初三数学专题复习教案：三角形中的基本‘8字型’模型及其应用

初三数学专题复习教案：三角形中的基本‘8字型’模型及其应用

  一、教学目标

  （一）核心素养目标

  1.几何直观与模型观念：通过对复杂图形的分解与识别，引导学生从纷繁的几何图形中抽象出基本的“8字型”结构，建立清晰的几何模型观念。发展学生运用图形描述和分析数学问题的能力，提升其几何直观素养。

  2.逻辑推理能力：经历“观察—猜想—证明—应用”的完整数学探究过程。通过严格的演绎推理证明“8字型”的基本性质与相关推论，训练学生思维的严谨性与条理性，提升其逻辑推理素养。

  3.数学运算能力：在利用“8字型”模型进行角度、线段长度计算与比例关系推导的过程中，培养学生准确、熟练地运用三角形内角和定理、相似三角形性质、角平分线定理等知识进行代数运算的能力。

  4.应用意识与创新意识：引导学生将“8字型”模型应用于解决复杂的几何综合题，如与圆、四边形、全等与相似等知识的融合问题。鼓励学生一题多解，从不同视角识别和构造“8字型”，培养其数学应用意识与创新思维。

  （二）知识与技能目标

  1.理解并掌握两种基本“8字型”模型（基础型与对顶型）的图形特征与结构本质。

  2.证明并熟练应用“8字型”模型的核心性质定理：在基础型中，∠A+∠B=∠C+∠D；在对顶型中，若线段AB与CD相交，则存在特定的角度和相等关系与潜在的相似三角形。

  3.掌握从复杂图形中（如相交线、多边形、圆内接四边形等）识别、分离和构造“8字型”模型的技巧。

  4.能够综合运用“8字型”模型的性质，结合三角形内角和、外角定理、相似三角形的判定与性质、角平分线性质等，解决与角度计算、线段比例关系、几何证明相关的综合性问题。

  （三）过程与方法目标

  1.经历模型探究过程：通过观察标准图形、变式图形，在教师引导下自主归纳模型的共性特征，经历从具体到抽象的模型建构过程。

  2.掌握问题解决方法：学会运用“模型识别→性质调用→条件关联→求解论证”的思维路径解决几何问题，形成解决一类问题的通性通法。

  3.体验合作学习与探究学习：在小组讨论、一题多解展示等环节中，学会倾听、表达与协作，在思维碰撞中深化对模型的理解。

  二、学情分析

  本节课的教学对象为初三年级下学期学生，正处于中考总复习的关键阶段。

  （一）已有知识基础：学生已经系统学习了初中阶段全部平面几何知识，包括：线段与角、相交线与平行线、三角形（性质、全等、相似）、四边形、圆等。他们掌握了三角形内角和定理、外角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线性质与判定等核心定理。具备了基本的几何推理与证明能力，能够进行简单的图形变换分析。

  （二）认知能力与思维特点：初三学生的抽象逻辑思维占主导地位，但由具体形象到完全抽象的思维跨度仍需要支撑。他们具备了一定的归纳概括能力，但在复杂背景下识别几何模型、建立知识间有效联系的能力尚待加强。部分学生存在“听得懂，不会用”的现象，其症结在于未能将零散的知识点整合成可迁移的“思维模块”或“模型”。

  （三）复习阶段需求：在总复习阶段，学生的核心需求是从“知识点覆盖”转向“能力整合与提升”。他们迫切需要教师帮助其梳理知识网络，提炼核心模型与方法，突破几何综合题的思维障碍。“8字型”作为平面几何中最基本、最高频的模型之一，是连接三角形、四边形、圆等诸多知识的枢纽，对其进行深度复习，恰好能回应学生“构建体系、提升能力”的迫切需求。

