数学主干知识与基础知识3

高中数学主干知识和基础知识归类

一.集合和简易逻辑

集合表示一集合中的关系一集合运算，命题形式一四种命题关系

一充分、必要条件

1.注意区分集合中元素的形式.如：一函数的定义域；一函数

的值域。

2.集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为,②空集

是任何集合的子集，记为.③空集是任何非空集合的真子集；注意:

条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况，如：，如果，求

的取值.（答：）

⑥元素的个数：.

⑦含〃个元素的集合的子集个数为2”；真子集（非空子集）个数为

2"-1;非空真子集个数为2“-2.

3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数在区间上至少存在一个实数，使

，求实数的取值范围.（答:）

4.原命题：；逆命题：；否命题：；逆否命题：；互为逆

否的两个命题是等价的,如：“”是“"的条件.（答：充分

非必要条件）

5.若〃=q且什〃，则〃是夕的充分非必要条件（或夕是〃的必要非充

分条件）.

6.注意命题p=q的否定形式和它的否命题的区别：命题〃=的否

定形式是否命题是mnr.命题“P或q”的否定是“力且F”；

“〃且的否定是“—〃或F”.

如：“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是“若和不

都是偶数，则是奇数”

否定是“若。和人都是偶数，贝心+〃是奇数”.

7.常见结论的否定形式

原结

否定原结论否定

论

至少有一一个也没

是不是

个有

不都至多有一至少有两

都是

是个个

不大至少有〃至多有

大于

于个〃-1个

不小至多有〃至少有二.函

小于

数于个〃+1个

对所有X,成存在某盯不函数

〃或4且-

概成立念一函

数对任何X,不存在某x,成图象一

〃且q或F

函成立-jy数性态

（定义

域、值域、单调性、奇偶性、反函数、对称性、周期性）一特殊函数

图象和性质一应用（内部应用、应用题）

L①映射：是：⑴“一对一或多对一”的对应；⑵集合中的

元素必有象且中不

同元素在8中可以有相同的象；集合3中的元素不一定有原象（即象

集£8）.

②一一映射：：⑴“一对一”的对应；⑵中不同元素的象必

不同，中元素都有原象.

2.函数：是特殊的映射.特殊在定义域和值域都是非空数

集！据此可知函数图像和轴的垂线至多有一个公共点，但和轴

垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.

3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要

注意定义域优先的原则.

4.求定义域:使函数解析式有意义（如：分母工0；偶次根式被开方数

非负;对数真数＞0,底数＞。且工1；零指数事的底数工0）；实际问题有意

义;若/（x）定义域为"],复合函数/[g（x）]定义域由解出;若

加（必定义域为必向，则f（x）定义域相当于勿时g。）的值域.

5.求值域常用方法：①配方法（二次函数类）；②逆求法（反函数

法）；③换元法（特别注意新元的范围）.④三角有界法：转化为只含正

弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑤不等式法；⑥单

调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义，利用数形结合的方法来

求值域；⑧判别式法（慎用）：⑨导数法（一般适用于高次多项式函

数）.

6,求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法（已知所求函数的类

型）；⑵代换（配凑）法；

⑶方程的思想对已矢1等式进行赋值，从而得到关于及另外一个

函数的方程组。

7.函数的奇偶性和单调性

⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的，确定奇

偶性方法有定义法、图像法等；⑵若是偶函数，那么

fix）=/（-x）=/（IxI）;定义域含零的奇函数必过原点（/（0）=0）;

⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或；

注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既

奇又偶的函数有无数个

（如/。）=。定义域关于原点对称即可）.

⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单

调区间内有相反的单调性；

⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法（用

于小题）等.

⑺复合函数单调性由“同增异减”判定.（提醒：求单调区间时注

意定义域）

如：函数的单调递增区间是.（答：）

8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移“左加右减”（注

意是针对而言）：

上下平移“上加下减”（注意是针对而言）,⑵翻折变换：；.

⑶对称变换：①证明函数图像的对称性，即证图像上任意点关于对称

中心（轴）的对称点仍在图像上.

