考研数学二分类模拟2

考研数学二分类模拟222

一、选择题

-12

A=,

1.已知矩阵一°3」那么下列矩阵中

①；②；③；④。

03-6143-12

与矩阵A相似的矩阵个数为

A.1

B.2

C.3

D.4

正确答案：C一

10

A〜A=,

［解析］二阶矩阵A有两个不同的特征值1和3,因此103_那么

只要和矩阵A有相同的特征值，它就一定和A相似，也就一定与A相似。

①和②分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是1和3,所以它们均与A

相似，对于③和④，由

入一1一2

=A4A-5=(A—5)(A+1).

一41-3

入一21

=M-4/+3=(A-3XA-1),

1A-2

可见④与A相似，而③与A不相似。故选C。

一20'21O--100-

A=021,B=020,c=020Q

J)01_001__002.

2.设矩阵则

A.A与C相似，B与C相似

B.A与C相似，B与C不相似

C.A与C不相似，B与C相似

D.A与C不相似，B与C不相似

正确答案：B

［解析］由|人E-A|=0可知，矩阵A的特征值为1,2,2。又因为

-

「000'0()o

2E-A=00-1—>000

001_001.

10。一

0200

2j

所以3-r(2E-A)=2,故矩阵A可相似对角化，且口

由|入E-B|二O可知，矩阵B的特征值为1,2,2。又因为

0-10

2E-B=000

00—1

所以3-r(2E-B)=l,故矩阵B不可相似对角化。

矩阵C本身就是对角矩阵，且其特征值为1,2,2,所以A与C相似，B

与C不相似。

如果已知矩阵A为对角矩阵，判断其他矩阵与A是否相似，则先求出其他

矩阵的特征值并判断这些矩阵是否可相似对角化。在能相似对角化的前提下，

某矩阵的特征值与A相同，则其与A相似，否则，其与A不相似。

-1"1]K00

a。a与0b0

〃1J[o

3.矩阵」°°相似的充分必要条件为

A.a=O,b=2

B.a=O,b为任意常数

C.a=2,b=O

D.a=2,b为任意常数

正确答案：B

-200]a1

0b0A=aba

1」的特征值

［解析］易知_000_的特征值是2,b,0,则1a

也应该是2,b,Oo

事实上,

1-a-11-Q-1

2

|2E-A|=-Q2-b—a—2a=_4/==(),

-1—a10—2a0

将a=0代入可知，A的特征值是2,b,0o因此两个矩阵相似，且与b的

取值是无关的，故选B。

4.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是

10—1

023

A.-135_

■100_

1230

B.5-1.

-10一「

20-2

「一303

123_

013

D.Lo0一1

正确答案：D

［解析］选项A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。

选项B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个

不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。

选项c是秩为1的矩阵，由|人E-A|=l_4入2,可知矩阵的特征值是4,

0,0o对于二重根入=0,由秩r(0E-A)=r(A)=1可知齐次方程组(0E-A)x=0的基

础解系有3-1=2个线性无关的解向量，即入二0时有两个线性无关的特征向量,

从而矩阵必可以相似对角化。

选项D是上三角矩阵，主对角线上的元素1,1,T就是矩阵的特征值，

0-2-3

r（E一A）=厂00-3=2

对于二重特征值人=1,由_002_

可知齐次线性方程组(E-A)x=O只有3-2=1个线性无关的解向量，即入二1

时只有一个线性无关的特征向量，故矩阵不能相似对角化。故选D。

5.设A是三阶矩阵，其特征值是1,3,-2,相应的特征向量依次是a”a

2,a3,若P二(ai,2Q3,-a2),则P'AP=

「1

-2

1

-4

B.--3一

1

-2

C.--3.

1

3

正确答案：A

［解析］由人。2=3。2,有A(-a,二3(-。2),即当是矩阵A属于特征值人二3的

特征向量时，2仍是矩阵A属于特征值入=3的特征向量。同理，2%仍是矩阵

A属于特征值X=-2的特征向量。

当MAP二A时，P由A的特征向量构成，A由A的特征值构成，且p中特

征向量与A中特征值的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1,3,-2,

故对角矩阵A应当由1,3,-2构成，因此排除选项B、Co由于2a3是属于人

=-2的特征向量，所以-2在对角矩阵A中应当是第二列。故选A。

100

P-lAP=050,

6.已知Lo05」a1是矩阵A属于特征值人:1的特征向量,

a2与。3是矩阵A属于特征值X=5的特征向量，那么矩阵P不可能是一

A.(a1,一。2,a3)

B.(aHa2+a3,a2-2a3)

C.(ai,a3,a2)

D.(Qi+Q2,Q「a2,a3)