  （四）潜在学习困难：预计学生可能存在以下困难：1.在非标准图形或复杂组合图形中，难以准确识别隐藏的“8字型”结构；2.对“对顶型8字型”中相似三角形的灵活运用不够熟练；3.在综合题中，不能主动联想并构造“8字型”来建立角或边的数量关系。教学设计将针对这些困难设计梯度性的活动和变式练习。

  三、教学重难点

  （一）教学重点

  1.两种基本“8字型”模型（基础型与对顶型）的图形特征与核心性质的推导与应用。

  2.在复杂的几何图形中准确识别、分离和构造“8字型”模型的策略与方法。

  3.将“8字型”模型的性质与三角形内角和、相似三角形、圆的性质等知识有机结合，形成解决几何综合问题的思路。

  （二）教学难点

  1.“对顶型8字型”中，在满足特定条件（如一对角相等、或边成比例）时，能敏锐洞察并证明另一对三角形相似，进而利用相似比进行复杂计算。

  2.在面对需要添加辅助线才能显现“8字型”的几何证明或计算题时，如何根据求证目标或已知条件，逆向思维，合理构造出有效的“8字型”结构。

  3.在动态几何问题或存在多解情形的问题中，灵活、全面地运用“8字型”模型进行分析与讨论。

  四、教学策略与方法

  （一）整体策略：采用“模型教学法”与“问题链导学法”相结合。以“8字型”模型为明线，以学生思维发展为暗线，通过精心设计的一系列具有逻辑递进关系的问题链，驱动学生主动探究、深入思考、合作交流，完成对模型的深度建构与灵活应用。

  （二）具体方法：

  1.探究发现法：展示含有“8字型”的生活实例和几何图形，引导学生观察、比较、归纳，自主发现模型特征。

  2.讲授论证法：对模型的核心性质进行严谨的演绎推理证明，确保知识的科学性与规范性。

  3.变式训练法：通过图形变式（旋转、缩放、嵌入复杂图形）、条件变式（弱化、强化、逆向）、结论变式（求角、证线段、探比例）等，拓宽学生对模型理解的广度与深度。

  4.合作学习法：在模型应用环节，组织小组讨论，鼓励一题多解，在交流中碰撞思维，优化解法。

  5.信息技术整合法：利用几何画板动态演示“8字型”在图形变化中的不变性（如角度和关系），直观揭示模型本质；展示复杂图形的分解过程，辅助学生进行模型识别。

  五、教学准备

  （一）教师准备：精心设计教案、学案（导学案）；制作多媒体课件，内含标准模型图、变式图形、例题、练习题及几何画板动态演示文件；预设课堂提问的问题链及学生可能出现的解答思路。

  （二）学生准备：复习三角形相关性质定理、相似三角形知识；准备直尺、圆规、量角器等作图工具；预习学案中的模型初步感知部分。

  （三）环境准备：多媒体教学设备（投影、电脑）、几何画板软件、实物展台。

  六、教学实施过程（详细展开）

  （一）情境导入，感知模型（预计用时：8分钟）

  师：（投影展示一组图片）请同学们观察以下几幅图片：一座钢架桥的局部结构、一张蜘蛛网的部分网格、一个风筝的骨架线。你们能从这些生活与自然界的物体中，发现哪些共同的几何图形？

  生：三角形、线段交叉……

  师：很好！这些交叉的线段，构成了一个非常基础而重要的几何结构。我们将其抽象出来（课件动态抽象出两条相交线段，形成类似数字“8”的简单图形）。这个图形像什么？

  生：像数字“8”！

  师：非常形象。在几何世界里，我们把这种由两条线段相交，形成类似“8”字形状的基本图形结构，称为“8字型”。它看似简单，却是解决众多复杂几何问题的“钥匙”。今天，我们就对这枚“钥匙”进行一番深入的探究和打磨。

