×6=242.3.21÷7=3（此题需要引导学生逆向思考：因为21÷7=3，所以7×3=21，从而找出关系）4.辨一辨（【高频考点】、【易错点】）：下面的说法对吗？如果不对，请说明理由。1.5.（1）因为2.5×4=10，所以10是2.5和4的倍数。（×，研究范围不是自然数）2.6.（2）48是6的倍数。（√，因为6×8=48）3.7.（3）在13÷4=3……1中，13是4的倍数。（×，有余数，不是整除）4.8.（4）15是倍数，3是因数。（×，相互依存关系表述错误，应说15是3的倍数，3是15的因数）（二）综合练习1.找一找（课本练一练第3题）：下面哪些数是60的倍数？【出示：12，15，20，30，60，120】。（引导学生用除法判断：60除以这个数能否整除。如60÷12=5，所以12是60的因数，或者说60是12的倍数。此题旨在深化对“因数和倍数”双向关系的理解。）（三）拓展练习（渗透公倍数思想）1.游戏：学号大集合。规则：请学号是4的倍数的同学起立。（学号4、8、12……起立）请学号是6的倍数的同学起立。（学号6、12、18……起立）观察：有没有同学站起来了两次？他们的学号是多少？（12、24……）为什么？（因为12既是4的倍数，又是6的倍数）这为我们以后学习公倍数埋下了伏笔。四、课堂总结：回顾梳理，建构体系（预计4分钟）1.知识回顾：同学们，今天这节课我们一起探索了“倍数与因数”。谁来说说，你有什么收获？（引导学生从知识、方法、注意点三个方面总结）2.要点提炼：1.3.关系依存：必须说“谁是谁的倍数”或“谁是谁的因数”，不能单独存在。2.4.研究范围：非零自然数（正整数）。3.5.判断方法：看乘法（a×b=c）或看整除除法（c÷a=b，无余数）。4.6.倍数特征：个数无限，最小是本身，无最大。7.情感升华：数学世界就像一座巨大的宝藏，数与数之间除了倍数与因数关系，还有许多奥秘等着我们去发现。希望大家带着今天学到的有序思考的方法，继续去探索后面的知识。六、板书设计北师大版五年级上册——倍数与因数定义：在非零自然数范围内，如果a×b=c（a、b、c为非零自然数），那么c是a和b的倍数，a和b是c的因数。【核心：相互依存，不能单独说】示例：9×4=36(因数)(因数)(积)↓↓↓9和4是36的因数←相互依存→36是9和4的倍数寻找倍数的方法：1.乘法：用这个数依次乘1，2，3……2.除法：看这个数能否被另一个数整除。一个数的倍数的特征：1.个数是无限的。2.最小的倍数是它本身。3.没有最大的倍数。七、作业设计（体现分层与探究）1.基础性作业（全员必做）：1.2.完成课本“练一练”第2题（我写你说，同桌互考）和第4题（看谁找得快）。2.3.写出100以内8的全部倍数。4.探究性作业（选做）：1.5.“完美数”小侦探：已知6的因数有1、2、3、6，把这些因数中除了它本身以外的数加起来：1+2+3=6，恰好等于6本身。像这样的数叫做“完美数”。请你找出20以内的另一个完美数（28）。并尝试寻找50以内的完美数，下节课我们来分享你的发现。（【热点】：融入数学文化，激发探究欲）6.实践性作业（亲子互动）：和父母玩一次“倍数接力”游戏。一个人说一个数，另一个人快速说出它的一个倍数，交替进行，看谁的反应快。八、