②证明图像和的对称性，即证上任意点关于对称中心（轴）的

对称点仍在上，反之亦然.③函数和的图像关于直线（轴）对

称；函数和函数的图像关于直线（轴）对称；④若函数对

时，或恒成立，则图像关于直线对称；

⑤若y=/（x）对xwR时，=-幻怛成立，贝！Jy=/（x）图像关于直线

对称；

⑥函数y=f（a+x）,y=f（b-x）的图像关于直线对称（由〃+x=〃-x确定）；

⑦函数），=/（、），y=A-/⑴的图像关于直线对称（由确定）；

⑧函数y=f（x）和y=-/（-x）的图像关于原点成中心对称;函数

y=/W,y=〃-/（加-x）的图像关于点对称；

⑨函数和函数的图像关于直线对称；曲线：，关于

y=x+a（或y=-x-\-a）的对称曲线C2的方程为/（y-"+〃）=0（或

f（-y+a,-x+a）=O;

曲线：关于点的对称曲线方程为：.

9.函数的周期性：⑴若对时恒成立，则的周期为：

⑵若尸/⑴是偶函数，其图像又关于直线/=〃对称，则/*）的周期为

23;

⑶若），=/"）奇函数，其图像又关于直线对称，则/⑴的周期为

43;

⑷若y=/(x)关于点(a,0),(〃,())对称，则/(x)的周期为2|a-勿；

⑸y=f(%)的图象关于直线x=a,x=b(a")对称,则函数y=/(x)的周期

为2|。-加;

(6)y=/(x)对xeR时，/［x+a)=-/(x)或，则y=/(X)的周期为2|。|;

10.对数：

⑵对数恒等式心"N=N("0,aw1,N>0);

；即对数换底公式(〃>0,”1,匕>0,”1)；

推论：.

(以上M>O,N>(),a>(),aHl,〃>(),/7Wl,c>(),cwlM］,&,4〃>()且a］，K,an均不等

于1)

11.方程k=f(x)有解okwD(D为/*)的值域)；恒成立

Q。之"(x)］最大仇,

a</(x)恒成立oa<"(x)］以小伯・

12,恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)：⑵转化为一

元二次方程根的分布问题；

13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有

最值，求最值问题用“两看法”:

一看开口方向；二看对称轴和所给区间的相对位置关系；

14.二次函数解析式的三种形式：①一般式：；②顶点式：

；③零点式：.

15.一元二次方程实根分布：先画图再研究△>()、轴和区间关系、区

间端点函数值符号；

16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若的定义域为，其复

合函数的定义域可由不等式解出；若的定义域为，求的

定义域，相当于时，求的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异

减”判定.

17.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必

有反函数；⑵奇函数的反函数

也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周

期函数不存在反函数；

⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹

y=/(x)和y=f'(x)互为

反函数，设/(x)的定义域为A,值域为8,则有

/(/-'M]=x(xeB),「[/(x)l=x(xeA).

18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参

数的范围问题:

f（u）=g（x）u+h（x）>0（或40）[a<u<b）（或）;

19.函数的图像是双曲线：①两渐近线分别直线（由分母为零

确定）和

直线kg（由分子、分母中X的系数确定）；②对称中心是点（-幺与；

CCC

③反函数为），=正如；

ex-a

20.函数：增区间为，减区间为.

如：已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是

（答：）.

三.数列

数列概念一数列通项、前〃项和一特殊数列的通项、前〃项和及性质一

应用（内部应用、应用题）

L由求，注意验证是否包含在后面的公式中，若不符合

要单独列出.如：数列满足，求（答：）.

2.等差数列==d（d为常数）=2%=（+]+%伽之2,〃eN*）

3.等差数列的性质：①，：

②〃7+〃=/+knq“+a”=《+《（反之不一,定成立）;特别地,当〃?+〃=2p时,

有4+q=2（；

③若｛《』、色｝是等差数列，则｛也+也,｝（八/是非零常数）是等差数列;

④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即

f&F，仍是等差数列；

⑤等差数列｛〃“）,当项数为2〃时，5儡-5奇=见;项数为2〃-1时,

S偶-S奇=%=《,5eN*）,S2“T=（2〃-1）4,且；殳=/（〃）=忆=/（2〃-1）.