  【设计意图】从生活实物中抽象几何图形，激发学生兴趣，自然引出“8字型”的名称和基本形态，建立数学与生活的联系，同时点明本课主题的重要性。

  （二）模型探究，建构新知（预计用时：22分钟）

  1.模型分类与定义

  师：几何中的“8字型”主要分为两种基本类型。请观察课件（展示图1）。

  图1：两个三角形有一组对角顶点重合，另外四个顶点构成一条“折线”，整体形状如一个躺倒的“8”。（即AB与CD不平行且延长后相交）

  师：这种类型，我们称之为“基础型8字型”。它的核心特征是：两个三角形（△AOB和△COD）共享一个对顶角（∠AOB与∠COD）。

  （展示图2）

  图2：两个三角形（△AOB和△DOC）中，点O是公共顶点，点A、O、C和B、O、D分别共线，形成两条相交线段AC和BD。

  师：这种类型，我们称之为“对顶型8字型”。它的核心特征是：两个三角形（△AOB和△DOC）有一组对顶角（∠AOB与∠DOC），且这两个三角形位于相交线AC和BD的两侧。

  请同学们在学案上分别画出这两种基本模型，并用字母标注顶点。

  【设计意图】清晰呈现两种基本模型，引导学生从图形结构和顶点关系上把握其本质区别，为后续性质探究奠定基础。

  2.性质猜想与证明

  （1）基础型8字型性质探究

  师：对于基础型8字型（图1），请观察∠A、∠B、∠C、∠D这四个角。它们之间可能存在什么数量关系？请用量角器测量你学案上的图，或根据三角形内角和定理进行推理，提出你的猜想。

  生：（活动：测量或推理）猜想：∠A+∠B=∠C+∠D。

  师：非常好的猜想！如何证明这个猜想的正确性？

  生：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°。在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°。因为∠AOB=∠COD（对顶角相等），所以∠A+∠B=∠C+∠D。

  师：证明简洁有力！由此我们得到基础型8字型的核心性质定理：模型定理一：在基础型8字型中，不相邻的两个内角之和相等。即∠A+∠B=∠C+∠D。

  （2）对顶型8字型性质探究

  师：对于对顶型8字型（图2），我们首先关注的角度关系是什么？

  生：在△AOB和△DOC中，∠AOB=∠DOC（对顶角相等）。

  师：这是显然的。除此之外，如果我们连接AD和BC（课件动态连接），图中又出现了什么？

  生：又出现了一个基础型8字型（AD与BC相交形成的图形）！

  师：太棒了！这是一种“模型嵌套”的视角。那么，在原始的对顶型△AOB和△DOC中，除了对顶角相等，还有其他潜在的重要关系吗？想一想相似三角形。

  师：要使△AOB∽△DOC，除了∠AOB=∠DOC，还需要什么条件？

  生：还需要另一组角相等，比如∠A=∠D，或者∠B=∠C。

  师：如果已知∠A=∠D，能推出什么？

  生：可以推出△AOB∽△DOC（AA），进而得到对应边成比例：AO/DO=BO/CO=AB/DC。

  师：反过来，如果已知AO/DO=BO/CO，能推出什么？

  生：可以推出△AOB∽△DOC（SAS），进而得到对应角相等，如∠A=∠D，∠B=∠C。

  师：总结得非常好！由此我们得到对顶型8字型的核心性质：模型定理二：在对顶型8字型中，若已知任意一组对应角相等（非对顶角），或两组对应边成比例（夹角为对顶角），则可判定这两个三角形相似，进而可利用相似比进行有关线段长度、比例的计算与证明。

  【设计意图】引导学生通过观察、测量、推理，自主猜想模型性质，并完成严格证明。强调证明过程，巩固几何推理规范。将对顶型与基础型、相似三角形知识联系起来，构建知识网络。