正确答案：D

"I

P1AP=A=/2

二(Q则有

［解析］若L兀.P“a2,a3),AP=PA,

即

a

(Aa1,Aa2,Aa3)=(^ii，入2a2,入3a3)，

可见ai是矩阵A属于特征值入i(i=l,2,3)的特征向量，又因矩阵P可

逆，因此a”a2,a3线性无关。

若。是属于特征值X的特征向量，则-ci仍是属于特征值X的特征向量，

故选项A正确。

若a,B是属于特征值人的特征向量，贝也与a的线性组合仍是属于特征

值人的特征向量。本题中，。2,。3是属于人二5的线性无关的特征向量，故a2+

a3,a2-2a3仍是入二5的特征向量，并且&2+。3,。2-2。3线性无关，故选项B

正确。

对于选项C,因为。2,Q3均是入二5的特征向量，所以Q2与Q3谁在前谁

在后均正确。故选项C正确。

由于Q”a2是不同特征值的特征向量，因此。1+。2,不再是矩阵

A的特征向量，故选项D错误。故选D。

7.已知三阶矩阵A的特征值为0,1,2o设B-A3-2A2,贝iJr(B)-

A.1

B.2

C.3

D.不能确定

正确答案：A

［解析］因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，即存在可逆

矩阵P,使得

rooo-

PAP=A=010,

002_

于是

P~]BP=P-1(A3-2A2)P=PlAiP-2P'A2P=(PUP”-2(PAP)2

0()(rro001000

00-2010=0-10

008004000

则矩阵B的三个特征值分别为0,0,T,故r(B)=1。故选A。

8.设A为n阶实对称矩阵，则

A.A的n个特征向量两两正交

B.A的n个特征向量组成单位正交向量组

C.对于A的k重特征值入°,有r(入oE-A)=n-k

D.对于A的k重特征值入°,有r(入0E-A)二k

正确答案：C

［解析］实对称矩阵A必可相似对角化，A的属于k重特征值入。的线性无关的

特征向量必有k个，故r(入oE-A)=n-k。

需要注意的是：实对称矩阵A的特征向量不一定两两正交，但属于不同特

征值的特征向量一定正交；n个特征向量不一定是单位正交向量组。故选C。

二、填空题

"211］

A=030

1.若矩阵L—1。4」只有一个线性无关的特征向量，则这个线性

无关的特征向量是o

正确答案：

k(l,0,1)T,kWO

［解析］因A只有一个线性无关的特征向量，所以A的特征值必是三重的，且

r(XE-A)=20由tr(A)=入什入2+入3=9可得入尸入2二入3=3。于是

1一1一11—i—i

3E-A=000f0I—a0

1-a-ijL（）00

显然aWl。再由(3E-A)x=O的解得特征值入=3对应的特征向量为(1,0,

l)ro故线性无关的特征向量是k(l,0,1)1kHO。

P121

A=-2-3a

2.已知矩阵L00一I」有两个线性无关的特征向量，则

a=<>

正确答案：

-1

［解析］A的特征多项式为

A-1-2-1

|AE-A|=2A+3-a=(A+l)\

00A-1

所以矩阵A的特征值是-1,且为三重特征值，但是A只有两个线性无关的

特征向量，故

r(-E-A)-l,

因此a=-lo

1-21

1•?1,

3.设矩阵3一1的一个特征向量为2则a=

正确答案:

-1

2a

［解析］根据特征向量的定义可得即3+2a=l,可得a=-lo

如果Q是矩阵A的特征向量，则Aa和向量a线性相关，且它们的对应分

量成正比。

001

A=.r10

4.已知口0°」有三个线性无关的特征向量，则X=

正确答案：

0

［解析］由A的特征方程

A0-1

2

\XE—A\=—JCA-10=(A-1)(A—1)=0,

10A

可得A的特征值是\二1（二重）,A.=~1o

因为A有三个线性无关的特征向量，所以入=1必有两个线性无关的特征向

量，因此r(E-A)-3此-1,根据

一10-11-10—1

E--A=-X00—►-X00

101一_000

得x=0o

一312

A=02a

5.已知矩阵1°03

和对角矩阵相似，则a二

正确答案：

-2

［解析］因为

-1-2

-2-a=(A-2XA-3)2,

0久一3

所以矩阵A的特征值分别为2,3,3o因为矩阵A和对角矩阵相似，所以

对应于特征值3有两个线性无关的特征向量，即（3E-A）x=0有两个线性无关的

解，因此矩阵3E-A的秩为1。

0-1-20-1-2

3E-A=01—a—►00-a—2

一000_000

可见4=-2。

6.设三阶方阵A的特征值是1,2,3,它们所对应的特征向量依次为。I,o

2,G3,令P=(3ci3,a”2a2),则P"P=。

正确答案：

"300一

010

002_

［解析］因为3。3,Q”2a2分别为A的对应特征值3,1,2的特征向量，所以

~300-

P1/IP=010。

J0021

7.设A为3阶矩阵，a”a2,为线性无关的向量组，若Aa尸25+。2+

aAa2=a2+2。3，Aa3=-a2+a3,则A的实特征值为。

正确答案：

2

a+

［解析］由A。尸。|+。2,Aa2=2«3,Aa3;a什a3,可得

F200'|

A（a].a2，a：,）~~（a1,a二，）11一1

121

200

A~11一1=3,

1

由于a”。2,Q3线性无关，故U2J从而A与B有

相同的特征值。

因

A-200

AE-Bl=-1A-11=Gl—2)(M—2/+3),

-1-22-1

故A的实特征值为2。

如果某些矩阵的特征值不容易求出，则可以根据相似矩阵必具有相同的特

征值，将该矩阵转化为与之相似的另一个容易求特征值的矩阵。

8.设A是三阶实对称矩阵，特征值分别为0,1,2,如果特征值0和1对应

TT

的特征向量分别为Q尸(1，2,1),a2=(l,-1,1),则特征值2对应的特征向

量是O

正确答案：

t(-i,0,1)T,two

T

［解析］设所求的特征向量为a=(x”x2,X3),因为实对称矩阵不同的特征值对

应的特征向量是正交的，故有

ja1a：=.T］十272十乃=0，

■

!a'~~.T］才24飞:。,

所以对应于特征值2的特征向量是t(T,0,1)T,t^Oo

9.设二阶实对称矩阵A的一个特征值为人尸1,属于L的特征向量为(1,

1)\若|A|=—2,则A=o

止确答案：

「13"

22

31

L22J

［解析］设矩阵A的特征值人口和入2对应的特征向量分别为Q尸(1,H和。

2=(X|,Xz)1。

实对称矩阵必可相似对角化，即存在可逆矩阵Q,使得

「1。一

O'AQ=。

一°刖」而相似矩阵的行列式相等，所以

,,10

-2=|A|==A29

0入2即入2=-2。

又实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以足4二°,即

x-x2=0o方程组x「X2=0的基础解系为a2=(1,1几

三、解答题

「12a

A=130

1.已知a是常数，且矩阵27一。」可经初等列变换化为矩阵

-1a2-

011。

B=--11L

(I)求a；

(II)求满足AP二B的可逆矩阵P。

正确答案：

解：(I)由题意可知：矩阵A与B是等价的，故r(A)=r(B)。

对矩阵A和B分别进行初等行变换，即

显然，r(A)=2,故a=2。

(II)令

P=(L,12,j),B=(3，33),

由AP=B可知Ag尸B”i=L2,3,即N为Ax=Bi的解。

因为

122122122：1192

(A,B)=130011f01-2Hl-1-1

27-2—11lj[o3-6：-3

22：122n06344

01一2i71-101-2-177

000：000000000

所以导出组的基础解系为(-6,2,1)T,三个非齐次线性方程组的特解分别

为(3,-1,0)T,(4,一1,0)T,(4,一1,0)T,故三个线性方程组的通解分别为

g尸(3,-1,0)T+k1(-6,2,1)T,

TT

82=(4,-1,0)+k2(-6,2,1),

TT

&3=(4,-1,0)+k3(-6,2,1),

则

3-6M4—6^24-6慈-

P=-1+2也一1+2电—1+2礴

_3k2

对P作初等行变换可得

1

1

居一厩

2.A为三阶实对称矩阵，A的秩为2,且

(I)求矩阵A的所有特征值与特征向量;

(H)求矩阵A。

正确答案：

解:(I)由

11-11-1■-1-L1-T丁

0000，得A000,A0—0

-111—11-I1_1_

1即特

征值人尸-1,入2=1对应的特征向量为

11

0,。2=o

_L1

又由r(A)=2V3可知，A有一个特征值为0。设入3二0对应的特征向量为

1

0

」」两两正交，于是得

0o-

二门一片3=0,

由此得n=1，即1

12，+=0,

0°」是特征值。对应的特征向量。

因此La”k2a2,k3n依次是对应于特征值T,1,0的特征向量，其中

k,,k2,k3为任意非零常数。

(II)设有

一］110

A=-1.P=001

01-10

则有

110111o-

A=PAP[=0011001

J一10

2

iioiri1

001-10

1-]0-I

LO10.