Bn”bn”

⑥首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大

（或最小）问题，转化为解不等式

（或）.也可用S.=A/+B〃的二次函数关系来分析.

⑦若an=m,am=n｛m工〃），则am+n=0;若5“=m,Sm=n｛m=n）,则S,n+n=-（m+n）;

若S1”=Sn（m工〃），则0;Ss3（S21n-）；Sm+n=S,”+S“+nrnd.

4.等比数列｛%｝=也=式"0）=a；=*%（〃"〃wN*）=4=W.

5.等比数列的性质

①，；②若、是等比数列，则、等也是等比数列；

③；④（反之不一定成立）；.⑤等比数列中（注：各项均不

为0）仍是等比数列.⑥等比数列当项数为时，；项数为时

6.①如果数列⑴是等差数数则数列外｝（此总有意义）是等比数

列；如果数列⑸｝是等比数列,则数列（晦卬［3>0,“D是等差数列;

②若他“｝既是等差数列又是等比数列，则仅“｝是非零常数数列；

③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数

列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍

数;如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项

顺次组成的数列是等比数列，由特殊到一般的方法探求其通项；

④三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：；

三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：（为什么？）

7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数

列通项公式.

（2）已知（即）求用作差法：.

（3）已知求用作商法：.

⑷若求用迭加法.（5）已知，求用迭乘法.

⑹已知数列递推式求，用构造法（构造等差、等比数列）：①形如

q二如,“+。•〃+为为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为

公比为攵的等比数列后,再求凡.②形如的递推数列都可以用“取倒数

法”求通项.

8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②

分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法,公式:

；常见裂项公式;；；O常见放缩公式:

9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题

⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过

程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长

又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.

⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型:

若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为：（等差数

列问

题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向

银行借款）元，采用分期等

额还款方式,从借款日算起,一期（如一年）后为第一次还款日，如此下

去，分〃期还清.如果每期利

率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：

p（l+r）"=x（l+r严+1（1+尸尸++x（l+r）+x（等比数列问题）.

四,三角函数

1.a终边和。终边相同oa=8+2k7r（kwZ）;a终边和。终边共线

<=:'a=^+kn{kGZ）;a终边和。终边关于x轴对称<=>a=-6+就（々cZ）;a终边

和夕终边关于）,轴对称=i-〃+2ARAGZ）;a终边和。终边关于原点对

称。a=兀+。+2k兀（ksZ）;a终边和夕终边关于角夕终边充称

<^>a-2p-0+lk7r{ke.Z）.

2.弧长公式：；扇形面积公式：；弧度（）七.

3.三角函数符号（“正号”）规律记忆口诀：“一全二正弦，三切四

余弦”.

注意：；；

4.三角函数同角关系中（八块图）：注意“正、余弦三兄妹

sinx±cosx>sinxcosJ"的关系.

如（sinx±cosx）:=1±2sinxcosx等.

5.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；

（注意：公式中始终视a为锐角）

6•角的变换：已知角和特殊角、已知角和目标角、已知角

和其倍角或半角、两角和其和差角等变换.

如：；；;;

等；“”的变换：；

7.重要结论：其中）；重要公式；；；・

万能公式：；；.

8.正弦型曲线y=Asin（s+（p）的对称轴；对称中心；

余弦型曲线y=Acos3+0）的对称轴；对称中心;

9,熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理

三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于，一般用正、余弦定理

实施边角互化；正弦定理：；

余弦定理：；

正弦平方差公式：；三角形的内切圆半径；

面积公式：；射影定理：.

10.中，易得：，①，,

④锐角^ABC中，，sinA>cos8,cosA<cosB,a2+b2>c2,类比得钝角^ABC结

论.