  （三）模型初识，基础应用（预计用时：15分钟）

  师：我们已经掌握了两种8字型的基本“武器”。现在进入实战演练第一阶段——模型识别。

  （课件展示一组图形，包含明显的、隐藏的、旋转过的8字型，以及一些干扰图形）

  例题1：请判断下列图形中，哪些含有8字型模型（基础型或对顶型）？若是，请指出并说明类型。

  （学生个别回答，教师利用课件高亮显示识别出的8字型结构，并纠正错误判断。）

  师：识别模型是应用的第一步。很多时候，8字型不会单独出现，而是“镶嵌”在更复杂的图形里，如四边形、多边形中。这就需要我们有一双“慧眼”。

  例题2：如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。

  (1)图中有几个8字型？分别指出。

  (2)若∠BAC=35°，∠CAD=25°，∠ACB=40°，求∠ADB的度数。

  师：请同学们先独立思考，尝试找出所有8字型。

  生：在四边形内部，有△AOB与△COD构成一个对顶型，△AOD与△BOC构成另一个对顶型。如果考虑边和延长线，可能还有基础型……

  师：很好，找到了两个明显的对顶型。对于第(2)问，如何利用8字型求解？

  生：观察△ABC和△ADC，它们构成了一个基础型8字型（点A、B、C、D构成折线，AC、BD为相交线）。在这个基础型中，根据定理一：∠BAC+∠ACB=∠CAD+∠ADC？等等，需要仔细对应顶点。

  师：提醒大家，应用定理一时，必须严格对应模型中的角。在这个图形中，我们可以将BD与AC的交点记为O。那么，对于基础型（折线AB-BC与AD-DC，交点O），实际上有：在△AOB和△COD中，∠ABO+∠BAO=∠CDO+∠DCO。这似乎不能直接用。换一个视角，观察△ABO和△CDO这个对顶型？已知条件也不够。我们需要重新审视已知角的位置。

  （引导学生发现，已知的∠BAC、∠CAD、∠ACB分散在不同三角形，直接使用某个8字型有困难。可以设未知数，利用三角形内角和及8字型性质建立方程。）

  生：设∠ADB=x。在△AOD和△BOC这个对顶型中，有∠DAO+∠ADO=∠CBO+∠BCO。即25°+x=∠CBO+40°……还是求不出∠CBO。

  师：我们发现，直接套用模型定理遇到了障碍，因为已知条件不是恰好分布在同一个8字型的对应位置上。这时，我们需要结合三角形内角和定理。在△ABC中，可求∠B吗？

  生：可以，∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-35°-40°=105°。

  师：现在，观察△ABD和△CBD，它们关于BD形成了什么结构？

  生：如果把四边形ABCD看成由△ABD和△CBD拼接，它们共用BD，但点A和C在BD两侧，这不直接构成我们定义的8字型。但是，如果我们连接AC，交BD于O，那么对于△AOB和△COD这个对顶型，我们有∠BAO+∠B=∠CDO+∠C？不对，应该是在△AOB中，∠BAO+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠CDO+∠C+∠COD=180°，且∠AOB=∠COD，所以∠BAO+∠B=∠CDO+∠C。这里∠BAO=∠BAC=35°，∠B=105°，∠C=∠ACB=40°，所以35°+105°=∠CDO+40°，解得∠CDO=100°。而∠ADB=∠ADO，它与∠CDO是邻补角吗？不，点O在BD上，∠ADB和∠CDO不是同一个角。看来路径又错了。

  （此过程旨在展示思维探索的曲折性，教师适时引导）

  师：让我们回到最初，在四边形ABCD中，有没有一个大的基础型8字型？考虑折线A-B-C和A-D-C，它们交于点？实际上它们不直接相交。更标准的基础型，是顶点按顺序A、B、C、D，然后连接AC和BD交于O。此时，对于△AOB和△COD，我们有∠OAB+∠OBA=∠OCD+∠ODC。已知∠OAB=35°，∠OCD是∠ACB的一部分？不明确。看来这道题用8字型的核心性质并非最直接的方法。它更侧重于训练我们在复杂图形中识别模型的能力。实际上，求∠ADB，利用△ABD的内角和，已知∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°，∠ABD在△ABC中可求为105°，但∠ABD并不等于∠B，∠B是∠ABC，它包含∠ABD和∠CBD。所以此路也不通。