00]'

000

100

3.设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量a尸(T,2,-1)1a

2=(0,T,1)，是线性方程组Ax=0的两个解。

(I)求矩阵A的特征值与特征向量；

(II)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q「AQ二A。

正确答案：

解：(I)因为矩阵A的各行元素之和均为3,所以有

则入二3是矩阵A的特征值，a=(l,1,l)r是对应的特征向量。对应入二3

的全部特征向量为

ka=k(l,1,1)T,其中k是不为零的常数。

又由题设知AQ尸0,Aa2=0,BPAai=0•aHAa2=0•a2,而且a”a2

线性无关，所以人二0是矩阵A的二重特征值，G1,a2是其对应的特征向量，

因此对应入=0的全部特征向量为

TT

kiai+k2a2=ki(T,2,-l)+k2(0,-1,1),

其中k”kz是不全为零的常数。

(II)因为A是实对称矩阵，所以Q与(1”。2正交，只需将Q1与。2正交

化。

由施密特正交化法，取

1_

2

仇=a].p=a2-警上川=0

_7_

再将a,3,B2单位化，得

令Q=(ni，

3

QTAQ=0=A。

0

［解析］求正交相似对角化中正交矩阵的基本步骤：

(1)先求出A的所有特征值及其对应的线性无关的特征向量。

(2)如果特征值是重根，有多个线性无关的特征向量，则将这些特征向量

正交化再单位化；如果特征值是单根，仅有一个线性无关的特征向量，则直接

将该特征向量单位化。

(3)以上述正交单位向量组为列向量的矩阵即为所求的正交矩阵。

4.设三阶实对称矩阵A的特征值为人尸-1,九2二入3=1,对应于L的特征向量

为『=(0,1,1)T,求矩阵A。

正确答案：

T

解：设矩阵A的属于特征值人二1的特征向量为x=(x”x2,X3)O

实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以自^二“即

TT

X2+X3=0o方程组X2万3=0的基础解系为g2=(L0,0),C3=(0,-1,l)o

010T00

令p=(帛心,扁)10-1,则plAP=010，所以

101_『001.

T-

「010一一］00~010"100

10-101010-1—00一1。

101_001__101_0—10_

5.设三阶实对称矩阵A的特征值为入尸1,入2=-1，入3=。；对应1，入2的特

征向量依次为出二(1,2,2)T,P2=(2,1,-2尸,求矩阵A。

正确答案：

解：因为A为实对称矩阵，故必存在正交矩阵Q二q2,q3),使

100

Q1A。=Q1A。=0一10=A

o

000

12

Pi=2，P2=1

2-2

将对应于特征值入I，入2的特征向量单位化，得

2

Qi=1

3

—2

由正交矩阵的性质，q,可取为

.T-

P\

x=0

的单位解向量,则由

-T-i

Pl12210-21

L21-2J,012一

2

=Y-2

1

可知L因此

1

A=W=12

J

2

6.设三阶实对称矩阵A的秩为2,入尸入步6是A的二重特征值，若。尸(1,

T

1,0),a2=(2,1,1)2a3=(-1,2,-3),都是A属于入=6的特征向量,求矩

阵A。

正确答案：

解：由r(A)=2知，|A|=0,所以入=0是A的另一特征值。

因为人尸入2=6是实对称矩阵的二重特征值，故A属于入二6的线性无关的

特征向量有两个，因此a”a2,a3必线性相关，显然a”a2线性无关。

T

设矩阵A属于入=0的特征向量a=(x”x2,X3),由于实对称矩阵不同特征

值的特征向量相互正交，故有

aja=a、+h=0，

aJa=2TI+.下2+13=0，

解得此方程组的基础解系a=(-1,1,1尸。

根据A(Q1,Q2,«)=(6aj,6a2,0)得

「6120^rl2—L422

=

A=(6«!,6%,0)(。】，见«)-'=66011121-2

060.011.■2—241

7.设三阶实对称矩阵A的特征值人尸1,入2=2,入3=-2,aF(1,T,1尸是A

的属于特征值L的一个特征向量，记B=A5-4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。

(I)验证Q।是矩阵B的特征向量，并求矩阵B的全部特征值与特征向

量；

(II)求矩阵B。

正确答案：

解：(I)由Aa尸a1得A2a尸Aa]=a],依次递推，则有A%1二a”A5a1=a,,

故

53

Ba!=(A-4A+E)a产A'a「4A‘a1+a尸一2aH

即a।是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。

53

由关系式B=A-4A+E及A的三个特征值人尸1,入2=2,入3=-2得B的三个

特征值为U尸-2,口2=1，U3=lo

设a2,Q3为B的属于U2=U3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对

称矩阵，则B也是

对称矩阵，因此Q1与。2,&3正交，即a；%=0・。；。3=0。

因此a2,Q3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即

二下「

(1,—1,1)攵2=0，

二3.

1一1

1=0

得其基础解系为01

1T-r

一1决21+退o,

_0_-1」其中kiWO,k,k3不

B的全部特征向量为12

同时为零。

(II)

11—1~|[―2

0，则kBP=1，于是

1011.

1_1]「-2■r1-i1

101121

011JL-112

-r

1c

oj

［解析］(1)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，该性质经常被用来计

算实对称矩阵的特征向