11.角的范围：异面直线所成角；直线和平面所成角；二面角

和两向量的夹角；直线的倾斜角；到的角；和的夹角

.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.

五.平面向量

向量概念一向量的表示一向量运算及其几何意义一应用：作为工

具，解决几何问题、三角问题等，关键是“线段向量化”

1•设,.

(1)a//b<^xiy2-x2yx=0;

(2)aJbboab=00x^x2+yty2=0.

2.平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的

向量,那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.

3.设a=（M，y）,b=（x2iy2）9则。/二⑷闻小”—+X%；其几何意义是〃了

等于〃的长度和〃在〃的方向上的投影的乘积；〃在沙的方向上的投影

a-bx^+y^

|a|cosO=

网,4+£

4.三点A、B、。共线o/W和AC共线；和4B共线的单位向量.

5.平面向量数量积性质：设，，则；

注意：但力〉为锐角oa“。，a,A不同向；3仍为直角=4力=0;5,力〉为

钝角。心〃＜0,a乃不反向.

6.〃.〃同向或有0=|a”|=|a|+|〃回⑷-|勿|=|4-"；a.〃反向或有0

0|4-川=|4|+网斗〃|一|加,0+例；0。不共线0,|-|可＜|4±例＜|4|十|6.

7.平面向量数量积的坐标表示：

（1）若。=（羽,y）,〃="2，%），则a，〃=x/2+M）’2；|A—I=&内-工2）2+（乂-%）2；

⑵若a=（x,y）,则，=a.a=f+J.

8.熟记平移公式和定比分点公式.①当点在线段上时，：当点

在线段（或）延长线上时，或.②分点坐标公式：若；且

则，中点坐标公式：.

③不P,〃三点共线o存在实数4、〃使得OP=/OR+〃。6且2+〃=1.

9.三角形中向量性质：①过边的中点：；

②/>6=1（%+屋+户0=64+68+6。=006为期》。的重心；

3

③以・尸8=28尸。=抬尸。0尸为^48。的垂心；

④为的内心；所在直线过内心.⑤设，

⑥。为MBC内一点，贝ISMA+Sn0cOB+S^OR0C=0.

10.P（x,y）飒34世移i>P'3,），'）,有（pp=a）;

六.不等式

不等式的基本性质一几个重要不等式一不等式的证明一几类不等

式的解法一应用（内部应用、应用题）

1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别

注意：

①若必>0,b>a,则bL即不等式两边同号时，不等式两边取倒数,

ab

不等号方向要改变.

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如

果正负号未定，要注意分类讨论.

2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、

对数不等式）的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；

勿忘数轴标根法,零点分区间法.

3.掌握重要不等式，（1）均值不等式：若，则（当且仅当时取

等号）使用条件：“一正二定三相等”，常用的方法为：拆、凑、

平方等；（2）,

（当且仅当时，取等号）；（3）公式注意变形如:，；（4）若，则（真分数的性质）：

4.含绝对值不等式：同号或有；异号或有

5.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：.注意：若两个

正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法:

由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证…需证…，只需

证…；⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大

或缩小以达证题目的.

放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：；.②将分子或分

母放大（或缩小）③利用基本不等式，如：.④利用常用结论：；

（程度大）；（程度小）;

⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三

角换元、代数换元.如：知，可设；知，可设，（）；知，可设；已知，可设.

⑺最值法，如：，则恒成立.，则恒成立.

七.直线和圆的方程

直线、圆的方程一直线和直线、直线和圆、圆和圆的位置关系一

曲线和方程一应用

L直线的倾斜角a的范围是［0,0;

2.直线的倾斜角和斜率的变化关系（如右图）:

3,直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点斜率为，则直

线

方程为，它不包括垂直于轴的直线.（2）斜截式：已知直线在轴上

的截距为和斜率，则直线方程为，它不包括垂直于轴的直线.

⑶两点式：已知直线经过

/».）、£（七片）两点，则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线.