  （教师调整策略，将此题主要作为模型识别练习，计算部分可简化或更换条件，以免过度耗时。此处可转向更直接的应用题。）

  师：在模型识别中遇到困难是正常的。我们来看一道更直接应用定理的题目。

  变式练习1：如图，线段AD与BC相交于点O，且∠A=40°，∠B=35°，∠C=50°，求∠D的度数。

  （这是一个标准的基础型，直接应用∠A+∠B=∠C+∠D，代入即可求得∠D=25°。快速巩固定理应用。）

  【设计意图】本环节通过正反例辨析，强化模型识别能力。例题2设计了思维障碍，展示不是所有问题都能直接套公式，需要灵活结合其他知识，同时也暴露学生可能出现的思维误区，教师通过引导进行纠偏和深化。变式练习1则回归基础应用，确保所有学生掌握基本技能。

  （四）模型深化，综合应用（预计用时：35分钟）

  师：掌握了基本识别与简单计算后，我们进入更具挑战性的阶段——综合应用。8字型常常作为中间桥梁，串联起多个几何知识点。

  例题3（角度计算综合）：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°。BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点O。求∠BOC的度数。

  师：请同学们先观察图形，你能发现哪些8字型？

  生：△ABC与△OBC？不直接构成。但点O是两条角平分线交点，它是三角形的内心。

  师：从8字型的视角看。连接AO并延长，是否能看到8字型？

  生：在四边形ABOC中，对角线AO和BC相交……可以看作两个三角形？或许可以考虑△ABO和△ACO？但它们没有直接的对顶角关系。

  师：我们换个思路。直接求∠BOC，它在△BOC中，已知∠OBC和∠OCB吗？

  生：可以求。因为BD平分∠ABC，所以∠OBC=(1/2)∠ABC。同理，∠OCB=(1/2)∠ACB。在△ABC中，∠ABC=180°-60°-40°=80°，所以∠OBC=40°，∠ACB=40°，所以∠OCB=20°。那么在△BOC中，∠BOC=180°-40°-20°=120°。

  师：非常好！这是利用角平分线和三角形内角和的通法。那么，这个图形中有8字型吗？如何用8字型来思考这个问题？

  生：观察△ABD和△ACE，它们的边AD和AE实际上交于点A，不是标准型。但可以考虑△BEC和△BDC？它们有公共边BC。

  师：我提示一个构造：考虑折线B-O-E和C-O-D，它们与线段BC构成了一个基础型8字型吗？实际上，点E和D在BC边上。如果我们把视线聚焦在△BOC和△EOD上，其中O是顶点，E在AB上，D在AC上。△BOE和△COD？不直接。

  师：实际上，有一个更经典的8字型应用。考虑△ABC和△OBC，它们共享底边BC，但顶点A和O在BC同侧，不构成8字型。如果我们把“8字型”的性质作为一个工具，可以这样思考：在△ABO和△ACO中，虽然不直接构成对顶型，但我们可以利用角的关系。更常见的是，对于“角平分线交点”求角，有一个结论：∠BOC=90°+(1/2)∠A。这个结论可以用8字型来证明吗？

  （引导学生探索证明）

  已知：在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，相交于点O。

  求证：∠BOC=90°+(1/2)∠A。

  证明思路：观察图形，能否构造一个包含∠BOC和∠A的8字型？可以延长BO交AC于点D（或延长CO交AB于一点）。这样，在△ABD和△OBC中，就形成了一个基础型8字型（折线A-B-O和A-D-C，但需要调整）。更标准的做法：