⑷截距式：已知直线在轴和轴上的截距为，则直线方程为,

它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.（5）一般式：任何直线

均可写成（不同时为0）的形式.

提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率

不存在的直线，还有截距式呢？M2）直线在坐标轴上的截距可正、可

负、也可为.直线两截距相等直线的斜率为或直线过原点；直

线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点；直线两截距绝

对值相等

直线的斜率为±1或直线过原点.（3）截距不是距离,截距相等时不要忘了

过原点的特殊情形.

4,直线和直线的位置关系：

⑴平行=A与-44=o（斜率）且BG-BC*。（在y轴上截距）；

⑵相交=入鸟―尸0；（3）重合oA用—4片=0且UG—82G=0.

5.直线系方程：①过两直线：.交点的直线系方程可设为

;②和直线平行的直线系方程可设为

AV4-BV+m=0（m*c）;③和直线/:Ar+8y+C=0垂直的直线系方程可设为

Rv-Ay+n=0.

6.到角和夹角公式：⑴到的角是指直线绕着交点按逆时针

方向转到和直线重合所转的角，且；

（2）1,和4的夹角是指不大于直角的角且出皿=|与』|（"--1）.

1+k\k?

7.点Pa。,为）到直线Av+Zh7+C=O的距离公式；

两条平行线Ar十为十G=0和/U+6），十G=。的距离是.

8.设三角形三顶点A（x，y）,B（x2,y2）,。（弓，为），则重心

cE+M+W升+必+）'3、.

3，3，

9.有关对称的一些结论

⑴点m㈤关于X轴、），轴、原点、直线），=x的对称点分别是

（a-b）,（-atb）,,（b,①.

⑵曲线关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点：；

②轴：：③轴：：④原点：：⑤直线：

；⑥直线：；⑦直线：.

10.⑴圆的标准方程：,⑵圆的一般方程：

.特别提醒：只有当时，方程

V+）,2+6+石）,+产=0才表示圆心为,半径为的圆（二兀二次方程

Ar2+Bxy^+Cy2+£>x+Ey+"=0表不圆oA=C=0,目.8=0,Q?+E?-44">0).

⑶圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为.圆的参数

方程主要应用是三角换元：；

⑷以4$,乂）、以勺，必）为直径的圆的方程（x-x1）（x-x2）+（y-yi）（y-y2）=o；

11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法（计算圆心到直线距离）.

点P30,y。）及圆的方程

222

（x-a）+（y-b）=r.①&＞ro点P在圆外;

②+（%-4＜，O点（在圆内;③（与-。）2+（%-4=/O点P在圆

上.

12,圆上一点的切线方程：点在圆上,则过点的切线方程为：

*9

过圆（Xi）?+（），-〃）=,上一点"%%）切线方程为

（七-a）［x-a）+（yQ-b）（y-b）=r.

13.过圆外一点作圆的切线，一定有两条,如果只求出了一条，那么

另外一条就是和X轴垂直的直线.

14.直线和圆的位置关系，通常转化为圆心距和半径的关系，或者利

用垂径定理，构造直角三角形解决弦长问题.①”＞厂=相离②

d=ro相切③dvro相交

15.圆和圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距和两圆的半径之

间的关系.设两圆的圆心距为，两圆的半径分别为：两圆相离；

两圆相外切；两圆相交；两圆相内切；两圆内含；两圆

同心.

16.过圆：，：交点的圆（相交弦）系方程为.时为两圆

相交弦所在直线方程.

17.解决直线和圆的关系问题时•，要充分发挥圆的平面几何性质的

作用（如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定

理、弦切角定理等等）.

18.求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列

出不等式；（2）作出可行域,写出目标函数（判断几何意义）；（3）确定

目标函数的最优位置,从而获得最优解.

八.圆锥曲线方程

1.椭圆焦半径公式：设为椭圆上任一点,焦点为，，则（“左

加右减”）;

2.双曲线焦半径：设为双曲线上任一点,焦点为，，

则：⑴当点在右支上时，；⑵当点在左支上时，，；（为

离心率）,另：双曲线的渐近线方程为.

3.抛物线焦半径公式：设为抛物线上任意一点，为焦点，则

;上任意一点，为焦点，贝I」.

4.共渐近线的双曲线标准方程为（4为参数，花0）.

5.两个常见的曲线系方程：⑴过曲线，的交点的曲线系方程

是

工（x,y）+"（x,）,）=0（%为参数）.⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中

k<maxk/,〃2}.当时，表示椭圆；当}<攵<maxM,/??}时，

表示双曲线.

6.直线和圆锥曲线相交的弦长公式|M=J（XT2）~（Xf）'或

\AB\=J1+&2|x）-x21

（弦端点，由方程消去得到，，为斜率）.这里体现了解几中“设而不求”的思想；

7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为也，焦准距为,抛物线的通径为

a

2〃，焦准距为〃；

双曲线的焦点到渐近线的距离为8；

8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为

Ar+By2=1（对于椭圆A>0,3>0）;

9.抛物线的焦点弦（过焦点的弦）为，、，则有如下结论：

10.椭圆左焦点弦|的=2〃+&%+%2）,右焦点弦|A8|=2a-e（x+/）.

11.对于），2=2*（/-0）抛物线上的点的坐标可设为，以简化计算.

12.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点

差法”求解.在椭圆中，以为中点的弦所在直线斜率；在双曲线中，

以为中点的弦所在直线斜率；在抛物线中，以为中点的弦所在

直线的斜率.

13.求轨迹方程的常用方法：

⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成，是求轨迹的

最基本的方法.

⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其

待定系数，代回所列的方程即可.⑶代入法（相关点法或转移法）.⑷定

义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线

的定义直接写出方程.⑸交轨法（参数法）：当动点坐标之间的关系

不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将、均用一中间变

量（参数）表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.

14.解析几何和向量综合的有关结论：

⑴给出直线的方向向量〃=（"）或〃=（”?）.等于已知直线的斜率”或

n.

m

⑵给出方+丽和相相交,等于已知次+为过"的中点；

⑶给出丽+丽等于已知P是MN的中点；

⑷给出AP+AQ=A（BP+BQ）f等于已知和AB的中点三点共线；

⑸给出以下情形之一：①；②存在实数，使；③若存在

实数，

且a+/7=l;使OC=aOA+/?O3,等于已知4,民。三点共线.

⑹给出，等于已知P是标的定比分点，丸为定比，即Q=2而

(7)给出MAMB=O,等于已知MAYMB,即ZAMB是直角，给出

忌•砺=m<0,等于已

知Z4M3是钝角或反向共线,给出话•旃=心0,等于已知ZAMB是锐

隹或同向共线.

⑻给出，等于已知"P是ZAM3的平分线.

⑼在平行四边形ABCD中，给出(赤+而).(赢-而)=0,等于已知ABCD

是菱形.

(10)在平行四边形ABCD中，给出|A8+4。|=|48-AO|,等于已知ABCD是

矩形.

(11)在中，给出，等于已知是的外心(三角形的外心是外接

圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点).

⑫在中，给出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角

形三条中线的交点).

⑬在中，给出，等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角

形三条高的交点).

(14)在AA3c中，给出加=3+(2£R+)等于已知而通过AA4C的内心.

(15)在AA8C中，给出a.苏+〃・而+c.云=及等于已知。是AA8C的内心

（三角形内切圆

的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）.

（16）在AABC中，给出，等于已知A力是ZVWC中8c边的中线.

九,直线、平面、简单几何体

平面基本性质一空间的平行关系一空间的垂直关系一求空间的几

何量（角、距、面积、体积）一解立几问题方法：几何法、向量法

L从一点0出发的三条射线04、013.OC.若ZAO8=Z4（9C,则点A在平

面加C上的射影在的平分线上；

2,立平斜三角余弦公式：（图略）和平面所成的角是，在平面

内，和的射影成，设，则；

3.异面直线所成角的求法：⑴平移法：在异面直线中的一条直线

中选择一特殊点，作另一条的平行线.⑵补形法：把空间图形补成熟

悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于

容易发现两条异面直线间的关系；

4.直线和平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，是

产生线面角的关键.