  设∠ABO=∠OBC=x，∠ACO=∠OCB=y。

  在△BOC中，∠BOC=180°-x-y。

  在△ABC中，∠A=180°-2x-2y。

  所以(1/2)∠A=90°-x-y。

  那么90°+(1/2)∠A=90°+(90°-x-y)=180°-x-y=∠BOC。

  得证。这个推导过程没有显式用到8字型模型，但它体现了代数方法。如果非要联系8字型，可以考虑在△ABD（D为BO延长线与AC交点）和△OBC中，有∠BAD+∠ABD=∠BOC+∠OCB？即∠A+x=∠BOC+y，代入∠A=180°-2x-2y，也可得∠BOC=180°-x-y。这也是一种思路。

  师：通过这道题，我们体会到：1.许多问题有通法（如直接利用内角和与角平分线定义）；2.8字型可以作为探究角度关系的另一种有效视角；3.重要的几何结论（如内心与角的关系）值得掌握其推导方法。

  例题4（相似与比例综合）：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是AB延长线上一点，连接DE交BC于点F。已知BE:AB=1:3。

  (1)求证：△BEF∽△CDF；

  (2)若平行四边形ABCD的面积为48，求△BEF的面积。

  师：首先，我们在图中寻找8字型。

  生：在△BEF和△CDF中，点F是公共顶点？不，它们是顶点E、F、B和C、D、F构成的三角形，EF和CF不直接相交。但是，如果看整个图形，E、B、C、D四点，连接EC和BD，它们交于点O吗？不直接。

  师：我们关注要证明相似的两个三角形：△BEF和△CDF。它们有对顶角吗？

  生：有！∠BEF和∠CED？不，∠BEF和∠CED是同一角吗？点D、E、F共线，所以∠BEF=∠DEF，而∠DEF和∠CED是邻补角。所以∠BEF和∠CDF不是对顶角。

  师：那么，它们可能满足什么相似条件？观察图形，由于ABCD是平行四边形，所以AB∥CD。那么BE是AB的延长线，所以BE∥CD。

  生：由BE∥CD，可得∠BEF=∠CDF（内错角），∠EBF=∠DCF（内错角）。所以△BEF∽△CDF（AA）。

  师：完美！平行线是产生相似的重要条件。那么，在这个过程中，8字型在哪里？

  生：如果我们将线段BF和DE看作相交线（交点为F），将点C和点E看作另外两个顶点，那么△BEF和△CDF构成了一个对顶型8字型吗？是的！点F是交点，B、E、C、D是四个端点。在这个对顶型中，由于BE∥CD，我们得到了两组内错角相等，从而证明了相似。所以，平行线是此对顶型8字型获得相似条件的关键。

  师：非常精彩的发现！这揭示了对顶型8字型中证明相似的一种常见情境：由平行线提供角相等的条件。接下来看第(2)问，求面积。如何入手？

  生：由相似，面积比等于相似比的平方。需要求出△BEF与△CDF的相似比。

  师：已知BE:AB=1:3，而AB与CD有什么关系？

  生：在平行四边形中，AB=CD。所以BE:CD=1:3。

  师：所以△BEF与△CDF的相似比是BE:CD=1:3，所以面积比是1:9。但是△CDF的面积未知，只知道整个平行四边形的面积。如何建立联系？

  生：△CDF的面积与平行四边形ABCD的面积有关系。我们可以找到△CDF与△ABC或△ACD的面积关系吗？或者，利用等高模型。

  师：观察△CDF，它在平行四边形内。我们可以考虑△BCD的面积。因为平行四边形面积48，所以△BCD的面积为24（对角线平分平行四边形面积）。而△CDF和△BDF同高（以DF为底？），但底边长度比未知。另一种思路：利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及等高三角形面积比等于底边比，进行多次转换。

  设S△BEF=k。由相似比1:3，则S△CDF=9k。

  现在需要找到9k与平行四边形面积48的关系。观察△BCD，它的面积是24。△BCD由△BDF和△CDF组成。如果能求出S△BDF与S△CDF的关系，问题就解决了。