5•二面角的求法：⑴定义法;⑵三垂线法;⑶垂面法;⑷射影法：利

用面积射影公式

其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角;

6,空间距离的求法：⑴两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂

线,所以一般先利用垂直作出公垂，然后再进行计算.⑵求点到直线

的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解.

⑶求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作.因

此,确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的

高,利用等体积法列方程求解.

7,用向量方法求空间角和距离：⑴求异面直线所成的角：设、分

别为异面直线、的方向向量,则两异面直线所成的角.⑵求线面角:

设是斜线的方向向量，是平面的法向量,则斜线和平面

所成的角.（3）求二面角（法一）在内，在内

红/,其方向如图（略），则二面角0-/-尸的平面角.（法二）设％,型是二

面角

”/-夕的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧，另一个指向外侧,

则二面角a—的平面

角.（4）求点面距离：设是平面的法向量，在内取一点，则到

的距离

,/=/||3昨此5（即/18在〃方向上投影的绝对值）.

8.正棱锥的各侧面和底面所成的角相等,记为%则与8S0=S底.

9.正四面体（设棱长为）的性质:

①全面积S=&2；②体积；③对棱间的距离；④相邻面所成二面角；

⑤外接球半径；⑥内切球半径；⑦正四面体内任一点到各面距离之

和为定值.

10,直角四面体的性质：（直角四面体一三条侧棱两两垂直的四面

体）.在直角四面体

中，OAQ8OC两两垂直，令OA=a,OB=b,OC=c、则⑴底面三角形ABC为

锐角三角形；

⑵宜角顶点O在底面的射影〃为三角形A8C的垂心；⑶

^ABOC=；

⑷SMS，c+S-⑸;⑹外接球半径.

11.正方体和长方体的外接球的直径等和其体对角线长；

13.球的体积公式，表面积公式；掌握球面上两点、间的距离

求法：

⑴计算线段旗的长：⑵计算球心角Z4QB的弧度数：⑶用弧长公式

计算劣弧的长.

十.排列组合和概率、统计（文科不学排列组合、二项式定理。概

率部分只学古典概型和几何概型）

计数原理一排列组合一二项式定理一概率和计算一统计一应用（应

用题）

1.排列数公式：A；=n（n-1）（/!-/?/+1）=---...（〃?<几tn,neN*）,当m=〃时为

〃»（〃一，“）！

全排列然=〃!.

2.组合数公式：，.

3.组合数性质：；.

4.排列组合主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置

优先；②捆绑法（相邻问题）；

③插空法（不相邻问题）;④间接扣除法；（对有限制条件的问题，先

从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）⑤多排问题单排法;

⑥相同元素分组可采用隔板法（适用和指标分配，每部分至少有一

个）；⑦先选后排，先分再排（注意等分分组问题）；⑧涂色问题（先分

步考虑至某一步时再分类）.⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是

非平均分组，平均分成组问题别忘除以.

5.常用性质：：即：：

6.二项式定理：⑴掌握二项展开式的通项：；

⑵注意第r+1项二项式系数和第r+1项系数的区别.

7.二项式系数具有下列性质：⑴和首末两端等距离的二项式系数

相等；⑵若为偶数，中间一项

（笫紧|项）的二项式系数最大；若〃为奇数，中间两项（第和项）的二

2

项式系数最大.⑶d+C：+C：+…+C=2"；d+C"..=C：+C；+…=2f

8,二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明和指数有

关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和如展开式的各

项系数和为，奇数项系数和为

，偶数项的系数和为.

9.等可能事件的概率公式：⑴；⑵互斥事件有一个发生的概率公式

为：

:⑶相互独立事件同时发生的概率公式为；⑷独立重复试验概率公式；⑸如果事件和

互斥，那么事件和、