  师：如何求S△BDF:S△CDF？这两个三角形等高吗？它们都以DF为底吗？不，它们的高都是从B和C到直线DE的距离。由于BE∥CD，所以B和C到DE的距离比等于？实际上，如果过B和C作DE的垂线，垂足分别为H和G，那么BH和CG平行吗？由于BC可能不平行于DE，所以BH和CG不一定相等或成比例。但我们可以利用另一个相似：△BDF和△CDF？它们不相似。考虑利用面积比等于底边比乘以高之比。

  更有效的方法是连接BD后，看△BDF和△CDF，它们可以看作以BF和CF为底，高相同（从D到BC的距离），所以面积比等于BF:CF。

  那么BF:CF怎么求？由△BEF∽△CDF，得到对应边成比例：BF:CF=BE:CD=1:3？不对，BF和CF不是对应边。对应边是BF和DF，EF和CF等。BF:CF无法直接从这组相似得到。

  师：我们可能需要引入中间量。由△BEF∽△CDF，得EF:DF=BE:CD=1:3。这似乎与BF、CF无关。考虑另一对相似三角形？由于BE∥CD，还能得到△BEF∽△DAF吗？点A在哪里？F在BC上，A在另一侧。或者，连接AC，利用平行四边形对角线互相平分？或许可以考虑利用“燕尾模型”或“风筝模型”？

  （引导学生思考更简洁的方法）

  师：其实，在平行四边形中，由于对边平行，常常可以构造出多个8字型或A字型相似。除了已经发现的△BEF∽△CDF，还有别的相似吗？观察点F在BC上，AD∥BC，所以AD∥BF。那么，考虑△EDF和△EBA？它们构成一个A字型（或说8字型的变形）。因为AD∥BF，所以在△EBA中，EF:EA=BF:BA？这涉及到EA和BA的长度。

  已知BE:AB=1:3，设AB=3a，则BE=a，所以EA=EB+BA=a+3a=4a。

  由AD∥BC（即AD∥BF），得△EFB∽△EDA？点D、F、E共线，A、B、E共线，确实，△EFB和△EDA共享顶点E，且BF∥AD，所以△EFB∽△EDA。相似比为EB:EA=a:4a=1:4。

  由此可得，BF:AD=1:4。而AD=BC，所以BF:BC=1:4，即BF:FC=1:3（因为BC=BF+FC）。

  太好了！现在我们得到BF:FC=1:3。回到面积，S△BDF:S△CDF=BF:FC=1:3。

  设S△BDF=m，则S△CDF=3m。前面我们有S△CDF=9k，所以3m=9k=>m=3k。

  那么S△BCD=S△BDF+S△CDF=m+3m=4m=12k。

  而S△BCD=24，所以12k=24，k=2。

  因此，S△BEF=k=2。

  师：回顾整个过程，我们综合运用了：1.平行线判定角相等，在对顶型8字型中证明相似（△BEF∽△CDF）；2.利用平行四边形性质转化边长；3.通过另一组平行（AD∥BC）构造新的相似（△EFB∽△EDA），从而求得关键线段比BF:FC；4.利用等高三角形面积比等于底边比，以及相似三角形面积比等于相似比平方，建立方程求解。其中，识别并利用两个不同的相似三角形是解题关键。

  【设计意图】例题3和例题4代表了“8字型”在中考难度综合题中的典型应用。例题3侧重于角度计算中模型的渗透与多解法的比较；例题4则全面考察了在复杂图形中识别模型、利用模型性质（相似）进行推理，并结合其他几何知识（平行四边形的性质、平行线分线段成比例、面积计算）进行综合计算的能力。通过教师的逐步引导和学生的深入思考，突破难点，提升综合解题能力。

  （五）课堂小结，模型升华（预计用时：8分钟）

  师：本节课我们深入探究了三角形中的“8字型”模型。请同学们以小组为单位，讨论并完成学案上的小结框架：

  1.两种基本8字型：（1）基础型——特征：，核心性质：；（2）对顶型——特征：，核心性质/应用条件：。

  2.识别8字型的关键：寻找__________或_______